第三章傅里葉分析(修訂)

1、第3章 傅里葉分析傅里葉分析是利用傅里葉變換來分析信號的一種通用工具，其實(shí)質(zhì)是將信號分解成若干個(gè)不同頻率的正弦波之和。它在信號處理的理論和應(yīng)用中具有重要意義。3.1 傅里葉變換概述我們知道，傅里葉變換定義了以時(shí)間為自變量的“信號”與以頻率為自變量的“頻譜函數(shù)”之間的某種變換關(guān)系，也就是說，傅里葉變換建立了時(shí)域和頻域之間的聯(lián)系。所以當(dāng)自變量“時(shí)間”或“頻率”取連續(xù)值或離散值時(shí)，就形成了各種不同形式的傅里葉變換對。一、 時(shí)間連續(xù)、頻率連續(xù)的傅里葉變換（FT）其傅里葉變換公式為：正變換 反變換 連續(xù)時(shí)間非周期信號x(t)的傅里葉變換結(jié)果是連續(xù)的非周期的頻譜密度函數(shù)X(j)，如圖所示?？梢姡瑫r(shí)域函數(shù)的

2、連續(xù)性造成頻域函數(shù)的非周期性，而時(shí)域的非周期性造成頻譜的連續(xù)性。二、 時(shí)間連續(xù)、頻率離散的傅里葉變換傅里葉級數(shù)（FS）周期為T的周期性連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)可展開成傅里葉級數(shù)，其系數(shù)為X(jk0)，X(jk0)是離散頻率的非周期函數(shù)。x(t)和X(jk0)組成變換對，其變換公式為：正變換 反變換 式中，k諧波序號； 0=2/T兩條相鄰的離散譜線之間角頻率的間隔；x(t)和X(jk0)之間的變換關(guān)系如圖所示。可見，時(shí)域函數(shù)的連續(xù)性造成頻域函數(shù)的非周期性，而時(shí)域函數(shù)的周期性造成頻域函數(shù)的離散化。三、 時(shí)間離散、頻率連續(xù)的傅里葉變換序列的傅里葉變換（DTFT）1. DTFT的定義序列的傅里葉變換公式為

3、：正變換 反變換 注意：序列x(n)只有當(dāng)n為整數(shù)時(shí)才有意義，否則沒有定義。由于存在關(guān)系因此，序列的傅里葉變換也就是單位圓上的Z變換。x(n)和X(ej)之間的變換關(guān)系如圖所示?？梢姡瑫r(shí)域的離散化造成頻譜函數(shù)的周期性延拓，而時(shí)域的非周期性造成頻域的連續(xù)性。2. DTFT的性質(zhì)（1） 線性定理（2） 時(shí)移定理（3） 頻移定理（4） 對稱性定理對于復(fù)數(shù)序列x(n)，則當(dāng)它滿足： x(n)=x*(-n)時(shí)，該序列稱為共軛對稱序列xe(n)；對于實(shí)序列而言，此條件變?yōu)閤(n)=x(-n)，即xe(n)又稱為偶對稱序列。 x(n)=-x*(-n)時(shí)，該序列稱為共軛反對稱序列xo(n)；對于實(shí)序列而言，此

4、條件變?yōu)閤(n)=-x(-n)，即xo(n)又稱為奇對稱序列。任意一個(gè)序列總能表示成一個(gè)共軛對稱序列與一個(gè)共軛反對稱序列之和，即x(n)= xe(n)+ xo(n)證：欲證明這一點(diǎn)，只需找到xe(n)和xo(n)即可，則令不難看出，這里的xe(n)與xo(n)分別滿足共軛對稱與共軛反對稱的條件，且二者之和為x(n)，由此得證。類似地，序列x(n)的傅里葉變換X(ej)也可分解成共軛對稱與共軛反對稱分量之和，即X(ej)= Xe(ej)+ Xo(ej)其中，有關(guān)序列的傅里葉變換的對稱性定理，參見P59 表3.1.1所示。其中，性質(zhì)4表明：序列實(shí)部的傅里葉變換等于序列傅里葉變換的共軛對稱分量；性質(zhì)

5、5表明：序列虛部乘j后的傅里葉變換等于序列傅里葉變換的共軛反對稱分量；反過來，性質(zhì)6、性質(zhì)7則表明：序列的共軛對稱和共軛反對稱分量的傅里葉變換分別等于序列傅里葉變換的實(shí)部和j乘虛部；性質(zhì)10表明：對于任意實(shí)序列x(n)，其傅里葉變換X(ej)滿足共軛對稱性，且可以得出，實(shí)序列傅里葉變換的實(shí)部是的偶函數(shù)，而虛部是的奇函數(shù)；性質(zhì)11、性質(zhì)12表明：實(shí)序列x(n)的偶對稱序列分量xe(n)和奇對稱序列分量xo(n)的傅里葉變換分別為序列x(n)的傅里葉變換的實(shí)部和j乘虛部。（5） 卷積定理注意：此處的卷積又稱為線性卷積。I. 時(shí)域卷積定理若，則證：已知?jiǎng)t復(fù)習(xí)：序列的運(yùn)算 序列的運(yùn)算包括翻褶、移位、和

