傳感器原理與檢測技術(shù)：第18章 測量不確定度與回歸分析

1、1知識單元知識單元與知識點與知識點真值、測量誤差、測量不確定度的相關(guān)概念；真值、測量誤差、測量不確定度的相關(guān)概念；誤差的來源、分類與表示；誤差的來源、分類與表示；誤差的處理（系統(tǒng)誤差、隨機誤差、粗大誤差）；誤差的處理（系統(tǒng)誤差、隨機誤差、粗大誤差）；測量誤差的傳遞、合成與分配；測量誤差的傳遞、合成與分配；測量不確定度的評定方法；測量不確定度的評定方法；最小二乘法與回歸分析（一元線性擬合、多元線性擬合與曲線擬合）。最小二乘法與回歸分析（一元線性擬合、多元線性擬合與曲線擬合）。能力點能力點深入理解真值、測量誤差、測量不確定度的相關(guān)概念；深入理解真值、測量誤差、測量不確定度的相關(guān)概念；把握誤差的來源

2、、分類與表示；把握誤差的來源、分類與表示；把握誤差的處理（系統(tǒng)誤差、隨機誤差、粗大誤差）；把握誤差的處理（系統(tǒng)誤差、隨機誤差、粗大誤差）；會分析測量誤差的傳遞、合成與分配；會分析測量誤差的傳遞、合成與分配；把握測量不確定度的評定方法；把握測量不確定度的評定方法；會使用最小二乘法與回歸分析方法。會使用最小二乘法與回歸分析方法。重難點重難點重點：真值、測量誤差、測量不確定度的相關(guān)概念；誤差的來源、分類重點：真值、測量誤差、測量不確定度的相關(guān)概念；誤差的來源、分類與表示；誤差的處理（系統(tǒng)誤差、隨機誤差、粗大誤差）；最小二乘法與表示；誤差的處理（系統(tǒng)誤差、隨機誤差、粗大誤差）；最小二乘法與一元線性擬合

3、。與一元線性擬合。難點：測量不確定度的評定方法、多元線性擬合和曲線擬合。難點：測量不確定度的評定方法、多元線性擬合和曲線擬合。學(xué)習(xí)要求學(xué)習(xí)要求掌握真值、測量誤差、測量不確定度的相關(guān)概念；掌握真值、測量誤差、測量不確定度的相關(guān)概念；掌握誤差的來源、分類與表示；掌握誤差的來源、分類與表示；掌握誤差的處理（系統(tǒng)誤差、隨機誤差、粗大誤差）；掌握誤差的處理（系統(tǒng)誤差、隨機誤差、粗大誤差）；掌握測量誤差的傳遞、合成與分配的基本方法；掌握測量誤差的傳遞、合成與分配的基本方法；了解測量不確定度的評定方法；了解測量不確定度的評定方法；掌握最小二乘法與一元線性擬合；掌握最小二乘法與一元線性擬合；了解多元線性擬合與

4、曲線擬合。了解多元線性擬合與曲線擬合。232.1 測量誤差概述測量誤差概述 任何測量的目的是為了獲得被測量的真實值（受測量環(huán)境、方法、儀器、人員等因素影響） 量是物體可以從數(shù)量上進行確定的一種屬性。由一個數(shù)和合適的計量單位表示的量稱為量值 量值有真值和實際值或標稱值與指示值之分 4真值與實際值 真值真值是指在一定時間和空間條件下，能夠準確反映被測量真實狀態(tài)的數(shù)值。分為理論真值和約定真值。 理論真值理論真值是在理想情況下表征一個物理量真實狀態(tài)或?qū)傩缘闹?，它通?？陀^存在但不能實際測量得到，或者是根據(jù)一定的理論所定義的數(shù)值（如三角形三內(nèi)角之和為180度） 約定真值約定真值是為了達到某種目的按照約定的

