新現(xiàn)代普通測量6

1、第第6 6章測量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識章測量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識 周志易周志易合肥工業(yè)大學土木與水利工程學院測量工程系合肥工業(yè)大學土木與水利工程學院測量工程系 2013.3.25現(xiàn)代普通測量學現(xiàn)代普通測量學 內容提要內容提要1.1.概述概述2.2.測量誤差的種類測量誤差的種類3.3.偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)4.4.衡量觀測值精度的指標衡量觀測值精度的指標5.5.誤差傳播定律誤差傳播定律6.6.同精度直接觀測平差同精度直接觀測平差7.7.不同精度直接觀測平差不同精度直接觀測平差8.8.點位誤差點位誤差 9.9.最小二乘法原理及其應用最小二乘法原理及其應用

2、 教學要求教學要求了解測量誤差產生的原因和評了解測量誤差產生的原因和評定精度的標準，掌握偶然誤差定精度的標準，掌握偶然誤差的特性、誤差傳播定律及其在的特性、誤差傳播定律及其在測量數(shù)據(jù)處理中的應用方法。測量數(shù)據(jù)處理中的應用方法。 本章重點本章重點偶然誤差的特性、評定精度的標偶然誤差的特性、評定精度的標準，誤差傳播定律及其應用。準，誤差傳播定律及其應用。 6.16.1測量誤差概述測量誤差概述觀測與觀測值觀測與觀測值通過一定的儀器、工具和方法對某量進行量測，稱為通過一定的儀器、工具和方法對某量進行量測，稱為觀測觀測，獲，獲得的數(shù)據(jù)稱為得的數(shù)據(jù)稱為觀測值觀測值。觀測觀測與觀測值的分類與觀測值的分類1.

3、等精度觀測和不等精度觀測等精度觀測和不等精度觀測 構成測量工作的構成測量工作的要素要素包括包括觀測者觀測者、測量儀器測量儀器和和外界條件外界條件，通，通常將這些測量工作的要素統(tǒng)稱為常將這些測量工作的要素統(tǒng)稱為觀測條件觀測條件。 在相同的方法和在相同的方法和外界條件外界條件下，同一精度等級的下，同一精度等級的儀器儀器，由具，由具有大致有大致相同技術水平的人相同技術水平的人所進行的觀測稱為所進行的觀測稱為同精度觀測同精度觀測，其觀，其觀測值稱為測值稱為同精度觀測值或等精度觀測值同精度觀測值或等精度觀測值。反之，稱為。反之，稱為不同精度不同精度觀測觀測，其觀測值稱為，其觀測值稱為不同（不等）精度觀測

4、值不同（不等）精度觀測值。 6.16.1測量誤差概述測量誤差概述2.2.直接觀測和間接觀測直接觀測和間接觀測 為確定某未知量而直接進行的觀測，即被觀測量就是所求為確定某未知量而直接進行的觀測，即被觀測量就是所求未知量本身，稱為未知量本身，稱為直接觀測直接觀測。觀測值稱為。觀測值稱為直接觀測值直接觀測值。通過。通過被觀測量與未知量的被觀測量與未知量的函數(shù)關系函數(shù)關系來確定未知量的觀測稱為來確定未知量的觀測稱為間接間接觀測觀測，觀測值稱為，觀測值稱為間接觀測值間接觀測值。 3.3.獨立觀測和非獨立觀測獨立觀測和非獨立觀測 各觀測值之間無任何依存關系，是相互獨立的觀測稱為各觀測值之間無任何依存關系，

5、是相互獨立的觀測稱為獨獨立觀測立觀測。反之，有一定的幾何或物理條件的約束，為。反之，有一定的幾何或物理條件的約束，為非獨立非獨立觀測觀測 。 6.16.1測量誤差概述測量誤差概述測量誤差及其來源測量誤差及其來源 測量中的被觀測量，客觀上都存在著一個真實值，簡稱測量中的被觀測量，客觀上都存在著一個真實值，簡稱真值真值。對該量進行觀測得到對該量進行觀測得到觀測值觀測值。觀測值與真值之差，稱為。觀測值與真值之差，稱為真誤差真誤差（誤差），即（誤差），即真誤差真誤差觀測值真值觀測值真值 測量中不可避免地存在著測量誤差，觀測值進行測量中不可避免地存在著測量誤差，觀測值進行重復觀測重復觀測（多余（多余觀測

6、），觀測），“多余觀測多余觀測”導致的差異事實上就反映了導致的差異事實上就反映了測量誤差測量誤差。 產生產生測量誤差的原因測量誤差的原因很多，其很多，其來源來源概括起來有以下三方面：概括起來有以下三方面：（1 1）測量儀器測量儀器：儀器精度的局限、軸系殘余誤差等。：儀器精度的局限、軸系殘余誤差等。（2 2）觀測者觀測者：判斷力、分辨力的限制及經驗等。：判斷力、分辨力的限制及經驗等。（3 3）外界環(huán)境條件外界環(huán)境條件：溫度變化、風和大氣折光等。：溫度變化、風和大氣折光等。), 2 , 1(iniXli 6.16.1測量誤差概述測量誤差概述研究測量誤差的研究測量誤差的指導原則指導原則 測量工作的目

