二階常系數(shù)線性微分方程

1、 9.3 二階常系數(shù)線性微分方程一、二階常系數(shù)齊次線性方程二、二階常系數(shù)非齊次線性方程)259(0 byyay形如形如稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程, .,為為已已知知常常數(shù)數(shù)其其中中ba一、二階常系數(shù)齊次線性方程稱為二階線性微分方程稱為二階線性微分方程)()(dd)(dd22xfyxQxyxPxy 形形如如時時，當當0)( xf稱為二階齊次線性微分方程稱為二階齊次線性微分方程時時，當當0)( xf稱為二階非齊次線性微分方程稱為二階非齊次線性微分方程例如，例如，,sincos線線性性無無關(guān)關(guān)與與函函數(shù)數(shù)xx,ee線性無關(guān)線性無關(guān)與與函數(shù)函數(shù)xxx.222線線性性相

2、相關(guān)關(guān)與與函函數(shù)數(shù)xx,cos1sin22線線性性相相關(guān)關(guān)與與函函數(shù)數(shù)xx 定義定義9.4內(nèi)的兩個函內(nèi)的兩個函為定義在為定義在設(shè)設(shè)),()(, )(21baxyxy數(shù)數(shù)., )()(,21xkyxyk 使得使得如果存在非零常數(shù)如果存在非零常數(shù) 則稱則稱,)(, )(21線線性性相相關(guān)關(guān)xyxy,k如果對于任意常數(shù)如果對于任意常數(shù))(1xy, )(2xky.)(, )(21線線性性無無關(guān)關(guān)則則稱稱xyxy定理定理9.1的兩個線性的兩個線性是方程是方程設(shè)設(shè))259()(, )(21 xyxy則則無無關(guān)關(guān)的的解解,)269()()()(2211 xyCxyCxy.,21為為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中C

3、C例如例如, 有有兩兩個個特特解解，方方程程0 yy,cos1xy ,sin2xy 它們是線性無關(guān)的它們是線性無關(guān)的.sincos21xCxCy xxyycossin12 且且xtan 常數(shù)，常數(shù)， 故方程的通解為故方程的通解為是方程是方程 的通解的通解,)259( ,為為常常數(shù)數(shù)時時因因為為 和它的各階導數(shù)和它的各階導數(shù)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)x e.都只相差一個常數(shù)因子都只相差一個常數(shù)因子得得求導求導將將,exy ,exy ,e2xy 所以所以)279(02 ba 是是上上方方程程的的根根，只只要要 .e就是微分方程的解就是微分方程的解xy ,中中代入齊次線性微分方程代入齊次線性微分方程把把yyy

4、 0e )(2 xba , 0e x 由由于于,2422, 1baa 特征特征方程的方程的根為根為.02的特征方程的特征方程稱為齊次線性微分方程稱為齊次線性微分方程方程方程 ba 特征根的三種不同情況討論：特征根的三種不同情況討論：,)1(21 與與實根實根特征方程有兩個不同的特征方程有兩個不同的, 042 ba,2421baa 有有.2422baa 方程有兩個線性無關(guān)的特解方程有兩個線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;ee2121xxCCy ,)2(21 實根實根特征方程有兩個相同的特征方程有兩個相同的, 042 ba,221b 有有e e12,xyx 驗驗證證得得為為另另一

5、一特特解解,e11xy 得得一一個個解解為為,12常數(shù)常數(shù)由于由于 xyy,21線線性性無無關(guān)關(guān)則則yy得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為)289(e )(121 xxCCy ,e11xy ,e22xy ,i1 , )0(i2 通過直接驗證可知，通過直接驗證可知，,cose1xyx ,sine2xyx 得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為)299().sincos(e21 xCxCyx 根：根：特征方程有一對共軛復特征方程有一對共軛復)3(, 042 ba是方程的兩個線性無關(guān)的特解是方程的兩個線性無關(guān)的特解, 二階常系數(shù)齊次線性微分方程求通解的一般步驟二階常系數(shù)齊次線性微分方程求通解的一般步

6、驟: :(1) (1) 寫出相應(yīng)的特征方程寫出相應(yīng)的特征方程(2) (2) 求出特征方程的兩個根求出特征方程的兩個根; 02 ba (3) (3) 根據(jù)特征方程的兩個根的不同情況根據(jù)特征方程的兩個根的不同情況, ,按照下列按照下列規(guī)則寫出微分方程的通解規(guī)則寫出微分方程的通解；與與21 21 ，特征方程的兩個根特征方程的兩個根微分方程的通解微分方程的通解21, 兩兩個個不不相相等等的的實實根根21 兩個相等的實根兩個相等的實根 i2, 1 一一對對共共軛軛復復根根xxCCy21ee21 xxCCy1e )(21 )sincos(e21xCxCyx 例例1.02的的通通解解求求方方程程 yyy解解

