【新教材教案】5.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì) 教學(xué)設(shè)計(jì)（1）-人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)

1、 第五章 三角函數(shù) 5.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì) 本節(jié)課選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修1本（A版）第五章的5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)。本節(jié)的主要內(nèi)容是由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象，由先前學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，通過函數(shù)圖像，觀察總結(jié)函數(shù)性質(zhì)，并應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)解決問題。是學(xué)生對(duì)函數(shù)學(xué)習(xí)方法掌握情況的一次大檢閱。因此注意對(duì)學(xué)生研究函數(shù)方法的啟發(fā)，本節(jié)的學(xué)習(xí)有著極其重要的地位。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)直觀、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)1.了解周期函數(shù)、周期、最小正周期的含義2.掌握ysin x(xR)，ycos x(xR)的周期性、奇偶性、單調(diào)性和最值3.會(huì)求函數(shù)yAsi

2、n(x)及yAcos(x)的周期，單調(diào)區(qū)間及最值4.通過作正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的性質(zhì)探究，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合和類比的思想方法。 a.數(shù)學(xué)抽象：函數(shù)性質(zhì)的總結(jié)；b.邏輯推理：由正余弦函數(shù)性質(zhì)解決yAsin(x)的性質(zhì)；c.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解決問題；d.直觀想象：運(yùn)用函數(shù)圖像歸納函數(shù)性質(zhì)；e.數(shù)學(xué)建模：正余弦函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；教學(xué)重點(diǎn)： ysin x(xR)，ycos x(xR)的周期性、奇偶性、單調(diào)性和最值教學(xué)難點(diǎn)：會(huì)求函數(shù)yAsin(x)及yAcos(x)的周期，單調(diào)區(qū)間及最值多媒體教學(xué)過程設(shè)計(jì)意圖核心教學(xué)素養(yǎng)目標(biāo)（一）創(chuàng)設(shè)問題情境提出問題 類比以往對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究，你認(rèn)為應(yīng)研究正弦函數(shù)、余

3、弦函數(shù)的哪些性質(zhì)？觀察它們的圖象，你能發(fā)現(xiàn)它們具有哪些性質(zhì)？問題探究 根據(jù)研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，我們要研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最大（?。┲档攘硗猓呛瘮?shù)是刻畫“周而復(fù)始”現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，與此對(duì)應(yīng)的性質(zhì)是特別而重要的觀察正弦函數(shù)的圖象，可以發(fā)現(xiàn)，在圖象上，橫坐標(biāo)每隔2個(gè)單位長(zhǎng)度，就會(huì)出現(xiàn)縱坐標(biāo)相同的點(diǎn)，這就是正弦函數(shù)值具有的“周而復(fù)始”的變化規(guī)律實(shí)際上，這一點(diǎn)既可從定義中看出，也能從誘導(dǎo)公式sinx+2k=sinx（kZ）中得到反映，即自變量x的值增加2整數(shù)倍時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，與x所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等數(shù)學(xué)上，用周期性這個(gè)概念來定量地刻畫這種“周而復(fù)始”的變化規(guī)律（二）問題探究1.周期性

4、 一般地，對(duì)于函數(shù)fx ,如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有fx+T=fx那么函數(shù)fx就叫做周期函數(shù)（periodicfunction）非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期（period） 周期函數(shù)的周期不止一個(gè)例如，以及，都是正弦函數(shù)的周期事實(shí)上kZ，且 k，常數(shù)2k都是它的周期 如果在周期函數(shù)fx的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做fx的最小正周期（minimalpositiveperiod）根據(jù)上述定義，我們有：正弦函數(shù)是周期函數(shù)， 2k（kZ且k）都是它的周期，最小正周期是類似地，余弦函數(shù)也是周期函數(shù)， 2k（kZ且k）都是它的周期，最小正周期是典例

5、解析例2求下列三角函數(shù)的周期：(1) y3sinx，xR；(2)ycos 2x，xR；（3）y=2sin12x-6,xR;分析：通?？梢岳萌呛瘮?shù)的周期性，通過代數(shù)變形，得出等式fx+T=fx而求出相應(yīng)的周期對(duì)于（），應(yīng)從余弦函數(shù)的周期性出發(fā)，通過代數(shù)變形得出cos2(x+T)=cos2x，xR；對(duì)于（），應(yīng)從正弦函數(shù)的周期性出發(fā)，通過代數(shù)變形得出sin12(x+T)-6=sin12x-6, xR；【解】(1) ，有3sin(x)3sinx，由周期函數(shù)的定義知，y3sinx的周期為2.(2)令，由，得，且的周期為2.即因?yàn)閏os (z2)cosz，于是cos(2x2)cos 2x，所以cos

