復(fù)變函數(shù)0-引言

1、2021/6/161復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換王飛王飛華中科技大學(xué)華中科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院2021/6/162引言引言 微積分研究的主要對象是實變函數(shù)，即定義域與微積分研究的主要對象是實變函數(shù)，即定義域與值域均在實數(shù)域中的函數(shù)。大家已經(jīng)學(xué)了一些實值域均在實數(shù)域中的函數(shù)。大家已經(jīng)學(xué)了一些實變函數(shù)的微分與積分理論，你還記得哪些內(nèi)容？變函數(shù)的微分與積分理論，你還記得哪些內(nèi)容？本課程的主要內(nèi)容，本課程的主要內(nèi)容，復(fù)變函數(shù)論復(fù)變函數(shù)論，所研究的函數(shù)，所研究的函數(shù)的的自變量自變量與與因變量因變量均取均取復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)。復(fù)變函數(shù)中的許多概念，理論和方法是實變函數(shù)復(fù)變函數(shù)中的許多概念，理

2、論和方法是實變函數(shù)在復(fù)數(shù)領(lǐng)域的在復(fù)數(shù)領(lǐng)域的推廣推廣和和發(fā)展發(fā)展。什么是復(fù)變函數(shù)？什么是復(fù)變函數(shù)？2021/6/163引言引言 人們在處理與分析一些問題時，常采用某種手段，人們在處理與分析一些問題時，常采用某種手段，將問題轉(zhuǎn)化，從另一個角度處理和分析，這就是將問題轉(zhuǎn)化，從另一個角度處理和分析，這就是所謂的變換。所謂的變換。積分變換積分變換無論在數(shù)學(xué)理論或其應(yīng)用中都是一種非無論在數(shù)學(xué)理論或其應(yīng)用中都是一種非常有用的工具。本課程將介紹常有用的工具。本課程將介紹傅里葉變換傅里葉變換和和拉普拉普拉斯變換拉斯變換。信號可以分解成簡諧波之和；熱也可以按頻率分信號可以分解成簡諧波之和；熱也可以按頻率分解；信號

3、在時間域和頻率域之間的轉(zhuǎn)換等。解；信號在時間域和頻率域之間的轉(zhuǎn)換等。如：解析幾何中代數(shù)方程與幾何圖形的對應(yīng)關(guān)系；如：解析幾何中代數(shù)方程與幾何圖形的對應(yīng)關(guān)系；同一問題在直角坐標系與極坐標系的表達等。同一問題在直角坐標系與極坐標系的表達等。2021/6/164復(fù)變函數(shù)的歷史發(fā)展復(fù)變函數(shù)的歷史發(fā)展在十六世紀中葉，在十六世紀中葉，G. Cardano (1501-1576)在研究在研究一元二次方程一元二次方程 時引進了復(fù)數(shù)。他發(fā)時引進了復(fù)數(shù)。他發(fā)現(xiàn)這個方程沒有實數(shù)根，但他把這個方程的兩個現(xiàn)這個方程沒有實數(shù)根，但他把這個方程的兩個根形式地表為根形式地表為 與與 。在當(dāng)時，包括。在當(dāng)時，包括他自己在內(nèi)，誰

4、也弄不清這樣表示有什麼好處。他自己在內(nèi)，誰也弄不清這樣表示有什麼好處。事實上，復(fù)數(shù)被事實上，復(fù)數(shù)被 Cardano 引入后，在很長一段時引入后，在很長一段時間內(nèi)不被人們所理睬，并被認是沒有意義的，不間內(nèi)不被人們所理睬，并被認是沒有意義的，不能接受的能接受的“虛數(shù)虛數(shù)”（imaginary number）。）。1040 xx5155152021/6/165直到十七與十八世紀隨著微積分的產(chǎn)生與發(fā)展，直到十七與十八世紀隨著微積分的產(chǎn)生與發(fā)展，情況才有好轉(zhuǎn)。特別是由于情況才有好轉(zhuǎn)。特別是由于 L. Euler 的研究結(jié)果，的研究結(jié)果，復(fù)數(shù)終于起了重要的作用。例如大家所熟知的復(fù)數(shù)終于起了重要的作用。例如

