函數(shù)最值問(wèn)題揭發(fā)的探究畢業(yè)論文

1、 本科生畢業(yè)論文函數(shù)最值問(wèn)題揭發(fā)的探究院 系： 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 專(zhuān) 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班 級(jí)： 2009級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)(2)班 學(xué) 號(hào)： 200907110218 姓 名： 指導(dǎo)教師： 完成時(shí)間： 2013年5月25日 函數(shù)最值問(wèn)題解法的探究 摘 要 函數(shù)最值問(wèn)題是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的重要研究?jī)?nèi)容，它不僅只在教學(xué)中解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，而且被廣泛運(yùn)用于解決一些生活中的實(shí)際問(wèn)題.比如在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、經(jīng)濟(jì)效益中，經(jīng)常會(huì)遇到一些解決在滿足一定條件下如何讓產(chǎn)量最多、效益最高但投入最少之類(lèi)的問(wèn)題，而這些生活和經(jīng)濟(jì)問(wèn)題一般都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的函數(shù)問(wèn)題來(lái)進(jìn)行研究，也就是函數(shù)最值問(wèn)題的探討.這對(duì)于需要解決這些實(shí)

2、際問(wèn)題的人們來(lái)說(shuō)非常重要,函數(shù)最值問(wèn)題的解決包括解一元和多元函數(shù)的最值，而解法多種多樣、靈活多變.本文主要從幾種最常見(jiàn)的解法對(duì)函數(shù)最值問(wèn)題進(jìn)行研究探討，探究各種不同的求解方法，闡述研究函數(shù)最值問(wèn)題解法的重要性，得到求解函數(shù)最值的幾種常用方法以及求解時(shí)應(yīng)注意的一些問(wèn)題.關(guān)鍵詞 函數(shù) 最值 常見(jiàn)方法目錄1 引言42 求函數(shù)最值的幾種解法探究42.1定義法42.2配方法52.3判別式法72.4換元法82.5均值不等式法92.6 單調(diào)性法112.7導(dǎo)數(shù)法122.8 平方法132.9 數(shù)形結(jié)合法142.10 線性規(guī)劃法153 求解函數(shù)最值時(shí)應(yīng)注意的一些問(wèn)題163.1定義域163.2值域173.3參變量的

3、約束條件183.4判別式的運(yùn)用193.5均值不等式的運(yùn)用194 函數(shù)最值在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用22結(jié)論24謝辭25參考文獻(xiàn)261 引言隨著我們對(duì)函數(shù)學(xué)習(xí)和認(rèn)識(shí)的不斷深入，讓我們逐漸揭開(kāi)了函數(shù)神秘的面紗.看到了它諸多性質(zhì)和特點(diǎn)，而有關(guān)函數(shù)最值問(wèn)題的解法就是與函數(shù)性質(zhì)和特點(diǎn)密切相關(guān)的重要知識(shí)點(diǎn).函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的主體內(nèi)容，貫穿于整個(gè)中學(xué)階段，而函數(shù)最值問(wèn)題是函數(shù)的重要組成部分，許多學(xué)生對(duì)該問(wèn)題的理解不深刻，應(yīng)用它處理問(wèn)題也是異常模糊，有的同學(xué)甚至不知道如何著手. 處理函數(shù)最值的過(guò)程就是實(shí)現(xiàn)未知向已知、新問(wèn)題向舊問(wèn)題以及復(fù)雜問(wèn)題向簡(jiǎn)單問(wèn)題的轉(zhuǎn)化.雖然解決問(wèn)題的方法各種各樣、靈活多變，但就其思維方式來(lái)說(shuō)，通

4、常都是將問(wèn)題逐步進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直到轉(zhuǎn)化為一類(lèi)較容易解決或者已經(jīng)解決的問(wèn)題，從而獲得原問(wèn)題的解答1.最值問(wèn)題是函數(shù)研究中極為重要的一個(gè)問(wèn)題，在實(shí)際生活中會(huì)遇到求最大經(jīng)濟(jì)效益、最短路徑選取等問(wèn)題，對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中求最值的問(wèn)題，通過(guò)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)最終達(dá)到解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的目的2.函數(shù)最值問(wèn)題發(fā)展至今已遍及代數(shù)、三角、立體幾何及解析幾何各科之中，在各類(lèi)考試中最值問(wèn)題也是熱門(mén)的考點(diǎn)之一.因此，對(duì)函數(shù)最值問(wèn)題解法的歸納總結(jié)以及創(chuàng)新,對(duì)我們學(xué)習(xí)函數(shù)、應(yīng)用函數(shù)最值問(wèn)題具有重要意義.挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，能使我們更清楚的認(rèn)識(shí)它，達(dá)到熟悉掌握并且應(yīng)用它來(lái)幫助我們解決實(shí)際問(wèn)題.2 求函數(shù)最值的幾種解法探究2.1定義