7、標測量工作的目標并不是并不是簡單地使測量誤差越小越好，簡單地使測量誤差越小越好，而而是是要在一定的觀測條件下，設法將誤差限制在與測量目的要在一定的觀測條件下，設法將誤差限制在與測量目的相適應的范圍內。通過分析測量誤差，求得未知量的最合相適應的范圍內。通過分析測量誤差，求得未知量的最合理最可靠的結果，并對觀測成果的質量進行理最可靠的結果，并對觀測成果的質量進行評定評定。 6.26.2測量誤差的種類測量誤差的種類 按測量誤差對測量結果影響性質的不同，可將測量誤差分按測量誤差對測量結果影響性質的不同，可將測量誤差分為為粗差粗差、系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差和和偶然誤差偶然誤差三類三類 1 1 粗差也稱粗差也稱錯

8、誤錯誤，是由于觀測者使用儀器不正確或疏忽，是由于觀測者使用儀器不正確或疏忽大意，如測錯、讀錯、聽錯、算錯等造成的錯誤，或因外大意，如測錯、讀錯、聽錯、算錯等造成的錯誤，或因外界條件意外的顯著變動引起的差錯。界條件意外的顯著變動引起的差錯。 在測量中是在測量中是不允許不允許有粗差的，一旦發(fā)現(xiàn)觀測值中有粗差，有粗差的，一旦發(fā)現(xiàn)觀測值中有粗差，應將它應將它剔除剔除。在工作中，遵守測量規(guī)范且仔細謹慎，并對。在工作中，遵守測量規(guī)范且仔細謹慎，并對觀測結果進行檢核。粗差是可以避免和被發(fā)現(xiàn)的。觀測結果進行檢核。粗差是可以避免和被發(fā)現(xiàn)的。 2 2 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差 在相同的觀測條件下，對某量進行的一系列在相同

9、的觀測條件下，對某量進行的一系列觀測中，數(shù)值大小和正負符號固定不變，或按一定規(guī)律變化的觀測中，數(shù)值大小和正負符號固定不變，或按一定規(guī)律變化的誤差，稱為誤差，稱為系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差。 系統(tǒng)誤差具有系統(tǒng)誤差具有累積性累積性，隨著觀測次數(shù)的，隨著觀測次數(shù)的增多而積累。它的存在給觀測結果帶來系統(tǒng)的偏差，反映了觀增多而積累。它的存在給觀測結果帶來系統(tǒng)的偏差，反映了觀測結果的測結果的準確度準確度。 準確度準確度是指觀測值對真值的偏離程度或接近程度。是指觀測值對真值的偏離程度或接近程度。為了提高觀測成果的準確度，首先用為了提高觀測成果的準確度，首先用數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計方法判斷是否有方法判斷是否有系統(tǒng)誤差，其大小

10、是否在允許的范圍內，然后系統(tǒng)誤差，其大小是否在允許的范圍內，然后消除或減弱消除或減弱。系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差消除消除或或減弱減弱( (計算改正計算改正、觀測方法觀測方法、儀器檢校儀器檢校) )。（1 1）測定系統(tǒng)誤差的大小，）測定系統(tǒng)誤差的大小，通過計算通過計算對觀測值加以改正。如鋼對觀測值加以改正。如鋼尺尺長誤差尺尺長誤差 l ld d ，鋼尺溫度誤差鋼尺溫度誤差 l lt t。（2 2）采用）采用對稱觀測對稱觀測，使系統(tǒng)誤差在觀測值中以相反的符號出現(xiàn)。，使系統(tǒng)誤差在觀測值中以相反的符號出現(xiàn)。如水準儀視準軸誤差如水準儀視準軸誤差i i，操作時抵消，操作時抵消( (前后視等距前后視等距) )；經緯儀

11、視準；經緯儀視準軸誤差軸誤差C C 操作時抵消操作時抵消( (盤左盤右取平均盤左盤右取平均) )（3 3）檢校儀器檢校儀器，將儀器存在的系統(tǒng)誤差限制在允許范圍甚至降，將儀器存在的系統(tǒng)誤差限制在允許范圍甚至降低到最小限度。另外，系統(tǒng)誤差還取決于我們對它的低到最小限度。另外，系統(tǒng)誤差還取決于我們對它的認識程度認識程度。3 偶然誤差偶然誤差 在相同的觀測條件下對某量進行一系列觀測，在相同的觀測條件下對某量進行一系列觀測，單個誤差單個誤差的出現(xiàn)沒有一定的規(guī)律性，其數(shù)值的大小和符號都不的出現(xiàn)沒有一定的規(guī)律性，其數(shù)值的大小和符號都不固定，表現(xiàn)出偶然性，但固定，表現(xiàn)出偶然性，但大量的誤差大量的誤差卻具有一定

12、的統(tǒng)計規(guī)律性，卻具有一定的統(tǒng)計規(guī)律性，這種誤差稱為這種誤差稱為偶然誤差偶然誤差，又稱為，又稱為隨機誤差隨機誤差。例：估讀數(shù)、氣泡居中判斷、瞄準、對中等誤差，導致觀測值產例：估讀數(shù)、氣泡居中判斷、瞄準、對中等誤差，導致觀測值產生誤差生誤差 。 偶然誤差反映了觀測結果的精密度。精密度簡稱偶然誤差反映了觀測結果的精密度。精密度簡稱精度精度，精密度精密度（精度）（精度）是指在同一觀測條件下，用同一觀測方法對某量多次觀是指在同一觀測條件下，用同一觀測方法對某量多次觀測時，各觀測值之間相互的測時，各觀測值之間相互的離散程度離散程度。精度的精度的評定評定: : 評價評價觀測誤差大小觀測誤差大小的問題。的問題

