發(fā)掘例題的智能因素培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

1、發(fā)掘例題的智能因素培養(yǎng)學(xué)生的思維能力湖南省耒陽師范學(xué)校 段春華怎樣使學(xué)生通過課堂中的一些典型例題的學(xué)習(xí)，獲得一定的基礎(chǔ)知識和基本技能，從而提高他們分析問題和解決問題的能力。筆者認為最有效的途徑之一，就是要充分發(fā)掘例題的智能因素，通過對例題的多解、多變、類比和聯(lián)想，引伸和拓廣，給學(xué)生創(chuàng)造一個進行各種思維活動的條件。這樣做不僅能誘發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而且能培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。同時對提高教學(xué)質(zhì)量還具有重要的積極意義。本文就筆者對一些例題的教學(xué)體會，談幾點粗淺認識。一、善于設(shè)疑，培養(yǎng)學(xué)生思維的自覺性。興趣是求知的起點。學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望或興趣，總是在一定的情境中發(fā)生的。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，特別是例題的教學(xué)

2、中，可創(chuàng)設(shè)“惑”與“悱”的情境。即對所講授的例題善于設(shè)疑，借以引起學(xué)生的注意，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，啟發(fā)學(xué)生去思考、去探求，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的自覺性。在二項式系數(shù)性質(zhì)的教學(xué)中，我曾配置了這樣一道例題。例題1、求的展開式中所有二項式系數(shù)的和。這個例題很簡單，因此，當(dāng)時全班學(xué)生都異口同聲回答，其和是 。是的，我不僅肯定了他們回答的結(jié)果，而且還表揚了學(xué)生們回答問題的積極性，其目的在于激發(fā)學(xué)生自覺思考下面所提出的問題。設(shè)疑：求展開式中各項系數(shù)的和。一會兒后，我叫一個學(xué)生把答案寫到黑板上（如下所述）。解：設(shè)展開式中各項系數(shù)的和為S。 =+X + + S =+ + +3 + 此后，我問其他同學(xué)，這個答案是否

3、完完整，他們都不作聲，從而形成了憤悱的情境。為了消除疑惑，我引導(dǎo)學(xué)習(xí)比較、兩式右邊的區(qū)別，即式的右邊在什么情況下可以變?yōu)槭降挠疫叀４鹪唬寒?dāng)X=1時；那么S等于多少呢？答曰S=。妙哉！疑釋了，同學(xué)們高興極了，并嘖嘖稱贊。在他們高興的同時，我又設(shè)了兩個疑問：（1）、求展開式中各項系數(shù)的和；（2）、求展開式中各項系數(shù)的和（其中a、b為常數(shù)，n為正整數(shù)）。有了上述問題的解答方法，同學(xué)們很自覺地思考得出這兩個問題的答案分別是1和，同時也弄清了二項式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別。二、一例多解，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性。對例題的條件與結(jié)論從不同角度去思考，探求各種不同的解題思路，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性。在不等式的證明的教

4、學(xué)中，我只從下面一例就介紹了證明不等式的四種常用方法。這樣做既能說明這些方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，又能培養(yǎng)學(xué)生思維的多向性。例題2，已知a，b，c,d都是實數(shù)，求證：證法一（比較法）：由于證明過程簡單，所以不再贅述。證法二（分析法）：為了證明 只需證明 即證明 即 因為a，b，c,d都是實數(shù)，所以是成立的。因此 成立。證法三（綜合法）：證明過程略。證法四（反證法）：假設(shè) 不成立，即成立于是有 所以 ，這與（a，b，c,d都是實數(shù)）相矛盾。故 成立。三、一例多變，培養(yǎng)學(xué)生思維的變異性。1、變換例題條件引伸推廣，培養(yǎng)學(xué)生探索問題和求異思維能力。例題3、已知函數(shù)是奇函數(shù)，而且在(0，+)上是增函數(shù)，在(-

5、,0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)？分析：要判斷在(-,0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)，則只須判斷當(dāng),(-,0)且小于時，與的大小。為了利用條件，則必須作如下處理： 0 -0 -故顯然，在(-,0)上是增函數(shù)。為了培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)展性，對此例題作如下三種變換：1、已知函數(shù)是奇函數(shù)，而且在(0，+)上是減函數(shù)，在(-,0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)？2、已知函數(shù)是偶函數(shù)，而且在(0，+)上是增函數(shù)，在(-,0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)？3、已知函數(shù)是偶函數(shù)，而且在(0，+)上是減函數(shù)，在(-,0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)？這些命題的解答不難，但能開拓學(xué)生的解題思路，培養(yǎng)學(xué)生的求異精神。2、恰當(dāng)交換例題條件與結(jié)論的順序，培養(yǎng)