5、法函數(shù)最值的定義函數(shù)的最值分為最大值和最小值一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閕，如果存在實(shí)數(shù)m滿足：(1)對(duì)于任意的xi，都有f(x)m(2)存在x0i,使得f(x0)=m.那么，我們稱m是函數(shù)y=f(x)的最大值，記作ymax =m.設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閕，如果存在實(shí)數(shù)m滿足：(1)對(duì)于任意的 xi，都有f(x)m;(2)存在x0i,使得f(x0)=m.那么，我們稱m是函數(shù)y=f(x)的最小值，記作ymin=m.我們直接利用函數(shù)最值的定義，可以判斷函數(shù)最值的相關(guān)問(wèn)題.例1 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閞,有下列三個(gè)命題： 若存在常數(shù)m，使得對(duì)任意xr,有f(x)m,則m是函數(shù)f(x)

6、的最大值； 若存在x0r,使得對(duì)任意xr,且xx0,有f(x)f(x0),則f(x0)是函數(shù)f(x)的最大值; 若存在x0r,使得對(duì)任意xr, 有f(x) f(x0),則f(x0)是函數(shù)f(x)的最大值;這些命題中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）a. 0 b. 1 c. 2 d. 3解析 根據(jù)函數(shù)最值的定義知，是假命題；雖然滿足最大值定義中的任意性，但不滿足存在性，故錯(cuò)誤，正確，實(shí)質(zhì)上，它們是等價(jià)命題，都滿足最值定義中的兩個(gè)條件，故選 c.注意 利用定義解決函數(shù)最值的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，重要的一點(diǎn)就是要把握定義的內(nèi)涵，準(zhǔn)確地加以應(yīng)用，函數(shù)一定有值域，但不一定有最值，如函數(shù)f(x)= 的值域?yàn)?（-，0）（0，+）

7、，但它沒(méi)有最大值，也沒(méi)有最小值.2.2配方法如果給定函數(shù)是二次函數(shù)或變形后可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問(wèn)題，一般可用配方法求解.配方法是求二次函數(shù)最值的基本方法，利用配方可把二次函數(shù)的一般式 y=ax2+bx+c （a0） (1)化成頂點(diǎn)式 y=a(x + m)2+k, (2)其中m=,k=,從而求出二次函數(shù)的最大或最小值.如f(x)=af2(x)+bf(x)+c形式的函數(shù)的最值問(wèn)題，也可以考慮用配方法.即： f(x) = af2(x) + bf(x)+c =a f2(x) + f(x) +c =a f(x) +2 +c- =a f(x) +2+ (3)例2.把一根長(zhǎng)為4m的鐵絲圍成一個(gè)矩形，當(dāng)邊長(zhǎng)為多

8、少時(shí)，它的面積最大？解 設(shè)一邊長(zhǎng)為xm,則另一邊長(zhǎng)為（2-x）m,矩形的面積為ym2.根據(jù)題意： y=x(2-x) =-x2+2x =-(x2-2x) =-(x-1)2+1 當(dāng)x取1時(shí)，y取得最大值，最大值為1. 該矩形當(dāng)邊長(zhǎng)都為1m時(shí)，面積最大為1m2.例3.已知函數(shù)y=(ex-a)2+（e-x-a）2(ar, a0),求函數(shù)y的最小值.分析 將函數(shù)表達(dá)式按ex+ e-x配方，轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量ex+ e-x的二次函數(shù).解 y=(ex-a)2+（e-x-a）2 =(ex+ e-x)2-2a(ex+ e-x)+2a2-2令 t=ex+ e-x, f(t)=t2-2at+2a2-2t2, f(t)=

9、t2-2at+2a2-2 = (t-a)2+a2-2定義域?yàn)?，+）.拋物線y=f(t)的對(duì)稱軸為t=a,當(dāng)a2且a0時(shí)，ymin=f(2)=2(a-1)2； 當(dāng)a2時(shí)，ymin=f(a)=a2-2.配方法是求最值的一種重要方法，在求二次函數(shù)最值時(shí)，經(jīng)常應(yīng)用，應(yīng)熟練掌握，值得注意的是，在有些實(shí)際問(wèn)題中，還要考慮自變量的取值范圍，同時(shí)還要注意對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系.如例3中化為含參數(shù)的二次函數(shù)后，求解最值時(shí)要細(xì)心區(qū)分對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，然后根據(jù)不同情況分類(lèi)解決.2.3判別式法 對(duì)于某些特殊形式的函數(shù)的最值問(wèn)題，經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃?，將函?shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次方程f(x ,y)=0的形式，使函數(shù)f