13、。 若觀測值誤差中若觀測值誤差中中小中小誤差誤差比例較比例較大大，則反映，則反映 誤差分布較誤差分布較密集密集，表明觀測，表明觀測精度精度比較比較高高；若觀測值誤差中若觀測值誤差中大誤差大誤差比例較比例較大大，則反映誤差分布較，則反映誤差分布較離散離散，表明，表明觀測觀測精度精度比較比較低低。 精度是一組觀測成果質量好壞的標志。精度是一組觀測成果質量好壞的標志。4 4 系統(tǒng)誤差和偶然誤差的關系：系統(tǒng)誤差和偶然誤差的關系：（1 1）兩者同時存在，當系統(tǒng)誤差顯著時，偶然誤差就居于次要）兩者同時存在，當系統(tǒng)誤差顯著時，偶然誤差就居于次要地位，觀測誤差呈現(xiàn)出系統(tǒng)的性質；反之，呈現(xiàn)出偶然的性質。地位，觀

14、測誤差呈現(xiàn)出系統(tǒng)的性質；反之，呈現(xiàn)出偶然的性質。（2 2）對剔除了粗差的觀測值，首先應尋找、判斷和排除系統(tǒng)誤）對剔除了粗差的觀測值，首先應尋找、判斷和排除系統(tǒng)誤差，或將其控制在允許的范圍內，然后根據(jù)偶然誤差的性質，對差，或將其控制在允許的范圍內，然后根據(jù)偶然誤差的性質，對觀測值進行數(shù)學處理，求出未知量的最或是值，評定觀測精度。觀測值進行數(shù)學處理，求出未知量的最或是值，評定觀測精度。 最或是值：最接近未知量真值的估值。最或是值：最接近未知量真值的估值。評定精度：評定觀測結果的優(yōu)劣。評定精度：評定觀測結果的優(yōu)劣。測量平差：評定精度的工作在測量上稱為測量平差，簡稱平差。測量平差：評定精度的工作在測量

15、上稱為測量平差，簡稱平差。 6.36.3偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù) 偶然誤差單個出現(xiàn)時不具有規(guī)律性，但在相同條件下重復觀測偶然誤差單個出現(xiàn)時不具有規(guī)律性，但在相同條件下重復觀測某一量時，所出現(xiàn)的大量的偶然誤差具一定的規(guī)律性。可根據(jù)某一量時，所出現(xiàn)的大量的偶然誤差具一定的規(guī)律性?？筛鶕?jù)概率原理，用概率原理，用統(tǒng)計學的方法統(tǒng)計學的方法來分析研究。來分析研究。舉例舉例: : 在某測區(qū)，等精度觀測了在某測區(qū)，等精度觀測了358358個三角形的內角之和，得到個三角形的內角之和，得到358358個三角形閉合差個三角形閉合差 ii( (偶然誤差，也即真誤差偶然誤差，也即真誤

16、差) ) ，然后對三角，然后對三角形閉合差形閉合差 ii 進行分析。進行分析。 分析結果表明，當觀測次數(shù)很多時，偶然誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)分析結果表明，當觀測次數(shù)很多時，偶然誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出出統(tǒng)計學上統(tǒng)計學上的規(guī)律性。而且，觀測次數(shù)越多，的規(guī)律性。而且，觀測次數(shù)越多，規(guī)律性規(guī)律性越明顯。越明顯。 6.36.3偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù) 表表6-1 6-1 誤差統(tǒng)計表誤差統(tǒng)計表誤差區(qū)間誤差區(qū)間d d 負負 誤誤 差差正正 誤誤 差差個數(shù)個數(shù)k k相對個數(shù)相對個數(shù)個個 數(shù)數(shù)k k相對個數(shù)相對個數(shù)0.00.20.00.20.20.40.20.40.40.60.40.60

17、.60.80.60.80.81.00.81.01.01.21.01.21.21.41.21.41.41.61.41.61.61.6以上以上4545404033332323171713136 64 40 00.1260.1260.1120.1120.0920.0920.0640.0640.0470.0470.0360.0360.0170.0170.0110.0110.0000.0004646414133332121161613135 52 20 00.1280.1280.1150.1150.0920.0920.0590.0590.0450.0450.0360.0360.0140.0140.006

18、0.0060.0000.000總和總和1811810.5050.5051771770.4950.495 6.36.3偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù) (1)(1)在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值會超過一定的限值( (有界性有界性) )；(2)(2)絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機會多會多( (趨向性趨向性) )；(3)(3)絕對值相等的正誤差和負誤差出現(xiàn)的機會相絕對值相等的正誤差和負誤差出現(xiàn)的機會相等等( (對稱性對稱性) )；(4)(4)當觀測次數(shù)無限增加時，偶

19、然誤差的算術平當觀測次數(shù)無限增加時，偶然誤差的算術平均值趨近于零均值趨近于零 ( (抵償性抵償性) )。偶然誤差的特性偶然誤差的特性: 0limlim21nnnnn 6.36.3偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù) 誤差統(tǒng)計直方圖誤差統(tǒng)計直方圖 ：相對個數(shù)：相對個數(shù) 稱為稱為頻率頻率，組距組距d橫坐標橫坐標：偶然誤差的大小；：偶然誤差的大??；縱坐標縱坐標：長方條的長方條的面積面積為偶然誤差出現(xiàn)在該區(qū)間內為偶然誤差出現(xiàn)在該區(qū)間內頻率頻率。若觀測次數(shù)若觀測次數(shù)n n，并將區(qū)，并將區(qū)間分得無限小（間分得無限?。╠d00），），直方圖就變?yōu)橹狈綀D就變?yōu)閷ΨQ光滑曲線對稱光滑曲線（

