數字圖像處理第三版中文答案解析岡薩雷斯[共17頁]

1、第二章2.1（第二版是0.2和1.5*1.5的矩形,第三版是0.3和1.5圓形） 對應點的視網膜圖像的直徑x可通過如下圖題2.1所示的相似三角形幾何關系得到,即解得x=0.06d。根據2.1 節(jié)內容,我們知道：如果把中央凹處想象為一個有337000 個成像單元的圓形傳感器陣列,它轉換成一個大小成像單元的陣列。假設成像單元之間的間距相等,這表明在總長為1.5 mm（直徑） 的一條線上有655個成像單元和654個成像單元間隔。則每個成像單元和成像單元間隔的大小為s=(1.5 mm)/1309=1.110-6 m。如果在中央凹處的成像點的大小是小于一個可分辨的成像單元,在我們可以認為改點對于眼睛來說

2、不可見。換句話說, 眼睛不能檢測到以下直徑的點：,即2.2 當我們在白天進入一家黑暗劇場時,在能看清并找到空座時要用一段時間適應。2.1節(jié)描述的視覺過程在這種情況下起什么作用？亮度適應。2.3 雖然圖2.10中未顯示,但交流電的卻是電磁波譜的一部分。美國的商用交流電頻率是77HZ。問這一波譜分量的波長是多少？光速c=300000km/s ,頻率為77Hz。 因此=c/v=2.998 * 108(m/s)/77(1/s) = 3.894*106m = 3894 Km. 2.5 根據圖2.3得：設攝像機能看到物體的長度為x (mm),則有:500/x=35/14; 解得：x=200,所以相機的分辨

3、率為：2048/200=10;所以能解析的線對為：10/2=5線對/mm.2.7 假設中心在（x0,y0）的平坦區(qū)域被一個強度分布為： 的光源照射。為簡單起見,假設區(qū)域的反射是恒定的,并等于1.0,令K=255。如果圖像用k比特的強度分辨率進行數字化,并且眼睛可檢測相鄰像素間8種灰度的突變,那么k取什么值將導致可見的偽輪廓？解：題中的圖像是由：一個截面圖像見圖（a）。如果圖像使用k比特的強度分辨率,然后我們有情況見圖（b）,其中。因為眼睛可檢測4種灰度突變,因此,K= 6。也就是說,小于64的話,會出現可見的偽輪廓。2.9 (a) 傳輸數據包(包括起始比特和終止比特)為：N=n+m=10bit

4、s。對于一幅20482048 大小的圖像,其總的數據量為,故以56K 波特的速率傳輸所需時間為：(b) 以3000K 波特的速率傳輸所需時間為2.10解：圖像寬高比為16:9,且水平電視線的條數是1080條,則：豎直電視線為1080（16/9）=1920 像素/線。由題意可知每場用1s 的1/60,則：每幀用時21/60=1/30 秒。則該系統(tǒng)每1/30 秒的時間形成一幅19201080 分辨率的紅、綠、藍每個像素都有8 比特的圖像。又因為90min 為5400 秒,故儲存90min 的電視節(jié)目所需的空間是：2.11 解：p和q如圖所示： (a) 和不是4 鄰接,因為q 不在集中。 (b) 和

5、是8 連接,因為q 在集。 (c) 和是m 連接,因為q 在集合中,且沒有V 值的像素。2.12 提出將一個像素寬度的8通路轉換為4通路的一種算法。解：找出一個像素點的所有鄰接情況,將對角元素轉化成相應的四鄰接元素。如下圖所示：2.13 提出將一個像素寬度的m通路轉換為4通路的一種算法。解：把m 通道轉換成4 通道僅僅只需要將對角線通道轉換成4 通道,由于m 通道是8 通道與4 通道的混合通道,4 通道的轉換不變,將8 通道轉換成4 通道即可。如圖所示：(1) 4 鄰域關系不變(2) 8 領域關系變換如下圖所示2.15 （沒答案,自己做的,看對不對）(1) 在V0,1,2時,p和q之間通路的D

