機械工程測試技術 第1章信號及其描述

1、第一節(jié)第一節(jié) 信號的分類與描述信號的分類與描述一一概述概述二二信號的分類信號的分類三三信號的時域和頻域描述信號的時域和頻域描述交通信號燈信息信號信息的載體是光信號紅燈亮黃燈亮綠燈亮停止通行注意一、概述一、概述信號的定義：信號的定義：物理角度，物理角度，數(shù)學角度，數(shù)學角度，工程角度。工程角度。信號就是承載某種或某些信息的物理量的變化歷程。信號就是承載某種或某些信息的物理量的變化歷程。信號就是函數(shù)，就是某一變量隨時間或頻率或其他變信號就是函數(shù)，就是某一變量隨時間或頻率或其他變量而變化的函數(shù)。量而變化的函數(shù)。信號表現(xiàn)為一組數(shù)據(jù)或波形，這組數(shù)據(jù)通常是由某一信號表現(xiàn)為一組數(shù)據(jù)或波形，這組數(shù)據(jù)通常是由某一

2、檢測儀器，如傳感器，從某一物理系統(tǒng)上檢測得到的，檢測儀器，如傳感器，從某一物理系統(tǒng)上檢測得到的，以數(shù)據(jù)的形式記錄在紙上，或存儲在某種磁性介質上，以數(shù)據(jù)的形式記錄在紙上，或存儲在某種磁性介質上，或以波形形式顯示在儀器的顯示屏上?；蛞圆ㄐ涡问斤@示在儀器的顯示屏上。簡諧振動信號測試系統(tǒng)結構框圖簡諧振動信號測試系統(tǒng)結構框圖n如心電圖，就是利用儀器從人體上獲得的心臟跳如心電圖，就是利用儀器從人體上獲得的心臟跳動的數(shù)據(jù)，通常顯示在儀器上供醫(yī)生診斷之用，動的數(shù)據(jù)，通常顯示在儀器上供醫(yī)生診斷之用，或記錄在紙上作為病人病例記錄?；蛴涗浽诩埳献鳛椴∪瞬±涗洝Ｉ镝t(yī)學信號處理應用生物醫(yī)學信號處理應用濾波以前干擾嚴

3、重濾波以前干擾嚴重濾波以后干擾去除濾波以后干擾去除n 再比如飛機上的黑匣子，就是將各種傳感器采集再比如飛機上的黑匣子，就是將各種傳感器采集下來的有關飛機飛行狀態(tài)、發(fā)動機工作狀態(tài)等數(shù)下來的有關飛機飛行狀態(tài)、發(fā)動機工作狀態(tài)等數(shù)據(jù)記錄下來，以備將來分析事故之用。據(jù)記錄下來，以備將來分析事故之用。 信號的分類主要是依據(jù)信號波形特征來劃分信號的分類主要是依據(jù)信號波形特征來劃分的，在介紹信號分類前，先建立信號波形的概念。的，在介紹信號分類前，先建立信號波形的概念。 信號波形：信號波形：被測信號的幅度隨時間的變化的歷被測信號的幅度隨時間的變化的歷程稱為信號波形。程稱為信號波形。信號波形信號波形電容傳聲器電容

4、傳聲器齒輪嚙合振動齒輪嚙合振動二、信號的分類二、信號的分類 常見標準信號波形常見標準信號波形0 信號波形圖：信號波形圖：用被測物理量的強度作為縱坐標，用被測物理量的強度作為縱坐標，用時間做橫坐標，記錄被測物理量隨時間的變化情用時間做橫坐標，記錄被測物理量隨時間的變化情況。況。 為深入了解信號的物理實質，將其進行分類研究為深入了解信號的物理實質，將其進行分類研究是非常必要的，從不同角度觀察信號，可分為：是非常必要的，從不同角度觀察信號，可分為：n從信號描述上：從信號描述上：確定性信號與非確定性信號；確定性信號與非確定性信號；n從信號幅值和能量：從信號幅值和能量：能量信號與功率信號；能量信號與功率