5、辦法所確定的值（如光速為30萬公里每秒），或以高精度等級儀器的測量值約定為低精度等級儀器測量值的真值 實際值實際值是在滿足規(guī)定準確度時用以代替真值使用的值 5誤差與誤差公理 測量誤差（Measuring Error):測量結(jié)果與被測量真值之差 誤差公理：測量誤差是不可避免的，一切測量都存在誤差 測量誤差的大小反映測量質(zhì)量的好壞6標稱值和指示值標稱值和指示值 標稱值標稱值是計量或測量器具上標注的量值 指示值指示值（即測量值）是測量儀表或量具給出或提供的量值 由于受制造、測量或環(huán)境變化等的影響，標稱值不一定等于實際值，故一般在給出標稱值的同時也給出其誤差范圍或精度等級。 7精度精度 精度：反映測量

6、結(jié)果與真值接近程度的量 精度與誤差相對應(yīng)，誤差越小，精度越高，反之亦然 分類 準確度：反映測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差的影響程度（測量結(jié)果偏離真值的程度） 精密度：反映測量結(jié)果中隨機誤差的影響程度（測量結(jié)果的分散程度） 精確度：反映測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差和隨機誤差綜合的影響程度（常用測量不確定度或極限誤差表示）8精度圖示精度圖示 對于某個具體的測量：準確度高的精密度不一定高，精密度高的準確度不一定高；但精確度高的，其準確度和精密度一定都高問題（精度的多種圖示）9誤差的來源 測量環(huán)境誤差 測量儀器或裝置誤差 測量方法誤差 測量人員誤差 10誤差的分類 根據(jù)測量數(shù)據(jù)中誤差的規(guī)律，有三類： 系統(tǒng)誤差 測量系統(tǒng)本身

7、性能不完善、測量方法不完善、測量者對儀器使用不當、環(huán)境條件的變化等所引起 多次重復(fù)測量時，系統(tǒng)誤差的大小或符號保持不變，或按一定規(guī)律出現(xiàn)（始終偏大、偏小或周期性變化） 隨機誤差 對同一被測量進行多次重復(fù)測量時，誤差的絕對值和符號不可預(yù)知地隨機變化，但總體滿足一定的統(tǒng)計規(guī)律性 是由測量過程中獨立、微小、偶然的因素引起 粗大誤差 明顯偏離測量結(jié)果的誤差 測量者粗心大意或環(huán)境突然急劇變化引起 粗大誤差必須避免1112誤差的表示 絕對誤差 相對誤差 引用誤差 基本誤差 附加誤差13誤差的表示（續(xù)） 絕對誤差：測量值與真實值間的差值 相對誤差：絕對誤差與真實值（或測量值）之比 引用誤差：絕對誤差與儀表滿

8、量程之比xL 100%x實際： 100%mx=100%L定義： 14儀表精度等級的確定 依據(jù)引用誤差，如0.5級表代表其引用誤差最大為0.5% 我國的儀表等級分為0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5和5.0共七個等級15例1：檢定一臺滿量程Am5A，精度等級為1.5的電流表，測得在2.0A處其絕對誤差0.1A，請問該電流表是否合格？ 解：在沒有修正值的情況下，通常認為在整個測量范圍內(nèi)各處的最大絕對誤差是一個常數(shù)。因此，根據(jù)引用誤差的定義可求得： 由于2.0%1.5%，因此，該電流表已不合格，但可做精度為2.5級表使用。 方法二？0.1100%100%=2.0%5mA16誤差的表示（續(xù)

9、） 基本誤差：儀表在規(guī)定的標準條件（即標定條件）下所具有的引用誤差（用于標識儀表精度等級） 附加誤差：當儀表的使用條件偏離標準條件時出現(xiàn)的誤差（如溫度、壓力、頻率、電源電壓波動附加誤差等）17對基本誤差的進一步分析 任何儀表都有一個正常的使用環(huán)境條件要求，即標準條件 儀表在標準條件下工作，其所具有的引用誤差為基本誤差 在基本誤差條件下，儀表的最大絕對誤差為： 最大絕對誤差與測量示值的百分比稱為最大示值相對誤差，即： 結(jié)論：當精度等級一定時，越接近滿刻度的測量示值，其最大示值相對誤差越小、測量精度越高（故一般要求示值落在儀表滿刻度的三分之二以上范圍） mmx 100%100%mmmxxx 18例