6、4距離為8（兩種情況均為8）,D8距離為4,Dm距離為6。(2) 在V2,3,4時,p和q之間通路的D4距離為,D8距離為4,Dm距離為5。p 和q 之間不存在4 鄰接路徑,因為不同時存在從p 到q 像素的4 毗鄰像素和具備V 的值,情況如圖(a)所示。p 不能到達q。2.16 解：(a) 點p(x,y）和點q(s,t)兩點之間最短4 通路如下圖所示,其中假設所有點沿路徑V。 路徑段長度分別為,由D4距離的定義可知,通路總長度| X-S|+| Y-T|,（這個距離是獨立于任何點之間可能存在的任何路徑）,顯然距離是等于這兩點間的最短4通路。所以當路徑的長度是,滿足這種情況。(b) 路徑可能未必惟

7、一的,取決于V 和沿途的點值。2.18 由公式H f(x,y)=g(x,y)(2.6-1),讓H表示相鄰的和操作,讓和表示兩個不同子圖像區(qū)的小值,并讓 + 表示相應的總數和像素,如在2.5.4節(jié)里的解釋. 注意到附近的大小(即像素數字)并沒有隨著這總和的改變而改變。H計算像素值是一個給定的區(qū)域。然后, 意味著:(1) 在每個子區(qū)域里乘像素,(2) 從到每個像素值相加(首先產生一個單獨的子區(qū)域) (3) 在單獨的子圖像區(qū)域里計算所有像素值的和。讓和表示兩個任意(但相應的)像素。然后我們可以依據Eq.(2.6 - 1),表明H是一個線性算子。2.19（兩個版本答案,一個意思）（1）中值表示,數集的

8、一半數值比它大,另一半比它小。一個簡單的例子能夠表明,Eq.(2.6 - 1)的平均算子操作。讓 S1 = 1,-2,3, S2 = 4,5, 6, a = b = 1. 在這種情況下,H是平均算子。然后有H(S1 + S2)=中值 5,3,9 = 5,S1 + S2是S1和S2的和。接下來,計算H(S1)=中值 1、-2、3 =1和H(S2)=中值 4、5、6 = 5。然后,從H(aS1 + bS2)aH(S1)+ bH(S2),因此,子圖像區(qū)域S中值的算子是非線性的。（2）2.20 因為 2.23 （沒答案 看看做的對不對）(a) 為A的補集(b) 2.24（看看翻的對不對）答：使用三角區(qū)

9、即三個約束點,所以我們可以解決以下的系數為6的線性方程組：實施空間變換。插值強度可使用2.4.4節(jié)的方法。2.25（看看翻的對不對）傅里葉變換核是可分的,因為：傅里葉變換核是對稱的,因為：2.26（看看翻的對不對）由可分離變換核的定義知其中：當x值固定時,可看作f(x,y)某一行的一維變換,當x從0變換到M-1時計算出整個數組T（x,v）,然后,通過替換這個數組的最后一行以前的方程我們可以得到T（x,v）按列的一維變換。也就是說,當一個圖像是內核可分的,我們可以計算圖像沿行的一維變換,然后我們計算中間的一列得到最終的二維變換T(u,v).這和先計算列的一維變換再計算中間行得到二維變換最終結果是

10、相同的。從式（2.6-33）,二維傅里葉變換是由：它很容易驗證,傅立葉變換核是可分離的（參見題2.25）,所以我們可以寫這個方程：是沿著f(x,y)行的一維傅里葉變換,X= 0,1,M-1。第三章（a）由,得：,（b）、由, 得：,（c）、3.4逐次查找像素值,如（x,y）=（0,0）點的f（x,y）值。若該灰度值的4比特的第0位是1,則該位置的灰度值全部置1,變?yōu)?5；否則全部置0,變?yōu)?。因此第7位平面0,7置0,7,15置1,第6位平面0,3,4,7置0,8,11,12,15置15。依次對圖像的全部像素進行操作得到第0位平面,若是第i位平面,則該位置的第i位值是0還是1,若是1,則全置1

