小問題背后的大學(xué)問.doc

1、小問題背后的大學(xué)問浙江省寧波市江北實(shí)驗(yàn)中學(xué)胡杰 315020知識(shí)是什么，是思考的結(jié)果、經(jīng)驗(yàn)的結(jié)果。僅僅教結(jié)果的教育是不能教智慧的，智慧 往往表現(xiàn)在過程中。 有關(guān)過程的東西只有通過過程來教。過程的教育能夠培養(yǎng)我們的孩子正確的思考方法，最終培養(yǎng)孩子數(shù)學(xué)的直觀。因此我們要強(qiáng)調(diào)過程的教育，在過程中判斷他的思維是不是對(duì)的。教師啟發(fā)學(xué)生思考最好的辦法就是和學(xué)生一起思考。學(xué)習(xí)過程中總有一些不起眼的小問題，要得到它們的結(jié)果并不難，但仔細(xì)研究會(huì)發(fā)現(xiàn)它們背后有大學(xué)問，這些問題的研究過程的價(jià)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于它們的結(jié)果，下面就以浙教版九上的第三章圓中的幾個(gè)小問題為例談?wù)勎业母形?。一、浙教版九上第三章圓，3.1圓（1）常遇到

2、這個(gè)問題：一點(diǎn)與圓上各點(diǎn)的距離中，最小距離為4cm，最大距離為9cm，則該圓的直徑是（）A. 2.5cm 或 6.5cmB . 5cmC . 13cmD . 5cm 或 13cm教師在講解過程中比較注重分類討論，常提醒學(xué)生畫出如下兩幅圖：如圖，本題要研究的是點(diǎn)P與O O上各點(diǎn)的距離，連接 OP并延長(zhǎng)交O O于A、B,則AB為直徑，A與P相距最近，B與P相距最遠(yuǎn)，圖1中AB=4+9=13cm ;圖2中AB=9-4=5cm , 答案為D，問題得解。老師再?gòu)?qiáng)調(diào)一下分類討論的重要性，甚至?xí)鞔_一下：一種情況是加，一種情況是減。學(xué)生連連稱是，從此以后便記住了這道題，考試遇上此題能很快選出正確答 案，進(jìn)而

3、此題被認(rèn)為是“簡(jiǎn)單題”。這真的是一道簡(jiǎn)單題嗎？回顧整個(gè)過程，最重要的問題恰好被忽略了：“為什么A與P相距最近，B與P相距最遠(yuǎn)？ ”結(jié)論似乎很顯然，學(xué)生不會(huì)質(zhì)疑，老師也不重視，一道很好 的培養(yǎng)學(xué)生分析能力的問題就被浪費(fèi)掉了。靜下心來思考，至少有以下幾個(gè)問題：1、此題出現(xiàn)在3.1圓（1）這課，是針對(duì)本課的哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)在做考查？ 2、可以使用什么方法來尋找圓上與點(diǎn)P距離最近和最遠(yuǎn)的點(diǎn)？3、如何用理論說明所找的點(diǎn)確實(shí)為圓上與點(diǎn)P距離最近和最遠(yuǎn)的點(diǎn)？我們?cè)囍鴱倪@三個(gè)問題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生思考，看看有哪些收獲。1、知識(shí)點(diǎn)引導(dǎo)分類。師：此題出現(xiàn)在3.1圓（1）這課，是針對(duì)本課的那個(gè)知識(shí)點(diǎn)在做考查？ 生：這節(jié)課我們

4、認(rèn)識(shí)了圓，及相關(guān)的概念，還認(rèn)識(shí)了同一平面內(nèi)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，我 想這題與后面一個(gè)知識(shí)點(diǎn)有關(guān)。師：你對(duì)條件：“一點(diǎn)與圓上各點(diǎn)的距離中”有何認(rèn)識(shí)？生：我無法確定這點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，需要分類討論：點(diǎn)在圓內(nèi)、圓上和圓外。師：請(qǐng)你畫出各種情況的圖形，你認(rèn)為三種情況都存在嗎？生：當(dāng)點(diǎn)在圓上時(shí)，它與圓上的點(diǎn)的最小距離應(yīng)該是圖1圖20cm，不合題意，應(yīng)該只有如圖的兩種情況。2、實(shí)驗(yàn)法尋找答案。師：點(diǎn)與點(diǎn)的距離應(yīng)該用什么刻畫？生：用兩點(diǎn)間線段的長(zhǎng)度來刻畫。師：你有哪些方法來比較線段的長(zhǎng)度？生：測(cè)量法、疊合法。師：以尋找圓上與點(diǎn) P距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)為例，你打算如何尋找?生1:連接P與圓上一點(diǎn)，測(cè)量線段的長(zhǎng)度，多次操