7、特征方程為特征方程為022 ,2,121為兩個相異實根為兩個相異實根其特征根其特征根 所以所以所給方程的通解為所給方程的通解為xxCCxy221ee)( .,21為任意常數(shù)為任意常數(shù)其中其中CC例例2.02的的通通解解求求方方程程 yyy解解特征方程為特征方程為0122 ,1為二重實根為二重實根其特征根其特征根 所以所給方程的通解為所以所給方程的通解為xxCCxy e )()(21.,21為任意常數(shù)為任意常數(shù)其中其中CC例例3.20,為為周周期期的的函函數(shù)數(shù)的的解解都都是是以以使使方方程程試試確確定定常常數(shù)數(shù) ayya解解方程的特征方程為方程的特征方程為02 a 于是容易得到于是容易得到:,0

8、時時當當 a方程的通解為方程的通解為xaxaCCxy ee)(21,0時時當當 a方程的通解為方程的通解為21)(CxCxy 方程的通解為方程的通解為,sincos)(21xaCxaCxy ,2 為周期為周期要使方程的解均以要使方程的解均以,22 a只要只要即得即得.1 a以上通解均不是周期函數(shù)以上通解均不是周期函數(shù), ,0 a故故,i時時并并有有a 形如形如)309()( xfbyyay的方程的方程, 稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程, 其中其中.0)(, xfba為為已已知知常常數(shù)數(shù)二、二階常系數(shù)非齊次線性方程xAxAxf sincos)(. 321 ：形形

9、式式常常見見的的幾幾種種)(xf)()(. 1xPxfn xnxPxf e )()(. 2 通常稱方程通常稱方程(9-25)為為方方程程0yayby 對應(yīng)的齊次方程對應(yīng)的齊次方程 . )309( 定理定理9.2)319()()()309(,)259()309(,)309()( xyYxyYxy的通解為的通解為則方程則方程的通解的通解對應(yīng)齊次方程對應(yīng)齊次方程方程方程是是的一個特解的一個特解是方程是方程如果如果( )(930)yaybyf x0(925)yayby 下面考察二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)下面考察二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)0yayby 的的通通解解( )yaybyf

10、x的的一一個個特特解解齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解()d()d()dee( )edP xxP xxP xxyCQ xx ( )( )yP x yQ x 對對一一階階線線性性微微分分方方程程，它它的的通通解解： ( )( )y xYyx 二二階階常常系系數(shù)數(shù)微微分分方方程程( )yaybyf x對對，它它的的通通解解：1122n rn rxkkk Ax = b對對線線性性方方程程組組，它它的的通通解解：齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解歸歸納納例如例如, 方程方程xyy 有特解有特解*( )yxx xC

11、xCYsincos21對應(yīng)齊次方程對應(yīng)齊次方程0 yy有通解有通解因此該方程的通解為因此該方程的通解為xxCxCysincos21定理定理9.3,)()()()(2121的特解的特解和和分別為方程分別為方程與與如果如果xfbyyayxfbyyayxyxy ,0的的通通解解是是方方程程 byyayY）（則則329)()()(21 xyxyYxy是方程是方程)339()()(21 xfxfbyyay的通解的通解.12( )( )( )y xYyxyx 0yayby 的的通通解解12( )( )yaybyfxfx 的的一一個個特特解解非齊次線性微分方程通解結(jié)構(gòu)為非齊次線性微分方程通解結(jié)構(gòu)為*,yYy

12、 關(guān)鍵：如何求非齊次線性微分方程特解關(guān)鍵：如何求非齊次線性微分方程特解特點：特點：.*來來不用積分就可以求出不用積分就可以求出 y待定系數(shù)法：先確定解的形式，再把形式解代入方待定系數(shù)法：先確定解的形式，再把形式解代入方程定出解中包含的常數(shù)的值，確定待定系數(shù)，從而程定出解中包含的常數(shù)的值，確定待定系數(shù)，從而求出方程求出方程 的特解的特解.)309( f(x)的類型取試解函數(shù)條件試解函數(shù)y*的形式f(x)=Pn(x) ex為常數(shù).不是特征根y*=exQn(x)是單特征根y*=xexQn (x)是重特征根y*=x2exQn (x)f(x)= (Acosx+Bsinx) ex,A,B為常數(shù).i不是特征

