任意角與弧度制

1、圖圖2 2圖圖1 1思考思考1：對于角的圖形特點有如下兩種認識：對于角的圖形特點有如下兩種認識：角是由平面內一點引出的兩條射線所組成角是由平面內一點引出的兩條射線所組成的圖形（如圖的圖形（如圖1）；）；角是由平面內一條射線角是由平面內一條射線繞其端點從一個位置旋轉到另一個位置所組繞其端點從一個位置旋轉到另一個位置所組成的圖形（如圖成的圖形（如圖2）.你認為哪種認識更科學、你認為哪種認識更科學、合理？合理？AOB始邊始邊終邊終邊頂點頂點思考思考2：如圖，一條射線的端點是：如圖，一條射線的端點是O，它從起始位，它從起始位置置OA旋轉到終止位置旋轉到終止位置OB，形成了一個角，形成了一個角，其，其中

2、點中點O，射線，射線OA、OB分別叫什么名稱？分別叫什么名稱？記法：角 或 ，可簡記為 思考思考3：在齒輪傳動中，被動輪與主動輪是按：在齒輪傳動中，被動輪與主動輪是按相反方向旋轉的相反方向旋轉的.一般地，一條射線繞其端點一般地，一條射線繞其端點旋轉，既可以按逆時針方向旋轉，也可以按順旋轉，既可以按逆時針方向旋轉，也可以按順時針方向旋轉時針方向旋轉.你認為將一條射線繞其端點按你認為將一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉逆時針方向旋轉600所形成的角，與按順時針所形成的角，與按順時針方向旋轉方向旋轉600所形成的角是否相等？所形成的角是否相等？思考思考4：為了區(qū)分形成角的兩種不同的旋轉方向，可：為了區(qū)

3、分形成角的兩種不同的旋轉方向，可以作怎樣的規(guī)定？如果一條射線沒有作任何旋轉，以作怎樣的規(guī)定？如果一條射線沒有作任何旋轉，它還形成一個角嗎？它還形成一個角嗎？規(guī)定：規(guī)定：u按逆時針方向旋轉形成的角叫做按逆時針方向旋轉形成的角叫做，u按順時針方向旋轉形成的角叫做按順時針方向旋轉形成的角叫做u如果一條射線沒有作任何旋轉，則稱它形成了一如果一條射線沒有作任何旋轉，則稱它形成了一個個. B B2 2A AB B1 1O O思考思考5：度量一個角的大小，既要考慮旋轉方向，又：度量一個角的大小，既要考慮旋轉方向，又要考慮旋轉量，通過上述規(guī)定，角的范圍就擴展到了要考慮旋轉量，通過上述規(guī)定，角的范圍就擴展到了任

4、意大小任意大小. 對于對于210，150，660，你能用圖，你能用圖形表示這些角嗎？你能總結一下作圖的要點嗎？形表示這些角嗎？你能總結一下作圖的要點嗎？ 畫圖表示一個大小一定的角畫圖表示一個大小一定的角:(1)先畫一條射線作為角的始邊，先畫一條射線作為角的始邊，(2)再由角的正負確定角的旋轉方向，再由角的正負確定角的旋轉方向，(3)再由角的絕對值大小確定角的旋轉量，再由角的絕對值大小確定角的旋轉量，(4)畫出角的終邊，并用帶箭頭的螺旋線加以標注畫出角的終邊，并用帶箭頭的螺旋線加以標注. 120，450.問題問題2：如果你的手表慢了：如果你的手表慢了20分鐘，或快了分鐘，或快了1.25小時，小時

5、，你應該將分鐘分別旋轉多少度才能將時間校準？你應該將分鐘分別旋轉多少度才能將時間校準？ 問題1： 鐘表經過4小時，時針與分針各轉 (填度). 120120，-1440-1440. .思考思考1：為了進一步研究角的需要，我們常在直角坐：為了進一步研究角的需要，我們常在直角坐標系內討論角，并使角的頂點與原點重合標系內討論角，并使角的頂點與原點重合,角的始邊角的始邊與與x軸的非負半軸重合，那么對一個任意角，角的終軸的非負半軸重合，那么對一個任意角，角的終邊可能落在哪些位置？邊可能落在哪些位置？思考思考2：如果角的終邊在第幾象限，我們就說這個角：如果角的終邊在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角；如

6、果角的終邊在坐標軸上，就認為是第幾象限的角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于如何象限，或稱這個角為這個角不屬于如何象限，或稱這個角為.那么那么下列各角：下列各角：-50，405，210, -200，450分別是第幾象限的角？分別是第幾象限的角？ 50 xyoxyo210450 xyo405xyo200 xyo問題問題2 2：第二象限的角一定比第一象限的角大嗎？第二象限的角一定比第一象限的角大嗎？ 象限角只能反映角的終邊所在象限象限角只能反映角的終邊所在象限(位位置置)，不能反映角的大小，不能反映角的大小. 問題問題1：銳角是第幾象限的角？第一象限的角銳角是第幾象限的角？第一象限的角是