5、信號；n從分析域：從分析域：時域與頻域；時域與頻域；n從連續(xù)性：從連續(xù)性：連續(xù)時間信號與離散時間信號；連續(xù)時間信號與離散時間信號；n從可實現(xiàn)性：從可實現(xiàn)性：物理可實現(xiàn)信號與物理不可物理可實現(xiàn)信號與物理不可實現(xiàn)信號。實現(xiàn)信號。1 、確定性信號與非確定性信號、確定性信號與非確定性信號 可以用明確數(shù)學關系式描述的信號稱為可以用明確數(shù)學關系式描述的信號稱為確定性信號確定性信號。 不能用數(shù)學關系式描述的信號稱為不能用數(shù)學關系式描述的信號稱為非確定性信號非確定性信號。信號非確定性信號確定性信號非平穩(wěn)隨機信號平穩(wěn)隨機信號非周期信號周期信號簡單周期信號一般周期信號準周期信號瞬態(tài)信號a) 周期信號：按一定時間間

6、隔周而復始出現(xiàn)的信號 x ( t ) = x ( t + nT )簡單周期信號一般周期信號 00sintmkXtx諧波信號諧波信號頻率單一的正弦或余弦信號。頻率單一的正弦或余弦信號。簡單周期信號：簡單周期信號：信號的信號的“波形波形”+=x1(t)=A1Sin(1t+1) =A1Sin(21t+1) =10Sin(23t+/6) x2(t)=A2Sin(2t+2) =A2Sin(2 2t+2) =5Sin(22t+/3) x3(t)=10Sin(23t+/6) +5Sin(22t+/3) +=由多個乃至無窮多個頻率成分疊加而成，疊加后存在公共周期的信號一般周期信號:00.511.522.53-

7、10-50510(a)mm00.511.522.53-505(b)mm00.511.522.53-10010(c)mmt t t 00.511.522.53-10-50510mm00.511.522.53-505(b)mmt t 00.511.522.53-10-50510(a)mmtb) 非周期信號：再不會重復出現(xiàn)的信號。 準周期信號:由多個周期信號合成，其中至少有一對頻率比不是有理數(shù)。)3sin()2sin()(2211tAtAtx瞬態(tài)信號:在有限時間段內存在，或隨著時間的增加而幅值衰減至零的信號。 00sintmkxetxt0(a)錘擊物體的力信號錘擊物體的力信號(b)T段為汽車加速過程

8、信號段為汽車加速過程信號(c)半個正弦信號半個正弦信號(d)矩形窗信號矩形窗信號c)非確定性信號：不能用數(shù)學式描述，其幅值、相位變化不可預知，所描述物理現(xiàn)象是一種隨機過程。 平穩(wěn)與非平穩(wěn)噪聲信號(平穩(wěn))噪聲信號(非平穩(wěn))統(tǒng)計特性變異)()()()(均離散信號的幅值和獨立變量數(shù)字信號獨立變量離散一般離散信號離散信號獨立變量連續(xù)一般連續(xù)信號均連續(xù)信號的幅值與獨立變量模擬信號連續(xù)信號信號2.連續(xù)信號與離散信號時間時間幅值幅值連續(xù)連續(xù)離散離散被采樣信號被采樣信號模擬信號模擬信號連續(xù)連續(xù)離散離散量化信號量化信號數(shù)字信號數(shù)字信號(a)汽車速度連續(xù)信號汽車速度連續(xù)信號 (b)開水房鍋爐水溫度的變開水房鍋爐水

9、溫度的變化連續(xù)信號化連續(xù)信號 (c)每日股市的指數(shù)變化 （離散信號） (d)某地每日的平均氣溫變化（離散信號）(e)每隔5分鐘測定開水房鍋爐水的溫度變化（離散信號） (f)每隔2微妙對正弦信號采樣獲得的離散信號 3.能量信號與功率信號 a)能量信號 當信號x(t)在所分析的區(qū)間（-，），能量為有限值的信號稱為能量信號，滿足條件： 一般持續(xù)時間有限的瞬態(tài)信號是能量信號。dttx)(2b)功率信號功率信號 當信號當信號x(t)在所分析的區(qū)間（在所分析的區(qū)間（-，），能量），能量。此時，在有限區(qū)間。此時，在有限區(qū)間(t1,t2)內的平均功率是有限的。內的平均功率是有限的。一般一般持續(xù)時間無限持續(xù)時間