6、2(x)cos 2x，由周期函數(shù)的定義知，ycos 2x的周期為.令z=12x-6,由xR得ZR且y=2sinz的周期為即周期為2. 即，2sinz+2=2sinz,于是，2sin12x-6+2=2sin（12x-6）所以，2sin12（x+4）-6=2sin（12x-6）由周期函數(shù)的定義知，原函數(shù)的周期為4.回顧例的解答過程，你能發(fā)現(xiàn)這些函數(shù)的周期與解析式中哪些量有關(guān)嗎？歸納總結(jié) 求三角函數(shù)周期的方法：(1)定義法：即利用周期函數(shù)的定義求解(2)公式法：對(duì)形如yAsin(x)或yAcos(x)(A，是常數(shù)，A0，0)的函數(shù)，T.(3)圖象法：即通過觀察函數(shù)圖象求其周期2.奇偶性 觀察正弦曲線

7、和余弦曲線 ， 可以看到正弦曲線關(guān)于原點(diǎn) 犗 對(duì)稱 ， 余弦曲線關(guān)于 x 軸對(duì)稱 這個(gè)事實(shí) ， 也可由誘導(dǎo)公式sin-x=-sinx；cos-x=cosx得到 所以正弦函數(shù)是奇函數(shù) ， 余弦函數(shù)是偶函數(shù) 知道一個(gè)函數(shù)具有周期性和奇偶性 ， 對(duì)研究它的圖象與性質(zhì)有什么幫助 ?做一做1(1)函數(shù)f(x)sin 2x的奇偶性為 ()A奇函數(shù) B偶函數(shù)C既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D非奇非偶函數(shù)(2)判斷函數(shù)f(x)sin的奇偶性【答案】A【解析】(1)f(x)的定義域是R，且f(x)sin 2(x)sin 2xf(x)，函數(shù)為奇函數(shù) (2)f(x)sincos x，f(x)coscos x，函數(shù)f(x)s

8、in為偶函數(shù).歸納總結(jié)1判斷函數(shù)奇偶性應(yīng)把握好的兩個(gè)方面：一看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；二看f(x)與f(x)的關(guān)系2對(duì)于三角函數(shù)奇偶性的判斷，有時(shí)可根據(jù)誘導(dǎo)公式先將函數(shù)式化簡(jiǎn)后再判斷3. 單調(diào)性 由于正弦函數(shù)是周期函數(shù) ， 我們可以先在它的一個(gè)周期的區(qū)間 （ 如 -2,32） 上討論它的單調(diào)性 ， 再利用它的周期性 ， 將單調(diào)性擴(kuò)展到整個(gè)定義域 觀察圖 5.4-8， 可以看到 ：當(dāng) x 由-2 增大到 2時(shí) ， 曲線逐漸上升 ， sinx的值由-1增大到 1； 當(dāng)x 由 2增大到32時(shí) ， 曲線逐漸下降 ， sinx的值由 1減小到 -1sinx 的值的變化情況如表 5.4.2所示 ：

9、就是說，正弦函數(shù)y=sinx在區(qū)間-2,2上單調(diào)遞增，在區(qū)間2,32 上單調(diào)遞減，有正弦函數(shù)的周期性可得； 正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間-2+2k,2+2k （ kZ ） 上都單調(diào)遞增 ,其值從-1 增大到1 ;在每一個(gè)閉區(qū)間2+2k,32+2k （ kZ ） 上都單調(diào)遞減 ,其值從 1減小到-1類似地 ， 觀察余弦函數(shù)在一個(gè)周期區(qū)間 （ 如 -,） 上函數(shù)值的變化規(guī)律 ， 將看到的函數(shù)值的變化情況填入表5.4.3 由此可得，余弦函數(shù)y=cosx,x-,在區(qū)間 上單調(diào)遞增 ， 其值從-1 增大到1 ；上單調(diào)遞增，在區(qū)間 上單調(diào)遞減，其值從1減小到-1由余弦函數(shù)的周期性可得，余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間 ,

10、上都單調(diào)遞增 ， 其值從-1 增大到 1；在每一個(gè)閉區(qū)間 , 上都單調(diào)遞減 ， 其值從 1減小到 -1函 數(shù) 名 遞增區(qū)間 遞減區(qū)間 y=sinx y=cosx.最大值與最小值 從上述對(duì)正弦函數(shù) 、 余弦函數(shù)的單調(diào)性的討論中容易得到 ，正弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng) x 時(shí),取得最大值 ， 當(dāng)且僅當(dāng) x 時(shí),取得最小值 ；余弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng) x 時(shí),取得最大值 ，當(dāng)且僅當(dāng) x 時(shí),取得最小值 例3. 下列函數(shù)有最大值 、 最小值嗎？ 如果有 ， 請(qǐng)寫出取最大值 、 最小值時(shí)自變量x的集合 ， 并求出最大值 、 最小值 （ ） y=cosx+1， x R ；（ ） y=-3sin2x ， x R解 ： 容易知道

