《平方差公式》教學(xué)案例.doc

1、數(shù)學(xué)教學(xué)案例（人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)14.2.1 ）案例名稱(chēng)：平方差公式所屬課程：數(shù)學(xué)所屬專(zhuān)業(yè)：初中數(shù)學(xué)授課課時(shí)：一課時(shí)平方差公式教學(xué)案例一、教學(xué)內(nèi)容與分析1內(nèi)容平方差公式兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。2. 內(nèi)容分析本節(jié)內(nèi)容主要研究的是平方差公式的推導(dǎo)和應(yīng)用。平方差公式是學(xué)生學(xué)習(xí)了整式的加減及整式乘法等知識(shí)的基礎(chǔ)上，在已經(jīng)掌握了單項(xiàng)式乘法、多項(xiàng)式乘法之后，自然過(guò)渡到具有特殊形式的多項(xiàng)式的乘法，是從一般到特殊的認(rèn)知規(guī)律的典型范例。對(duì)它的學(xué)習(xí)和研究，不僅給出了特殊的多項(xiàng)式乘法的簡(jiǎn)便算法，而且為完全平方公式的學(xué)習(xí)提供了方法，同時(shí)也為以后的因式分解、分式的化簡(jiǎn)、二次根式中的分母有理

2、化、解一元二次方程、函數(shù)等內(nèi)容奠定了基礎(chǔ)。因此，平方差公式在初中階段的教學(xué)中具有承上啟下的作用。3教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)本節(jié)課的重點(diǎn)：理解平方差公式，掌握其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，并能運(yùn)用公式進(jìn)行運(yùn)算。本節(jié)課的難點(diǎn)： 理解公式中字母的含義， 即公式： (ab)(ab)a 2b 2 中的字母 a，b 可以是具體的數(shù)、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式乃至任何代數(shù)式。正確找準(zhǔn)哪個(gè)數(shù)或式相當(dāng)于公式中的 a，b.平方差公式的變式應(yīng)用。二、教學(xué)目標(biāo)與解析1. 目標(biāo)（1）知識(shí)目標(biāo)：掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算。（2）能力目標(biāo)：在探索平方差公式的過(guò)程中，感悟從具體到抽象研究問(wèn)題的方法；在驗(yàn)證平方差公式的過(guò)程中， 感知數(shù)形結(jié)合的

3、思想， 進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的符號(hào)感和推理能力、歸納能力；在運(yùn)用公式的過(guò)程中，滲透轉(zhuǎn)化、建模等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和數(shù)2學(xué)應(yīng)用意識(shí)。（3）情感目標(biāo)：讓學(xué)生在合作探究的學(xué)習(xí)過(guò)程中體驗(yàn)成功的喜悅，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、善于觀察、大膽猜想的創(chuàng)新思維品質(zhì)。2. 目標(biāo)解析（1）理解平方差公式的意義，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，并能靈活運(yùn)用平方差公式解決問(wèn)題。在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析公式的結(jié)構(gòu)特征以及公式中字母的廣泛含義，加深學(xué)生對(duì)公式的理解。（2）讓學(xué)生經(jīng)歷具體抽象的過(guò)程。從中發(fā)現(xiàn)、體會(huì)、理解公式，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的符號(hào)感、觀察、歸納、猜想、推理能力，利用幾何圖形的面積驗(yàn)證公式的過(guò)

4、程中，感知數(shù)形結(jié)合的思想。在運(yùn)用公式的過(guò)程中，滲透轉(zhuǎn)化、建模等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。（3）通過(guò)自主探究與合作交流的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生經(jīng)歷探索新知、鞏固新知和拓展新知這一過(guò)程，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，在解決問(wèn)題過(guò)程中與他人合作交流的重要性，讓學(xué)生在公式的運(yùn)用中積累解題的經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)成功的喜悅。三、學(xué)生情況分析學(xué)生已經(jīng)較熟練地掌握了多項(xiàng)式乘法，為學(xué)習(xí)本節(jié)知識(shí)做了知識(shí)準(zhǔn)備；學(xué)生已經(jīng)具備了小組合作能力、探究能力、歸納分析能力，能通過(guò)合作交流完成學(xué)習(xí)任務(wù)；通過(guò)創(chuàng)造問(wèn)題情境，讓學(xué)生探索相應(yīng)問(wèn)題，建立并運(yùn)用公式，從而拓展學(xué)生知識(shí)技能成為可能。四、教學(xué)問(wèn)題診斷分析學(xué)生學(xué)習(xí)平方差公式的困難在于對(duì)公