10、無限的信號都屬于功率信號。的信號都屬于功率信號。噪聲信號噪聲信號一般周期信號一般周期信號dttx)(221)(1212ttdttxtt)3102sin(10)2sin()sin()(0000tftAtAtxl信號的時域描述：以時間為獨立變量，其強調信號的幅值隨時間變化的特征。l信號的頻域描述：以角頻率或頻率為獨立變量，其強調信號的幅值和相位隨頻率變化的特征。三、信號的時域和頻域描述信號的信號的“域域”時域頻域0220)()()(000tTATtAtxnTtxtx時域描述：時域描述：直接觀測或記錄到的信號，以時直接觀測或記錄到的信號，以時間為獨立變量的，稱其為信號的時域描述。間為獨立變量的，稱其

11、為信號的時域描述。 頻域描述：頻域描述：以頻率作為變量的，稱其為信號的頻域以頻率作為變量的，稱其為信號的頻域描述。描述。周期信號的頻域描述周期信號的頻域描述第二節(jié)第二節(jié) 周期信號與離散頻譜周期信號與離散頻譜一一傅立葉級數(shù)三角函數(shù)展開傅立葉級數(shù)三角函數(shù)展開二二傅立葉級數(shù)復指數(shù)函數(shù)展開傅立葉級數(shù)復指數(shù)函數(shù)展開時域分析時域分析反映信號的幅值隨時間的變化情況，反映信號的幅值隨時間的變化情況，頻域分析頻域分析反映信號的頻率組成和各頻率分量大小反映信號的頻率組成和各頻率分量大小。 圖例：受噪聲干擾的多頻率成分信號圖例：受噪聲干擾的多頻率成分信號 信號頻域分析是采用傅立葉變換將時域信號x(t)變換為頻域信號

12、X(f)，從另一個角度來了解信號的特征。 8563ASPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz傅里葉傅里葉變換變換一一. 周期信號的頻譜分析周期信號的頻譜分析傅立葉級數(shù)三角展開傅立葉級數(shù)三角展開時間幅值頻率時域分析頻域分析 信號的頻譜信號的頻譜X(f)代表了信號在不代表了信號在不同頻率分量處信同頻率分量處信號成分的大小，號成分的大小，它能夠提供比時它能夠提供比時域信號波形更直域信號波形更直觀，豐富的信息。觀，豐富的信息。 u時域分析與頻域分析的關系時域分析與頻域分析的關系譜線 在有限區(qū)間上，一個周期信號x（t）當滿足狄里赫利條件時可展開正交函數(shù)線性組合的無窮正交函數(shù)線

13、性組合的無窮級數(shù)，如三角函數(shù)集的傅里葉級數(shù)。級數(shù)，如三角函數(shù)集的傅里葉級數(shù)。式中，T周期，周期，0基波圓頻率，基波圓頻率， 。v注意： an是n或n0的偶函數(shù)，a-n=an；v bn是n或n0的奇函數(shù)，b-n=-bn 。 0001( )(cossin)nnnx taantbnt2/2/0cos)(2TTntdtntxTa2/2/0sin)(2TTntdtntxTb/ 20/ 21( )TTax t d tT02/T 狄里赫利條件狄里赫利條件:（1）函數(shù)在一周期內極大值與極小值為有限個。）函數(shù)在一周期內極大值與極小值為有限個。（2）函數(shù)在一周期內間斷點為有限個。）函數(shù)在一周期內間斷點為有限個。（

14、3）在一周期內函數(shù)絕對值積分為有限值）在一周期內函數(shù)絕對值積分為有限值 。 dttfT0)(即即信號x（t）的另一種形式的傅里葉級數(shù)表達式： 式中， An稱信號頻率成分的幅值，n稱初相角。v注意：An是n或n0的偶函數(shù)，A-n=An；v bn是n或n0的奇函數(shù)，-n=-n 。v 并可知 ：001( )cos()nnnx taAnt)(22nnnnnnabarctgbaA n1,2, nnnnnnAbAasincosn1,2,小結與討論1.式中第一項a0為周期信號中的常值或直流分量；2.從第二項依次向下分別稱信號的基波或一次諧波、二次諧波、三次諧波、n次諧波 ；3.將信號的角頻率0作為橫坐標，可