11、 ， 這兩個(gè)函數(shù)都有最大值 、 最小值 （ ） 使函數(shù) y=cosx+1， x R取得最大值的x的集合 ， 就是使函數(shù) y=cosx， x R ，取得最大值的x 的集合 x x2k ， k Z ；使函數(shù)y=cosx+1， x R ， 取得最小值的 狓 的集合 ， 就是使函數(shù) y=cosx， x R取得最小值的 x 的集合 x x （ 2k +1） ， k Z 函數(shù)y=cosx+1， x R 的最大值是 ； 最小值是 (2)解 ： 令 z 2x， 使函數(shù)） y=-3sin2x ， zR 取得最大值的 z 的集合 ， 就是使 y=sinz，zR 取得最小值的 z 的集合 z z- 2+2k ， k

12、 Z 由 z 2x - 2+2k ，得x - 4+k 所以 ， 使函數(shù)y=-3sin2x ， xR 取得最大值的x 的集合是 x x - 4+k, k Z 同理 ， 使函數(shù)y=-3sin2x ， xR取得最小值的x 的集合是 x x 4+k, k Z 函數(shù) y=-3sin2x ， xR的最大值是 ， 最小值是 例4. 不通過求值，指出下列各式的大?。?1) sin(-18); sin(-10)分析 ： 可利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較兩個(gè)同名三角函數(shù)值的大小 為此 ， 先用誘導(dǎo)公式將已知角化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角 ， 然后再比較大小 解 ：（ ） 因?yàn)? 210-180，正弦函數(shù)y=sinx在-2,2

13、上是增函數(shù)，所以Qsin-18sin(-10)(2) cos(-235); cos(-174)解：cos-235=cos235=cos35；cos-174=cos174=cos4因?yàn)?435cos4；即cos(-174)cos-235例5. 求函數(shù)y=sin(12x+3), x ， 的單調(diào)遞增區(qū)間 分析 ： 令z= 12x+3當(dāng)自變量x 的值增大時(shí) ， z 的值也隨之增大 ， 因此若函數(shù) y=sinz在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增 ， 則y=sin(12x+3)在相應(yīng)的區(qū)間上也一定單調(diào)遞增 解 ： 令 z= 12x+3， x- ， ， 則 z -23,43因?yàn)閥=sinz ， z -23,43的單調(diào)遞增

14、區(qū)間是z -2,2， 且由-212x+3 2，得-53x 3 所以 ， 函數(shù)y=sin(12x+3), ， x- ， 的單調(diào)遞增區(qū)間是-53,3通過對(duì)函數(shù)學(xué)習(xí)的回顧，提出研究正弦與余弦函數(shù)性質(zhì)的方法，培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)。通過對(duì)正弦函數(shù)圖像的分析，歸納總結(jié)周期性、奇偶性、單調(diào)性和最值，發(fā)展學(xué)生，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)；通過對(duì)正弦函數(shù)圖像的分析，歸納總結(jié)周期性、奇偶性、單調(diào)性和最值，發(fā)展學(xué)生，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)；通過對(duì)典型問題的分析解決，提高學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的理解。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模、邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)；三、當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

15、1判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)若sin(6060)sin 60，則60為正弦函數(shù)ysin x的一個(gè)周期()(2)若T是函數(shù)f(x)的周期，則kT，kN*也是函數(shù)f(x)的周期()(3)函數(shù)ysin x，x(，是奇函數(shù)()1【解析】(1).舉反例，sin(4060)sin 40，所以60不是正弦函數(shù)ysin x的一個(gè)周期(2).根據(jù)周期函數(shù)的定義知，該說法正確(3).因?yàn)槎x域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱【答案】(1)(2)(3)2.函數(shù)f(x)sin，xR的最小正周期為() A.B C2 D42.【解析】因?yàn)閟insinsin，即f(x4)f(x)，所以函數(shù)f(x)的最小正周期為4.【答案】D3.函數(shù)f(x)sin的一個(gè)遞減區(qū)間是() A. B，0 C. D.3.【解析】令x，kZ，得x，kZ，k0時(shí)，區(qū)間是函數(shù)f(x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間，而.故選D.【答案】D4比較下列各組數(shù)的大小：(1)cos 150與cos 170；(2)sin 與sin.4【解】(1)因?yàn)?0150170cos 170.(2)sinsins