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文檔簡介
1、第3課因式分解 1 1因式分解:因式分解: 把一個多項式化成幾個把一個多項式化成幾個 的形式,叫做因式分的形式,叫做因式分解因式分解與解因式分解與 是互逆運(yùn)算是互逆運(yùn)算2 2基本方法:基本方法: (1)(1)提取公因式法:提取公因式法: mambmc (2)(2)公式法:公式法: 運(yùn)用平方差公式:運(yùn)用平方差公式:a2 2b2 2 ; 運(yùn)用完全平方公式:運(yùn)用完全平方公式:a2 22 2abb2 2 . .要點梳理要點梳理整式積整式積整式乘法整式乘法m(abc)(ab)(ab)(ab)2 23 3因式分解的一般步驟:因式分解的一般步驟: (1)(1)如果多項式的各項有公因式,那么先提取公因式;如果
2、多項式的各項有公因式,那么先提取公因式; (2)(2)如果各項沒有公因式,那么盡可能嘗試用公式來分解;如果各項沒有公因式,那么盡可能嘗試用公式來分解; (3)(3)分解因式必須分解到不能再分解為止,每個因式的內(nèi)部不分解因式必須分解到不能再分解為止,每個因式的內(nèi)部不 再有括號,且同類項合并完畢,若有相同因式寫成冪的形再有括號,且同類項合并完畢,若有相同因式寫成冪的形式,這些統(tǒng)稱分解徹底式,這些統(tǒng)稱分解徹底 (4)(4)注意因式分解中的范圍,如注意因式分解中的范圍,如x4 44 4( (x2 22)(2)(x2 22)2),在實,在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式,數(shù)范圍內(nèi)分解因式,x4 44 4( (x2 2
3、2)(2)(x )()(x ) ),題目不作說明的,表明是在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解題目不作說明的,表明是在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解1 1正確理解因式分解的意義正確理解因式分解的意義 理解因式分解的意義,應(yīng)注意:理解因式分解的意義,應(yīng)注意: (1)(1)因式分解與整式乘法是個相反的過程,因式分解的左因式分解與整式乘法是個相反的過程,因式分解的左邊是多項式,右邊是幾個因式的積,不含其它運(yùn)算;邊是多項式,右邊是幾個因式的積,不含其它運(yùn)算; (2)(2)因式分解不含非整式的式子;因式分解不含非整式的式子; (3)(3)因式分解是個恒等變形的過程,從左到右的變形不能因式分解是個恒等變形的過程,從左到右的變形不
4、能改變原式的大小改變原式的大小 難點正本難點正本 疑點清源疑點清源 2 2注意提取公因式法、運(yùn)用公式法的要點注意提取公因式法、運(yùn)用公式法的要點 多項式因式分解往往需要對一些隱含的公因式多項式因式分解往往需要對一些隱含的公因式( (如互為相反數(shù)如互為相反數(shù)的因式的因式) )進(jìn)行調(diào)整變形,其依據(jù)是乘方的符號法則,變形時一進(jìn)行調(diào)整變形,其依據(jù)是乘方的符號法則,變形時一般要進(jìn)行觀察,需要調(diào)整項的標(biāo)準(zhǔn)有兩個:般要進(jìn)行觀察,需要調(diào)整項的標(biāo)準(zhǔn)有兩個:(1)(1)使需要調(diào)整的使需要調(diào)整的項盡量少;項盡量少;(2)(2)盡量調(diào)整指數(shù)為偶數(shù)的項,這樣可以減少符號盡量調(diào)整指數(shù)為偶數(shù)的項,這樣可以減少符號變化帶來的麻
5、煩及錯誤;平方差公式主要運(yùn)用于二項式的因變化帶來的麻煩及錯誤;平方差公式主要運(yùn)用于二項式的因式分解,完全平方公式主要運(yùn)用于三項式的因式分解式分解,完全平方公式主要運(yùn)用于三項式的因式分解 分解因式必須分解到不能再分解為止,特別是一些比較隱晦分解因式必須分解到不能再分解為止,特別是一些比較隱晦的,或者在解答過程中新出現(xiàn)的公因式要引起重視解題結(jié)的,或者在解答過程中新出現(xiàn)的公因式要引起重視解題結(jié)果的簡單明了是解題的基本要求之一,這樣才可能使解題的果的簡單明了是解題的基本要求之一,這樣才可能使解題的答案具有唯一性,所以因式分解的結(jié)果中的每一個因式必須答案具有唯一性,所以因式分解的結(jié)果中的每一個因式必須是
