【課件】5.7三角函數(shù)的應(yīng)用（第一課時(shí)）

1、5.7 三角函數(shù)的應(yīng)用三角函數(shù)的應(yīng)用第一課時(shí)第一課時(shí) 周期性現(xiàn)象的例子可能包括以下幾方面：（1）勻速圓周運(yùn)動如表的指針的轉(zhuǎn)動，摩天輪,簡車等；（2）自然界中的周期性現(xiàn)象如潮汐變化，日升日落，一天當(dāng)中的氣溫變化等；（3）物理學(xué)中的周期性現(xiàn)象如鐘擺，彈簧振子運(yùn)動，發(fā)電機(jī)產(chǎn)生的交變電流等整體感知整體感知問題1你能舉出生活中具有周期性現(xiàn)象的實(shí)例嗎? 新知探究新知探究例1如圖，摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色某摩天輪最高點(diǎn)距地面高度為120 m，轉(zhuǎn)盤直徑為110 m，設(shè)置有48個(gè)座艙，開啟后按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到離地面最近的位

2、置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)一周大約需要30 min模型一：勻速圓周運(yùn)動新知探究新知探究 （1）游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動t min后離地面的高度為H m，求在轉(zhuǎn)動一周的過程中，H關(guān)于t的函數(shù)解析式；（2）求游客甲在開始轉(zhuǎn)動5 min后離地面的高度；（3）若甲、乙兩人分別坐在兩個(gè)相鄰的座艙里，在運(yùn)行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差的最大值（精確到0.1）新知探究新知探究 追問1你打算選擇什么函數(shù)模型來刻畫這個(gè)實(shí)際問題？為什么？摩天輪上座艙運(yùn)動可以近似地看作是質(zhì)點(diǎn)在圓周上做勻速旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，游客距離地面的高度H呈現(xiàn)周而復(fù)始的變化，因此可以考慮用三角函數(shù)模型來刻畫追問2對比函數(shù)yAsin（x），如何

3、建立H關(guān)于t的函數(shù)解析式？新知探究新知探究 解：如圖，設(shè)座艙距離地面最近的位置為點(diǎn)P，以軸心O為原點(diǎn)，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（1）設(shè)t0 min時(shí)，游客甲位于點(diǎn)P（0，55），根據(jù)摩天輪轉(zhuǎn)一周大約需要30 min，55sin()65 030152Htt， 以O(shè)P為終邊的角為 ；2新知探究新知探究可知座艙轉(zhuǎn)動的角速度約為 radmin，由題意可得15 （2）當(dāng)t5時(shí)，55sin(5)6537.5152H（3）甲、乙兩人的位置分別用點(diǎn)A，B表示，則 24824AOB經(jīng)過t min后甲距離地面的高度為 ，155sin()65152Ht點(diǎn)B相對于點(diǎn)A始終落后 rad，24此時(shí)乙距離地面的

4、高度為 21355sin()651524Ht新知探究新知探究 121355 sin()sin()1521524hHHtt110 sinsin() 030481548tt， 當(dāng) （或 ），15482t 32即 （或22.8）時(shí)，H的最大值為 7.8t 110sin7.248新知探究新知探究 模型二：簡諧運(yùn)動新知探究新知探究 模型二：簡諧運(yùn)動因?yàn)閺椈烧褡与x開中心位置的位移隨著時(shí)間呈周期性變化，所以可以用彈簧振子離開中心位置的位移與時(shí)間的三角函數(shù)關(guān)系來刻畫彈簧振子的運(yùn)動過程新知探究新知探究問題2如何利用三角函數(shù)刻畫彈簧振子的運(yùn)動過程？ T0.000.050.100.150.200.250.300.3

5、50.400.450.500.550.60y20.017.810.10.110.317.720.017.710.30.110.117.820.0新知探究新知探究例2某個(gè)彈簧振子在完成一次全振動的過程中，時(shí)間t（單位s）與位移y（單位mm）之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)如表所示試根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定這個(gè)振子的位移關(guān)于時(shí)間的函數(shù)解析式 根據(jù)散點(diǎn)圖（如圖），分析得出位移y隨時(shí)間t的變化規(guī)律可以用yAsin（x)這個(gè)函數(shù)模型進(jìn)行刻畫新知探究新知探究問題3畫出散點(diǎn)圖并觀察，位移y隨時(shí)間t的變化規(guī)律可以用怎樣的函數(shù)模型進(jìn)行刻畫？ A20，T60 s，初始狀態(tài)的位移為20 mm函數(shù)的解析式為1020sin0)32ytt， 新知

6、探究新知探究問題4由數(shù)據(jù)表和散點(diǎn)圖，你能說出振子振動時(shí)位移的最大值A(chǔ)，周期T，初始狀態(tài)（t0）時(shí)的位移嗎？根據(jù)這些值，你能求出函數(shù)的解析式嗎？ 新知探究新知探究簡諧運(yùn)動相關(guān)概念簡諧運(yùn)動可以用函數(shù) 來表示，其中A為振幅（物體離開平衡位置的最遠(yuǎn)距離）， 為周期， 為頻率 相位，為初相sin0)yAxx， 2T1fTx（1）振幅A3，周期T4，頻率f 14（2）設(shè)這個(gè)簡諧運(yùn)動的函數(shù)表達(dá)式為 23sin25yx 練習(xí)1：如圖所示是某簡諧運(yùn)動的圖象，試根據(jù)圖象回答下列問題：（1）這個(gè)簡諧運(yùn)動的振幅、周期與頻率各是多少？（2）寫出這個(gè)簡諧運(yùn)動的解析式新知探究新知探究 練習(xí)2：如圖，一根絕對剛性且長度不變、

