中值定理在不等式證明中的應用畢業(yè)論文

1、 編號：201231130120 本科畢業(yè)論文題目:中值定理在不等式證明中的應用系 院：數(shù)學科學系姓 名: 學 號：0831130120專 業(yè)：小學教育（數(shù)學方向)年 級：2008級指導教師： 職 稱：副教授完成日期：2012年5月摘 要本文主要寫在不等式證明過程中常用到的幾種中值定理，其中在拉格朗日中值定理證明不等式的應用中講了三種方法：直接公式法、變量取值法、輔助函數(shù)構(gòu)造法.在泰勒中值定理證明不等式的應用中，給出了泰勒公式中展開點選取的幾種情況：區(qū)間的中點、已知區(qū)間的兩端點、函數(shù)的極值點或最值點、已知區(qū)間的任意點.同時對各種情況的運用范圍和特點作了說明，以便更好的運用泰勒中值定理證明不等式

2、.并對柯西中值定理和積分中值定理在證明不等式過程中的應用問題作簡單介紹.關鍵詞：拉格朗日中值定理；泰勒公式；柯西中值定理；積分中值定理；不等式abstract this paper idea wrote in inequality proof of use frequently during several of the mean value theorem, which in the lagrange mean value theorem proving inequality in the application of the three methods to speak: direct f

3、ormula method, variable value method, the method to construct auxiliary function. in the application of proof inequalities of the taylor mean value theorem , which gave taylor formula on the point in several ways: the point of the interval, the interval of two known extreme, the function extreme val

4、ue point or the most value point, the interval of known at any point. and the application range of of all kinds of situation and characteristics that were explained, in order to better use taylor of the mean value theorem to testify inequality. and cauchy mid-value theorem and integral mean value th

5、eorem in the application process to prove the inequality were briefly discussedkey words :the lagrange mean value theorem；taylors formula；cauchy mean value theorem；inequality；the mean value theorem for integrals目 錄摘 要 （i）abstract （i）1 引言 （1）2 拉格朗日中值定理在不等式證明中的應用 （2） 2.1 拉格朗日中值定理（2） 2.2 利用拉格朗日中值定理證明不等

6、式（2） 2.2.1 直接公式法 （2） 2.2.2 變量取值法 （4） 2.2.3 輔助函數(shù)構(gòu)造法 （5）3 泰勒中值定理在不等式證明中的應用 （7） 3.1 泰勒中值定理（7） 3.2 利用泰勒公式證明不等式（7） 3.2.1 中點取值法 （7） 3.2.2 端點取值法 （9） 3.2.3 極值取值法 （9） 3.2.4 任意點取值法 （11）4 柯西中值定理在不等式證明中的應用（14） 4.1 柯西中值定理（14） 4.2 利用柯西中值定理證明不等式（14）5 積分中值定理在不等式證明中的應用 （16） 5.1 積分中值定理（16） 5.2 利用積分證明不等式（16）結(jié)束語 （18）參考

7、文獻 （19）致謝 （20）1 引言不等式也是數(shù)學中的重要內(nèi)容，也是數(shù)學中重要方法和工具.中值定理包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理以及積分中值定理等.以拉格朗日中值定理(也稱微分中值定理)為中心，介值定理是中值定理的前奏，羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情形，而柯西中值定理、泰勒中值定理及定積分中值定理則是它的推廣.利用中值定理證明不等式，是比較常見和實用的方法.人們對中值定理的研究，從微積分建立之后就開始了以羅爾定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是整個微分學的理論基礎，它們建立了函數(shù)值與導數(shù)值之間的定量聯(lián)系，中值定理的主要作用在于理論分析和證明；

8、應用導數(shù)判斷函數(shù)上升、下降、取極值、凹形、凸形和拐點等項的重要性態(tài).此外，在極值問題中有重要的實際應用.微分中值定理是數(shù)學分析乃至整個高等數(shù)學的重要理論，它架起了利用微分研究函數(shù)的橋梁.微分中值定理從誕生到現(xiàn)在的近300年間，對它的研究時有出現(xiàn).特別是近十年來，我國對中值定理的新證明進行了研究，僅在國內(nèi)發(fā)表的文章就近60篇.不等式的證明不僅形式多種多樣，而且證明方式多變，常見的方法有：利用函數(shù)的單調(diào)性證明，利用微分中值定理證明，利用函數(shù)的極值或最值證明等，在眾多方法中，利用中值定理證明不等式比較困難，無從下手，探究其原因，一是中值定理的內(nèi)容本身難理解，二是證明不等式，需要因式而變，對中值定理的

9、基礎及靈活性要求較高.我們在日常教學中常常遇到不等式的證明問題，不等式是初等數(shù)學中最基本的內(nèi)容之一，我們有必要把這類問題單獨拿出來進行研究，找出它們的共性，以方便我們?nèi)蘸蟮慕虒W研究工作的開展.2 拉格朗日中值定理在不等式證明中的應用2.1 拉格朗日中值定理拉格朗日（j.l.lagrange，1736-1813，法國數(shù)學家，力學家，文學家）.拉格朗日中值定理 設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導，則在開區(qū)間()內(nèi)至少存在一點 ，使得 (1)或 . (2)拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣，即羅爾定理是拉格朗日定理當時的特殊情形.拉格朗日定理中，由于，因而可將表示為 ，.這樣（1）式還可表示為 ，.