20、高斯高斯偶然誤差分布曲線），偶然誤差分布曲線），概率論中稱為概率論中稱為正態(tài)誤差分布正態(tài)誤差分布曲線曲線。nk組距頻率 6.36.3偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù) 誤差正態(tài)分布曲線誤差正態(tài)分布曲線 實踐證明，偶然誤差實踐證明，偶然誤差不能不能用計算來改正或用一定的觀測方法用計算來改正或用一定的觀測方法簡單地加以消除，簡單地加以消除，只能只能根據(jù)其特性來合理地處理觀測數(shù)據(jù)，以根據(jù)其特性來合理地處理觀測數(shù)據(jù)，以提高觀測成果的質量提高觀測成果的質量 。22)(hehfceh 6.46.4衡量觀測值精度的指標衡量觀測值精度的指標 在測量中，常用在測量中，常用精確度精確度來

21、評價觀測成果的優(yōu)劣。來評價觀測成果的優(yōu)劣。精確度精確度是是準確度與精密度的總稱。準確度與精密度的總稱。準確度準確度主要取決于主要取決于系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的大??；的大小；精密度（精度）精密度（精度）主要取決于主要取決于偶然誤差偶然誤差的分布。的分布。 對基本不包含系統(tǒng)誤差，而主要含有對基本不包含系統(tǒng)誤差，而主要含有偶然誤差偶然誤差的一組觀測值，的一組觀測值，可用可用精密度精密度（精度）來評價該組觀測值質量的高低。（精度）來評價該組觀測值質量的高低。 為了衡量觀測值精度的高低，需要建立一個統(tǒng)一的衡量精為了衡量觀測值精度的高低，需要建立一個統(tǒng)一的衡量精度的標準，對度的標準，對精度精度給出一個數(shù)值概念，

22、該標準及其數(shù)值大小應給出一個數(shù)值概念，該標準及其數(shù)值大小應能反映出誤差分布的離散或密集的程度，稱為能反映出誤差分布的離散或密集的程度，稱為衡量精度的指標衡量精度的指標。精度指數(shù)精度指數(shù)h 22)(hehfceh h h值越大，曲線兩側坡度越陡，表示偶然誤差分布較為密值越大，曲線兩側坡度越陡，表示偶然誤差分布較為密集，說明小誤差出現(xiàn)的概率較大，觀測結果的精度較高；反集，說明小誤差出現(xiàn)的概率較大，觀測結果的精度較高；反之，之，h h值越小，曲線兩側坡度越緩，表示偶然誤差的分布較值越小，曲線兩側坡度越緩，表示偶然誤差的分布較為離散，說明小誤差出現(xiàn)的概率較小，觀測結果的精度較低，為離散，說明小誤差出現(xiàn)

23、的概率較小，觀測結果的精度較低，因此稱因此稱h h為觀測值的精度指數(shù)為觀測值的精度指數(shù)。 由于由于精度指標精度指標h h計算上的困難計算上的困難，不能直接用來衡，不能直接用來衡量觀測值的精度，因此要設法通過量觀測值的精度，因此要設法通過h h來尋找另來尋找另外外計算方便的指標計算方便的指標來衡量來衡量觀測值的精度觀測值的精度，這就，這就是是中誤差中誤差。評定精度的評定精度的指標指標：1 1、中誤差、中誤差2 2、相對誤差、相對誤差3 3、極限誤差、極限誤差1 中誤差中誤差 設在同精度觀測下出現(xiàn)一組設在同精度觀測下出現(xiàn)一組偶然誤差偶然誤差 , 其其相應的相應的概率概率為為 ,精度指數(shù)為精度指數(shù)為

24、 即即 n,21)(,),(),(21nPPPhhhhn21nhnhhdehPdehPdehPn222222122211)()()(21nPPPPnhndddehPn2112202212)1()1(121221222122nhehnhehehdhdPnhnnhnhnnnn2112nhnnmn1221mhnm各偶然誤差在一組觀測值中同時出現(xiàn)的概率各偶然誤差在一組觀測值中同時出現(xiàn)的概率p p等于各偶然誤差概率的乘積，即等于各偶然誤差概率的乘積，即將上式對將上式對h h求一階導數(shù)，并令其為零，認為在一次觀測中求一階導數(shù)，并令其為零，認為在一次觀測中某一組偶某一組偶然誤差然誤差出現(xiàn)的概率出現(xiàn)的概率P

25、P最大最大，即，即稱稱m m為為中誤差中誤差 此式是此式是中誤差中誤差與與精度指數(shù)精度指數(shù)的關系式，表明了中的關系式，表明了中誤差誤差m與精度指數(shù)與精度指數(shù)h成成反比反比，即中誤差，即中誤差m愈大，精度指數(shù)愈大，精度指數(shù)愈小，表示該組觀測值的精度愈低，反之，精度愈高。愈小，表示該組觀測值的精度愈低，反之，精度愈高。21mhm m1 1小于小于m m2 2，認為第一組觀測值的精度較第二組高，認為第一組觀測值的精度較第二組高 此式求得的同精度觀測值的中誤差代表了此式求得的同精度觀測值的中誤差代表了該組該組觀測觀測值的精度，即該組觀測值結果中任意一個觀測值的精度。值的精度，即該組觀測值結果中任意一個

26、觀測值的精度。22)(hehfy對式對式 取二階導數(shù)令其等于零，便可求得誤差取二階導數(shù)令其等于零，便可求得誤差分布分布曲線拐點的橫坐標曲線拐點的橫坐標nm中誤差中誤差m m的的幾何意義幾何意義為偶然誤差分布曲線兩個拐點的為偶然誤差分布曲線兩個拐點的橫坐標橫坐標12mh 2232221222hehdydh2 極限誤差極限誤差2221( )0.6832mmmmmPmmfdedm 22222221 22 ( )0.9542mmmmmPmmfdedm 22332331 33 ( )0.9972mmmmmPmmfdedm 極=3|m|極=2|m|從上式可以看出絕對值大于一倍、二倍中誤差的偶然誤差概率從上