6、學(xué)生逆向思維能力。對上述例題3，再作下列四種變換，讓學(xué)生練習(xí)，以便培養(yǎng)學(xué)生思維的逆向性。4、已知函數(shù)是奇函數(shù)，而且在(-,0)上是增函數(shù)，在(0，+)上是增函數(shù)還是減函數(shù)？5、已知函數(shù)是奇函數(shù)，而且在(-,0)上是減函數(shù)，在(0，+)上是增函數(shù)還是減函數(shù)？6、已知函數(shù)是偶函數(shù)，而且在(-,0)上是增函數(shù)，在(0，+)上是增函數(shù)還是減函數(shù)？7、已知函數(shù)是偶函數(shù)，而且在(-,0)上是減函數(shù)，在(0，+)上是增函數(shù)還是減函數(shù)？通過對此例題的各種變換，比較它們解法的異同，可以使學(xué)生掌握一類問題的基本解題思路，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的應(yīng)變能力。四、力求聯(lián)想，培養(yǎng)學(xué)生思維的跳躍性。引導(dǎo)學(xué)生對定理進行推理及類比

7、、聯(lián)想，是培養(yǎng)學(xué)生思維的跳躍性的重要途徑之一。我在教完均值不等式之后，曾配置了這樣一道例題。例題4、已知abc,求證： 表面上，這個例題與均值不等式毫不相干，如果步步設(shè)問、聯(lián)想，就會發(fā)現(xiàn)它與均值不等式有著內(nèi)在的聯(lián)系。設(shè)問：三個數(shù)有什么關(guān)系？容易知道，。進一步設(shè)問：原不等式可轉(zhuǎn)化成什么樣的不等式？不難轉(zhuǎn)化，可得即 再進一步設(shè)問：上述不等式與均值不等式有什么聯(lián)系？顯然，可直接由均值不等式推出。因為所以通過類比、聯(lián)想，學(xué)生不但學(xué)會了本題的證明方法，而且深化了有關(guān)知識，同時還培養(yǎng)了學(xué)生思維的跳躍性。五、題型變通，培養(yǎng)學(xué)生思維的連通性。數(shù)學(xué)習(xí)題無窮無盡，浩似煙海，但題型不外乎計算題、證明題、問答題、選擇

8、題、填空題、判斷題，在幾何上還有作圖題等幾種。如果讓學(xué)生見一題作一題，見一種類型解一種類型，結(jié)果不僅會嚴重地抑制學(xué)生思維的發(fā)展與連通，而且會加重學(xué)生負擔(dān)。事實證明，只要我們立足教材，把教材中的例題、習(xí)題講得精一點深一點，探求題型的相互變通，使學(xué)生有所領(lǐng)悟，必將起到事半功倍的效果。 例題5，求的二項展開式中的系數(shù)。如果單純地講解這道題，并不能給學(xué)生多少教益，仔細琢磨，這道題的真正價值還在于它本身可揭示五種類型題目的相互變通，從而可培養(yǎng)學(xué)生思維的連通性。即解下列五種類型的題目的思維方法相同，都是利用二項展開式的通項公式。1、計算題：求的二項展開式中的系數(shù)。2、證明題：試證明的二項展開式中不含常數(shù)項

9、；3、判斷題：的二項展開式中是否含有二次項；4、填空題：的二項展開式中一次項是 ；5、選擇題：的二項展開式中的系數(shù)是 。 (-36,36,126,-126)事實證明：在培養(yǎng)學(xué)生思維能力的過程中，這五個方面是相互結(jié)合的，而不是獨立的。筆者只是為了闡述問題的需要而分別加以說明。以上淺見僅出自筆者多年來教學(xué)的零星積累。象這樣“發(fā)掘例題的智能因素，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力”的教學(xué)嘗試，頗受學(xué)生的歡迎。由于水平有限，不足之處在所難免，敬請讀者批評指正。關(guān)于正多面體一條性質(zhì)的推廣湖南省耒陽師范學(xué)校 段春華定理1、若為正多面體內(nèi)任意一點，則到正多面體各面的距離之和為一常數(shù)。這是關(guān)于正多面體的一個眾所周知的性質(zhì)其結(jié)