15、分別畫出信號幅值An和相角n隨頻率0變化的圖形，分別稱之為信號的幅頻譜和相頻譜圖。 例1 求圖所示的周期方波信號x（t）的傅里葉級數(shù)及其頻譜。解：信號x（t）在它的一個周期中的表達式為： 有：;sin)(;cos)(;)(2/2/022/2/022/2/10000000000TTTnTTTnTTTtdtntxbtdtntxadttxa圖周期方波信號 20, 102, 1)(TttTtx2/2/00cos)(2TTntdtntxTa注意：本例中x(t)為一奇函數(shù)，而cosn0t為偶函數(shù)，兩者的積x(t)cosn0t也為奇函數(shù)，而一個奇函數(shù)在上、下限對稱區(qū)間上的積分值等于零。 可得周期方波信號的傅

16、里葉級數(shù)表達式為： ;sin)(;cos)(;)(2/2/022/2/022/2/10000000000TTTnTTTnTTTtdtntxbtdtntxadttxa6 , 4 , 2, 0, 5 , 3 , 1,4cos12)cos(1cos12sinsin) 1(2sin)(22/00002/002/0002/02/2/0nnnnntnntnnTtdtntdtnTtdtntxTbTTTTTTn)5sin513sin31(sin4)(000ttttx周期方波信號的頻譜圖周期函數(shù)的奇偶特性周期函數(shù)的奇偶特性若周期函數(shù)若周期函數(shù)x(t)為奇函數(shù)，即為奇函數(shù)，即x(t)=-x(-t) 0/24000

17、;0;( )sin;nTnTaabx tntdt/2200/2400( );( )cos;0TTTnTnax t dtax tntdtb1000sincos)(nnntnbtnaatx10sin)(nntnbtx100cos)(nntnaatx 若若周期函數(shù)周期函數(shù)x(t)偶函數(shù)，即偶函數(shù)，即x(t)=x(-t);sin)(;cos)(;)(2/2/022/2/022/2/10000000000TTTnTTTnTTTtdtntxbtdtntxadttxa周期信號頻譜特點周期信號頻譜特點 1、由于、由于 為整數(shù)，各頻率分量僅在為整數(shù)，各頻率分量僅在 的頻率處取值，因的頻率處取值，因而得到的是關于

18、幅值而得到的是關于幅值 和相角和相角 的離散譜線的離散譜線 2、諸分量頻率都是基波頻率的整數(shù)倍、諸分量頻率都是基波頻率的整數(shù)倍 3、各頻率分量的譜線高度表示該諧波的幅值和相位角，工程、各頻率分量的譜線高度表示該諧波的幅值和相位角，工程上常見的信號，其諧波幅值總的趨勢是隨諧波次數(shù)的增高而上常見的信號，其諧波幅值總的趨勢是隨諧波次數(shù)的增高而減小的。減小的。nnA0nn1000100)sin()()sincos()(nnnnnntnAatxtnbtnaatx周期信號的頻譜具有周期信號的頻譜具有離散性離散性、諧波諧波 性性和和收斂性收斂性三個特點。三個特點。v歐拉公式歐拉公式 則那么令二、傅里葉級數(shù)的

19、復指數(shù)函數(shù)展開式：二、傅里葉級數(shù)的復指數(shù)函數(shù)展開式：an是n的偶函數(shù)，a-n=an；bn是n的奇函數(shù)，b-n=-bn 。 000cossin(1)jntentjntj0001cos()2jntjntntee000sin()2jntjntjntee0001( )cossinnnnx taantbnt000001()()22jntjntjntjntnnnabaeejee000122jntjntnnnnnajbajbaee00Ca1()2nnnCajb1()2nnnCajb00011( )jntjntnnnnx tCC eC e000011jntjntjntnnnnnnC eC eC e即即)(21

20、nnnjbaC2/2/0000cos)(2TTntdtntxTa2/2/0000sin)(2TTntdtntxTb2/2/002/2/000000sin)(2cos)(2212TTTTnnntdtntxTjtdtntxTjbaC2/2/0000)(1TTtjnndtetxTC由所以即即2/2/00000sincos)(1TTdttnjtntxT0( )0, 1, 2,jntnnx tC en 一般情況下，一般情況下，Cn是復數(shù)是復數(shù)njnnInRneCjCCC| 22nInRnCCCnRnInCCarctgCn與與C-n共軛共軛*nnCCnn把周期函數(shù)把周期函數(shù)x(t)展開為傅立葉級數(shù)以后，作