6、最簡形式是最簡形式1 1(2011(2011河北河北) )下列分解因式正確的是下列分解因式正確的是( () ) Aaa3 3a(1(1a2 2) ) B2 2a4 4b2 22(2(a2 2b) ) Ca2 24 4( (a2)2)2 2 Da2 22 2a1 1( (a1)1)2 2 解析:解析:a2 22 2a1 1a2 222a 1 11 12 2( (a1)1)2 2, 是完全平方公式是完全平方公式基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測D2 2(2011(2011天門天門) )把代數(shù)式把代數(shù)式ax2 24 4ax4 4a分解因式,下列結(jié)果中正分解因式,下列結(jié)果中正確的是確的是( () ) Aa( (x2)2
7、)2 2 Ba( (x2)2)2 2 Ca( (x4)4)2 2 Da( (x2)(2)(x2)2) 解析:解析:ax2 24 4ax4 4aa( (x2 24 4x4)4)a( (x2)2)2 2. .A3 3(2011(2011年北京四中模擬年北京四中模擬) )把把a(bǔ)3 3ab2 2分解因式的正確結(jié)果是分解因式的正確結(jié)果是( () ) A( (aab)()(aab) ) Ba( (a2 2b2 2) ) Ca( (ab)()(ab) ) Da( (ab b) )2 2 解析:解析:a3 3ab2 2a( (a2 2b2 2) )a( (ab)()(ab) )C4 4(2011(2011金華
8、金華) )下列各式能用完全平方公式進(jìn)行分解因式下列各式能用完全平方公式進(jìn)行分解因式的是的是( () ) Ax2 21 1 Bx2 22 2x1 1 Cx2 2x1 1 Dx2 24 4x4 4 解析:只有解析:只有x2 24 4x4 4x2 22222x2 22 2( (x2)2)2 2是完全是完全 平方式平方式D5 5(2011(2011天津天津) )若實數(shù)若實數(shù)x、y、z滿足滿足( (xz) )2 24(4(xy)()(yz) )0 0,則下列式子一定成立的是,則下列式子一定成立的是( () ) Axyz0 0 Bxy2 2z0 0 Cyz2 2x0 0 Dzx2 2y0 0 解析:左邊解
9、析:左邊(xy) )( (yz)2 24(4(xy)()(yz) ) ( (xy) )2 22(2(xy)()(yz) )( (yz) )2 2 (xy) )( (yz)2 2 故故( (xy) )( (yz) )0 0,x2 2yz0. 0. D題型一因式分解的意義題型一因式分解的意義【例例1 1】下列各式從左到右的變形是因式分解的是下列各式從左到右的變形是因式分解的是( () ) A( (ab) )2 2a2 22 2abb2 2 Ba2 22 2a1 1a( (a1)1)1 1 Ca2 21 1a Da2 2b2 2( (ab)()(ab) )解析:解析:a2 2b2 2b2 2a2 2
10、( (ba)()(ba) ),平方差公式分解因式,平方差公式分解因式題型分類題型分類 深度剖析深度剖析D探究提高探究提高 熟練地掌握因式分解的意義因式分解是將一個多項式化熟練地掌握因式分解的意義因式分解是將一個多項式化成幾個整式積的形式的恒等變形,若結(jié)果不是積的形式,成幾個整式積的形式的恒等變形,若結(jié)果不是積的形式,則不是因式分解則不是因式分解知能遷移知能遷移1 1下列多項式的分解因式,正確的是下列多項式的分解因式,正確的是( () ) A8 8abx1212a2 2x2 24 4abx(2(23 3ax) ) B6 6x3 36 6x2 21212x6 6x( (x2 2x2)2) C4 4