7、否都是銳角？小于是否都是銳角？小于90的角是銳角嗎？的角是銳角嗎？ 思考思考3 3：在直角坐標系中，在直角坐標系中，135135角的終角的終邊在什么位置？終邊在該位置的角一定邊在什么位置？終邊在該位置的角一定是是135135嗎？嗎？xyo思考思考4：給定一個角，就有唯一的一條終邊與之對應；：給定一個角，就有唯一的一條終邊與之對應；反之，對于直角坐標系內任意一條射線，以它為終反之，對于直角坐標系內任意一條射線，以它為終邊的角是否唯一？邊的角是否唯一？若不唯一，那么終邊相同的角有什么關系？若不唯一，那么終邊相同的角有什么關系？探究三：探究三：終邊相同的角終邊相同的角 思考思考1 1：3232，32

8、8328，392392是第幾是第幾象限的角？這些角有什么內在聯系？象限的角？這些角有什么內在聯系？32392xyo o3280003603232800036032392與與32角終邊相同的角有多少個？角終邊相同的角有多少個？這些角與這些角與32角在數量上相差多少？角在數量上相差多少？ Zkk,3603200思考思考3 3：所有與所有與3232角終邊相同的角，角終邊相同的角，連同連同3232角在內，可構成一個集合角在內，可構成一個集合S S，你能用描述法表示集合你能用描述法表示集合S S嗎？嗎？ S=|S=|=k k360360，kZkZ ，即任，即任一與一與終邊相同的角，都可以表示成角終邊相同

9、的角，都可以表示成角與整數個周角的和與整數個周角的和. .思考思考4 4：一般地，所有與角一般地，所有與角終邊相同的終邊相同的角，連同角角，連同角在內所構成的集合在內所構成的集合S S可以怎可以怎樣表示？樣表示？ Zkk,3603200所有與角所有與角終邊相同的角，連同角終邊相同的角，連同角在內，可構成在內，可構成一個集合：一個集合：終邊相同的角不一定相等，但相等的角，終邊一終邊相同的角不一定相等，但相等的角，終邊一定相同；定相同；終邊相同的有無數多個，它們相差終邊相同的有無數多個，它們相差360的整數的整數倍。倍。ZkkS,360|ZkkS,2| 129 1294848，第二象限角，第二象限

10、角. . 300 300，-60-60. .例題分析例例1在在0360范圍內，找出與范圍內，找出與95012角終邊相同的角，角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角并判定它是第幾象限角. 例例2求與求與3900終邊相同的最小正角和最大負角終邊相同的最小正角和最大負角.x軸正半軸： |= k360，kZ ； x軸負半軸： | = 180k360，kZ ；y軸正半軸： | = 90k360，kZ ； y軸負半軸： | = 270k360，kZ .思考思考5：終邊在：終邊在x軸正半軸、負半軸，軸正半軸、負半軸，y軸正半軸、軸正半軸、負半軸上的角分別如何表示？負半軸上的角分別如何表示？xyoxyo,360

11、zkk,36090zkk終邊在軸線上的角的集合終邊在軸線上的角的集合 xyoxyoZkk,36018000Zkk,36027000Zkk,36018000Zkk,3609000終邊在x軸上：S=|=k180，kZ；終邊在y軸上：S=|=90k180，kZ. 思考思考6：終邊在：終邊在x軸、軸、y軸上的角的集合分別如何軸上的角的集合分別如何表示？表示？ 寫出終邊在寫出終邊在Y軸上的角的集合軸上的角的集合 分析分析:首先寫出在首先寫出在Y軸的正半軸上的角的集合軸的正半軸上的角的集合,然后寫出在然后寫出在Y軸的負半軸上的角的集合軸的負半軸上的角的集合解答解答:終邊在終邊在Y軸的正半軸上的角的集合為軸

12、的正半軸上的角的集合為終邊在終邊在Y軸的負半軸上的角的集合為軸的負半軸上的角的集合為001|90360 ,SkkZ 002|270360 ,SkkZ xyoxyo所以所以,終邊在終邊在Y軸上的角的集合為軸上的角的集合為12SSS00|902180 ,kkZ 000|901802 180 ,kk Z 00|902180 ,kkZ 00|90(21)180 ,kk Z 00|90180,nnZ xyo寫出終邊在寫出終邊在X軸上的角的集合軸上的角的集合寫出終邊在坐標軸上的角的集合寫出終邊在坐標軸上的角的集合Zkk,1800 xyoxyo ZkkZkk,18090,180000Zkk,900第一象限：

13、S= | k360 90k360,kZ；第二象限：S= | 90k360180k360,kZ；第三象限：S= | 180k360270k360,kZ；第四象限：S= | 90k360k360,kZ.思考思考8：第一、二、三、四象限的角的集合分別如何：第一、二、三、四象限的角的集合分別如何表示？表示？ 思考思考8 8：第一、二、三、四象限的角的集第一、二、三、四象限的角的集合分別如何表示？合分別如何表示？ 第一象限：第一象限：S=|kS=|k3603600 090900 0k k3603600 0,kZ,kZ；第二象限：第二象限：S=|90S=|900 0k k3603600 01801800