5、式的結(jié)構(gòu)特征以及公式中字母的廣泛含義的解。因此，教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生分析公式的結(jié)構(gòu)特征，并運(yùn)用變式訓(xùn)練揭示公式的本質(zhì)特征，以加深學(xué)生對(duì)公式的理解。3五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）創(chuàng)設(shè)情境，引出新知問(wèn)題 1：計(jì)算下列多項(xiàng)式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（屏幕顯示）（1） ( x 1)( x 1).（2） ( m 2)(m 2).（3） ( 2x 1)( 2x 1).師生活動(dòng)：學(xué)生計(jì)算，三位同學(xué)在黑板上板書(shū)，師生共同分析結(jié)果?！驹O(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)特殊的多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的計(jì)算，既復(fù)習(xí)了舊知，又為下面學(xué)習(xí)平方差公式作了鋪墊，讓學(xué)生感受從一般到特殊的認(rèn)識(shí)規(guī)律，引出乘法公式平方差公式。（二）探索新知，嘗試發(fā)現(xiàn)問(wèn)題 2：依照以

6、上三道題的計(jì)算回答下列問(wèn)題：（屏幕顯示）式子的左邊具有什么共同特征？它們右邊的結(jié)果有什么特征？能不能用字母表示你的發(fā)現(xiàn)？你能對(duì)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行推導(dǎo)嗎？師生活動(dòng)：教師提問(wèn)，學(xué)生通過(guò)自主探究、合作交流，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，式子左邊是兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積， 右邊是這兩個(gè)數(shù)的平方差， 并猜想出： (ab)(ab)a2b2 ，由學(xué)生運(yùn)用多項(xiàng)式乘法計(jì)算，驗(yàn)證了其公式的正確性?！驹O(shè)計(jì)意圖】在學(xué)生已掌握的多項(xiàng)乘法法則的基礎(chǔ)上，探索具有特殊形式的多項(xiàng)式乘法平方差公式，這樣更加自然合理。讓學(xué)生經(jīng)歷具體抽象的過(guò)程。即經(jīng)歷觀察、比較、抽象、概括、推理的過(guò)程，從中體會(huì)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本思想方法：“具體抽4象”。（三）數(shù)形結(jié)

7、合，幾何說(shuō)理問(wèn)題 3：活動(dòng)探究：將長(zhǎng)為 (a+b) ，寬為 (a-b) 的長(zhǎng)方形，剪下寬為b 的長(zhǎng)方形條，放在圖中處拼成有空缺的正方形，你能用等式表示剪拼前后的圖形的面積關(guān)系嗎？（屏幕顯示）(a b)( a b) =a 2b 2師生活動(dòng)：小組合作，教師巡視指導(dǎo)，代表發(fā)言?！驹O(shè)計(jì)意圖】通過(guò)學(xué)生小組合作，完成剪拼游戲活動(dòng), 利用這些圖形面積的相等關(guān)系,進(jìn)一步從幾何角度驗(yàn)證了平方差公式的正確性, 讓學(xué)生認(rèn)識(shí)平方差公式的幾何意義，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)從多角度、多方面來(lái)思考問(wèn)題，再次驗(yàn)證了平方差公式的正確性。（四）歸納總結(jié)，發(fā)現(xiàn)新知問(wèn)題 4：前面探究所得的式子(ab)(ab)a 2b 2 ，