11、x2 26 6xy2 2x2 2x(2(2x3 3y) ) D3 3a2 2y9 9ay6 6y3 3y( (a2 23 3a2)2) 解析:解析:6x(x2 2x2)2)6 6x3 36 6x2 21212x, 因式分解是恒等變形因式分解是恒等變形B題型二提取公因式法分解因式題型二提取公因式法分解因式【例例2 2】(1)(1)多項式多項式6 6xy2 2xy2 24 4xyz中各項的公因式是中各項的公因式是 解析:解析:6 6xy2 2xy33; 2 2xy2 22 2xy(y) ); 4 4xyz2 2xy22z, 各項的公因式是各項的公因式是2 2xy. .2 2xy(2)(2)分解因式
12、:分解因式:4 4x3 3y2 22828x2 2y2 2xy ;6 6a2 2( (xy) )2 23 3a( (yx) )3 3 . .解析:解析:4 4x3 3y2 22828x2 2y2 2xy (4(4x3 3y2 22828x2 2y2 2xy) ) 2 2xy(2(2x2 2y1414x1)1) 6 6a2 2(xy) )2 23 3a( (yx) )3 3 6 6a2 2( (xy)2 23 3a( (xy) )3 3 3 3a( (xy) )2 222a( (xy) 3 3a( (xy) )2 2(2(2axy) )2 2xy(2(2x2 2y1414x1)1)3 3a( (
13、xy) )2 2(2(2axy) )探究提高探究提高 1.1.當(dāng)某項正好為公因式時,提取公因式后,該項應(yīng)為當(dāng)某項正好為公因式時,提取公因式后,該項應(yīng)為1 1,不可漏掉不可漏掉. . 2. 2.首項系數(shù)為負(fù)數(shù)時,一般公因式的系數(shù)取負(fù)數(shù),使括首項系數(shù)為負(fù)數(shù)時,一般公因式的系數(shù)取負(fù)數(shù),使括號內(nèi)首項系數(shù)為正號內(nèi)首項系數(shù)為正. . 3. 3.公因式也可以是多項式公因式也可以是多項式知能遷移知能遷移2 2(1)(1)把多項式把多項式( (m1)(1)(m1)1)( (m1)1)提公因式提公因式( (m1)1)后,余下的部分是后,余下的部分是( () ) Am1 1 B2 2m C2 2 Dm2 2 解析:
14、提取公因式后,前項余下解析:提取公因式后,前項余下m1 1,后項余下,后項余下1 1, ( (m1)1)1 1m2.2. (2) (2)分解因式:分解因式:( (xy) )2 23(3(xy) ) 答案:答案:( (xy)2)23(xy) )( (xy)()(xy3)3)D題型三運(yùn)用公式法分解因式題型三運(yùn)用公式法分解因式【例例3 3】 (1) (1)下列多項式中,能用公式法分解因式的是下列多項式中,能用公式法分解因式的是( () ) Ax2 2xy Bx2 2xy Cx2 2y2 2 Dx2 2y2 2 解析:解析:x2 2y2 2( (xy)()(xy) ),符合平方差公式,選,符合平方差公
15、式,選C. .C(2)(2)分解以下各多項式:分解以下各多項式:9 9x2 21616y2 2 解:原式解:原式(3(3x) )2 2(4(4y) )2 2 (3(3x4 4y)(3)(3x4 4y) )( (x1)1)2 29 9 解:原式解:原式( (x1 13)(3)(x1 13)3) ( (x2)(2)(x4)4)1616x4 47272x2 2y2 28181y4 4 解:原式解:原式(4(4x2 29 9y2 2) )2 2 (2(2x3 3y)(2)(2x3 3y)2 2 (2(2x3 3y) )2 2(2(2x3 3y) )2 2. .探究提高探究提高 1.1.用平方差公式分解
16、因式,其關(guān)鍵是將多項式轉(zhuǎn)化為用平方差公式分解因式,其關(guān)鍵是將多項式轉(zhuǎn)化為a2 2b2 2的形式,需注意對所給多項式要善于觀察,并作適當(dāng)變形,使的形式,需注意對所給多項式要善于觀察,并作適當(dāng)變形,使之符合平方差公式的特點,公式中的之符合平方差公式的特點,公式中的“a”“”“b”也可以是多項也可以是多項式,可將這個多項式看作一個整體,分解后注意合并同類項式,可將這個多項式看作一個整體,分解后注意合并同類項. . 2. 2.用完全平方公式分解因式時,其關(guān)鍵是掌握公式的特征用完全平方公式分解因式時,其關(guān)鍵是掌握公式的特征知能遷移知能遷移3 3分解因式:分解因式:(1)4(1)4a2 21 1; 解:原