11、,變?yōu)?5,若是0,則全置0設像素的總數為n,是輸入圖像的強度值,由,rk對應sk,所以,由 和得由此得知,第二次直方圖均衡化處理的結果與第一次直方圖均衡化處理的結果相同,這里我們假設忽略不計四舍五入的誤差。3.11,令得所以3.12 第k個點鄰域內的局部增強直方圖的值為：Pr(rk)=nk/n (k=0,1,2,K-1)。這里nk是灰度級為rk的像素個數,n是鄰域內像素的總個數,k是圖像中可能的灰度級總數。假設此鄰域從左以一個像素為步長向右移動。這樣最左面的列將被刪除的同時在后面又產生一個新的列。變化后的直方圖則變成： (k=0,1,2,K-1)這里nlk是灰度級rk在左面的列出現的次數,n

12、rk則為在右面出現的次數。上式也可以改寫成： (k=0,1,2,K-1)同樣的方法也適用于其他鄰域的移動：這里ak是灰度級rk在鄰域內在移動中被刪除的像素數,bk則是在移動中引入的像素數： (k=0,1,2,K-1)上式等號右邊的第一項為0（因為f中的元素均為常數）。變量是噪聲的簡單抽樣,它的方差是。因此 并且我們可以得到。上述過程證明了式的有效性。（A）中值是的最大值（B）一旦中值被找出,我們簡單的刪除鄰域邊緣的值,在合適的位置插入合適的值旋轉前坐標的拉普拉斯定義為,旋轉后坐標的拉普拉斯定義為,現在給出,其中指軸旋轉的角度,若想證明拉普拉斯變換是各向同性的,只需證明,首先,兩邊對求導得, （

13、1）同理可得,兩邊對求導得, （2）（1）和（2）式相加得,所以拉普拉斯變換是各向同性的。3.28 使用式（3.6-6）給出的拉普拉斯定義,證明從一幅圖像中減去相應的拉普拉斯圖像等同于對圖像進行非銳化模板處理。 （3.6.6）考慮到下列公式 其中是預先確定的臨域的平均數,更確切的說就是以為中心并且包括中心像素以及四個相鄰像素。把上面的等式的最后一行的常量視為均衡因子（或比例因子）,我們可以寫出等式的右端就是等式給出的非銳化掩膜處理的定義。因此驗證了從一幅圖像中間取相應的拉普拉斯圖像等同于對圖像做非銳化掩膜處理。3.29題 （3.6.11） （3.6.12）（a）由和或因此,我們看到的梯度向量的

14、模值是一種各向同性梯度算子（b）從上面的結果得,顯然得到 4.1重復例4.1,但是用函數和,對于其他所有的t值。對你的結果和例子中的結果之間的任何不同,解釋原因。解：傅立葉變換的幅值是不變的；由于周期不同,4.2證明式（4.4-2）中的在兩個方向上是無限周期的,周期為證明：(1) 要證明兩個方向上是無限周期,只需證明根據如下式子：可得：其中上式第三行,由于k, n是整數,且和的極限是關于原點對稱。(2) 同樣的需要證明根據如下式子：可得：其中第三行由于k, n都為整數,所以。4.3可以證明（Brancewell2000）。使用前一個性質和表4.3中的平移性質,證明連續(xù)函數的傅立葉變換是,其中是