27、式可以看出絕對值大于一倍、二倍中誤差的偶然誤差概率分別為分別為31.7%31.7%，4.6%4.6%；絕對值大于三倍中誤差的偶然誤差概率為；絕對值大于三倍中誤差的偶然誤差概率為0.3%0.3%，這是概率接近于零的，這是概率接近于零的小概率事件小概率事件。故通常以。故通常以三倍三倍中誤差中誤差作為偶然誤差的估值，即作為偶然誤差的估值，即 3 3 相對誤差相對誤差有時單靠中誤差還有時單靠中誤差還不能完全不能完全表達觀測結果的質量，這時可采用表達觀測結果的質量，這時可采用另一種另一種衡量精度的標準衡量精度的標準相對誤差相對誤差。相對誤差相對誤差是是誤差的絕對值誤差的絕對值與與相應觀測值相應觀測值之比

28、，在測量上通常將之比，在測量上通常將其其分子分子化為化為1 1，即用，即用K=1/NK=1/N的形式來表示。若分子采用中誤差，的形式來表示。若分子采用中誤差，則則K K可稱為相對中誤差。相對誤差的分子也可以是可稱為相對中誤差。相對誤差的分子也可以是閉合差閉合差或或容容許誤差許誤差，這時分別稱為，這時分別稱為相對閉合差相對閉合差及及相對容許誤差相對容許誤差。絕對誤差絕對誤差：與相對誤差對應，中誤差、極限誤差、容許誤差稱：與相對誤差對應，中誤差、極限誤差、容許誤差稱為為絕對誤差絕對誤差K K2 2 K K1 1 ，所以所以S S2 2精度精度較高較高（相對中誤差（相對中誤差愈小愈?。?。）。例：用鋼

29、尺丈量兩段距離分別得例：用鋼尺丈量兩段距離分別得S S1 1=100=100米米， mm1 1=0.02m=0.02m； S S2 2=200=200米米， mm2 2=0.02m=0.02m。計算。計算S S1 1、S S2 2的相對誤差。的相對誤差。 0.02 1 0.02 1 K1= = ； K2= = 100 5000 200 10000解：解： 6.56.5誤差傳播定律誤差傳播定律 在實際測量工作中，某些量的大小往往不是直接觀測的，在實際測量工作中，某些量的大小往往不是直接觀測的，而是通過其他觀測值而是通過其他觀測值間接求得間接求得的的, ,即觀測其它未知量，并通即觀測其它未知量，并

30、通過一定的過一定的函數(shù)關系函數(shù)關系計算求得的。計算求得的。 表述觀測值表述觀測值函數(shù)的中誤差函數(shù)的中誤差與與觀測值中誤差觀測值中誤差之間關系的之間關系的定律稱為定律稱為誤差傳播定律誤差傳播定律。 6.56.5誤差傳播定律誤差傳播定律 誤差傳播定律公式推導誤差傳播定律公式推導令 的系數(shù)為 ， (c)式為：iiixffnnxfxfxf2211(c)得:對(a)泰勒級數(shù)展開，取近似值：(b)設有函數(shù)：)(21nxxxfZ，為獨立變量ix設 有真誤差 ，函數(shù) 也產生真誤差iZ(a)ix)(2211nnZxxxfZ，nnnZxfxfxfxxxfZ221121)(，)()(22)(11)()2()2(22

31、)2(11)2() 1 () 1 (22) 1 (11) 1 (knnkkknnnnfffffffff對xi觀測了k次，有k個式(d)對上式取平方：jijinnfffffffff2223131212122222221212(e)對k個(e)式取總和： njijijijinnfffff1,222222212122(f)nnfff2211 njijijijinnfffff1,222222212122(f)(g)(f)式兩邊除以k，得(g)式： njijijijinnkffkfkfkfk1,222222212122 kfkfkfknn22222221212即：22222221212nnzmfmfmf

32、m(h)由偶然誤差的抵償性知：0limkjik(g)式最后一項各偶然誤差的交叉項總和均趨向于零，則：前面各項22222221212nnzmfmfmfm(h)考慮考慮 ，代入上式，得，代入上式，得觀測值函數(shù)觀測值函數(shù)中誤差關系式：中誤差關系式：iixff2222222121nnZmxfmxfmxfm上式為一般函數(shù)的中誤差公式，稱上式為一般函數(shù)的中誤差公式，稱中誤差傳播公式中誤差傳播公式，也稱為，也稱為誤誤差傳播定律差傳播定律。 1.1.倍數(shù)函數(shù)的中誤差倍數(shù)函數(shù)的中誤差 設有函數(shù)式設有函數(shù)式 (x (x為觀測值，為觀測值，K K為為x x的系數(shù)的系數(shù)) ) 全微分全微分 得中誤差式得中誤差式xxZ

33、KmmKmKdxdZKxZ22例：量得 地形圖上兩點間長度 =168.5mm0.2mm, 計算該兩點實地距離 S及其中誤差 ms。l1000:1解：列函數(shù)式 求全微分 中誤差式m2 . 0m5 .168m2 . 0mm2002 . 01000100010001000SmmddlSlSlS 6.56.5誤差傳播定律誤差傳播定律 幾種常用函數(shù)的中誤差幾種常用函數(shù)的中誤差2.2.線性函數(shù)的中誤差線性函數(shù)的中誤差 設有函數(shù)式全微分中誤差式 nnxkxkxkZ2211nndxkdxkdxkdz22112222222121nnZmkmkmkm例：設有某線性函數(shù) 其中 、 、 分別為獨立觀測值，它們的中誤差