13、根y*= (Acosx+Bsinx) exi是特征根y*=x (Acosx+Bsinx) ex注Pn(x)=a0 xn+a1xn1+an1x+an為已知n次多項式Qn(x)=b0 xn+b1xn1+bn1x+bn為待定n次多項式)349()()()()( xPxbQxQaxQn, )(*xQy 設(shè)設(shè)特特解解為為,0時時當當 b,)(次次多多項項式式應(yīng)應(yīng)為為nxQ)(*xQyn ,0,0時時且且當當 ab,1)(次多項式次多項式應(yīng)為應(yīng)為 nxQ即即設(shè)設(shè)即即設(shè)設(shè))()(*xxQxQyn ,0,0時時且且當當 ab.)(直直接接積積分分得得到到直直接接由由方方程程xPyn ,21110 xaxaxa

14、xannnn ,1110nnnnaxaxaxa 型型方方程程)(. 1xPbyyayn 有等式有等式代入原方程后代入原方程后,例例4.322的的通通解解求求方方程程 xyy解解對應(yīng)齊次方程的通解為對應(yīng)齊次方程的通解為xCxCYsincos21 設(shè)所給方程的特解為設(shè)所給方程的特解為,2120axaxay 210,aaa為待定常數(shù)為待定常數(shù),代入所給方程代入所給方程, 得得322221200 xaxaxaa比較同冪次項系數(shù)比較同冪次項系數(shù), 得得, 20 a, 01 a72 a于是于是, 722 xy方程通解為方程通解為72sincos221 xxCxCy.,21為任意常數(shù)為任意常數(shù)其中其中CC)

15、359()()()()()2()(2 xPxQbaxQaxQn ,e)(*xxQy 設(shè)設(shè)特特解解為為有等式有等式代入原方程后代入原方程后,征征根根不不是是對對應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程的的特特即即 ,02 ba 當當),()(xQnxQn次次待待定定系系數(shù)數(shù)多多項項式式為為xnnnnaxaxaxa e)(1110 型型方方程程xnxPbyyay e)(. 2 xnxQy e)(* , 02 ba 當當,02時時且且 a ,是對應(yīng)齊次方程的單根是對應(yīng)齊次方程的單根即即 ),(1)(xxQnxQn次次待待定定系系數(shù)數(shù)多多項項式式為為 xnnnnxaxaxaxa e)(21110 xnxxQy e)(*

16、, 02 ba 當當,02時時且且 a ,根根是對應(yīng)齊次方程的二重是對應(yīng)齊次方程的二重即即 , )(2)(2xQxnxQn次次待待定定系系數(shù)數(shù)多多項項式式為為 xnnnnxaxaxaxa e)(2311120 xnxQxy e)(*2 綜上討論，求非齊次線性微分方程特解時綜上討論，求非齊次線性微分方程特解時 是重根是重根是單根是單根不是根不是根 , 2, 1, 0k,e)(*xnkxQxy 設(shè)設(shè)特特解解為為例例5.e322的通解的通解求方程求方程xxyyy 解解對應(yīng)齊次方程的通解為對應(yīng)齊次方程的通解為xxCCy e )(21設(shè)所給方程的特解為設(shè)所給方程的特解為,e )(223140 xxaxa

17、xay ,210為待定系數(shù)為待定系數(shù)其中其中aaa代入所給方程代入所給方程, 有有2212032612xaxaxa 比較同冪次項系數(shù)比較同冪次項系數(shù), 得得,410 a021 aa于是得于是得,e414xxy 方程的通解為方程的通解為xxxxCCy e41e )(421.,21為任意常數(shù)為任意常數(shù)其中其中CC, )sincos(*21xaxaxyk 設(shè)設(shè)特特解解為為,i根根時時為為對對應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程的的特特征征當當 ,1 k型型方方程程xAxAbyyay sincos. 321 .0 k否否則則,e)sincos(*21xkxaxaxy 設(shè)特解為設(shè)特解為,i根根時時為為對對應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程的的特特征征當當 ,1 k型方程型方程xxAxAbyyay e)sincos(. 421 .0 k否否則則例例6.sine22的的通通解解求求方方程程xyyyx 解解對應(yīng)齊次方程的通解為對應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)所給方程的特解為設(shè)所給方程的特解為xxaxay221e)sincos( ,21為為待待定定系系數(shù)數(shù)其其中中aa代入所給方程代入所給方程, 有有xxaa