21、關系圖展開為傅立葉級數(shù)以后，作關系圖 CnR0稱為實頻圖稱為實頻圖 CnI0稱為虛頻圖稱為虛頻圖 |Cn|0稱為稱為雙邊幅頻雙邊幅頻圖，圖，n=-+，n=-+， n0稱為稱為雙邊雙邊相頻圖相頻圖2/2/0000)(1TTtjnndtetxTC例例2:畫出正弦函數(shù)畫出正弦函數(shù)sin0t的頻譜圖。的頻譜圖。0nRC2jCn)(2sin000tjtjeejt, 2, 1, 0)(0neCtxtjnnntjtjtjnnnejejeCt0001)1(02121sin在 0處： 0nRC21nIC21nC2n0nRC21nIC21nC2n在 0處： 2jCn一般周期函數(shù)實頻譜總是偶對稱的，虛頻譜總是奇對稱

22、的。一般周期函數(shù)實頻譜總是偶對稱的，虛頻譜總是奇對稱的。 實頻圖虛頻圖雙邊幅頻圖雙邊相頻圖單邊幅頻圖一一傅里葉變換傅里葉變換二二傅里葉變換的主要性質傅里葉變換的主要性質三三幾種典型信號的頻譜幾種典型信號的頻譜第三節(jié)第三節(jié) 瞬變瞬變非周期非周期信號與連續(xù)頻譜信號與連續(xù)頻譜非非周周期期信信號號準周期信號準周期信號 信號中各簡諧成分信號中各簡諧成分 的的頻率比為無理數(shù)頻率比為無理數(shù) 具有具有離散頻譜離散頻譜瞬變信號瞬變信號 在一定時間區(qū)間內在一定時間區(qū)間內 存在或隨時間的增存在或隨時間的增 長長衰減至零衰減至零準周期信號準周期信號x(t)0tx(t)0t瞬變瞬變信號信號I0tx(t)瞬變瞬變信號信號

23、IItAtAtx31sin9sin)(ttxtsine)(一一.瞬變非周期信號頻譜的求取方法瞬變非周期信號頻譜的求取方法周期信號周期信號x(t)，在，在-T/2, T/2區(qū)間內區(qū)間內, 2, 1, 0)(0neCtxtjnnn式中，式中，當當T時，時， 積分區(qū)間由積分區(qū)間由-T/2,T/2變?yōu)樽優(yōu)?-,)； 0lim( )j tnTCTx t edt 0=2/T 0， 離散頻率離散頻率n0連續(xù)變量連續(xù)變量。 0/2/21( )TjntnTCx t edtT X()為單位頻寬上的諧波幅值，具有為單位頻寬上的諧波幅值，具有“密度密度”的的含義，故把含義，故把X()稱為瞬態(tài)信號的稱為瞬態(tài)信號的“頻譜

24、密度函數(shù)頻譜密度函數(shù)”，或簡稱或簡稱“頻譜函數(shù)頻譜函數(shù)”。 0( )limlimnnTfCXCTf一般為復數(shù)，用一般為復數(shù)，用X()表示表示為：為：X()稱為信號稱為信號x(t)的的傅立葉變換。傅立葉變換。 ( )( )j tXx t edtlim( )j tnTCTx t edtu傅立葉逆變換傅立葉逆變換當當T時，時，0=2/T0 ， 0=d離散頻率離散頻率n0連續(xù)變量連續(xù)變量 求和求和積分。則：積分。則：, 2, 1, 0)(0neCtxtjnnn0001( )limlim2jntjntnnTTnnx tTC eTC eT1( )( )2j tx tXedx(t)為為X()的的傅立葉傅立葉