5、大家所熟知的 Euler 公式公式 揭示了復(fù)指數(shù)函數(shù)揭示了復(fù)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)之間的關(guān)系。然而一直到與三角函數(shù)之間的關(guān)系。然而一直到 C. Wessel 和和 R. Argand 將復(fù)數(shù)用平面向量或點來表示，以將復(fù)數(shù)用平面向量或點來表示，以及及 K.F. Gauss 與與 W.R. Hamilton 定義復(fù)數(shù)定義復(fù)數(shù) 為一對有序?qū)崝?shù)后，才消除人們對復(fù)數(shù)真實性的為一對有序?qū)崝?shù)后，才消除人們對復(fù)數(shù)真實性的長久疑慮，長久疑慮，“復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)”這一數(shù)學(xué)分支到此才順這一數(shù)學(xué)分支到此才順利地得到建立和發(fā)展。利地得到建立和發(fā)展。復(fù)變函數(shù)的歷史發(fā)展復(fù)變函數(shù)的歷史發(fā)展cossinieiaib2021/6/1

6、66 Euler 公式公式 這個恒等式也叫做歐拉公式，它是數(shù)學(xué)里最令人著迷的一個公式，它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個數(shù)聯(lián)系到了一起。兩個超越數(shù)：自然對數(shù)的底 e，圓周率，兩個單位：虛數(shù)單位 i 和自然數(shù)的單位 1，以及數(shù)學(xué)里常見的0。數(shù)學(xué)家們評價它是“上帝創(chuàng)造的公式”，我們只能看它而不能理解它。 10ie 超越數(shù)超越數(shù)是不能滿足任何整系數(shù)代數(shù)方程的實數(shù)。 2021/6/167復(fù)變函數(shù)論的全面發(fā)展是在十九世紀，就像微積復(fù)變函數(shù)論的全面發(fā)展是在十九世紀，就像微積分統(tǒng)治了十八世紀的數(shù)學(xué)那樣，復(fù)變函數(shù)這個新分統(tǒng)治了十八世紀的數(shù)學(xué)那樣，復(fù)變函數(shù)這個新的分支統(tǒng)治了十九世紀的數(shù)學(xué)。當(dāng)時的數(shù)學(xué)家公的分支統(tǒng)治了十九世紀

7、的數(shù)學(xué)。當(dāng)時的數(shù)學(xué)家公認復(fù)變函數(shù)論是最豐饒的數(shù)學(xué)分支，并且稱為這認復(fù)變函數(shù)論是最豐饒的數(shù)學(xué)分支，并且稱為這個世紀的數(shù)學(xué)享受，也有人稱贊它是抽象科學(xué)中個世紀的數(shù)學(xué)享受，也有人稱贊它是抽象科學(xué)中最和諧的理論之一。最和諧的理論之一。復(fù)變函數(shù)的歷史發(fā)展復(fù)變函數(shù)的歷史發(fā)展2021/6/168為復(fù)變函數(shù)論的創(chuàng)建做了最早期工作的是歐拉、為復(fù)變函數(shù)論的創(chuàng)建做了最早期工作的是歐拉、達朗貝爾，法國的拉普拉斯也隨后研究過復(fù)變函達朗貝爾，法國的拉普拉斯也隨后研究過復(fù)變函數(shù)的積分，他們都是創(chuàng)建這門學(xué)科的先驅(qū)。后來數(shù)的積分，他們都是創(chuàng)建這門學(xué)科的先驅(qū)。后來為這門學(xué)科的發(fā)展作了大量奠基工作的要算是柯為這門學(xué)科的發(fā)展作了大量