10、(x)出現(xiàn)在一個(gè)有實(shí)根的一元二次方程的系數(shù)中，然后利用一元二次方程有實(shí)根的充要條件0來(lái)求出函數(shù)f(x)的最值.判別式法多用于求形如y=（a ,d不同時(shí)為0） (4)的分式函數(shù)的最值3. 在函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)中，將其變形后,即ax2+bx+c-y=0 (a0) (xr)所以有 =b2-4a(c-y)0 (5)時(shí)，即b2-4ac+4ay0 4ay4ac- b2 當(dāng) a0時(shí)，ymin= (6) a0時(shí)，ymax= (7)例4.求函數(shù)y=的最大值和最小值.分析 本題是分式函數(shù)的最值問(wèn)題，因?yàn)榉质胶瘮?shù)的分母恒為正，故可以應(yīng)用判別式法求解.解 x2+3x+4=0的判別式 1=32414=-7

11、0 x2+3x+40對(duì)一切xr成立.函數(shù)的定義為r.函數(shù)表達(dá)式可化為（y-1）x2+(3y+3)x+4y-4=0當(dāng)y1時(shí)，x=0；當(dāng)y1時(shí)，由xr，上面的一元二次方程必須有實(shí)根，=（3y+3）2-4(y-1)(4y-4)0,解得 y7 (y1)所以綜上：ymax =7, ymin =.注意 用判別式法求函數(shù)最值時(shí)，0表示0或=0，并非此二者同時(shí)成立，因此，在利用0求出的y的取值范圍時(shí)，不能隨意斷定ymin=a，ymax=b或ymin=b，ymax =a,還必須求出與a ,b對(duì)應(yīng)的x的值，并將其代入原來(lái)的函數(shù)中進(jìn)行驗(yàn)算，只有當(dāng)x ,y的對(duì)應(yīng)值存在，并滿足0所求得的不等式時(shí)，才能確定為原來(lái)函數(shù)的最

12、值.而在本例題中，對(duì)轉(zhuǎn)化的（y-1）x+(3y+3)x+4y-4=0來(lái)說(shuō)，應(yīng)該滿足二次項(xiàng)系數(shù)不為0，對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)，要另行討論，對(duì)本題若y-1=0,即y=1,有（3+3）x+4-4=0,所以x=0,一般來(lái)說(shuō)，利用判別式法求函數(shù)的最值，即根據(jù)g(y)x2+h(y)x+(y)=0 (g(y)0)的判別式去求解0，要注意驗(yàn)證g(y)=0時(shí)y的值對(duì)應(yīng)的x的值是否是函數(shù)定義域內(nèi)的值，若是，則使g(y)=0的y的值在函數(shù)的值域內(nèi)，否則函數(shù) g(y)x2+h(y)x+(y)=0變?yōu)閔(y)x+(y)=0，可以根據(jù)原函數(shù)定義域求解即可.2.4換元法 換元法是通過(guò)引入一個(gè)或幾個(gè)新的變量，來(lái)替換原來(lái)的某些變量

13、（或代數(shù)式），以便使問(wèn)題得以解決的一種數(shù)學(xué)方法，在學(xué)習(xí)中常常使用的換元法有兩類(lèi)，即代數(shù)換元和三角換元，我們可以根據(jù)具體問(wèn)題及題目形式去靈活選擇換元的方法，以便將復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單函數(shù)的最值問(wèn)題，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)，化陌生為熟悉，從而求出原函數(shù)的最值.如可用三角代換解決形如a2+b2=1及部分根式函數(shù)形式的最值問(wèn)題.例5.設(shè)a ,br,a2+2b2=6,則a + b的最小值.分析 由條件a2+2b2=6的形式知，可利用換元法求a+b的最值.解 a ,br, a2+2b2=6 令a=cos, b=sin, r. a + b=cos+sin =3sin(+). a + b的最小值是-3.例6.求函數(shù)

