數(shù)學建模論文儲油罐的變位識別與罐容表標定

1、儲油罐的變位識別與罐容表標定摘要 本論文中，建立了橢圓柱體罐內儲油量與油位高度及變位參數(shù)和之間的一般關系模型。在建模和求解的過程中，采用機理分析和統(tǒng)計分析相結合的方法，不僅給出了所有問題的結果，還對結果進行了正確性和可靠性的評估。 問題一中，首先用“體積元素法”對縱向變位為的橢圓柱體進行了積分求解并給出了儲油量與油位高度及縱向變位參數(shù)的解析表達式。接著用實驗數(shù)據(jù)對該模型進行了修正，消除了油罐系統(tǒng)本身引起的誤差。經(jīng)過修正后的曲線和實驗樣點符合得相當好。最后，用mathematica軟件編程繪出了值逐漸增大時關系曲線的變化趨勢圖，曲線大致向右下方平移，并給出了罐體變位后高度間隔為1cm的罐容表標定

2、值，見第9頁表一。問題二中，首先把實際油罐進行合理的簡化，將它兩邊的球冠用等體積的圓柱體代替，這樣一來，實際油罐便等效為圓柱體。因為圓柱體是橢圓柱體的特殊情形，所以我們直接用問題一中建立的模型給出了該圓柱體罐內儲油量與油位高度及變位參數(shù)和之間的一般關系模型。其中的影響同模型一，逐漸增大時關系曲線大致繞著某點順時針旋轉。但對關系曲線的影響要強于。 接著用“最小二乘法”的方法，建立確定變位參數(shù)的一般模型。通過計算機編程粗略計算求出的近似取值在區(qū)間2.1,2.3，的近似取值在區(qū)間0,1。再經(jīng)過精細計算，求出的的最優(yōu)值為2.12，的最優(yōu)值為0。 由此可見，對的關系的影響占主導位置，的影響可以忽略不計。

3、最終，給出了罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標定值，見第15頁表二。 通過計算，我們給出問題二中理論曲線和實際散點的均偏差為=0.045871升，說明：當，時，我們的模型與實際情況符合的很好。盡管在曲線的邊緣上有點誤差，但作為近似是相當不錯的。關鍵字 機理分析 統(tǒng)計分析 體積元素法 最小二乘法 罐容表標定一、問題重述 通常加油站都有若干個儲存燃油的地下儲油罐，并且一般都有與之配套的“油位計量管理系統(tǒng)”，采用流量計和油位計來測量進/出油量與罐內油位高度等數(shù)據(jù)，通過預先標定的罐容表（即罐內油位高度與儲油量的對應關系）進行實時計算，以得到罐內油位高度和儲油量的變化情況。許多儲油罐在使用一段時

4、間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉等變化（以下稱為變位），從而導致罐容表發(fā)生改變。按照有關規(guī)定，需要定期對罐容表進行重新標定。圖1是一種典型的儲油罐尺寸及形狀示意圖，其主體為圓柱體，兩端為球冠體。圖2是其罐體縱向傾斜變位的示意圖，圖3是罐體橫向偏轉變位的截面示意圖。請你們用數(shù)學建模方法研究解決儲油罐的變位識別與罐容表標定的問題。 （1）為了掌握罐體變位后對罐容表的影響，利用如圖4的小橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對罐體無變位和傾斜角為a=4.10的縱向變位兩種情況做了實驗，實驗數(shù)據(jù)如附件1所示。請建立數(shù)學模型研究罐體變位后對罐容表的影響，并給出罐體變位后油

5、位高度間隔為1cm的罐容表標定值。（2）對于圖1所示的實際儲油罐，試建立罐體變位后標定罐容表的數(shù)學模型，即罐內儲油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度a和橫向偏轉角度b ）之間的一般關系。請利用罐體變位后在進/出油過程中的實際檢測數(shù)據(jù)（附件2），根據(jù)你們所建立的數(shù)學模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標定值。進一步利用附件2中的實際檢測數(shù)據(jù)來分析檢驗你們模型的正確性與方法的可靠性。二、模型假設（1） 不考慮出進油管的厚度；（2） 儲油罐的厚度均勻；（3） 罐體只發(fā)生縱向變位和橫向變位，不考慮自身形變；（4） 實際情況中和的值比較小。 三、符號說明：油罐的儲油量：罐內