10、2 例：要測量一個約80V的電壓量，現(xiàn)有兩塊電壓表供選用，一塊量程為300V，精度等級0.5；一塊量程為100V，精度等級1.0。請問選用哪一塊電壓表更好？ 解：根據(jù)最大示值相對誤差的定義式，先求最大相對誤差。 使用300V、0.5級表時： 使用100V、1.0級表時： 可見，選用100V、1.0級表測量該電壓時具有更小的相對誤差，精度更高 由題目數(shù)據(jù)還可知，使用該表可保證測量示值 落在儀表滿刻度的三分之二以上。 10.5 300100%100%1.88%80mmxx 21.0 100100%100%1.25%80mmxx 12mm1920數(shù)字儀表的誤差表示 數(shù)字儀表的基本誤差有兩種表示方式（

11、后者常用） 誤差相對項系數(shù)（對應(yīng)讀數(shù)誤差，變） 誤差固定項系數(shù) （對應(yīng)滿度誤差，不變，與量程有關(guān)，常用“幾個字”表示）%maxbx %ax 幾個字ab21例3 有五位數(shù)字電壓表一臺，基本量程5V檔的基本誤差為。求滿度誤差相當于幾個字。 解： 由題意知，該表可顯示5位數(shù)字，正好相當于末位正負2個字。即該表5V檔的基本誤差也可表示為：0.006%0.004%xmUU0.004%0.004% 5V=0.0002VmU0.0002V0.006%2xU 個字222.2測量誤差的處理 分為 隨機誤差的處理 系統(tǒng)誤差的處理 粗大誤差的處理23隨機誤差的統(tǒng)計處理 1、隨機誤差的正態(tài)分布曲線、隨機誤差的正態(tài)分布

12、曲線 單峰性：單峰性：絕對值小的隨機誤差出現(xiàn)的概率大于絕對值大的隨機誤差出現(xiàn)的概率 有界性：有界性：隨機誤差的絕對值是有限的 對稱性：對稱性：隨著測量次數(shù)的增加，絕對值相等、符號相反的隨機誤差的出現(xiàn)概率趨于相等24正態(tài)分布密度函數(shù)222)(21)(Lxexfy22221)(efy252、正態(tài)分布的隨機誤差的數(shù)字特征、正態(tài)分布的隨機誤差的數(shù)字特征標準差反映了隨機誤差的分布范圍。標準差愈大，測量數(shù)據(jù)的分散范圍就愈大。 26 標準差反映了隨機誤差的分布范圍。標準差愈大，測量數(shù)據(jù)的分布范圍就愈大。右圖顯示了不同標準差下的正態(tài)分布曲線。由圖可見： 標準差越小，分布曲線就越陡峭，說明隨機變量的分散性小，接

13、近真值 ，即精度高。反之，標準差越大，分布曲線越平坦，隨機變量的分散性就越大，即精度低。0.511.5Lxy27殘余誤差與標準差的估計值 實際測量時真值無法知道，常用殘余誤差： 對應(yīng)標準差的估計值：xxvii11)(1212nvnxxniiniisLxnnLxniinii1212)(28算術(shù)平均值的標準差 015105xn293、正態(tài)分布的概率計算、正態(tài)分布的概率計算22221)(vevfy2221()2vttPtvtedv30測量結(jié)果的兩種表示 (0.6827)xxxP30.9973)xxxP（31例 有一組（10個）測量值為237.4、237.2、237.9、237.1、238.1、237