14、y=x-2的最值.解 因?yàn)?-x20時(shí)，-2x2. 所以給定函數(shù)的定義域?yàn)閤-2,2.令 x=2sin（-，）.則給定函數(shù)可變形為 y=2sin-2+ =2sin+2cos-2 =2sin(+)-2 -，, (+)-, sin(+)-, y=2sin-2+ =2sin(+)-2的值域?yàn)?4，0 函數(shù)y=x-2的最大值ymax=0，最小值ymin=-4注意 在用換元法時(shí)，要特別注意其中間變量的取值范圍，如上例題中，由原函數(shù)確定的定義域，從而確定的范圍.2.5均值不等式法 設(shè)a1,a2,an是n個(gè)正數(shù)，則有n (8)其中等號(hào)成立的條件是a1=a2=an. 運(yùn)用均值不等式求最值，必須具備三個(gè)條件，即

15、“一正二定三相等”，缺一不可.“正”是指各項(xiàng)均為正數(shù)，這是前提條件.“定”是指各項(xiàng)的和或積為定值，“等”是等號(hào)成立的條件4. 利用不等式法求解函數(shù)最值，主要就是運(yùn)用均值不等式及其變形公式來(lái)解決函數(shù)最值問(wèn)題的一種方法，常常使用的基本不等式有以下幾種： a2+b22ab(a ,b為實(shí)數(shù)) (9) （a0,b0） (10)ab()2（a ,b為實(shí)數(shù)）. (11) 例7.設(shè)x ,y, z為正實(shí)數(shù)，x-2y+3z=0,則的最小值為. 分析 先利用條件將三元函數(shù)化為二元函數(shù)，再利用基本不等式求得最值. 解 因?yàn)閤-2y+3z=0, 所以y=,=.又x ,z為正實(shí)數(shù)，所以由基本不等式得=3.當(dāng)且僅當(dāng)x=3z

16、時(shí)，等號(hào)成立.故的最小值為3.例8.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線與函數(shù)f(x)= 的圖象交4_2_2_4_y_5_5_x_p_q _y=kx_o于p,q兩點(diǎn)，則線段pq長(zhǎng)的最小值是. 圖1分析 由已知條件可知兩交點(diǎn)必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，從而設(shè)出交點(diǎn)代入兩點(diǎn)間距離公式整理后應(yīng)用基本不等式求解即可.解 由題意可知f(x)= 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而與過(guò)原點(diǎn)的直線相交，則兩交點(diǎn)必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故可以設(shè)兩交點(diǎn)分別為p(x, )與q（-x,- ）.由兩點(diǎn)間距離公式可得：pq=4當(dāng)且僅當(dāng)x2=2時(shí)等號(hào)成立.即x=時(shí)取得.所以線段pq長(zhǎng)的最小值是4.一般地，若碰到如例7一類(lèi)的三元分式函數(shù)的最值問(wèn)題

17、，可將這類(lèi)函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二元函數(shù)問(wèn)題來(lái)解決，在利用均值不等式法求函數(shù)最值時(shí)，必須注意“一正二定三相等”，特別是“三相等”是我們易忽略的地方，容易產(chǎn)生失誤.2.6 單調(diào)性法 當(dāng)自變量的取值范圍為一個(gè)區(qū)間時(shí)，有時(shí)也用單調(diào)性法來(lái)求函數(shù)的最值，在確定函數(shù)在指定區(qū)間上的最值時(shí)，首先要考慮函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上的單調(diào)情況.若函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上不是單調(diào)的，則把該區(qū)間分成各個(gè)小區(qū)間，使得函數(shù)在每一個(gè)小區(qū)間上是單調(diào)的，再求出各個(gè)小區(qū)間上的最值，從而可以得到整個(gè)區(qū)間上的最值 5. 例9.設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，對(duì)任意x，yr均有關(guān)系f(x + y)=f(x)+f(y),若x0時(shí)，f(x)0且f(1)=-2,求f(x)在-

18、3，3上的最大值和最小值.解 先確定f（x）在-3，3上的單調(diào)性，設(shè)任意的x1,x2-3，3且x1x2，則x2- x10.所以有： f(x2)-f(x1)= f(x2)+ f(-x1)=f(x2- x1) 0即f(x2) f(x1)所以f(x)在-3，3上是減函數(shù).因此，f(x)的最大值是f(-3)=-f(3)=-f(2+1)=-f(1)+f(1)+f(1)=6; f(x)的最小值是f(3)=3f(1)=-6.例10設(shè)a1,函數(shù)f(x)=ax在區(qū)間a,2a上的最大值與最小值之差為，則a=.分析 先判斷函數(shù)在指定區(qū)間上的單調(diào)性，再求出函數(shù)的最值，然后利用條件求得參數(shù)a的值.解 a1， 函數(shù)f(x