6、油位高度：體積積分的下限：體積積分的上限：縱向傾斜角度：橫向偏轉角度：柱體的長度4、 問題的分析與簡化 根據(jù)題目的要求，我們在建模中需要給出一般橢圓柱體（特殊為圓柱體)罐內儲油量與油位高度及變位參數(shù)和之間的一般關系模型。為了求出儲油量和油位高度之間滿足的函數(shù)關系，我們可以利用微積分學中的“體積元素法”進行積分求解。如果積分式是簡單的，我們可以直接套用積分公式，給出關于的精確解析式；否則，我們可以借助計算機編程實現(xiàn)復雜函數(shù)的積分，給出近似的數(shù)值解。 求出了之后，我們還要根據(jù)實際數(shù)據(jù)求出和的值。為此，我們可以利用統(tǒng)計學中“最小二乘法”求極值的方法，給出確定變位參數(shù)的一般模型。 我們采用的這種機理分

7、析和統(tǒng)計分析相結合的方法，不僅可以給出所有問題的結果，還可以對結果進行正確性和可靠性的評估。5、 模型的建立與求解5.1問題一模型的建立（1） 橢圓罐體無變位情形 我們把橢圓球罐抽象成橢圓柱體，其底面為橢圓，并忽略它的厚度等次要因素。 如圖5.1.1所示建立空間直角坐標系，其中坐標原點，點，點，點分別為圖中矩形軸截面的左下頂點，右下頂點，左上頂點和右上頂點，油浮子的位置記為點，油位探針與橢圓柱體下表面的交點記為點，水面與矩形軸截面左邊的交點記為點。 設橢圓柱體的長為，其底面的長半軸和短半軸分別為和，則橢圓柱體表面的方程為（） 圖5.1.1 圖5.1.2 下面我們考慮橢圓柱體無變位時（此時），儲

8、油量與罐內油位高度之間的關系，設儲油量表示為罐內油位高度的函數(shù)關系式。如圖5.1.2所示，我們在橢圓柱體中高為的地方取一個長方體的小體元，小體元的長為，寬為，高為。根據(jù)積分的概念，該小體元的體積為，又，設積分的上下限分別為，根據(jù)上述分析，我們得到.(5.1.1)其中， 利用積分公式，我們求得與的關系式為（2）罐體縱向變位情形 下面我們考慮橢圓柱體縱向變位時（此時，以x軸為基準，順時針旋轉為負值，逆時針旋轉為正值）。因為橢圓柱體不再是水平放置的，有一定的傾斜，所以我們很難一次性給出關于的積分式，必須分段積分，此時求得儲油量關于 的關系式也是分段函數(shù)。 根據(jù)油面所處的位置不同，我們把它分為三種情形

9、考慮。 設油面的方程為(其中) 因為油面始終過點,將點的坐標代入油面方程，解出，即油面方程為.(5.1.2)1第一種情形考慮油面從過點一直變化到過點。將點的坐標和點的坐標分別代入(5.1.2)式，解出的兩個臨界值分別為和，介于兩者之間，即(其中，)。圖5.1.3 如圖5.1.3所示，我們在橢圓柱體滿足部分中高為的地方取一個長方體的體元，小體元的長為，寬為，高為。小體元的長即為小體元與油面交線的橫坐標和小體元與橢圓柱體左端面交線的橫坐標之差。其中,點滿足油面方程，代入(5.1.2)式解出，那么(其中）根據(jù)積分的概念，該小體元的體積為，又，設積分的上下限分別為，根據(jù)上述分析，我們得到， .(5.1

10、.3) 2第二種情形考慮油面從過點一直變化到過點。將點的坐標和點的坐標分別代入(5.1.1)式，解出的兩個臨界值分別為和，介于兩者之間，即(其中，)。 圖5.1.4如圖5.1.4所示，我們在橢圓柱體中把滿足部分分為和兩部分，和的分界面過油面與橢圓柱體右端面的交線且垂直于圖中的矩形截面。 其中 部分可以根據(jù)公式(5.1.1)求解，即 又，部分可以根據(jù)公式(5.1.3)求解，即又， 綜合以上兩部分，得到總儲油量與油位高度關系式為.(5.1.4) 3第三種情形：考慮油面從過點一直變化到過點。將點的坐標和點的坐標分別代入(5.1.2)式，解出的兩個臨界值分別為和，介于兩者之間，即(其中，)。 圖5.1