10、論是顯而易見的。事實上，設(shè)分別表示正面體的體積和每一面的面積，為其內(nèi)任意一點，到各平面的距離為(=1，2，,)，則為一常數(shù)。現(xiàn)在筆者將此定理作如下三種情形的推廣：（一）從“形內(nèi)”推廣到“形外”。定理2、若是正多面體外接球面上任意一點，則該正多面體各頂點到過點所作切平面的距離之和為一常數(shù)。證明：設(shè)正多面體頂點數(shù)為，面數(shù)為（,=4，4；6，8；8，6；12，20；20，12），頂點記為,，,外接球球心為。過,，,分別作外接球的切平面，得球外切正面體（根據(jù)正多面體的共軛性，球外切正面體頂點數(shù)為），則點P為正面體 “形內(nèi)”的點，由“定理1” 可知，到正面體各面的距離之和為一常數(shù)，設(shè)為k。又,，各點到過

11、點所作切平面（記為）的距離，分別等于點到正面體對應(yīng)各面的距離（到平面的距離等于到所在面的距離，=1，2，,）。事實上，過點,(=1，2，,),作一平面去截該幾何體，得截面如圖1所示,作，。則，由于垂直過的切平面，即垂直正面體過的一個面，所以也垂直這個面，因此是點到該面的距離。同樣是到平面的距離。設(shè)與相交于，因為，所以RtRt因此，所以，故定理成立，證畢。（二）從“正多面體”推廣到“非正多面體”。定理3 若為（1）各面等積凸面體，或（2）將各面等積凸面體各面作平移變換（并非相似變換）后得到的凸面體內(nèi)任意一點，則點到各面的距離之和為一常數(shù)。證明：（1）記各面等積凸面體為形A，設(shè)V、S分別表示形A的

12、體積和每一面的面積，P為其內(nèi)任意一點，P到各面的距離為，則用完全相同于定理1的證法可得 為一常數(shù)。（2）設(shè)形B為由各面等積凸面體即形A各面作平移變換（并非相似變換）“放大”（或“縮小”）后得到的凸面體（注：因非相似變換，所以形B不是各面等積凸面體），P為形B內(nèi)任意一點，P到形B各面的距離為形B由形A各面作平移變換“放大”后得到凸面體（）若點P在形A內(nèi)，則其中表示形B與形A各對應(yīng)平行面之間的距離所以顯然為一常數(shù)（）若點P在形B內(nèi)而在形A外，則可作一個由形A沿相似變換“放大” 后得到的各面等積凸面體，簡記為形C，且使得形B與形A都包含在形C內(nèi)，則由定理3（1）可知，P到形C各面的距離之和為一常數(shù)那

13、么，點P到形B各面的距離之和其中表示形C與形B各對應(yīng)平行面的距離所以 也為一常數(shù)。形B由形A各面作平移變換“縮小”后得到的凸面體因為點P在形B內(nèi)，所以 其中 表示形A與形B各對應(yīng)平行面的距離 即同樣為一常數(shù)因此定理3證畢三、從“各面等積的非正多面體”推廣到“側(cè)面等積的棱柱、棱錐、棱臺”。定理4、設(shè)為側(cè)面等積的棱柱內(nèi)任意一點，則到各側(cè)面的距離之和為一常數(shù)。證明：令棱柱的各側(cè)面面積均為S，底面面積為，體積為V，高為，點到各側(cè)面的距離分別為,，到上底面距離為，則到下底面距離為。連結(jié)點和各頂點，于是此棱柱被分割成個棱錐。這樣可得：即得： （常數(shù)），證畢。定理5 設(shè)為側(cè)面等積的棱錐底面上任一點，則P到各側(cè)面的距離之和為一常數(shù)。證明：設(shè)棱錐的各側(cè)面面積均為S，底面為n邊形，且面積為t，高為h，P點到各側(cè)面的距離分別為。連結(jié)P點和各頂點，于是此棱錐被分割成n個棱錐，這樣可得：即得 （常數(shù)）證畢定理6 設(shè)為側(cè)面等積棱臺上（下）底面上任一點，則點各側(cè)面的距離之和各為一常數(shù)。證明：設(shè)棱臺的各側(cè)面面積均為S，上、下底面均為n邊形，且面積分別為