19、)=ax在區(qū)間a,2a上是增函數(shù)， 函數(shù)在區(qū)間a,2a上的最大值與最小值分別為a2a, aa=1.又它們的差為， a2=，a=4. 故填4.解決這類(lèi)問(wèn)題的重要一步就是判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，這一點(diǎn)處理好了，以下的問(wèn)題就變得容易解決了.一般而言，對(duì)一次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)在閉區(qū)間m ,n上的最值：若函數(shù)f(x)在m ,n上單調(diào)遞增，則f(x)min=f(m),f(x)max=f(n); 若函數(shù)f(x)在m ,n上單調(diào)遞減，則f(x)min=f(n),f(x)max=f(m); 若函數(shù)f(x)在m ,n上不單調(diào)，但在其分成的幾個(gè)子區(qū)間上是單調(diào)的，則可以采用分段函數(shù)求最值的方法處理

20、.2.7導(dǎo)數(shù)法 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a ,b上連續(xù)，在區(qū)間（a ,b）內(nèi)可導(dǎo)，則f(x)在a ,b上的最大值和最小值應(yīng)為f(x)在（a ，b）內(nèi)的各極值與f(a)、f(b)中的最大值和最小值.利用這種方法求函數(shù)最值的方法就是導(dǎo)數(shù)法.如果連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間（a ,b）內(nèi)有且僅有一個(gè)極大（?。┲?，而沒(méi)有極小（大）值，則此極大（?。┲稻褪呛瘮?shù)在區(qū)間a ,b上的最大（小）值.若要求三次及三次以上的函數(shù)的最值，以及利用其他方法很難求的函數(shù)式的最值，通常都用該方法，導(dǎo)數(shù)法往往就是最簡(jiǎn)便的方法，應(yīng)該引起足夠重視.例11.函數(shù)f(x)=x3-3x+1在閉區(qū)間-3,0上的最大值、最小值分別是.分析 先求閉區(qū)

21、間上的函數(shù)的極值，再與端點(diǎn)的函數(shù)值比較大小，確定最值.解 求導(dǎo)得 f(x)=3x2-3令f(x)=0得x=-1,x=1(舍去). 又f(-3)=-17, f(-1)=3, f(0)=1.比較得：f(x)的最大值為3，最小值為-17.故填3，-17.例12.求函數(shù)f(x)=x3-3x2+6x-2,x-1,1的最大值和最小值.解 求導(dǎo)得f(x) = 3x2-6x+6. 令f(x) =0，方程無(wú)解. 因?yàn)閒(x) = 3x2-6x+63（x-1）2+30. 所以函數(shù)f(x)在x-1,1上是增函數(shù). 故當(dāng)x=-1時(shí)，fmin(x)=f(-1)=-12; 當(dāng)x= 1時(shí)，fmax(x)=f(1)=2.注意

22、 （1）利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值的三個(gè)步驟： 求函數(shù)在（a ,b）內(nèi)的極值； 求函數(shù)在端點(diǎn)的函數(shù)值f(a),f(b)； 比較上述極值與端點(diǎn)函數(shù)值的大小，既得函數(shù)的最值. （2）函數(shù)的最大值及最小值點(diǎn)必在以下各點(diǎn)中取得：導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)及其端點(diǎn).2.8 平方法對(duì)含根式的函數(shù)或含絕對(duì)值的函數(shù)，有時(shí)利用平方法，可以巧妙地將此類(lèi)函數(shù)最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟知的、易于解決的函數(shù)最值問(wèn)題.例13. 已知函數(shù)y=+的最大值為m,最小值為m,則的值為（ ）.a. b. c. d. 分析 本題是無(wú)理函數(shù)的最值問(wèn)題，可以先確定定義域，再兩邊平方，即可化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，進(jìn)而可以利用二次函數(shù)的最值解決. 1

23、-x0,解 由題意得： x+30.所以函數(shù)的定義域?yàn)閤|-3x1.兩邊平方得： y2=4+2 =4+2. 所以當(dāng)x=-1時(shí)，y取得最大值m=2； 當(dāng)x=-3或x=1時(shí)，y取得最小值m=2. 所以=. 故選c. 對(duì)于形如y=+的無(wú)理函數(shù)的最值問(wèn)題，可以利用平方法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y2=(a+b)+2 的最值問(wèn)題，這只需要利用二次函數(shù)的最值即可求得.2.9 數(shù)形結(jié)合法數(shù)形結(jié)合法，是指利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助幾何方法及函數(shù)的圖像求函數(shù)最值的一種常用的方法，這種方法借助幾何意義以形助數(shù)，不僅可以簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題，又可以避免諸多失誤，是我們開(kāi)闊思路、正確理解、提高能力的一種重要途徑，因此，在學(xué)習(xí)中我們