10、 (3)若令，則有 ，. （4）一般稱式（1）、（2）、（3）、（4）式為拉格朗日公式.2.2 利用拉格朗日中值定理證明不等式 2.2.1 直接公式法例2.1 證明不等式成立. 分析 首先要構(gòu)造一個輔助函數(shù)； 由欲證形式構(gòu)成“形似”的函數(shù)區(qū)間. 運用拉格朗日公式來判斷.證明 設.由拉格朗日公式（2）可得 ， .等式兩邊同取絕對值，則有 .而 .又因為 .因此，就得到 . 證畢.評注 此題如果單純地應用初等數(shù)學的方法來證明，會難以得出結(jié)論，而應用了拉格朗日公式，再利用三角函數(shù)的簡單知識，問題就游刃而解了.例2.2 證明不等式，（）成立.分析 此題利用反三角函數(shù)的有關知識，構(gòu)造一個輔助函數(shù)，再利用

11、拉格朗日中值定理就可以輕輕松松地解出此題.證明 設,在上滿足拉格朗日定理的全部條件，因此有（）， .因為 ，可得.例2.33 證明. 證明 設函數(shù)，則，不難看出在區(qū)間上滿足拉格朗日定理條件，于是存在，使 .由于，所以，上式為 . 因為當時為單調(diào)增函數(shù)，所以 .兩邊同時乘以，則得 ， 即 ， 證畢. 2.2.2 變量取值法例2.4 證明不等式 成立，其中.分析 （1）根據(jù)題中式子構(gòu)造一個相似函數(shù)，和定義區(qū)間. （2）利用對數(shù)的四則運算法則，將對數(shù)式整理成拉格朗日中值定理所滿足的形式，從而得出結(jié)論.證明 設，.由拉格朗日公式（3），則有 . （1）由不等式，可推得 及. 代入（1），即 . 證畢.

12、評注 解此題關健在于觀察要證明的不等式中把對數(shù)式拆開成，再利用拉格朗日的公式來輕松地得出結(jié)論.例2.4 證明不等式，對一切，成立.分析 此題首先利用對數(shù)的有關知識，構(gòu)造了一個輔助函數(shù)，再利用拉格朗日中值定理解出此題.證明 由拉格朗日公式（4），令，.則有 ，. （1）當時，由不等式 ，可推得及 . （2）當時，由不等式，可知 .由于， 可推（2）式成立，將（2）式代入（1）式，就可知不等式成立. 評注 證明此種不等式的關健是構(gòu)造一個輔助函數(shù)，再利用初等數(shù)學的有關知識來證明不等式.例2.5 證明若，則.證明 令，則在r上連續(xù)、可導，且.情形一 當時，由拉格朗日定理知使 .整理有.因為，所以有.情

13、形二 當時，由拉格朗日中值定理知，使 .整理有.因為此時，三邊同時乘以，所以成立.綜上所述，當時，成立.從以上例題可以發(fā)現(xiàn)：靈活構(gòu)造“”的取值，不僅可使證明過程簡單，有時甚至是解題的關鍵.2.2.3 輔助函數(shù)構(gòu)造法例2.64 設函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，又不為形如的函數(shù)證明至少存在一點，使.證明 做輔導函數(shù) ，則為形如的函數(shù)因為不為形如的函數(shù)，所以至少存在一點，使 .情形一 ，此時 . 即 .因為，所以由中值定理知，使 ， 從而有 .情形二 ，此時，即 .因為，所以由拉格朗日中值定理，使得 ，從而有 . 綜上所述，在內(nèi)至少有一點使原式成立. 證畢. 許多證明題都不能直接應用定理進行證明利用拉格朗

14、日中值定理證明問題時，如何構(gòu)造輔助函數(shù)，是證明的關鍵.3 泰勒中值定理在不等式證明中的應用3.1 泰勒中值定理泰勒中值定理 如果函數(shù)在含有的開區(qū)間內(nèi)有直到階導數(shù)，則對任一點，有 其中是與之間的某個值，上式稱為按的冪展開的階泰勒公式.下面就泰勒中值定理中函數(shù)展開點的不同情況來證明不等式.3.2 利用泰勒公式證明不等式 3.2.1 中點取值法 選區(qū)間中點展開是較常見的一種情況，然后在泰勒公式中取為適當?shù)闹?，通過兩式相加，并對某些項進行放縮，便可將多余的項去掉而得所要的不等式.下面以實例說明.例3.15 設在區(qū)間內(nèi)， 0，試證：對于內(nèi)的任意兩個不同點和，有.證明 將分別在及處展開，得 ，其中是與之間