34、分別為 ， 求Z的中誤差 。314121491144xxxZ321xxxmm6 , mm2 , mm3321mmmZm314121491144dxdxdxdzmm6 . 1623214121492144233222211xxxZmfmfmfm解：對上式全微分：由中誤差式得：3.3.算術平均值的中誤差式算術平均值的中誤差式 對某觀測量進行多次觀測(多余觀測)取平均，是提高觀測成果精度最有效的方法。 函數(shù)式 全微分 中誤差式 nnnnnllllx12111lnnlnlnddddx1211121221211222nnnnxmmmmM由于等精度觀測時， 代入上式： 得： mmmmn21nmmnnmX2

35、21n由此可知，由此可知，算術平均值的中誤差算術平均值的中誤差比比觀測值的中誤差觀測值的中誤差縮小了縮小了 倍。倍。 M4.4.和或差函數(shù)的中誤差和或差函數(shù)的中誤差 函數(shù)式： 全微分： 中誤差式：nxxxZ21ndxdxdxdz2122221nZmmmm當?shù)染扔^測時：上式可寫成：mmmmmn321nmmZ 例：測定A、B間的高差 ，共連續(xù)測了9站。設測量每站高差的中誤差 ，求總高差 的中誤差 。 解： 則：ABhmm2mhmABh921hhhhABmm692nmmh 觀測值函數(shù)中誤差公式匯總觀測值函數(shù)中誤差公式匯總 函數(shù)式函數(shù)式 函數(shù)的中誤差函數(shù)的中誤差一般函數(shù)一般函數(shù)倍數(shù)函數(shù)倍數(shù)函數(shù)和差函

36、數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)線性函數(shù)算術平均值函數(shù)算術平均值函數(shù) ),(21nxxxfZ2222222121nnZmxfmxfmxfm22 ZxxZKxmK mKm nxxxZ21nmmZnnxkxkxkZ22112222222121nnZmkmkmkmnnnnnllllx12111nmM誤差傳播定律的應用誤差傳播定律的應用 用DJ6經緯儀觀測三角形內角時，每個內角觀測4個測回取平均，可使得三角形閉合差 m容15 。例：要求三角形最大閉合差，m閉容15，問用DJ6經 緯儀觀測三角形每個內角時須用幾個測回？ (容許誤差為二倍中誤差) 123三角形閉合差函數(shù)：=(1+2+3)-180解：由題意：2m閉= m

37、閉容= 15,則 m閉= 7.5每個角每個角的測角中誤差的測角中誤差：3 . 435 . 7xm測回即 43 . 45 . 8,5 . 83 . 4,22nnnmmx由于由于DJDJ6 6一測回一測回角度角度（兩個方向）（兩個方向）中誤差中誤差為：為：由角度測量n測回取平均值取平均值的中誤差公式：5 . 826m觀測值的算術平均值(最或是值) 觀測值改正數(shù) v 的特性 評定精度 -觀測值的中誤差 (白塞爾公式) 6.66.6同精度直接觀測平差同精度直接觀測平差 一一. .觀測值的算術平均值觀測值的算術平均值( (最或是值、最可靠值最或是值、最可靠值) ) 證明算術平均值為該量的最或是值： 設該

38、量的真值為X，則各觀測值的真誤差真誤差為 1= 1 - X 2= 2 - X n= n - X對某未知量進行了n次觀測，得n個觀測值1,2,n,則該量的算術平均值L為：x= =1+2+nnn上式等號兩邊分別相加得和： nXl L=當觀測無限多次時：Xnlnnnlimlim 由正負誤差的由正負誤差的抵償性抵償性得 Xnlnlim兩邊除以n：由 nXl Xnln當觀測次數(shù)無限多時，觀測值的算術平均值就是該量的真值；當觀測次數(shù)有限時，觀測值的算術平均值最接近最接近真值。所以，算術平算術平均值均值是最或是值最或是值（最或然值最或然值），用最或是值作為該未知量真值的估值。每一個觀測值觀測值與最或是值最或

39、是值之差，稱為最或是值誤差最或是值誤差。最或是值最或是值與每一個觀測值觀測值之差，稱為該觀測值的改正數(shù)改正數(shù)。L X二二. .觀測值改正數(shù)觀測值改正數(shù)v v的特性的特性(a)以以算術平均值算術平均值為為最或是值最或是值，并據(jù)此計算各觀測值的改正數(shù)，并據(jù)此計算各觀測值的改正數(shù)v v，符合符合vv=min vv=min 的的“最小二乘原則最小二乘原則”。vi = L - i (i=1,2,n)特點特點1 1 改正數(shù)總和改正數(shù)總和為為零零：(a)取和：以 代入：(b)通常用于計算檢核L= nv=nL- nv =n -=0v =0特點特點2 2 vv vv符合符合“最小二乘原則最小二乘原則”（觀測值改

40、正數(shù)平方（觀測值改正數(shù)平方 和最?。汉妥钚。?c)則:即:vv = min=2v=2v=2(L-)=0dvv dv(L-)=0nL-=0L= n比較這兩個式子，可以證明，兩式根號內的部分是相等的相等的1nvvnnmnvvm1即在 與 中：三三. .精度評定精度評定用觀測值的改正數(shù)改正數(shù)v(或者最或是誤差最或是誤差)計算觀測值中誤差觀測值中誤差的公式稱為貝塞爾公式貝塞爾公式。1 nvvmnm 1.計算公式： (d)用觀測值真誤真誤差差計算中誤差中誤差用觀測值改正改正數(shù)數(shù)計算中誤差中誤差)(XLvXLviiii得(e)由上二式相減：對上式取 n 式總和)(XLnv得)()(XLnXLn即(f)