11、.4如圖5.1.4所示，我們在橢圓柱體中把滿足部分分為和兩部分，和的分界面過點且垂直于圖中的矩形截面。 其中 部分可以根據(jù)公式(5.1.1)求解，即 又，部分可以根據(jù)公式(5.1.3)求解，即又， 綜合以上兩部分，得到總儲油量與油位高度關系式為.(5.1.4) 5.2 問題一的分析與求解(1) 模型一的誤差分析與修正 我們利用模型一進行mathematica編程繪出儲油量關于油位高度的函數(shù)曲線。并在該圖中繪出實驗數(shù)據(jù)的散點圖，進行對照。 繪出無邊位時和縱向變位的理論曲線圖和實驗散點圖，分別如圖5.2.1和圖圖5.2.2所示。 圖5.2.1 無變位理論曲線和實驗樣點曲線 圖5.2.2 縱向變位理

12、論曲線和實 驗樣點曲線 通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)：理論曲線和實踐散點圖有一點點偏差。我們猜想這可能由于油位探針和進出油罐占了一定的容積引起的,屬于系統(tǒng)誤差。 下面，我們擬合了無變位情形和有變位情形誤差關于的函數(shù)曲線，如圖5.2.3和圖5.2.4所示。通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)：無變位時誤差隨大致成線性關系變化；而有變位時誤差隨成非線性關系變化。因此，我們猜想：系統(tǒng)誤差隨著的變化而變化。 圖5.2.3 無變位系統(tǒng)誤差擬合函數(shù)與 圖5.2.4 有變位系統(tǒng)誤差擬合函數(shù) 的關系曲線 的關系曲線 最后，我們利用實驗數(shù)據(jù)對原模型進行了修正，圖5.2.5和圖5.2.6分別為無變位和縱向變位修正后的結果。通過觀察圖形，我們

13、發(fā)現(xiàn)：修正后的函數(shù)曲線和實驗散點圖擬合得很好。 圖5.2.5無變位（修正后）理論曲線和實驗 圖5.2.6 縱向變位（修正后）理論 樣點曲線對照圖 和實驗樣點曲線對照圖 （2） 罐體變位后對罐容表的影響 為了研究罐體變位后對罐容表的影響，我們利用原模型利用mathematicia編程，繪出了不同值時關于的函數(shù)曲線的變化趨勢。通過觀察圖形,我們發(fā)現(xiàn)：隨著的增大，函數(shù)曲線大致往右下方平移，說明罐容表中相同體積的油量對應的油位增加。 圖4.2.7變位參數(shù)取不同值使曲線的變化趨勢（3） 罐體變位后罐容表的標定 我們利用上述模型用mathematica編程求解，給出了罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表

14、標定值，如表一所示。表一 罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標定值h/cmv/lh/cmv/lh/cmv/lh/cmv/l1.00 87.10 31.00 623.92 61.00 1763.26 91.00 3027.21 2.00 87.07 32.00 656.39 62.00 1805.05 92.00 3067.93 3.00 87.98 33.00 689.39 63.00 1846.97 93.00 3108.44 4.00 89.94 34.00 722.91 64.00 1888.99 94.00 3148.69 5.00 93.02 35.00 756.92 65.00

15、 1931.12 95.00 3188.69 6.00 97.30 36.00 791.40 66.00 1973.34 96.00 3228.42 7.00 102.85 37.00 826.33 67.00 2015.65 97.00 3267.84 8.00 109.75 38.00 861.70 68.00 2058.02 98.00 3306.96 9.00 118.05 39.00 897.49 69.00 2100.46 99.00 3345.75 10.00 127.81 40.00 933.69 70.00 2142.94 100.00 3384.19 11.00 139.0

16、9 41.00 970.28 71.00 2185.46 101.00 3422.26 12.00 151.93 42.00 1007.24 72.00 2228.02 102.00 3459.93 13.00 166.40 43.00 1044.56 73.00 2270.59 103.00 3497.19 14.00 182.54 44.00 1082.23 74.00 2313.16 104.00 3534.01 15.00 200.39 45.00 1120.23 75.00 2355.74 105.00 3570.36 16.00 219.78 46.00 1158.55 76.00