14、0+k+k3603600 0,kZ,kZ；第三象限：第三象限：S=|180S=|1800 0k k3603600 02702700 0+k+k3603600 0,kZ,kZ；第四象限：第四象限：S=|S=|90900 0k k3603600 0kk3603600 0，kZkZ.00|225360 ,SkkZ 00|45360 ,kkZ 00|45180 ,kkZ 解:終邊在終邊在射線 y = x 上的角的集合是終邊在終邊在射線 y = -x 上的角的集合是所以終邊在Y=x上的角的集合是ZkkB,36022500ZkkA,3604500例例3:寫出終邊在直線寫出終邊在直線 上的角的集合上的角的集

15、合S,并把并把S中適中適合不等式合不等式 的元素的元素 寫出來寫出來yx00360720中適合的元素中適合的元素452x180= - 315 451x180= - 135 45+0 x180= 45 45+1x180= 225 45+2x180= 405 45+3x180= 58500360720 S=|S=|=45=45k k180180，kZkZ.(確定整數k) 寫出終邊落在陰影部分寫出終邊落在陰影部分(含邊界含邊界)的角的集合的角的集合拓展提高拓展提高110110， 230230， 350350. .32、已知角、已知角的終邊與的終邊與30角的終邊關于角的終邊關于x軸對稱軸對稱試在試在0

16、360范圍內，找出與范圍內，找出與 終邊相同的角終邊相同的角. 如果如果是第二象限的角，那么是第二象限的角，那么22、/2/2分別是第幾象限的角？分別是第幾象限的角？9090k k360360180180k k360360180180k k720720 23602360k k7207204545k k180180/290/290k k180180rr角的度量角的度量初中初中高中高中角度制角度制弧度制弧度制規(guī)定規(guī)定:把周角的把周角的1/360作為作為1度的角；用度做度的角；用度做單位來度量角的制度叫做角度制單位來度量角的制度叫做角度制 弧度制弧度制1、度量角的方法度分秒制把圓周角分為360等份1

17、度的角60等份1分的角60等份1秒的角./0024446 .35計算：計算：/0/024443635080規(guī)定規(guī)定:長度等于半徑的弧所對的圓心角叫做長度等于半徑的弧所對的圓心角叫做1弧度弧度的角；用弧度來度量角的單位制叫做的角；用弧度來度量角的單位制叫做弧度制弧度制l是以角是以角為圓心角所對弧長，為圓心角所對弧長，r是半徑是半徑在弧度制下，在弧度制下，1弧度記做弧度記做1rad. 在實際運算中，常常將在實際運算中，常常將rad單位省略單位省略rad1OABrrrad2OACrrl2Rl|lR正負正負正角正角零角零角負角負角正實數正實數負實數負實數0 0任意角的集合任意角的集合R R實數集實數集

18、p正角的弧度數是一個正數，正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是角的弧度數是0p意義：角的概念推廣之后，意義：角的概念推廣之后，弧度制能在角的集合與實數的弧度制能在角的集合與實數的集合之間建立一種一一對應的集合之間建立一種一一對應的關系關系把化成弧度把化成弧度0367例121670367解解：rad832167rad1800367角度制與弧度制互化時要抓住弧度這個關鍵180把化成度把化成度例2rad5318053rad53解：角度030456090120135150180弧度角度210225240270300315330360弧度0634232

19、436523267452334354723611思考思考1：特殊角的角度與弧度：特殊角的角度與弧度角度制角度制弧度制弧度制終邊在終邊在x軸非負半軸軸非負半軸終邊在終邊在x軸非正半軸軸非正半軸終邊在終邊在x軸軸終邊在終邊在y軸非負半軸軸非負半軸終邊在終邊在y軸非正半軸軸非正半軸終邊在終邊在y軸軸終邊在坐標軸終邊在坐標軸Zkk,2|Zkk,2|Zkk,|Zkk,22|Zkk,232|Zkk,2|Zkk,2|Zkk,360|Zkk,180|Zkk,180360|Zkk,90360|Zkk,270360|Zkk,90180|Zkk,90|思考思考2：Zkkk,36090360|第一第一象限象限Zkkk

20、,222|第二第二象限象限Zkkk,36018036090|Zkkk,222|第三第三象限象限Zkkk,360270360180|Zkkk,2232|第四第四象限象限Zkkk,360360360270|Zkkk,22223|思考思考3：寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并把寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并把在在-720720之間的角找出來。之間的角找出來。1050. 1192005. 2529. 3 320. 4探究探究3：問題問題1（1）；（2）；（3）把下列各角化成 的形式：kk，202316315711問題問題2：)() 12(2|. 4kxxA已知66|xxB BA:則則如如圖圖解解:066 2 2, 2 , 1, 3, 2時時或或當當時時當當 已已超超出出.)6 , 6(的的范范圍圍 xxx0,6|或問題問題5：用弧度制表示終邊在下列：用弧度制表示終邊在下列陰影部分的角：陰影部分的角：1、逆時針轉動2、注意虛線與實線的區(qū)別3、注