14、.5、237.4、237.6、237.6、237.4，求測量結(jié)果。32 因此，測量結(jié)果可表示為：33系統(tǒng)誤差的判別與處理1、從誤差根源上消除系統(tǒng)誤差、從誤差根源上消除系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差：是由測量系統(tǒng)本身的缺陷或測量方法的不完善造成的，使得測量值中含有固定不變或按一定規(guī)律變化的誤差特點：系統(tǒng)誤差不具有抵償性，也不能通過重復(fù)測量來消除，因此在處理方法上與隨機誤差完全不同處理原則：找出系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的根源，然后采取相應(yīng)的措施盡量減小或消除系統(tǒng)誤差分析系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生原因一般從以下5個方面著手：所用測量儀表或元件本身是否準確可靠測量方法是否完善傳感器或儀表的安裝、調(diào)整、放置等是否正確合理測量儀表的工作環(huán)境條

15、件是否符合規(guī)定條件測量者的操作是否正確。如讀數(shù)時的視差、視力疲勞等都會引起系統(tǒng)誤差342、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)與判別、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)與判別 （1）實驗對比法）實驗對比法 通過改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件從而進行不同條件下的測量，以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差 適用于：發(fā)現(xiàn)固定的系統(tǒng)誤差 （2）殘余誤差觀察法）殘余誤差觀察法 是根據(jù)測量值的殘余誤差的大小和符號的變化規(guī)律來判斷有無變化的系統(tǒng)誤差 （3）準則檢查法）準則檢查法 馬利科夫準：將殘余誤差的前后各一半分成兩個組，如果前、后兩組殘余誤差的和明顯不同，則可能含有線性系統(tǒng)誤差 阿貝準則：是檢查殘余誤差是否偏離正態(tài)分布，若偏離，則可能存在變化的系統(tǒng)誤差。其做法是：將測量值的

16、殘余誤差按測量順序排列，并計算：3522221nvvvA2121232221)()()()(vvvvvvvvBnnnnAB112然后判斷，若 ，則可能存變化的系統(tǒng)誤差。 363、系統(tǒng)誤差的消除、系統(tǒng)誤差的消除要絕對地消除系統(tǒng)誤差是不可能的（1）消除系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的根源）消除系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的根源測量前，仔細檢查儀表，正確調(diào)整和安裝；防止外界干擾的影響；選擇好觀測位置消除視差；選擇環(huán)境條件較穩(wěn)定時進行測量和讀數(shù)。（2）在測量系統(tǒng)中采用補償措施）在測量系統(tǒng)中采用補償措施找出系統(tǒng)誤差的規(guī)律，在測量過程中自動消除系統(tǒng)誤差。（3）實時反饋修正）實時反饋修正當查明某種誤差因素的變化對測量結(jié)果有明顯的影響時，可盡

17、量找出其影響測量結(jié)果的函數(shù)關(guān)系或近似函數(shù)關(guān)系，然后按照這種函數(shù)關(guān)系對測量結(jié)果進行實時的自動修正。（4）在測量結(jié)果中進行修正）在測量結(jié)果中進行修正對于已知的系統(tǒng)誤差，可以用修正值對測量結(jié)果進行修正；對于變值系統(tǒng)誤差，設(shè)法找出誤差的變化規(guī)律，用修正公式或修正曲線對測量結(jié)果進行修正；對未知的系統(tǒng)誤差，則歸入隨機誤差一起處理。37粗大誤差的處理準則 1、拉依達（、拉依達（3 ）準則）準則 通常把3 作為極限誤差。如果一組測量數(shù)據(jù)中某個測量值的殘余誤差的絕對值 時，則可認為該值含有粗大誤差，應(yīng)舍棄。3v3839 2、肖維勒準則、肖維勒準則 該準則以正態(tài)分布為前提，假設(shè)多次重復(fù)測量得到的N個測量值中，某個