17、 2398.30 106.00 3606.22 17.00 240.45 47.00 1197.17 77.00 2440.84 107.00 3641.56 18.00 262.29 48.00 1236.09 78.00 2483.34 108.00 3676.34 19.00 285.19 49.00 1275.29 79.00 2525.79 109.00 3710.53 20.00 309.09 50.00 1314.76 80.00 2568.18 110.00 3744.09 21.00 333.92 51.00 1354.48 81.00 2610.51 111.00 3776

18、.98 22.00 359.62 52.00 1394.44 82.00 2652.75 112.00 3809.15 23.00 386.15 53.00 1434.64 83.00 2694.90 113.00 3840.54 24.00 413.47 54.00 1475.06 84.00 2736.94 114.00 3871.09 25.00 441.54 55.00 1515.69 85.00 2778.86 115.00 3900.72 26.00 470.32 56.00 1556.52 86.00 2820.66 116.00 3929.34 27.00 499.79 57.

19、00 1597.54 87.00 2862.31 117.00 3956.80 28.00 529.91 58.00 1638.73 88.00 2903.80 29.00 560.65 59.00 1680.09 89.00 2945.12 30.00 592.00 60.00 1721.60 90.00 2986.26 5.3問題二模型的建立（1）實際儲油罐的簡化 我們在上面用模型一很好地解決了問題一,說明模型一的建立是很成功。但問題二中，儲油罐兩邊多了兩個球冠，這就使得我們用體積分公式很難求出一般的解析解，用編程的方法給出數(shù)值解也是相當麻煩的。因此，我們需要對實際的儲油罐做出如下的合理簡

20、化。 圖5.3.1 如圖5.3.1所示以我們利用“等體積法”，將儲油罐兩邊的球冠轉轉化為與之體積相等的兩個圓柱體。設球冠的體積為，與之等體積的圓柱體的體積為，半徑為，長為，則有 以等效后的圓柱體為基準建立空間直角坐標系，其中點，點，點，點和點，點，點，點分別為等效前和等效后圓柱體矩形軸截面的左下頂點，右下頂點，左上頂點和右上頂點，油浮子的位置記為點，油位探針與橢圓柱體下表面的交點記為點，水面與等效后矩形軸截面左邊的交點記為點。 設等效前圓柱體的長為，其底面的半徑為，橢圓柱體表面的方程為（） 那么等效后圓柱體的長為，則,，。（2） 橫向偏轉角度對油位高度的影響 圖5.3.2如圖5.3.2所示，定

21、性地分析，我們發(fā)現(xiàn)：1當，油浮子顯示的油位高度等于油位的實際高度；2當，油浮子顯示的油位高度大于油位的實際高度； 下面我們定量分析橫向偏轉角度對油位高度的影響。設為油浮子顯示的油位高度，為罐內油位的實際高度，則根據(jù)圖形的幾何關系，有又，（3）縱向傾斜角度對油位高度的影響 如圖5.3.1所示，定性地分析，我們發(fā)現(xiàn)： 時油面與圓柱體左端面交線的高度小于時油面與圓柱體左端面交線的高度。 下面我們定量分析橫向偏轉角度對油面高度的影響。 油面與圓柱體左端面交線的高度即為油位方程在軸上的截距，記為。 根據(jù)模型一中與的關系式，代入的具體表達式，我們有.(5.3.1)(4) 建立罐內儲油量與油位高度及變位參數(shù)

22、（和）之間的一般關系模型在問題一中，我們建立了橢圓柱體儲油量與油位高度及變位參數(shù)之間的一般關系模型。而問題二中經(jīng)過簡化后的圓柱體是橢圓柱體的特殊情形，即。而變位參數(shù)和的影響可以折算到油面在軸的截距中。這樣一來，我們只要把模型一中的和都改為，用（5.3.1）式代替，就可以直接利用模型一給出圓柱罐內儲油量與油位高度及變位參數(shù)（和）之間的一般關系給出問題二的模型結果。1根據(jù)模型一的第一種情形，我們有 (其中，) (其中，)2根據(jù)模型一的第二種情形，我們有 (其中，) (其中,)(其中，) 3根據(jù)模型一的第三種情形，我們有 (其中，)。 （其中，)(其中，) 綜合以上兩部分，得到總儲油量與油位高度關系