8、稱(chēng)為平方差公式，你能用文字語(yǔ)言表述它嗎？（屏幕顯示）師生活動(dòng)：學(xué)生回答，相互補(bǔ)充。5兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差?！驹O(shè)計(jì)意圖】鼓勵(lì)學(xué)生用自己的語(yǔ)言表述，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力加深對(duì)公式結(jié)構(gòu)特征的理解。（五）剖析公式，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)問(wèn)題 5：在平方差公式 (ab)(ab)a 2b 2 中，認(rèn)真觀察其結(jié)構(gòu)特征，你能用自己的語(yǔ)言表述嗎？（屏幕顯示）師生活動(dòng)：同桌討論后回答，相互補(bǔ)充并總結(jié)如下：左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，其中“a 與 a”是相同項(xiàng)，“ b 與-b ”是相反項(xiàng)；右邊是二項(xiàng)式，相同項(xiàng)與相反項(xiàng)的平方差，即a 2b2 。師追問(wèn)：以上三個(gè)算式中，哪些數(shù)或式子相當(dāng)于公式中的a，b。

9、師生活動(dòng)：獨(dú)自思考，代表發(fā)言?！驹O(shè)計(jì)意圖】通過(guò)觀察平方差公式，體驗(yàn)公式的簡(jiǎn)潔性, 并通過(guò)分析公式的本質(zhì)特征掌握公式。在認(rèn)清公式的結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步剖析a、 b 的廣泛含義，抓住了概念的核心，使學(xué)生在公式的運(yùn)用中能得心應(yīng)手，起到事半功倍的效果。（六）鞏固運(yùn)用，內(nèi)化新知問(wèn)題 6：判斷下列算式能否運(yùn)用平方差公式計(jì)算：（屏幕顯示）（1） ( 2x3 y)( 2x3z)（ 2）( ab)(ab)（3） ( 2a3b)(2a3b)（ 4）( xy z)( xy z)師生活動(dòng)：分組討論，代表發(fā)言，大家評(píng)判?！驹O(shè)計(jì)意圖】學(xué)生經(jīng)過(guò)思考、討論、交流，進(jìn)一步熟悉平方差公式的本質(zhì)特征，掌握運(yùn)用平方差公式必須具備

10、的條件。鞏固平方差公式，進(jìn)一步體會(huì)字母a，b 可以是數(shù)，也可以是式，加深對(duì)字母含義廣泛性的理解。6例題 1：運(yùn)用平方差公式計(jì)算： （屏幕顯示）（1） (3x2)(3x2) ；（2） ( x2 y)(x2 y)師生活動(dòng)：師生共同分析解答，教師板書(shū)（1），學(xué)生板書(shū)（ 2）。在解答（ 1）的過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生哪一個(gè)數(shù)或式相當(dāng)于公式中的a、b，然后按照公式寫(xiě)出平方差，再計(jì)算出結(jié)果；在解答（ 2）的過(guò)程中，同樣注意上述問(wèn)題，并提議用不同方法解答，以體現(xiàn)學(xué)生的創(chuàng)造性。分析：在（ 1）中，可以把3x 看成 a，2 看成 b，即(3x2)(3x2) =(3x)2229x24(a + b) (a- b) =a

11、2- b 2解： (1) (3x2)(3x2)(2)(x2 y)( x 2 y)(3x) 22 2(x) 2(2 y)29x24x24 y 2【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生熟悉公式的結(jié)構(gòu)特征，找準(zhǔn)哪個(gè)數(shù)或式表示公式中的a,哪個(gè)數(shù)或式表示公式中的b，并運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算。練習(xí) 1: 下列計(jì)算對(duì)不對(duì)？若不對(duì)，應(yīng)怎樣改正。（屏幕顯示）（1） (2a3b)( 2a3b)2a 23b 2 .（2） ( 2x 3y)(2x 3 y) (2x) 2(3y) 2 .（3） (m2)( m 3)m 26 .（4） (2a3b)( 2a3b)( 2a) 2(3b) 2 .（5） ( xy z)( xyz)x 2y2z 2 .師