6、、積等。（a） 翻褶 如果序列為x(n)，則x(-n)是以n=0的縱軸為對稱軸將序列x(n)加以翻褶。（b） 移位 如果序列為x(n)，當(dāng)m為正時(shí)，則序列x(n+m)是指將序列x(n)依次逐項(xiàng)左移m位；當(dāng)m為負(fù)時(shí)，則右移m位。（c） 和 兩序列的和是指同序號（n）的序列值逐項(xiàng)對應(yīng)相加。（d） 積兩序列的積是指同序號（n）的序列值逐項(xiàng)對應(yīng)相乘。線性卷積的幾何意義：若兩序列x(n)和h(n)的卷積和定義為則卷積的運(yùn)算過程包含以下四步：翻褶：先在坐標(biāo)系上作出h(m)，將h(m)以m=0的縱軸為對稱軸翻褶成h(-m)；移位：將h(-m)移位n，即得h(n-m)；注意： h(-m) 與h(m)的移位規(guī)律

7、恰好相反，當(dāng)n為正時(shí)，則右移n位；當(dāng)n為負(fù)時(shí)，則左移n位。相乘：再將相同m值所對應(yīng)的h(n-m)和x(m)值相乘；相加：將上述所有對應(yīng)點(diǎn)的乘積疊加，即得y(n)值；依次取n=，-2，-1，0，1，2，即可得到全部的y(n)值。II. 頻域卷積定理若，則上述兩個(gè)卷積定理表明：離散時(shí)間序列的時(shí)域卷積對應(yīng)頻域相乘，而時(shí)域相乘則對應(yīng)其頻域卷積。（6） Parseval（帕塞瓦）定理證：Parseval（帕塞瓦）定理表明：信號在時(shí)域的總能量就等于其頻域的總能量。四、 時(shí)間離散、頻率離散的傅里葉變換離散傅里葉變換（DFT）除了三種傅里葉變換的形式以外，其實(shí)還有一種情況時(shí)間離散、頻率離散的傅里葉變換（即：我

8、們在后續(xù)章節(jié)中將要介紹的離散傅里葉變換DFT）。由上述討論的四種傅里葉變換的形式，我們不難得出這樣的結(jié)論：一個(gè)域（時(shí)域或頻域）的離散化必然造成另一個(gè)域的周期延拓。習(xí)題：3.1, 3.2, 3.3思考題：P102 3.1, 3.3, 3.43.2 周期序列的離散傅里葉級數(shù)（DFS）既然一個(gè)域的離散化會造成另一個(gè)域的周期延拓，我們不妨從周期序列的離散傅里葉級數(shù)開始討論，然后再討論可視為是周期序列的一個(gè)周期的有限長序列的離散傅里葉變換。一、 DFS的定義1. 周期序列的概念設(shè)是周期為N的一個(gè)周期序列，即， r為任意整數(shù)因?yàn)樵谌魏蝯值下，周期序列z變換的和式都不收斂，即也就是說，周期序列不是絕對可和的

9、，所以不能用z變換表示。 但是，和連續(xù)時(shí)間周期信號一樣，周期序列可以用離散傅里葉級數(shù)來表示，也就是用周期為N的復(fù)指數(shù)序列來表示。2. 周期序列的離散傅里葉級數(shù)變換對（1） 數(shù)學(xué)推導(dǎo)（可略，參見教材P6162）I. 的推導(dǎo)周期為N的復(fù)指數(shù)序列為其k次諧波序列由于，r為任意整數(shù)則因而，離散傅里葉級數(shù)的所有諧波分量中只有N個(gè)是獨(dú)立的。這里，我們?nèi)=0 (N-1)的N個(gè)獨(dú)立諧波分量來構(gòu)成的離散傅里葉級數(shù)，即 （3.2.1）式中，為k次諧波的系數(shù)。II. 的推導(dǎo)欲求解系數(shù)，就要利用等比級數(shù)的求和性質(zhì) （3.2.2）將（3.2.1）式兩端同乘以，然后從n=0 (N-1)的一個(gè)周期內(nèi)求和，則 將上式中的r

10、換成k，可得 通過推導(dǎo)，我們可以看出，周期序列與其離散傅里葉級數(shù)的系數(shù)組成一個(gè)變換對，且也是一個(gè)周期為N的周期序列。（2） 結(jié)論一般，我們習(xí)慣采用符號，則周期序列的離散傅里葉級數(shù)變換公式為：正變換 反變換 上述表達(dá)式求和時(shí)，都只取N個(gè)序列值，這表明：雖然周期序列是無限長序列，但只要研究其一個(gè)周期（有限長）的性質(zhì)，則其他周期的性質(zhì)也就不難得知了，因而周期序列和有限長序列有著本質(zhì)的聯(lián)系。3. 的性質(zhì)（簡單介紹，參見教材P63）（1） 周期性（2） 對稱性（3） 正交性（重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)）二、 DFS的性質(zhì)設(shè)和均是周期為N的周期序列，且有，1. 線性性質(zhì)2. 移位性質(zhì) （時(shí)移） （頻移，又稱調(diào)制特性）3.