15、一個實數。證明：根據一維傅里葉變換公式：可得：根據傅里葉變換性質可得：根據一個常數f(t)=1的傅里葉變換是一個脈沖響應可得：所以可得如下兩個等式：所以：4.4考慮連續(xù)函數(a) 的周期是多少？(b)的頻率是多少?(a) 根據,所以周期為(b) 頻率為,給定的正弦波的連續(xù)傅立葉變換如在圖。 P4.4（a）（見習題4.3）,采樣數據（示出了幾個期間）的變換所示的一般形式的如圖P4.4（b）（虛線框是一個理想的過濾器,將允許重建如果該正弦函數進行采樣,采樣定理滿意）。4.8解：(a) 根據正交性,將式(4.4-5)直接代入式(4.4-4)得最后一步是根據問題的陳述中給出的正交條件,將式(4.4-4

16、)代入式(4.6-5)應用同樣的過程生成的相似特性。(b) 如上小題,根據正交性,將式(4.4-7)直接代入式(4.4-6)得最后一步是根據問題的陳述中給出的正交條件,將式(4.4-6)代入式(4.6-7)應用同樣的過程生成的相似特性。4.9證明式(4.4-8) 和式(4.4-9) 的正確性。證明：(1) 證明等式 將代入4.4.6式 ：最后一步因為k和x都是整數,。(2) 同理可以對4.4.9式周期性的證明,將代入4.4.7式4.10 證明一個變量的離散卷積定理的正確性見式(4.2-21)、式(4.2-22) 和式(4.2-10) 。證明：證明卷積定理等價于證明 和 從式4.4.10和式4.

17、4.6離散傅里葉變換的定義,得到：同理可以證明 4.11 寫出二維連續(xù)卷積的表達式對4.2.20式進行卷積運算得到： 4.14 證明一維連續(xù)和離散傅里葉變換都是線性操作解：若連續(xù)傅里葉變換是線性的,只需證明：代入傅立葉變換定義其中第二步由于積分的分配率。同樣的,離散傅里葉變換：4.16 證明連續(xù)和離散傅里葉變換都是平移和旋轉不變的。證明：平移不變：根據二維離散傅立葉變換可得旋轉不變：根據二維離散傅立葉反變換4.19 證明離散函數的DFT是證明：根據歐拉公式其中最后一步由于,根據DFT平移性 。4.29 找出一個等價的濾波器,在他的頻率域實現使用圖3.37(a)中拉普拉斯模版執(zhí)行的空間操作。解：

18、濾波后的函數為又因為,其中將濾波器變換為頻率中心對稱當(變換后濾波器中心)時,。對于遠離中心的值,降低。重要的一點這是一個高通濾波器的特性,消除了直流分量,留下了高頻分量。4.33解：共軛復數只是從j變成了-j在逆變換中,所以右邊的圖像可以通過下述過程求出： 可以知道整個過程只是將上下左右顛倒,從而產生了右邊的圖像4.39解：(a) 以卷積的形式給出濾波表達式,來減少空間域的處理過程。然后濾波后的圖像由下式給出：其中h是空間濾波函數,f是輸入圖像。直方圖處理結果為：T表示直方圖均衡化。如果先進行直方圖均衡化,再與總體來說,T是由圖像像素的屬性決定的非線性的函數。因此,并且先后順序是有影響的。(

19、b) 正如在第4.9節(jié),高通濾波嚴重削弱了圖像的對比度。雖然高頻率的改進一些,但并不顯著（見圖4.59）。因此,如果對一個圖像先直方圖均衡化,均衡化中對對比度的改進會在濾波過程中嚴重損失。因此,該過程一般是先濾波再直方圖均衡化。4.41 證明：因為,我們可以寫出等式(4.11-16)和(4.11-17),分別為與用歸納法證明開始顯示兩個方程對于n = 1成立；與我們從4.11.3進行討論的部分中知道這些結果是正確的,然后我們假定方程對于n成立,那么可以得出方程對于n+1也成立。從等式(4.11-14)中,將m(n)從上式替換得到,因此,等式(4.11-16)對所有的n都成立。從等式(4.11-17)中,將a(n)從上式替換得到,則證明了等式成立。第五章5.12 給出與表4.6中帶阻濾波器對應的高斯和巴特沃斯帶通濾波器的公式。一個