5、作，選擇測(cè)量數(shù)據(jù)最大的。生2:用圓規(guī)分別卡出P與圓上某點(diǎn)的距離， 再卡出 P與另一點(diǎn)的距離，選擇距離大的，重復(fù)多次，找到距 離最大的。使用上述方法分別在圖 1和圖2中確定A、B分別是圓上與點(diǎn) P相距最遠(yuǎn)和最近的點(diǎn)。3、用原理解釋答案師：你曾經(jīng)所學(xué)的知識(shí)中哪個(gè)原理涉及到距離大小的比較？生1 :兩點(diǎn)間線段最短。生2:三角形任意兩邊之和大于第三邊；任意兩邊之差小于第三邊。師：后者源于前者，后者更常用。在圖1中取圓上異于 A、B的任一點(diǎn)BD，連結(jié)DP,若能說明PAPDPB，則能說明PA最短，PB最長(zhǎng)。三角形從何而來呢?生：通過添加輔助線可以得到。（1） 中連結(jié) 0D，得 OPD，貝U OD=OB，由

6、OPD 中PDPO+OD 得 PDOD-OP 得 PDOA-OP=AP ,所以PAPDPB，進(jìn)而說明PA最短，PB最長(zhǎng)。圖2可類似地進(jìn) 行說明。回顧本題，要得到答案并不困難，但要把問題說清楚并不簡(jiǎn)單，在這種小題上值不值得花時(shí)間？答案是肯定的， 小題講透了，才能培養(yǎng)學(xué)生凡事問個(gè)為什么的習(xí)慣，知識(shí)結(jié)構(gòu)嚴(yán)密了，還用擔(dān)心大題目解不出嗎？、浙教版九上第三章圓，3.2圓的軸對(duì)稱性（1）有這樣一個(gè)問題：點(diǎn) A在O O內(nèi),過點(diǎn)A作一條弦BC,使BC是所有過點(diǎn) A的弦中最短的弦。 如圖1,在O O中畫出過點(diǎn) A的直徑，并過點(diǎn) A作BC 丄OA，貝U BC為所求弦。通過測(cè)量等方法不難找出上述答案，但要回答為什么就

7、有難度了。有了上面一題的解決經(jīng)驗(yàn)， 學(xué)生很容易找準(zhǔn)方向： 如圖2,在O O中任意畫一條過點(diǎn) A的弦（弦BC除外）DE ,說明BCDE就能說明BC是過點(diǎn)A的最短的弦。如何說明BCOF則BC MD，從而很容易否定答案。2、尋找理論依據(jù)說明 AM = MD不能成立，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣,讓學(xué)生知道在一切現(xiàn)象背后一定存在某種理論依據(jù)。師：連接AM、ME、MD，由 MN 垂直平分 AE可知 AM=EM，假設(shè)AM = MD能成立,AM與MD應(yīng)該有什么關(guān)系?B生師生師生AM=MD等量代換后，EM=MD，則 MED為等腰三角形，/ MEDM MDE圖中還有哪些角相等？由厶MED為等腰三角形知/ MAF=/

8、MOF, / AMFM EMF由MN丄AB ,EM與MD有什么關(guān)系？你發(fā)現(xiàn)了什么?CD丄AB知MN / CD，有/ EMF=/ MED 則/ AMFM MED師：結(jié)合前面的分析你覺得哪個(gè)結(jié)論與前面的結(jié)論有關(guān)聯(lián)，由此得到什么?生：，/ AMF=/ MED與/ MEDM MDE有關(guān)聯(lián)，得到/ AMFM MDE它們都是圓周角，可以根據(jù)所對(duì)的弧比大小。3.3圓周角（2）的主要知識(shí)點(diǎn)是圓周角定理：在同圓與等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。圖中/AMF對(duì) AN，/ MDE寸 MC，而 AN 是 MC 的部分，故AN工MC ,可見前面的“假設(shè)AM = MD ”是錯(cuò)誤的，從而說明AM工MD 。上面三個(gè)問題看上去是小問題，但在解決的過程中需要用到的知識(shí)點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想方法非常多，通過解決這樣