11、周期卷積（1） 時(shí)域卷積若，則證：（可略，參見教材P63）由于則注意：此處的卷積為周期卷積。它和前面所介紹的非周期序列的線性卷積的區(qū)別在于：參與周期卷積運(yùn)算的兩個(gè)序列都是周期為N的周期序列，則其卷積結(jié)果仍是一個(gè)以N為周期的周期序列；求和運(yùn)算只在一個(gè)周期（m=0N-1）的范圍內(nèi)進(jìn)行。周期卷積的運(yùn)算過程（參見P64圖3.2.2）：運(yùn)算在m=0N-1區(qū)間內(nèi)進(jìn)行，先計(jì)算出n=0，1，N-1的卷積結(jié)果，然后將所得的結(jié)果進(jìn)行周期延拓，即可得到所求的整個(gè)周期序列。注意：計(jì)算過程中，一個(gè)周期的某一序列值移出計(jì)算區(qū)間時(shí)，相鄰的一個(gè)周期的同一位置的序列值就移入計(jì)算區(qū)間。（2） 頻域卷積由于DFS和IDFS的對稱性

12、，同樣可以證明：時(shí)域周期序列的乘積對應(yīng)頻域周期序列的周期卷積，即：若，則 習(xí)題：3.4思考題：P102 3.5, 3.63.3 離散傅里葉變換（DFT）一、 DFT的定義由前述討論可知，周期序列實(shí)際上只有有限個(gè)序列值有意義，因而其離散傅里葉級數(shù)表達(dá)式同樣也適用于有限長序列，這就得到了我們將要介紹的有限長序列的離散傅里葉變換。1. 有限長序列和周期序列的關(guān)系設(shè)x(n)是長度為N的有限長序列。我們可以把它看成是周期為N的周期序列的一個(gè)周期，而把看成是以N為周期對x(n)進(jìn)行周期延拓的結(jié)果，則有限長序列x(n)和周期序列之間的關(guān)系可表示為通常，我們將周期序列的第一個(gè)周期（n=0N-1）定義為“主值區(qū)

13、間”，故x(n)是的“主值序列”，且上述關(guān)系式可簡寫為 （3.3.1）式中，(n)N表示“n對N求余數(shù)”，或稱“n對N取模值”；令 則n1為n對N的余數(shù)，無論n1加上多少倍的N，其余數(shù)均為n1，也就是說，周期性重復(fù)出現(xiàn)的x(n)N數(shù)值是相等的。例如，是周期N=9的序列，則n=25、-5的余數(shù)分別為n = 25 = 29 + 7，即 (25)9 = 7n = -5 = -19 + 4，即 (-5)9 = 4利用長度為N的矩形序列符號RN(n)，即則（3.3.1）式又可寫成 同理，頻域周期序列也可看成是對有限長序列X(k)的周期延拓，而有限長序列X(k)則可看成是周期序列的主值序列，即2. 有限長

14、序列的離散傅里葉變換對由DFS和IDFS的公式表達(dá)式可以看出，其求和運(yùn)算分別只限定在n =0N-1和k = 0N-1的主值區(qū)間內(nèi)進(jìn)行，則它們完全適用于主值序列x(n)和X(k)。因此，我們可以類推得到有限長序列的離散傅里葉變換公式為：正變換 反變換 習(xí)題：3.5, 3.6, 3.7思考題：P102 3.7, 3.8二、 DFT的性質(zhì)由于DFT與DFS之間的密切關(guān)系，應(yīng)注意其性質(zhì)的異同之處以及與DFT所隱含的周期性之間的關(guān)系。1. 線性性質(zhì)設(shè)x1(n)和x2(n)均是長度為N的有限長序列，且有，則 說明：（1） 若x1(n)和x2(n)的長度均為N，則ax1(n)+bx2(n)的長度也為N；（2