24、對(duì)這種方法要細(xì)心研讀、認(rèn)真領(lǐng)會(huì)，并正確地應(yīng)用到相關(guān)問(wèn)題的解決之中. a , ab,例14. 對(duì)a ,br,記max|a ,b|= b , ab.函數(shù)f(x)=max|x+1| , |x-2| (xr)的最小值是. 分析 本題實(shí)質(zhì)上是一個(gè)分段函數(shù)的最值問(wèn)題，先根據(jù)條件將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，再利用數(shù)形結(jié)合法求解.解 由|x+1|x-2|，得：（x+1）2(x-2)2, 所以x, |x+1|, x,所以 f(x)= |x-2|，x.其圖像如圖所示： o122 1 2 1 -1 -2xyy=| x-2 |y=| x+1| 圖2由圖形易知，當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)有最小值.所以f(x)min=f()=|+1|=,

25、 故填.注意 用數(shù)形結(jié)合的方法求解最值問(wèn)題，其關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題條件中所隱含的集幾何意義，利用這個(gè)幾何意義就可以畫(huà)出圖形，從而借助圖形直觀解決問(wèn)題.如將本題化為分段函數(shù)的最值問(wèn)題后，可以用分段函數(shù)最值的方法求解.2.10 線性規(guī)劃法 線性規(guī)劃法，是指利用線性規(guī)劃問(wèn)題（一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問(wèn)題.滿足線性約束條件得解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域.決策變量、約束條件、目標(biāo)函數(shù)是線性規(guī)劃的三要素）的基本知識(shí)求解函數(shù)最值的方法.線性規(guī)劃法求解最值問(wèn)題，一般有以下步驟：（1） 由已知條件寫(xiě)出約束條件；（2） 畫(huà)出可行域，并求出最優(yōu)解；（3

26、） 根據(jù)目標(biāo)函數(shù)及最優(yōu)解，求出最值.例15. 已知點(diǎn)p(x ,y)的坐標(biāo)同時(shí)滿足以下不等式：（1）x + y4；（2）yx；（3）x0.如果點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么|op|的最小值等于，最大值等于.分析 本題實(shí)質(zhì)上可以視為線性規(guī)劃問(wèn)題，求解時(shí)，先找出約束條件，再畫(huà)出可行域，最后求出最值. x+y4, 解 由題意得：點(diǎn)p(x ,y)的坐標(biāo)滿足 yx， x0.畫(huà)出可行域，如圖所示：_4_2_2_4y_5_5xc bax=1oy=xx+y=4圖3由條件得：a（2,2）, |oa|=2； b（1,3）, |ob|=； c（1,1）， |oc|=.故|op|的最小值為，最大值為.故填，.注意 本題求解，先要

27、把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題，再利用線性規(guī)劃方法求其最值.如已知函數(shù)x ,y滿足y=,求函數(shù)的最值.可先畫(huà)出可行域，即以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的上半圓，這樣問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求半圓上的點(diǎn)與點(diǎn)（-2，0）連線斜率的最值問(wèn)題.3 求解函數(shù)最值時(shí)應(yīng)注意的一些問(wèn)題3.1定義域遇到求最值問(wèn)題的時(shí)候，我們要切記在求解的過(guò)程中，要注意觀察定義域的變化情況，在解題之前，應(yīng)當(dāng)先確定函數(shù)的定義域，在解題過(guò)程中，當(dāng)函數(shù)變形時(shí)應(yīng)注意定義域是否發(fā)生變化，如果要引入新變量就要確定這個(gè)新變量的取值范圍，以免在后面的求解過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤，在解題結(jié)束時(shí)，必須檢驗(yàn)所求得的使函數(shù)取得最值的自變量是否包含在定義域的范圍內(nèi).例16.求函數(shù)y=的最

28、值.錯(cuò)誤解法 將y=兩邊同時(shí)平方去分母得y2x2-(4y2-1)x+4y2-1=0.因?yàn)閤r,所以=（4y2-1）2-4y2(4y2- 1)0.化簡(jiǎn)得：4y21所以-y故 ymin=-, ymax=.分析 這種解法錯(cuò)誤的原因是兩邊平方去分母，使函數(shù)的定義域擴(kuò)大了.正確解法 將y=兩邊同時(shí)平方去分母，得 y2x2-(4y2-1)x+4y2-1=0.因?yàn)閤r,所以=（4y2-1）2-4y2(4y2- 1)0.化簡(jiǎn)得 4y21所以-y.注意到原函數(shù)的定義域是x1,則有0，x-20.于是必有 y0.所以 -y0，故ymin=-，ymax=0.3.2值域 求函數(shù)的最值，不但要對(duì)幾種基本初等函數(shù)的值域非常