18、測量值的殘余誤差 ，則舍棄該測量值。 值的選取與測量列的測量值個數(shù)有關(guān)，如表所示。cvZcZ4041 3、格拉布斯準則、格拉布斯準則 該準則對于某個測量值的殘余誤差的絕對值 ，則判斷此值中含有粗大誤差，應(yīng)剔除。 的確定與重復(fù)測量次數(shù)N和置信概率 有關(guān)，如表所示。vGGaP424344測量誤差的傳遞測量誤差的傳遞 由于直接測量的結(jié)果有誤差，由直接測量值經(jīng)過計算得到的間接測量結(jié)果也會有誤差，這就是誤差的傳遞（也稱為誤差的合成） 即已知被測量與各個參數(shù)的函數(shù)關(guān)系以及各個參數(shù)測量值的分項誤差，求被測量的總誤差 45 系統(tǒng)誤差的傳遞系統(tǒng)誤差的傳遞 ),(21nxxxfynndxxfdxxfdxxfdy2

19、21112112nniiniffffyxxxxxxxx 1niyiixyfyxf46 隨機誤差的傳遞隨機誤差的傳遞 總的誤差總的誤差 如果測量系統(tǒng)的系統(tǒng)誤差與隨機誤差相互獨立，則總的誤差表示為 222211nxnxyxfxfyy測量誤差的合成測量誤差的合成 誤差的合成就是已知被測量與各個參數(shù)的函數(shù)關(guān)系以及各個參數(shù)測量值的分項誤差，求被測量的總誤差。 對于已定系統(tǒng)誤差，則誤差的大小、符號和函數(shù)關(guān)系均為已知，可直接由前面的系統(tǒng)誤差傳遞公式或隨機誤差傳遞公式進行合成。4748未定系統(tǒng)誤差的合成 （不要求）對于未定系統(tǒng)誤差，由于通常只知道其誤差的極限而不知道其確切的大小和符號，此時，誤差的合成視具體情

20、況而定，計算結(jié)果反映的是系統(tǒng)的不確定度。通?？捎媒^對值和法（各分項誤差取絕對值，然后求和）和方和根合成法（先將各分項誤差平方，再求平方后之和，最后開平方，并在其前面加上“”）。49測量誤差的分配測量誤差的分配 若總的誤差已確定，要確定各環(huán)節(jié)的誤差大小以保證總的誤差不超過允許值，這一過程稱為誤差的分配 誤差分配有助于在進行測量工作前，根據(jù)給定的允許測量總誤差來選擇測量方案，合理進行誤差分配，確定各環(huán)節(jié)誤差，以保證測量精度。誤差分配應(yīng)考慮測量過程中所有誤差組成項的分配問題。 誤差的分配一般地說有無窮多個方案，因此往往在某些假設(shè)條件下進行分配。50誤差分配原則（1）要從各元器件的實際情況出發(fā)，按各元

21、器件的技術(shù)性能、可能達到的水平提出要求，不要提出與其不相適應(yīng)的過高要求。（2）誤差分配中還要考慮經(jīng)濟性，即既要保證誤差要求，又要考慮經(jīng)濟性。（3）對于元器件的誤差不能知道其確切值時，一般取最大允許誤差。51誤差分配步驟在進行誤差分配時，先給誤差容易確定的元器件分配，然后余下的按等作用原則分配，再根據(jù)可能性作適當調(diào)整，具體處理步驟如下：按等作用原則分配誤差 等作用原則認為各個環(huán)節(jié)誤差對系統(tǒng)總誤差的影響相等。由此確定各個環(huán)節(jié)的誤差大小。注意，當有的誤差已經(jīng)確定而不能改變時(如受測量條件限制，必須采用某種儀器測量某一項目時)，應(yīng)先從給定的允許總誤差中扣除掉，然后再對其余誤差項進行誤差分配。按可能性調(diào)