23、式為注：上述關系式中。（5）最小二乘法確定變位參數(shù)和 在上面，我們求出了罐內儲油量與油位高度及變位參數(shù)和之間的一般關系式，記為。而式子中含有變位參數(shù)和，我們需要根據(jù)實際數(shù)據(jù)求出和的值。下面，我們利用統(tǒng)計方法學中的最小二乘法思想確定確定變位參數(shù)和。 設為第次出油量，為第次出油后油浮子顯示的高度。我們從實際測量的數(shù)據(jù)中取出n個樣本點(其中)。其中應該等于油位高度為時的實際油量與油位高度為時的實際油量的差值。 為用上述模型求出的油量的理論值，那么 -便為從油位高度為變位時的理論出油量。 我們用最小二乘法的思想，給出各個樣本點理論出油量與實際出油量的差值平方的總和，即 令 解上述方程組，可得和的解，它

24、使得關系式和實際數(shù)據(jù)文和得最好。5.4問題二的分析與求解（1） 求解和的值 由于關于,和的函數(shù)解析式比較復雜，我們很難理論上通過求極值的方法求出和的值。因此，我們利用mathematicia編程繪出關于與的散點趨勢圖，定出和的可行變化區(qū)間，從而利用下面算法求解具體的值。圖5.4.1關于與的散點趨勢圖，1和粗略求解算法第一步 出油次數(shù)，為第次出油量，為出油后顯示的油高度。第二步 將與每隔取一組數(shù)值，共組數(shù)據(jù)。第三步 將帶入模型中，得到在下的關于的關系。第四步 求出油高分別為和的油量體積差。利用最小二乘法思想，計算。第五步 求出的最小值，輸出使最小時相應的。2和精細求解算法第一步 出油次數(shù)，為第次

25、出油量，為出油后顯示的油高度。第二步 在和粗略解的附近每隔取一組數(shù)值，共組數(shù)據(jù)。第三步 將帶入模型中，得到在下的關于的關系。第四步 求出油高分別為和的油量體積差。第五步 利用最小二乘法思想，計算，與相應的構成空間坐標點。第六步 將取定值，擬合，求出擬和函數(shù)一階導數(shù)為零、二階導數(shù)大于零時的值，得到平面坐標。第七步 擬合，求出擬合函數(shù)一階導數(shù)為零、二階導數(shù)大于零時的值與相應的。第八步 將取定值，擬合，求出擬合函數(shù)一階導數(shù)為零、二階導數(shù)大于零時的值，得到平面坐標。第九步 擬合，求出擬合函數(shù)一階導數(shù)為零、二階導數(shù)大于零時的值與相應的。第十步輸出和。我們利用通過計算機編程粗略計算求出的近似取值在區(qū)間2.

26、1,2.3，的近似取值在區(qū)間0,1。再經(jīng)過精細計算，求出的的最優(yōu)值為2.12，的最優(yōu)值為0。繪出關于（的偏差值）的散點圖和關于（的偏差值）的散點圖如5.4.2和5.4.3所示。 圖5.4.2關于的散點圖 圖5.4.3關于的散點圖(2) 變位參數(shù)對關系的影響 我們用mathematica編程求出時關系曲線隨的變化趨勢和時關系曲線隨的變化趨勢。 通過觀察圖形，我們發(fā)現(xiàn)：關系曲線隨的增大大致向左下方平移；關系曲線隨的增大順時針旋轉。它們都使得相同容積的油量對應的油位高度變大。 其中，對關系的影響比強。 圖5.4.4 時和的關系曲線隨 圖5.4.5 時和的關系 曲的變化趨勢 線隨的變化趨勢（3）罐體變

27、位后油位高度間隔為10cm的罐容表標定值 利用上面解出的和的值，我們給出了罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標定值，如表二所示。 表二 罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標定值h/cm102030405060708090100v/l414.55 1157.26 2362.55 3913.23 5707.89 7696.75 9845.53 12127.84 14521.93 17009.15 h/cm110120130140150160170180190200v/l19572.95 22198.25 24871.05 27578.13 30306.73 33044.44 35778.94 38497.91 41188.76 43838.53 h/cm210220230240250260270280290300v/l46433.62 48959.52 5