12、生活動(dòng)：同桌討論交流后，代表回答，老師引導(dǎo)學(xué)生訂正答案。7【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)學(xué)生常出現(xiàn)的錯(cuò)誤，作具體的分析，以加深學(xué)生對(duì)公式的理解，進(jìn)一步掌握平方差公式的本質(zhì)特征和運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算必須具備的條件。問(wèn)題 7：從以上例題和練習(xí)中，你認(rèn)為運(yùn)用公式解決問(wèn)題應(yīng)注意什么？（屏幕顯示）師生活動(dòng)：學(xué)生回答問(wèn)題，并相互補(bǔ)充。總結(jié)以下經(jīng)驗(yàn)：1、在運(yùn)用平方差公式 之前，一定要看是否具備公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)；2、一定要找準(zhǔn)哪個(gè)數(shù)或式相當(dāng)于公式中的a, 哪個(gè)數(shù)或式相當(dāng)于公式中的b；3、總結(jié)規(guī)律： a 的符號(hào)相同， b 的符號(hào)相反； 4、公式中的字母 a，可以是具體的數(shù)、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式等；5、勿忘記寫(xiě)公式右邊的“平方”?！驹O(shè)

13、計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生深入分析平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，明確a、 b 的意義，在運(yùn)用公式計(jì)算時(shí)一定要抓住關(guān)鍵找準(zhǔn)哪個(gè)數(shù)或式相當(dāng)于“第一個(gè)數(shù)”a，哪個(gè)數(shù)或式相當(dāng)于“第二個(gè)數(shù)” b，通過(guò)此過(guò)程，突破本節(jié)課的難點(diǎn)。（七）拓展深化，發(fā)展思維例題 2：計(jì)算：（屏幕顯示）（1） ( y2)( y2)( y1)( y5)（ 2）98102師生活動(dòng)：師生共同分析，得出：（1）中的前兩個(gè)多項(xiàng)式的積可以直接利用平方差公式，后兩個(gè)多項(xiàng)式的積不具備平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，不能用此公式；必須用多項(xiàng)式的乘法計(jì)算，并把計(jì)算的結(jié)果放在括號(hào)里。（2）是兩個(gè)數(shù)乘積的簡(jiǎn)捷計(jì)算，這兩個(gè)因數(shù)恰好可以分解成兩個(gè)數(shù)（100 與 2）的和與這兩個(gè)數(shù)的差

14、，且這兩個(gè)數(shù)的平方容易計(jì)算。問(wèn)題（ 2）對(duì)一部分學(xué)生來(lái)說(shuō)，有一定難度，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察，并及時(shí)總結(jié)規(guī)律第一個(gè)數(shù)是兩個(gè)因數(shù)的平均數(shù)?！驹O(shè)計(jì)意圖】第（ 1）題是新舊知識(shí)的綜合運(yùn)用，此題要讓學(xué)生深刻理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，明白只有符合公式結(jié)構(gòu)特征的乘法才能運(yùn)用公式簡(jiǎn)化運(yùn)算；第（2）題是平方差公式在數(shù)的乘法中的應(yīng)用，屬于兩個(gè)數(shù)乘積的簡(jiǎn)捷計(jì)算問(wèn)題，使學(xué)生將平方差公式的8知識(shí)遷移到新的問(wèn)題情境中，即鞏固新知，又培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力。此題體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和數(shù)式通性。練習(xí) 2: 看誰(shuí)算得快。（屏幕顯示）（1） (2 y 3x)( 2y 3x)（2） ( a3b)(a3b)（3）501（ -