29、熟悉，而且在解題過(guò)程中還要注意函數(shù)取值范圍的變化. 例17. 求函數(shù)y=的最值. 錯(cuò)誤解法 原式可變形為（y-1）x2+(y+2)=0. 因?yàn)閤r,所以=-4（y-1）(y+2)0. 解得 -2y1. 所以ymin=-2，ymax=1. 分析 把y=1代入y=得=1. 而這個(gè)方程無(wú)解，故y=1不在函數(shù)的值域內(nèi).事實(shí)上，由y=1-知y-2,1）故 函數(shù)y=只有最小值-2而無(wú)最大值.由此可以看出用“判別式法”求最值，有可能擴(kuò)大函數(shù)的值域.3.3參變量的約束條件有一類(lèi)求函數(shù)最值的問(wèn)題在題設(shè)函數(shù)中含有參變量，在計(jì)算的過(guò)程中，當(dāng)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為含參變量的二次函數(shù)時(shí)，如不考慮參變量的約束條件，易誤入用一般情況

30、下求函數(shù)最值的方法代替求函數(shù)在特定區(qū)間內(nèi)最值的歧途.例18. 1x3, y,x+2y=4,求x2+y2的最值.錯(cuò)誤解法 由題設(shè)1x3, y.對(duì)其分別平方得：1x29，y2.則x2+ y2.所以 （x2+y2）min=,（x2+y2）max=.分析 根據(jù)約束條件：1x3,y.要使（x2+y2）=，只有x=1且y=而x=1，y=又不滿足x+2y=4。因此不是x2+y2的最小值.類(lèi)似可知也不是x2+y2的最大值.錯(cuò)誤出在上面不等式的變形不是同解變形，為了避免這類(lèi)錯(cuò)誤，一方面要盡量減少不等式之間的四則運(yùn)算，另一方面對(duì)不等式進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，要注意等號(hào)成立的條件.6正確解法 通過(guò)y=2-把原式轉(zhuǎn)化為一個(gè)一

31、元二次函數(shù)，即f(x)= x2-2x+4 (x 1,3 )，從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題.3.4判別式的運(yùn)用用判別式求函數(shù)的最值時(shí)，由于各種因素，條件的互相約束，很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，因此，用這種方法解題時(shí)應(yīng)注意把握好約束條件.例19. 求函數(shù)y=的最值.錯(cuò)誤解法 原式可化為ysin2x-（2y-1）sinx+2y-1=0.因?yàn)閟inxr, 所以=-（2y-1）2-4y(2y-1)0.即（2y+1）(2y-1)1解得 -y則ymin=-, ymax=.分析 本題錯(cuò)在0只保證ysin2x-（2y-1）sinx+2y-1=0有實(shí)根.而不能保證其根是否屬于-1，1.當(dāng)y=-時(shí)，方程變?yōu)閟in2x

32、-4sinx+4=0.解得sinx=2不屬于-1,1.因此不能立即就斷定函數(shù)最小值是-，最大值是.應(yīng)對(duì)其判別式取等號(hào)時(shí)的y值進(jìn)行驗(yàn)證.事實(shí)上，因?yàn)閟inx-1,1,所以1-sinx0,2-2sinx+sin2x0.即y0, 所以可知原函數(shù)最小值ymin=0，最大值由前面分析可知即為.3.5均值不等式的運(yùn)用在對(duì)均值不等式的運(yùn)用中，較容易出現(xiàn)的一些錯(cuò)誤如下:（1）注意當(dāng)且僅當(dāng)這些正數(shù)a1,a2,an相等時(shí)，積（和）才能取得最大（小）值.例20. 求函數(shù)y=x2+ (x0)的最小值.錯(cuò)誤解法 因?yàn)閤0，所以x20，0，0.于是y=x2+= x2+ 3 =3所以y的最小值是3.分析 上面解法錯(cuò)誤是沒(méi)有