7、質(zhì)量可忽略不計(jì)的線，一段固定，另一端懸掛一個(gè)沙漏讓沙漏在偏離平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下鉛錘面內(nèi)做周期擺動若線長l cm，沙漏擺動時(shí)離開平衡位置的位移為s（單位：cm）與時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系是 3cos0).3gsttl， 新知探究新知探究 （1）當(dāng)l25時(shí)，求沙漏的最大偏角（精確到0.0001 rad）；（2）已知g9.8 m/s2，要使沙漏擺動的周期是1 s，線的長度應(yīng)當(dāng)是多少（精確到0.1 cm）?解答：（1）最大偏角為0.1203 rad（2）要使沙漏擺動的周期是1 s，線的長度l應(yīng)當(dāng)為24.8 cm新知探究新知探究 （1）求電流i隨時(shí)間t變化的函數(shù)解析式；（2）

8、當(dāng) 時(shí)，求電流i11710600 150 600 60t，圖（圖（1）圖（圖（2）新知探究新知探究例2如圖（1）所示的是某次實(shí)驗(yàn)測得的交變電流i（單位A）隨時(shí)間t（單位s）變化的圖象將測得的圖象放大，得到圖（2）模型三：交變電流 由交變電流的產(chǎn)生原理可知，電流i隨時(shí)間t的變化規(guī)律可以用 來刻畫sin0iAtt， 新知探究新知探究問題5觀察圖象，交變電流i隨時(shí)間t的變化滿足怎樣的函數(shù)模型？ 新知探究新知探究問題6根據(jù)圖象，你能說出電流的的最大值A(chǔ)，周期T，初始狀態(tài)（t0）時(shí)的電流嗎？由這些值，你能進(jìn)一步解決問題（1）、（2）嗎？ 練習(xí)3：一臺發(fā)電機(jī)產(chǎn)生的電流是正弦式電流，電壓和時(shí)間之間的關(guān)系如圖

9、所示由圖象說出它的周期、頻率和電壓的最大值，并求出電壓U（單位V）關(guān)于時(shí)間t（單位s）的函數(shù)解析式答案：周期為0.02，頻率為50，電壓的最大值為311 V電壓和時(shí)間的函數(shù)解析式為U311sin100t，t0，+ ) 新知探究新知探究 歸納小結(jié)歸納小結(jié)問題8對于一個(gè)周期性現(xiàn)象，你該如何利用三角函數(shù)來刻畫？你能舉出一些符合三角函數(shù)規(guī)律的實(shí)際模型嗎？在本節(jié)課中，你經(jīng)歷了怎樣的學(xué)習(xí)過程，涉及哪些數(shù)學(xué)思想方法，還有哪些其它方面的收獲？ 歸納小結(jié)歸納小結(jié)利用三角函數(shù)刻畫周期性現(xiàn)象，就是要找出這一現(xiàn)象中哪兩個(gè)變量滿足“當(dāng)其中一個(gè)變量增加相同的常數(shù)時(shí)，另一個(gè)變量的值重復(fù)出現(xiàn)”，并求出這兩個(gè)變量之間滿足的三角

10、函數(shù)關(guān)系物理中的簡諧運(yùn)動和交變電流都是理想當(dāng)中的三角函數(shù)模型在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了由一般到特殊，由抽象到具體學(xué)習(xí)過程，涉及到數(shù)形結(jié)合思想和數(shù)學(xué)建模思想再見再見 目標(biāo)檢測目標(biāo)檢測（1）這個(gè)簡諧運(yùn)動的振幅、周期與頻率各是多少？（2）寫出這個(gè)簡諧運(yùn)動的函數(shù)解析式（2）3cos()210yx某簡諧運(yùn)動的圖象如圖所示，試根據(jù)圖象回答下列問題：1答案：（1）振幅是3，周期是4，頻率是 ；14 目標(biāo)檢測目標(biāo)檢測（1）振動的周期和頻率；（2）振子在5 s內(nèi)通過的路程及此時(shí)位移的大小（2）振子在5 s內(nèi)通過的路程為2 m，此時(shí)位移的大小10 cm彈簧振子以點(diǎn)O為平衡位置在B，C間做簡諧運(yùn)動，B，C相距20 cm，某時(shí)刻振子位于點(diǎn)B，經(jīng)0.5 s振子首次到達(dá)點(diǎn)C求：2解答：（1）周期為1 s，頻率1 Hz； 作業(yè)：作業(yè)：教科書習(xí)題5.7第1，2題作業(yè)布置作業(yè)布置 解： ，初始狀態(tài)的電流為4.33 A15s50AT，