22、整誤差 按等作用原則分配誤差只是為了方便數(shù)據(jù)處理，實際上可能會出現(xiàn)不合理或不合算的情況，因為按等作用原則計算出來的各個部分誤差都相等，有時要保證它的測量誤差不超出允許范圍卻難以滿足要求，若要保證它的測量精度，勢必要用昂貴的高精度儀器，或者要付出較大的勞動。另一方面，當各個部分誤差一定時，則相應(yīng)測量值的誤差與其傳遞系數(shù)成反比。所以各個部分誤差相等，其相應(yīng)測量值的誤差并不相等，有時可能相差較大。因此，必須根據(jù)具體情況對按等作用原則分配的誤差進行調(diào)整。對難以實現(xiàn)的誤差項適當擴大，對容易實現(xiàn)的誤差項盡可能縮小。 驗算調(diào)整后的總誤差 誤差分配后，應(yīng)按誤差合成公式計算實際總誤差，若超出給定的允許誤差 范圍

23、，應(yīng)選擇可能縮小的誤差項再予縮小誤差。若實際總誤差較小，可適 當擴大難以測量的誤差項的誤差。52兩種常用的誤差分配方法53545556572.3 測量不確定度測量不確定度 測量不確定度測量不確定度是指對測量結(jié)果不確定性的評價，是表征被測量的真值在某個量值范圍的一個估計，測量結(jié)果中所包含的測量不確定度用以表示被測量值的分散性。 所有的不確定度分量均用標準差表征，它們或者由隨機誤差引起，或者由系統(tǒng)誤差引起，都對測量結(jié)果的分散性產(chǎn)生相應(yīng)的影響 58測量不確定度的來源測量不確定度的來源 測量過程中有許多引起不確定度的來源測量不確定度常見的10項可能來源： 1)被測量的定義不完整；2)被測量的定義復(fù)現(xiàn)不

24、理想；3)抽樣可能不完全代表定義的被測量；4)對環(huán)境條件的影響或測量程序的認識不足，或?qū)Νh(huán)境條件的測量和控制不完善；5)模擬式儀器的讀數(shù)偏差；6)測量儀器分辨力和鑒別閾值不夠；7)計量標準器和標準物質(zhì)不準確；8)用于數(shù)據(jù)計算的常量和其他參量不準確9)測量方法、測量系統(tǒng)和測量程序中的近似和假設(shè)；10)在表面上看來相同的條件下，被測量在重復(fù)觀測中的變化 59測量不確定度與誤差的比較測量不確定度與誤差的比較 相同點相同點：都是評價測量結(jié)果質(zhì)量高低的重要指標，都可作為測量結(jié)果的精度評定參數(shù)。區(qū)別：區(qū)別： 從定義上講，誤差是測量結(jié)果與真值之差，它以真值或約定真值為中心；測量不確定度是以被測量的估計值為中

25、心。因此誤差是一個理想的概念，一般不能準確知道，難以定量；而測量不確定度是反映人們對測量認識不足的程度，是可以定量評定的。在分類上，誤差按自身特征和性質(zhì)分為系統(tǒng)誤差、隨機誤差和粗大誤差，并可采取不同的措施來減小或消除各類誤差對測量結(jié)果的影響。但由于各類誤差之間并不存在絕對界限，故在分類判別和誤差計算時不易準確掌握。602.3.2 測量不確定度的評定方法測量不確定度的評定方法 一些分量由系列觀測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析來評定（稱為A類評定） 另一些分量是基于經(jīng)驗或其他信息所認定的概率分布來評定（稱為B類評定） 2.4最小二乘法 由于誤差的存在，為了求得一組最佳的解，通常的做法是使測量次數(shù)n大于所求未知量的個數(shù)m，然后采用最小二乘法進行計算。最小二乘法是一類用于擬合實驗曲線、確定經(jīng)驗公式（一般近似于多元線性關(guān)系）的數(shù)學(xué)方法，在對測量結(jié)果的誤差處理中得到了廣泛應(yīng)用。 最小二乘法在誤差理論中的基本含義是：