15、） 若x1(n)和x2(n)的長度不等，設(shè)分別為N1和N2，則ax1(n)+bx2(n)的長度應(yīng)為二者中的最大值，即N = maxN1, N2； 例如，當(dāng)N1，則表明此x(n)在前面已經(jīng)和x()調(diào)換過了，不必再調(diào)換；否則，就必須進(jìn)行互換。綜上所述，實(shí)現(xiàn)倒位序排列的具體方法為：若n時(shí)，不必調(diào)換；若n1時(shí)，隨著的增大，螺線趨向圓內(nèi)（內(nèi)旋）；0為螺線采樣點(diǎn)之間的等分角，由于0可以是任意的，則減小0，就能提高頻率分辨率，這對分析具有任意起始頻率的高分辨率窄帶頻譜具有重要意義；將（3.4.17）式代入（3.4.16）式中，可得給定路徑zk的Z變換為 （3.4.18）可見，該公式與直接計(jì)算DFT相似，當(dāng)N

16、，M很大時(shí)，其計(jì)算量也很大，因此我們可采用等式 （3.4.19）將（3.4.18）式的運(yùn)算轉(zhuǎn)換成卷積和形式，以便FFT算法來提高運(yùn)算速度。將（3.4.19）式代入（3.4.18）式中，得令 則 （3.4.20）顯然，X(zk)是通過兩個(gè)有限長序列的線性卷積而得到的，其運(yùn)算過程如圖所示。2. 算法的實(shí)現(xiàn)我們可以通過循環(huán)卷積來實(shí)現(xiàn)上述算法中的線性卷積，以便利用FFT快速算法。由（3.4.20）式可見，線性系統(tǒng)h(n)是非因果系統(tǒng)，當(dāng)n的取值為0N-1，k的取值為0M-1時(shí)，h(n)中n由-(N-1) M-1，即h(n)是長度為N+M-1的有限長序列，而輸入信號則是長度為N的有限長序列，因此用循環(huán)卷

17、積實(shí)現(xiàn)線性卷積且不產(chǎn)生混疊失真的條件是循環(huán)卷積的長度（點(diǎn)數(shù)）應(yīng)大于或等于2 N+M-2。但是，由于我們只需要前M個(gè)X(zk)（k =0, 1, , M-1）值，對其他值是否有混疊失真并不感興趣，這樣我們可將循環(huán)卷積的長度（點(diǎn)數(shù)）縮減到N+M-1，同時(shí)考慮到進(jìn)行基-2FFT運(yùn)算的需要，所以，我們可以得出如下結(jié)論：用CZT法計(jì)算傅里葉變換的條件是：循環(huán)卷積的長度L應(yīng)取為LN+M-1，同時(shí)又滿足L=2m最小值。至于CZT算法的具體實(shí)現(xiàn)步驟，這里我們不再詳加介紹（參見教材P101）。由以上分析可知，CZT算法非常靈活，CZT算法的輸入序列長度N和輸出序列長度M可以不等，且二者可以是任意數(shù)（包括素?cái)?shù)）；

18、各采樣點(diǎn)zk之間的間隔角0也可以是任意的，因而可調(diào)整頻率分辨率；計(jì)算Z變換的軌跡不是圓周，而是更有一般性的螺線；此外，起始點(diǎn)z0可任意選定，也就是說可以從任意頻率開始對輸入信號進(jìn)行頻譜分析。在特定情況下（A=1，M =N，W=e2j/N），則CZT變成DFT。3.5 習(xí)題與解答I. 傅里葉變換概述3.1 習(xí)題3.2設(shè)序列x(n)=(n-m)，求其頻譜X(ej)，并討論其幅頻和相頻響應(yīng)分析：求解序列的頻譜有兩種方法：先求序列的z變換X(z)，再求頻譜，即X(ej)為單位圓上的z變換；直接求序列的傅里葉變換解：對序列x(n)先進(jìn)行z變換，再求頻譜，得則若系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng)h(n)=x(n)，則系統(tǒng)

19、的頻率響應(yīng)故其幅頻和相頻響應(yīng)（如圖）分別為幅頻響應(yīng) 相頻響應(yīng) ()H(ej)1由圖可見，該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)具有單位幅值以及線性相位的特點(diǎn)。3.2 設(shè)x(n)的傅里葉變換為X(ej)，試?yán)肵(ej)表示下列序列的傅里葉變換：（1）（2） （共軛對稱序列）分析：利用序列翻褶后的時(shí)移性質(zhì)和線性性質(zhì)來求解，即， 解：（1）由于，則故（2）由于共軛對稱序列，且故3.3 設(shè)X(ej)是如圖所示的信號x(n)的傅里葉變換，不必求出X(ej)，試完成下列計(jì)算：（1）（2）（3）分析：利用序列傅里葉變換的定義以及帕塞瓦定理來求解。（1） 序列的傅里葉變換公式為：正變換 反變換 （2） 帕塞瓦定理解：（1）由傅里葉正變換公式可知=0，則（2）由于ej0=1，則由傅里葉反變換公式可知n=0，故（3） 由帕塞瓦定理，得II. 周期序列的離散傅里