25、逆變換逆變換（反變換）（反變換） ( )( )j tXx t edt0/2/21( )TjntnTCx t edtT周期信號周期信號瞬變非周期信號瞬變非周期信號u傅立葉變換對傅立葉變換對由于=2 ( )( )j tXx t edt1( )( )2j tx tXed( )( )FTIFTx tX2( )( )jftX fx t edt2( )( )jftx tX fedf()()()jfXfXfe22( )Re ( ) Im ( )Im ( )( )Re ( )X fX fX fX ffarctgX f- -f 連續(xù)連續(xù)幅值譜幅值譜-f 連續(xù)連續(xù)相位譜相位譜 fX f2211( )( )(2)2

26、( )22j tjftjftx tXedXfedfX fedf矩形窗函數(shù)矩形窗函數(shù)fTfTTeefjfTjfTjsin)(212( )( )jftX fx t edt0(2)( )1 (22)0(2)RtTw tTtTtT 矩形窗函數(shù)矩形窗函數(shù) 2( )( )jftRRWfw t edt222222211TTftjTTftjefjdte)(sinfTCT例例:矩形窗函數(shù)矩形窗函數(shù) 的頻譜的頻譜f( )Rw t( )Rw t矩形窗函數(shù)頻譜( )RW f例：單邊指數(shù)衰減函數(shù)的頻譜例：單邊指數(shù)衰減函數(shù)的頻譜2( )( )jftX fx t edtu周期和非周期信號幅值譜的區(qū)別周期和非周期信號幅值譜的

27、區(qū)別 |X ()|為連續(xù)頻譜，而為連續(xù)頻譜，而|Cn|為離散頻譜；為離散頻譜；|Cn|的量綱和信號幅值的量綱一致，即的量綱和信號幅值的量綱一致，即振幅，而振幅，而|X ()|的量綱相當于的量綱相當于|Cn|/，為單，為單位頻寬上的幅值，即位頻寬上的幅值，即“頻譜密度頻譜密度函數(shù)函數(shù)”，振幅振幅/頻率（如頻率（如cm/Hz）。）。 非周期信號幅值譜|X ()|與周期信號幅值譜|Cn|之間的區(qū)別： 二二.傅立葉變換的性質傅立葉變換的性質a.若若x(t)是實函數(shù)是實函數(shù)a1.若若x(t)為實偶函數(shù)，則為實偶函數(shù)，則ImX()=0，而，而X()是實偶函數(shù)；是實偶函數(shù)； a2.若若x(t)為實奇函數(shù)，則

28、為實奇函數(shù)，則ReX()=0，而，而X()是虛奇函數(shù)；是虛奇函數(shù)；b.若若x(t)是虛函數(shù)是虛函數(shù)b1.若若x(t)為虛偶函數(shù)，則為虛偶函數(shù)，則ReX()=0，而，而X()是虛偶函數(shù)；是虛偶函數(shù)；b2.若若x(t)為虛奇函數(shù)，則為虛奇函數(shù)，則ImX()=0，而，而X()是實奇函數(shù)。是實奇函數(shù)。2( )( )( )cos2( )sin2( )+( )jftemX fx t edtx tftdtjx tftdtR X fjIX f1.奇偶虛實性( )cos2( )( )sin2( )emx tftdtR X fjx tftdtjI X f( )cos2( )( )sin2( )mex tftdtj

29、I X fjx tftdtR X f21 122221 1221122( )( )( )( )( )( )jftjftjftc x tc x t edtc x t edtc x t edtc Xfc Xf如果有 則 11( )( )x tXf22( )( )x tXf1 1221122( )( )( )( )c x tc x tc Xfc Xf2.線性疊加性證明 例子：求下圖波形的頻譜例子：求下圖波形的頻譜+X1(f)X2(f)用線性疊加定理簡化用線性疊加定理簡化3.對稱性 若若:(時域信號時域信號) x(t) X() (頻域信號頻域信號)，則，則 X (t) x (-) ( )X f( )X

30、tTT2T2T1T1T1T1T2T2T對稱性對稱性：X(t) x(-f )證明：證明： 互換互換 t 和和 f從而：從而：X(t) x(-f)ffXtxftjde )()(2fefXtxftd)()(2jttXfxftjde )()(22( )( )jftX fx t edt4.時間尺度改變特性時間尺度改變特性 若若 ，則則對于實常數(shù) ，有 62()( )xtX f1()fx ktXkkk當時域尺度壓縮( 1)時，對應的頻域展寬且幅頻譜譜線高度減??；當時域尺度展寬( 1)，則信號的頻寬壓縮，則信號的頻寬壓縮k倍，而倍，而幅值變?yōu)樵底優(yōu)樵瓉淼膩淼膋倍倍。 sin()( )RfTWfTfTk=