15、499 ）（4） (3x4)(3x4)(2x 3)(3x 2)師生活動(dòng)：四名學(xué)生板書(shū)，其他學(xué)生在練習(xí)本上完成，教師巡視指導(dǎo)，完成后大家一起評(píng)判四名學(xué)生的解答?！驹O(shè)計(jì)意圖】通過(guò)同類(lèi)型題的練習(xí)，幫助學(xué)生更好地理解平方差公式，較熟練地運(yùn)用平方差公式進(jìn)行有關(guān)計(jì)算。同時(shí)進(jìn)行查漏補(bǔ)缺。（八）小試牛刀，挑戰(zhàn)自我問(wèn)題 8: 在下列括號(hào)中填上合適的多項(xiàng)式：（屏幕顯示）（1） (5x2y) ( )=25x24 y 2（2）( )()=81 4a 2師生活動(dòng)：獨(dú)立思考，代表發(fā)言，大家評(píng)判?！驹O(shè)計(jì)意圖】此題旨在從反方面靈活運(yùn)用平方差公式，由結(jié)果追溯算式中的相同項(xiàng)和相反項(xiàng)，關(guān)鍵在于理解公式結(jié)構(gòu)特征，同時(shí)鍛煉了學(xué)生逆向思

16、維能力，也為以后學(xué)習(xí)因式分解做了鋪墊。第2 個(gè)填空題，屬開(kāi)放設(shè)計(jì)型目的是加強(qiáng)學(xué)生對(duì)公式結(jié)構(gòu)特征的理解，同時(shí)也鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維。（九）暢所欲言，課時(shí)小結(jié)大家一起回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，并請(qǐng)同學(xué)們回答下列問(wèn)題：（屏幕顯示）（1）這節(jié)課你學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？（2）平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是什么？9（3）應(yīng)用平方差公式時(shí)要注意什么？師生活動(dòng)：學(xué)生回答，相互補(bǔ)充?！驹O(shè)計(jì)意圖】從通過(guò)小結(jié)，使學(xué)生梳理本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，把握本節(jié)課的核心平方差公式，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)公式的結(jié)構(gòu)特征，為運(yùn)用公式積累經(jīng)驗(yàn)。（十）布置作業(yè)（屏幕顯示）1. 教課書(shū)習(xí)題 14.2 第 1 題（寫(xiě)在作業(yè)本上）。2.預(yù)習(xí)完全平方公式?！驹O(shè)計(jì)意圖】作業(yè)1 目的是

17、鞏固所學(xué)知識(shí)，作業(yè)2 主要培養(yǎng)學(xué)生良好的自學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣為目的。六、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)1下列多項(xiàng)式乘法中，可以用平方差公式計(jì)算的是（）A.( ab)( ab)B.( ab)(ab)C. ( abc)( abc)D.(ab)(ab)【設(shè)計(jì)意圖】考查學(xué)生對(duì)平方差公式結(jié)構(gòu)特征的理解。2. 填空題：(1)(13a) ()19a 2 .(2)(2 y3x)(3x2 y).(3)(4b3a)()9a216b2 .(4)設(shè) mn6 ， m n3 ，則 m2n2.(5)已知 ( xay)( xay)x216 y2，那么 a=.【設(shè)計(jì)意圖】考查學(xué)生對(duì)平方差公式靈活運(yùn)用的能力。3. 計(jì)算：10（1） ( xy 1)( xy 1)（2） ( x1)( x 1)(x 21)（3） ( 2 y 3x)(3x 2 y)（4） ( y5)( y 1) ( y2)( y 2)【設(shè)計(jì)意圖】考查學(xué)生對(duì)平方差公式的理解及運(yùn)用。4. 計(jì)算：（1）19982002（1） 2014 2 -2013 2015【設(shè)計(jì)意圖】考查學(xué)生對(duì)平方差公式的應(yīng)用兩個(gè)數(shù)乘積的簡(jiǎn)捷計(jì)算的掌握。5. 解答題：2已知：兩個(gè)正方形的周長(zhǎng)之和等于32cm，它們的面積之差為48cm，求這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)。【設(shè)計(jì)意圖】綜合利用新舊知識(shí)解答實(shí)際生活中的問(wèn)題，考查學(xué)生對(duì)知識(shí)綜合運(yùn)用的能力