41、1nvvn證明如下：LlvXlLlvXlLlvXlnnnn22221111真誤差：最或是誤差：0v又由而由(f)式： 兩邊平方可得：)(XLn21,221312122222122222)(2)(1)(nnnnnnXLjinjijinnn* 有正負抵消性，可忽略不計。*ji對(e)式 平方：)(XLvii2)()(2XLXLvvviiiii取n式總和2)()( 2XLnXLvvv即：2)(XLnvv(g)代入(g)式，上式變?yōu)椋簄vvnvv由 ：1vvnn1nvvn證畢得:公式nm(h)1nVVm公式(i)使用場合為：已知已知觀測值 的真值真值X X，用真誤差真誤差 計 算中誤差中誤差。Xlii

42、使用場合為：觀測值的真真 值值未知未知，根據(jù)算術平均值算術平均值， 用改正數(shù)改正數(shù)v v計算中誤差中誤差。iilLv解：該水平角真值未知真值未知，可用算術平均值的改正數(shù)算術平均值的改正數(shù)V V計 算其中誤差中誤差：例：對某水平角等精度觀測了5次，觀測數(shù)據(jù)如下表， 求其算術平均值及觀測值的中誤差。2.算例:權權是一個表示觀測結果質量是一個表示觀測結果質量可靠程度可靠程度的相對性數(shù)值的相對性數(shù)值(P)(P)權的概念權的概念 6.76.7不同精度直接觀測平差不同精度直接觀測平差 在對某量進行在對某量進行不同精度不同精度觀測時，各觀測結果的中誤差不同。觀測時，各觀測結果的中誤差不同。顯然，顯然，不能不

43、能將具有不同可靠程度的各觀測結果簡單地取算將具有不同可靠程度的各觀測結果簡單地取算術平均值作為最或是值并評定精度。此時，需要選擇某一術平均值作為最或是值并評定精度。此時，需要選擇某一個個比值比值來比較各觀測值的可靠程度，此比值就是權。來比較各觀測值的可靠程度，此比值就是權。權的概念權的概念-權的定義 6.76.7不同精度直接觀測平差不同精度直接觀測平差 2iimP設一組不同精度觀測值為 ，相應的中誤差為 ，選定任一大于零的常數(shù) ，定義權定義權 為： 稱Pi為觀測值li的權。對一組已知中誤差的觀測值而言，選定一個 值，就有一組對應的權?？梢远ǔ鲇^測值的權之間的比例關系為il),.,2 , 1(n

44、imiiP2222122221211:.:1:1 :.:.:nnnmmmmmmPPP權的概念權的概念-權的性質 6.76.7不同精度直接觀測平差不同精度直接觀測平差 （1）權權和中誤差中誤差都是用來衡量觀測值精度的指標精度的指標，但中誤差中誤差是絕對性絕對性數(shù)值，表示觀測值的絕對精度絕對精度，權權是相對性相對性數(shù)值，表示觀測值的相對精度相對精度。（2）權與中誤差平方成反比反比，中誤差越小小，權越大大，表示觀測值越可靠可靠，精度越高高。（3）權始終取正號正號。（4）由于權是一個相對性數(shù)值，對于單一觀測值單一觀測值而言，權無無意義意義。（5）權的大小隨的不同而不同，但權之間的比例關系不變比例關系不

45、變。（6）在同一同一個問題中只能只能選定一個一個值，不能不能同時選用幾個不幾個不同同的值，否則否則就破壞破壞了權之間的比例關系。常用的常用的確定權的方法確定權的方法 6.76.7不同精度直接觀測平差不同精度直接觀測平差 設一次觀測的中誤差為 ，則 次同精度觀測值算術平均值算術平均值的 中誤差 ，定義 ，則一次觀測值的權為：m2mnnmM 1.1.同精度觀測值算術平均值的權同精度觀測值算術平均值的權1222mmmP 則算術平均值的權為：nnmmnmPL/222 可見權與觀測次數(shù)成正比可見權與觀測次數(shù)成正比常用的確定權的方法常用的確定權的方法 6.76.7不同精度直接觀測平差不同精度直接觀測平差

46、設一次觀測的中誤差為 ,其權為 ，并設 ，則m2m0P1220mmP 等于1的權稱為單位權，而權等于1 的中誤差稱為單位權中誤差，用 表示。22iimP則中誤差為 的觀測值，其權 為：iiPm1iPim 設每一次測站每一次測站觀測高差觀測高差的精度相同，其中誤差為 ，則不同測站數(shù)的水準路線水準路線觀測高差的中誤差觀測高差的中誤差為：站m為各水準路線的測站數(shù)，站iiiNniNmm ),.,2 , 1( iiiNcmP22 可見各水準路線的權各水準路線的權與測站數(shù)（路線長度）測站數(shù)（路線長度）成反比反比常用的確定權的方法常用的確定權的方法 6.76.7不同精度直接觀測平差不同精度直接觀測平差 2.