8、奠基工作的要算是柯西、黎曼和德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯。二十世紀西、黎曼和德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯。二十世紀初，復(fù)變函數(shù)論又有了很大的進展，維爾斯特拉初，復(fù)變函數(shù)論又有了很大的進展，維爾斯特拉斯的學(xué)生，瑞典數(shù)學(xué)家列夫勒、法國數(shù)學(xué)家龐加斯的學(xué)生，瑞典數(shù)學(xué)家列夫勒、法國數(shù)學(xué)家龐加萊、阿達瑪?shù)榷甲髁舜罅康难芯抗ぷ?，開拓了復(fù)萊、阿達瑪?shù)榷甲髁舜罅康难芯抗ぷ?，開拓了復(fù)變函數(shù)論更廣闊的研究領(lǐng)域，為這門學(xué)科的發(fā)展變函數(shù)論更廣闊的研究領(lǐng)域，為這門學(xué)科的發(fā)展做出了貢獻。復(fù)變函數(shù)中的許多概念，理論和方做出了貢獻。復(fù)變函數(shù)中的許多概念，理論和方法是實變函數(shù)在復(fù)數(shù)領(lǐng)域的推廣和發(fā)展。法是實變函數(shù)在復(fù)數(shù)領(lǐng)域的推廣和發(fā)展。復(fù)變函

9、數(shù)的歷史發(fā)展復(fù)變函數(shù)的歷史發(fā)展2021/6/169復(fù)變函數(shù)的理論和方法在數(shù)學(xué)，自然科學(xué)和工程復(fù)變函數(shù)的理論和方法在數(shù)學(xué)，自然科學(xué)和工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，是解決諸如流體力學(xué)，技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，是解決諸如流體力學(xué)，電磁學(xué)，熱學(xué)彈性理論中平面問題的有力工具。電磁學(xué)，熱學(xué)彈性理論中平面問題的有力工具。復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用俄國的茹柯夫斯基在設(shè)計飛機的時候，就用復(fù)變俄國的茹柯夫斯基在設(shè)計飛機的時候，就用復(fù)變函數(shù)論解決了飛機機翼的結(jié)構(gòu)問題，他在運用復(fù)函數(shù)論解決了飛機機翼的結(jié)構(gòu)問題，他在運用復(fù)變函數(shù)論解決流體力學(xué)和航空力學(xué)方面的問題上變函數(shù)論解決流體力學(xué)和航空力學(xué)方面的問題上也做出了貢獻。也做

10、出了貢獻。復(fù)變函數(shù)論不但在其他學(xué)科得到了廣泛的應(yīng)用，復(fù)變函數(shù)論不但在其他學(xué)科得到了廣泛的應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多分支也都應(yīng)用了它的理論。而且在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多分支也都應(yīng)用了它的理論。它已經(jīng)深入到微分方程、積分方程、概率論和數(shù)它已經(jīng)深入到微分方程、積分方程、概率論和數(shù)論等學(xué)科，對它們的發(fā)展很有影響。論等學(xué)科，對它們的發(fā)展很有影響。2021/6/1610學(xué)科的產(chǎn)生與發(fā)展三要素 動因與出發(fā)點 內(nèi)在體系的形成 有效地應(yīng)用任何學(xué)科不能解決自己的出發(fā)點，也不能解決自己的歸宿與應(yīng)用，因為二者都屬于“外在邏輯”。即使研究“內(nèi)在邏輯”，也需要多方借助外來的思想、觀念與方法。一門學(xué)科自始至終，從里到外，都不是孤立

11、的。 曹策問2021/6/1611教材與參考書 教材：復(fù)變函數(shù)與積分變換，華中理工大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等教育出版社，1999。 復(fù)變函數(shù)論，鐘玉泉，高等教育出版； COMPLEX ANALYSIS，Princeton Lectures in Analysis，Elias M. Stein and Rami Shakarchi，PRINCETON UNIVERSITY PRESS。2021/6/1612公共郵箱公共郵箱:math_ :math_ 密碼：密碼：hust_math 作業(yè)，每周三課前交；作業(yè)，每周三課前交；練習(xí)冊，練習(xí)冊，5元，科技樓南樓元，科技樓南樓 609室，第一周星期一室，第一周星期一（9.5）至星期六（）至星期六（9.10）,以班為單位購買；以班為單位購買；答疑安排：第二周開