17、式解:原式4 4a2 21 1(2(2a1)(21)(2a1)1)(2)25(2)25(xy) )2 29(9(xy) )2 2; 解:原式解:原式5(5(xy) )3(3(xy)5()5(xy) )3(3(xy) (8(8x2 2y)(2)(2x8 8y) ) 4(44(4xy)()(x4 4y) )(3) (3) a2 2a1 1 解:原式解:原式 2 22 2 1 11 12 2 2 2(4)(4)x3 36 6x2 29 9x 解:原式解:原式x( (x2 26 6x9)9) x( (x3)3)2 2題型四綜合運(yùn)用多種方法分解因式題型四綜合運(yùn)用多種方法分解因式【例例4 4】給出三個多項
18、式:給出三個多項式: x2 2x1 1; x2 23 3x1 1; x2 2x,請你選擇其中兩個進(jìn)行加法運(yùn)算,并把結(jié)果分解因式請你選擇其中兩個進(jìn)行加法運(yùn)算,并把結(jié)果分解因式 解題示范解題示范規(guī)范步驟,該得的分,一分不丟!規(guī)范步驟,該得的分,一分不丟! 解:解:( ( x2 2x1)1)( ( x2 23 3x1)1)x2 24 4xx( (x4)4); ( ( x2 2x1)1)( ( x2 2x)x)x2 21 1( (x1)(1)(x1)1); ( ( x2 23 3x1)1)( ( x2 2x) )x2 22 2x1 1( (x1)1)2 2. .探究提高探究提高 1.1.具有一定的開放
19、性具有一定的開放性 2.2.靈活運(yùn)用多種方法分解因式,其一般順序是:首先提靈活運(yùn)用多種方法分解因式,其一般順序是:首先提取公因式,然后再考慮用公式,最后結(jié)果一定要分解到取公因式,然后再考慮用公式,最后結(jié)果一定要分解到不能再分解為止不能再分解為止知能遷移知能遷移4 4因式分解:因式分解: (1)(1)a5 5a 解:原式解:原式a( (a4 41)1) a( (a2 21)(1)(a2 21)1) a( (a2 21)(1)(a1)(1)(a1)1)(2)(2)(x2)(2)(x4)4)x2 24 4 解:原式解:原式x2 26 6x8 8x2 24 4 2 2x2 26 6x4 4 2(2(x
20、2 23 3x2)2) 2(2(x1)(1)(x2)2) 或或 原式原式( (x2)(2)(x4)4)( (x2)(2)(x2)2) ( (x2)(2)(x4)4)( (x2)2) ( (x2)(22)(2x2)2)2(2(x2)(2)(x1)1)(3)(2011(3)(2011蕪湖蕪湖) )因式分解:因式分解:x3 32 2x2 2yxy2 2 ; 解析:解析:原式原式x( (x2 22 2xyy2 2) )x( (xy) )2 2(4)(4)在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式:在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式:x4 44.4. 解:原式解:原式( (x2 22)(2)(x2 22)2) ( (x2 22)(2)(x
21、 )()(x ) )x( (xy) )2 2題型五因式分解的應(yīng)用題型五因式分解的應(yīng)用【例例5 5】 (1) (1)若若ab4 4,則,則a2 22 2abb2 2的值是的值是( () ) A A8 B8 B16 C16 C2 D2 D4 4 解析:解析:a2 22 2abb2 2( (ab) )2 24 42 21616,選,選B. .B(2)(2)已知已知a2 2b2 26 6a1010b34340 0,求,求ab的值的值 解:解:a2 2b2 26 6a1010b34340 0, a2 26 6a9 9b2 21010b25250 0, ( (a3)3)2 2( (b5)5)2 20 0,