47、 2. 權在水準測量中的應用權在水準測量中的應用則各各水準路線的權水準路線的權為：即c個測站的高差中誤差高差中誤差為單位權中誤差單位權中誤差取站 mc各水準路線水準路線的長度同理可得iiiLLcP 設單位長度單位長度（一公里）距離測量中誤差為 ，則長度為長度為s s公里公里的距離測量中誤差為：m smmsscmPss22 可見距離測量的權與長度成反比可見距離測量的權與長度成反比常用的確定權的方法常用的確定權的方法 6.76.7不同精度直接觀測平差不同精度直接觀測平差 3.3.權在距離測量中的應用權在距離測量中的應用則距離測量的權為：為單位權中誤差單位權中誤差公里的距離測量公里的距離測量中誤差即

48、長度為取, ccm 設對某量進行 次不同精度觀測，觀測值為 ，其相應的權為 ，則其加權算術平均值為該量的最或是值最或是值，即：nnlll,.,21.212211PPlPPPlPlPlPLnnnnPPP,.,21LlviiLPlPvPiiiiiLPPlPv0Pv求不同精度觀測值的最或是值求不同精度觀測值的最或是值 -加權算術平均值加權算術平均值 6.76.7不同精度直接觀測平差不同精度直接觀測平差 最或是誤差為：nnPPP,.,21nlll,.,21nnPPP,.,21nlll,.,21nnPPP,.,21nlll,.,21nnPPP,.,21nnlll,.,21nPPP,.,21n即：nnlP

49、PlPPlPPPPlL.22111. 1. 最或是值的中誤差最或是值的中誤差).(1222222212122nnmPmPmPPM式中 為相應觀測值的中誤差。若令單位權中誤差等于第一個觀測值li的中誤差，即=m1，則各觀測值的權為代入上式得則 為不同精度觀測值最或是值中誤差計算公式。nmmm,.,2122iimP).(122222122PPPPPMnPM不同精度觀測的精度評定不同精度觀測的精度評定 6.76.7不同精度直接觀測平差不同精度直接觀測平差 不同精度觀測值最或是值為：由誤差傳播定律，最或是值L的中誤差：22iimP22iimP2222222112 nnmPmPmP22222112Pmm

50、mPmPmPnnnnPmmnPn 差，則時，用真誤差代替中誤當)1(PnPvvPM2.2.單位權觀測值中誤差單位權觀測值中誤差不同精度觀測的精度評定不同精度觀測的精度評定 6.76.7不同精度直接觀測平差不同精度直接觀測平差 此式為用真誤差真誤差計算單位權觀測值中誤差公式。也可用觀測值改正數(shù)改正數(shù)來計算單位權中誤差1nPvv將上式代入 即為用觀測值改正數(shù)觀測值改正數(shù)計算不同精度觀測值不同精度觀測值最或是值中誤差最或是值中誤差公式PM例題：例題： 6.76.7不同精度直接觀測平差不同精度直接觀測平差 測段高程觀測值 (m)水準路線的長度(km)權PiviPvPvvA-EB-EC-E42.3474

51、2.32042.3324.02.02.50.250.500.4017.0-10.02.04.2-5.00.871.450.01.6p=1.15pv=0 pvv=123.0330.4240. 050. 025. 0332.4240. 0320.4250. 0347.4225. 0EH例題：例題： 6.76.7不同精度直接觀測平差不同精度直接觀測平差 測段高程觀測值 (m)水準路線的長度(km)權PiviPvPvvA-EB-EC-E42.34742.32042.3324.02.02.50.250.500.4017.0-10.02.04.2-5.00.871.450.01.6p=1.15pv=0 p

52、vv=123.0例題：例題： 6.76.7不同精度直接觀測平差不同精度直接觀測平差 mmnpvvu8 . 7130 .1231mmPuM3 . 715. 18 . 7 6.86.8點位誤差點位誤差在測量中，點P的平面位置常用平面直角坐標 來表示。為了確定待定點的平面直角坐標，通常將待定點待定點與已知點已知點進行聯(lián)測，進而通過已知點的平面直角坐標、角度和邊長等觀測值，用一定的數(shù)學方法（如極坐標法、平差方法等）求出待定點的平面直角坐標。 PPyx,由于觀測條件觀測條件的存在，觀測值觀測值總是帶有觀測誤差，因而根據(jù)觀測值計算所獲得的待定點待定點的平面直角坐標平面直角坐標，并不是真正的坐標值，而是待定

53、點待定點的真坐標值真坐標值 的估值 。也就是說待定點的點位含有誤差。討論點位誤差和評定點位精度方法。 ,ppxyPPyx,ppxyPPyx,點位（真）誤差點位（真）誤差 6.86.8點位誤差點位誤差1點位真誤差的概念 （ 或然點位）或然點位） 點位真誤差點位真誤差 （真點位）（真點位）xppyppxxyy ）（AAyx ,222pxy 由于 和 的存在而產生的距離 稱為 P點的點位真誤差，簡稱真位差。 xyP點位真誤差點位真誤差 6.86.8點位誤差點位誤差2點位真誤差的隨機性 xppyppxxyy ）（AAyx ,222pxy P點的最或然坐標最或然坐標是由一組帶有觀測誤差的觀測值通過計算計算所求得的結果，因此，它們是觀測值的函數(shù)。隨著觀測值的隨著觀測值的不同而不同不同而不同。所以說點位真誤差隨觀測值不同而變化變化，由于觀測值誤差具有隨機性，點位真誤差也具有隨機性。 點位方差與點位中誤差點位方差與點位中誤差 6.86.8點位誤差點位誤差1點位方差方差定義 2222pp22xppppx22yppppy= ExE xExx= E= EyE yEyy= E 22222()()()pppxyxyEEE222pppxy22pppxy 22pppxymmm 式中 是P點真位差平方真位差平方的