31、1-10 -9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910-10123tmm(a)窗 函 數(shù) 頻 譜 圖 (T=3)-10 -9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910-0.500.51tmm(b)窗 函 數(shù) 頻 譜 圖 (T=1)-10 -9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910-10123tmm(a)窗 函 數(shù) 頻 譜 圖 (T=3)-10 -9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910-0.500.51tmm(b)窗 函 數(shù) 頻 譜 圖 (T=1)13k 時間尺度改變性時間尺度改變性 證明：證明：j2j2() ()()ed11(

32、)d()()ftfktkF x ktx kttfx kt ektXkkk2j2j1()( )ed11( )edfkfkF x ktxkfxXkkk（k 0）（k 1，變化速，變化速度加快）等效于在頻域擴展（頻帶加寬）；反之亦然。度加快）等效于在頻域擴展（頻帶加寬）；反之亦然。5.時移性若若 ，則在時域中信號沿時間軸平移一常值，則在時域中信號沿時間軸平移一常值t0（時時移移） ，則，則020()( )jftx tteX f對應如果信號在時域中如果信號在時域中延遲了時間延遲了時間t0，其頻譜幅值不會改變，而，其頻譜幅值不會改變，而相頻譜中各次諧波的相頻譜中各次諧波的相移相移-2t0，與，與頻率成正

33、比。頻率成正比。 ( )( )x tX f例 求圖所示矩形脈沖函數(shù)的頻譜。解：該函數(shù)可視為一個中心位于坐標原點的矩形脈沖時移至t0點位置所形成，則其傅里葉變換及幅頻譜和相頻譜分別為 02( )sin ()jftX fTcfT e00( )sin ()2,sin () 0( )2, sin () 0X fTcfTt fcfTft fcfT證明：證明： 若若 t0為常數(shù)為常數(shù) 則則 時移結果時移結果只改變信號的相頻譜，不改變信號的幅頻譜只改變信號的相頻譜，不改變信號的幅頻譜時移性質時移性質 02j0e )()(ftfXttx000j200j2 ()j200j2 ()()ed()eed()( )ef

34、tf t tftftF x ttx tttx ttttX f0j201 ()()eftafF x attXaatfjetxffX020)()( )()x tXf圖 x(t)cos0t的頻譜 6.頻移性若若 ，在頻域中信號沿頻率軸平移一，在頻域中信號沿頻率軸平移一常值常值0（頻移頻移），則），則證明：證明： 若若 f0為常數(shù)為常數(shù) 則則 頻移性質頻移性質 100101010j2010j2()11j2j211j2j211j2()()ed ()()ed()eede()ede( )ftfftf tf tf tf tf tFX ffX ffffffX ffX ffX ffx t令68tfjetxffX0

35、20)()(時域表達式時域表達式例例:求被截取的余弦信號的頻譜函數(shù)求被截取的余弦信號的頻譜函數(shù)000|0|cos)(TtTtttx697.卷積定理對于任意兩個對于任意兩個函數(shù)函數(shù)x1(t)和和x2(t)，定義它們的卷積為：定義它們的卷積為： dtxxtxtx)()()(*)(2121若若x1(t) X1()，x2(t) X2()， 則則1.兩個函數(shù)在兩個函數(shù)在時域中的卷積時域中的卷積，對應于，對應于頻域中的乘積頻域中的乘積2.兩個函數(shù)在兩個函數(shù)在時域中的乘積時域中的乘積，對應于，對應于頻域中的卷積頻域中的卷積 x1(t)* x2(t) X1()X2() x1(t) x2(t) X1()*X2(

36、)時域卷積特性證明時域卷積特性證明 對于對于x1(t)和和x2(t)，定義它們的卷積為：定義它們的卷積為： dtxxtxtx)()()(*)(2121若若x1(t) X1()，x2(t) X2()， 則則x1(t)* x2(t) X1()X2()()()()()()()()()()()(*)(212212)(22122122121fXfXdefXxddteetxxddtetxxdtedtxxtxtxFfjfjtfjftjftj 1X（f）頻域卷積特性證明頻域卷積特性證明 對于對于 和和 ，定義它們的卷積為：定義它們的卷積為： 1212( )*( )( )()XfXfXXfd若若x1(t) X1