33、注意到當(dāng)且僅當(dāng)x2=時(shí)，函數(shù)y才能取得最小值.但顯然不等于，所以y不能取3.正確解法 由原函數(shù)可知導(dǎo)函數(shù)y=求得極值點(diǎn)x=又因?yàn)楹瘮?shù)在（0,）上為減函數(shù)，在（,+）上為增函數(shù).所以函數(shù)在點(diǎn)x=處取得最小值，最小值為. （2）對(duì)均值不等式中等號(hào)成立的條件生搬硬套.例21. 已知x ,y ,zr+,且+=1，求xyz的最小值,并求xyz取得最小值時(shí)的x ,y ,z的值.錯(cuò)誤解法 因?yàn)閤 ,y ,zr+，所以+r+.1=+3=30,從而31，所以xyz162.當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)，上式取等號(hào)，又+=1，所以當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=6時(shí)，xyz有最小值162.分析 上面解法錯(cuò)誤，是對(duì)均值不等式中等號(hào)成立的

34、條件沒(méi)有理解而直接套用的結(jié)果，事實(shí)上，當(dāng)x=y=z=6時(shí)，xyz=63=216不等于162.正確解法 當(dāng)xyz162時(shí).即+3中，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng) x=3,y=6,z=9.此時(shí)，xyz有最小值162.(3)連續(xù)進(jìn)行幾次不等式變形，并且各項(xiàng)不等式中的等號(hào)不能同時(shí)成立而造成的錯(cuò)誤.例22. 已知x ,yr+,且+=1，求x+y的最小值.錯(cuò)誤解法 因?yàn)閤 ,yr+, 所以0xy16x+y28因此x+y得最小值是8.分析 上面解法中，連續(xù)進(jìn)行了兩次不等變形即 x+y2,且這兩次不等式中的等號(hào)不能同時(shí)成立，第一個(gè)不等式當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立，第二個(gè)是當(dāng)且僅當(dāng)=即 x=2,y=8時(shí)等號(hào)成立，因此x+y不

35、可能等于8.事實(shí)上，題中的y依然可以由x替換，從而將x+y轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的函數(shù)：f(x)= =x+4+=x-1+5由題意知：x1,所以運(yùn)用均值不等式即求得該函數(shù)的最小值，即當(dāng)x-1=時(shí)取得最小值，求得x=3,y=6,符合題意，所以最小值為9.4 函數(shù)最值在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用例23.某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方形無(wú)蓋蓄水池，其容積為4800m3,深為3m3,如果池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元，怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少？分析 從題中分析可以得出，水池高度已知，進(jìn)而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求池壁的長(zhǎng)和寬的問(wèn)題，從而確定取什么值能使總造價(jià)最低，因此涉及到兩個(gè)變量，因?yàn)槌乇诘拈L(zhǎng)和寬

36、不可能為負(fù)數(shù)，由此我們可以想到利用均值不等式來(lái)求解.解 設(shè)底面長(zhǎng)為xm,寬為ym,水池的總造價(jià)為z元.根據(jù)題意得：z=150+1202（3x+3y） =240000+720(x+y)由容積為4800m3 可得3xy=4800,由此，xy=1600.由均值不等式與不等式性質(zhì)可得： 240000+720（x+y）240000+7202即z240000+7202 =240000+7202 =297600當(dāng)且僅當(dāng)x=y 即x=y=40時(shí)等號(hào)成立.所以將水池的底面設(shè)計(jì)成邊長(zhǎng)為40m的正方形時(shí)，總造價(jià)最低，最低總造價(jià)為297600元.例24某工廠2003年的純收入為500萬(wàn)元，因設(shè)備老化等原因，工廠的生產(chǎn)

37、能力將逐年下降，如果不對(duì)技術(shù)進(jìn)行改造，從今年起預(yù)計(jì)每年將比上一年減少純收入20萬(wàn)元，所以今年年初該工廠為了進(jìn)行技術(shù)改造，一次性投入資金600萬(wàn)元，預(yù)計(jì)在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第n年（第一年從今年算起）的利潤(rùn)為500（1+）萬(wàn)元（n為正整數(shù)）.設(shè)從第一年起的前n年，如果該工廠不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純收入為an萬(wàn)元，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純收入為bn萬(wàn)元（須扣除技術(shù)改造資金），則從今年起該工廠至少經(jīng)過(guò)多少年，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純收入超過(guò)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純收入？分析 首先根據(jù)題意可寫(xiě)出an，bn的表達(dá)式，可知它們都是數(shù)學(xué)中一個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)列求和問(wèn)題，然后對(duì)它們作差就可以建立一個(gè)函數(shù)關(guān)系，即可轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的函數(shù)最值問(wèn)題，再利用合適的方法進(jìn)行求解即可.解 根據(jù)題意可得：a n=（500-20）+（500-40）+（500-20n） =490n-10n2bn =500(1+)+(1+)+（1+）-600 =500n-100.則bn- an =（500n-100）-（490n-10n2） =10n2+10n-100 =10n(n+1)