22、 a3 30 0且且b5 50 0, a3 3,b5 5, ab3 35 52.2.(3)(3)如果多項式如果多項式2 2x3 3x2 22626xk有一個因式是有一個因式是2 2x1 1,求,求k的值的值 解:解:2 2x1 1是是2 2x3 3x2 22626xk的因式,的因式, 可設(shè)可設(shè)2 2x3 3x2 22626xk(2(2x1)1)R, 令令2 2x1 10 0,x , 得得2 2 3 3 2 22626 k0 0, 1313k0 0,k13.13.探究提高探究提高 1.1.利用因式分解,將多項式分解之后整體代入求值利用因式分解,將多項式分解之后整體代入求值. . 2. 2.一個問
23、題有兩個未知數(shù),只有一個條件,考慮到已知式一個問題有兩個未知數(shù),只有一個條件,考慮到已知式右邊等于右邊等于0 0,若將左邊轉(zhuǎn)化成兩個完全平方式的和,而它們都,若將左邊轉(zhuǎn)化成兩個完全平方式的和,而它們都是非負(fù)數(shù),要使和為是非負(fù)數(shù),要使和為0 0,則每個完全平方式都等于,則每個完全平方式都等于0 0,從而使,從而使問題得以求解問題得以求解. . 3. 3.逆向思維,推出多項式分解后的幾個因式,采用系數(shù)求逆向思維,推出多項式分解后的幾個因式,采用系數(shù)求等的方法列方程組求解,或者利用恒等變形的性質(zhì),設(shè)等的方法列方程組求解,或者利用恒等變形的性質(zhì),設(shè)2 2x1 10 0,x 代入原式,可求得代入原式,可
24、求得k. .知能遷移知能遷移5 5(1)(2011(1)(2011衡陽衡陽) )若若mn2 2,mn5 5,則,則m2 2n2 2的的值為值為 解析:解析:m2 2n2 2( (mn)()(mn) )5 52 210.10.(2)(2)若若ABC的三邊長分別為的三邊長分別為a、b、c,且,且a2 2abc2 2bc,判斷,判斷ABC的形狀的形狀 解:解:a2 2abc2 2bc, ac2 2ab2 2bc0 0,( (ac) )2 2b( (ac) )0 0, (1(12 2b)()(ac) )0.0. 1 12 2b00, ac0 0,ac, ABC是等腰三角形是等腰三角形10103. 3.
25、 分解方法不熟練致誤分解方法不熟練致誤試題分解因式:試題分解因式: (1)20(1)20m3 3n1515m2 2n2 25 5m2 2n; (2)4(2)4x2 21616y2 2; (3)(3)m( (ab) )n( (ba) ); (4)(4)3 3x2 21818x27.27.學(xué)生答案展示學(xué)生答案展示(1)20(1)20m3 3n1515m2 2n2 25 5m2 2n5 5m2 2n(4(4m3 3n) ); (2)4(2)4x2 21616y2 2(2(2x4 4y)(2)(2x4 4y) ); (3)(3)m( (ab) )n( (ba) )( (ab)()(mn) ); (4)
26、(4)3 3x2 21818x27273(3(x2 26 6x9)9)易錯警示易錯警示剖析剖析學(xué)習(xí)因式分解,若對分解因式的方法不熟練,理解不透徹,學(xué)習(xí)因式分解,若對分解因式的方法不熟練,理解不透徹,可能會出現(xiàn)形形色色的錯誤可能會出現(xiàn)形形色色的錯誤正解正解(1)20(1)20m3 3n1515m2 2n2 25 5m2 2n5 5m2 2n(4(4m3 3n1)1); (2)4(2)4x2 21616y2 24(4(x2 2y)()(x2 2y) ); (3)(3)m( (ab) )n( (ba) )m( (ab) )n( (ab) )( (ab)()(mn) );(4)(4)3 3x2 21818x27273(3(x2 26 6x9)9)3(3(x3)3)2 2. .批閱筆記批閱筆記 因式分解提公因式后,括號內(nèi)的項一定要與原來的項數(shù)一因式分解提公因式后,括號內(nèi)的項一定要與原來的項數(shù)一樣多,錯解主要是對分配律理解不深或粗心大意造成的,提樣多,錯解主要是對分配律理解不深或粗心大意造成的,提公因式還有符號方面的錯誤;分解因式時,應(yīng)先觀察是否有公因式還有符號方面的錯誤;分解因式時,應(yīng)先觀察是否有公因式可提,公因式包括系數(shù),錯解忽視提系數(shù)的最大公約公因式可提,
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