37、()，x2(t) X2()， 則則x1(t) x2(t) X1()*X2() 1212122122 ()21222122112( )*( )( )()( )()( )()( )( )( )( )( )( )jftjftjftjtjtjtFXfXfXXfdedfXXfedf dXXfeedf dXx t edx tXedx t x t 721( )Xf2()Xfnnttxd)(d)(2 jfXfnffXtxftde )()(2jffXfttxftde )()2 j (d)(d2jd ( )(j2 )( )dx tFf X ftd( )(j2 )( )dnnnx tFfX ft8.8.微分特性：微

38、分特性：證明：證明：同理：同理：三、幾種典型信號的頻譜三、幾種典型信號的頻譜在在時間內激發(fā)時間內激發(fā)矩形矩形脈沖脈沖 （或（或三角三角脈沖、脈沖、雙邊指雙邊指數(shù)數(shù)脈沖，脈沖，鐘形鐘形脈沖）所包含的脈沖）所包含的面積為面積為1；1.單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù)(t)及其頻譜及其頻譜0lim( )( )tt0t)(tS單位面積10t0t211)(t)(tS1各種單位面積為1的脈沖 矩形脈沖到函數(shù)函數(shù) 當當0時，時， 的極限就稱為的極限就稱為單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù)，記作，記作(t)，即（單位脈沖函數(shù)）。即（單位脈沖函數(shù)）。 (1)(t)的定義的定義( ) t( ) t( ) t( ) t從極限角度從極

39、限角度: : (2)(t)的特性000)(ttt從面積角度從面積角度: : 1)(lim)(0dttSdtt0t0t211)(t)(tS1矩形脈沖到矩形脈沖到函數(shù)函數(shù) ( ) t(3)(t)乘積性乘積性0( ) ( )(0) ( )( ) ()x ttxtx ttt000)(ttt00() ()xttt0( )lim( )1t dtt dt)0()()0()()0()()(xdttxdttxdtttx(4)(t)的篩選性的篩選性)(txt0t)(t0-1+1)(txt0-1+1)(txt0t)(t0-1+1)(txt0-1+1t0t0000000( )()( )()()()()x tt t d

40、tx tt t dtx tt t dtx t)(txt0t)(t0-1+1)(txt0-1+1)(txt0t)(t0-1+1)(txt0-1+1t0t00( )lim( )1t dtt dtv令令t-=t，則，則=t- t，d=-d t，代入則，代入則)()0(dtttx)()()()(*)(txdtxttx)()()()()()()(*)(dttttxdttttxdtxttx結果：結果：x(t)與與(t)的卷積等于的卷積等于x(t)。 函數(shù)的卷積特性函數(shù)的卷積特性 (5)(t)與其它信號的卷積與其它信號的卷積 )()()()(*)(000ttxdttxtttx 結果：結果：(tt0)時卷積，

41、就是將函數(shù)時卷積，就是將函數(shù)x(t)在發(fā)生脈在發(fā)生脈沖函數(shù)的坐標位置上重新作圖沖函數(shù)的坐標位置上重新作圖 當脈沖函數(shù)為(tt0)時，與函數(shù)x(t)的卷積 函數(shù)的卷積特性函數(shù)的卷積特性2 (6)(t)的頻譜的頻譜2( )( )jftft edt逆變換：逆變換： dfetftj21)(t) 1 據(jù)對稱性：據(jù)對稱性：1() 0t)(t0)( f1函數(shù)的頻譜函數(shù)的頻譜 10 e直流分量的頻譜直流分量的頻譜 (t) 1 1() 根據(jù)時移特性根據(jù)時移特性 ：020)()(ftjefXttx對應tfjetxffX020)()(020()jfttte020()jf teff根據(jù)頻移特性根據(jù)頻移特性 ：2.周期函數(shù)的頻譜 周期函數(shù)x(t) 的傅里葉級數(shù)形式：式中x(t)的傅立葉變換為：v一個周期函數(shù)的傅里葉變換由無窮多個位于各諧一個周期函