15、的某個值.上式中分別取及， ； .上面兩式相加，得 .因為，所以，即 .注 (1)若題中條件“”改為“”，而其余條件不變，則結(jié)論改為 .(2)若例1的條件不變，則結(jié)論可推廣如下：對內(nèi)任意個不同點及，且，有 .例3.2 設函數(shù)在區(qū)間a，b上二階連續(xù)可導，且，證明其中.證明 將在處展開，得 .其中是 與之間的某個值.因為，所以有 ，上式在作定積分，然后取絕對值 . 即 . 3.2.2 端點取值法當條件中出現(xiàn)，而欲證式中出現(xiàn)廠，展開點常選為區(qū)間兩端點然后在泰勒公式中取為適當?shù)闹?，消去多余的項，可得待證的不等式.例3.3 函數(shù)在區(qū)間a，b上二階可導，且，證明：在內(nèi)至少存在一點，使得. 證明 將分別在及

16、處展開，得 ； .上面兩式中取， ； .上面兩式相減，并由，得 . 記 .其中，.于是，有 . 3.2.3 極值取值法當題中不等式出現(xiàn)函數(shù)的極值或最值項，展開點常選為該函數(shù)的極值點或最值點. 例3.46 設函數(shù))在區(qū)間內(nèi)二階可導，且存在極值及點，使，試證：至少存在一點，使. 證明 將在處展開，得 ，其中， 介于與之間.上式取，并由，得，其中介于與之間.兩邊同乘以，得，（1）當時，上式取，得.即. （2）當時，上式取，同理可得.由(1)及(2)得，存在，使得.再由的連續(xù)性，得.注 (1)當題中條件“連續(xù)”去掉，而其他條件不變時，結(jié)論可改為在內(nèi)至少存在一點 ，使得成立(2)當題中條件添加時，結(jié)論可

17、改為：在內(nèi)至少存在一點，使得成立.3.2.4 任意點取值法當題中結(jié)論考察的關系時，展開點常選為該區(qū)間內(nèi)的任意點，然后在泰勒公式中取為適當?shù)闹担δ承╉椬鞣趴s處理，得所要的不等式.例3.57 函數(shù)在區(qū)間上二階可導，且a， b，其中a，b為非負常數(shù)，試證：，其中. 證明 將在處展開，其中介于與之間.上式中分別取及，；.上面兩式相減，得 .即.故 .即，再由的任意性，故有 ，其中.例3.6 函數(shù)在區(qū)問上二階可導，且，試證.證明 將在處展開， ，其中車于與之間.上式中分別取及， ；.上邊兩式相加，得 .上式兩端在上對作積分， .于是有 ， .即.注 從不等式的特點出發(fā)，應用實際范例給出了泰勒公式中展

18、開點選取的幾種情況：區(qū)間的中點，已知區(qū)間的兩端點，函數(shù)的極值點或最值點，已知區(qū)間的任意點.同時對各種情況的運用范圍和特點作了說明，以便更好地運用泰勒中值定理證明不等式.4 柯西中值定理在不等式證明中的應用4.1 柯西中值定理柯西中值定理 設函數(shù)，滿足 （1）在閉區(qū)間上連續(xù)； （2）在開區(qū)間內(nèi)可導； （3）對任一有， 則存在， 使得/=/.4.2 利用柯西中值定理證明不等式例4.1 設函數(shù)在內(nèi)可微，證明：在內(nèi)，.證明 引入輔助函數(shù)在應用柯西中值定理，得因為例4.28 證明不等式證明 令則上式轉(zhuǎn)化為由于上應用柯西中值定理，得于是又轉(zhuǎn)化為.因為而當所以即 例4.39 若，求證：證明 證明實際上只需證

19、，設上，滿足柯西中值定理條件，所以 .即 .其中用到是單調(diào)增加函數(shù).5 積分中值定理證明不等式5.1積分中值定理 定理5.1(積分第一中值定理) 若在區(qū)間上連續(xù)，則在上至少存在一點使得 定理5.2(推廣的積分第一中值定理) 若在閉區(qū)間上連續(xù)，且在上不變號，則在至少存在一點，使得.5.2 利用積分中值定理證明不等式 例5.111 證明. 證明 估計積分的一般的方法是:求在的最大值和最小值，又若，則.本題中令 .因為. 所以.例5.2 證明. 證明 在區(qū)間上求函數(shù)的最大值和最小值.，令，得駐點. 比較，知為在上的最小值，而為在上的最大值.由積分中值定理得，即.注 由于積分具有許多特殊的運算性質(zhì)，故

20、積分不等式的證明往往富有很強的技巧性.在證明含有定積分的不等式時，也?？紤]用積分中值定理，以便去掉積分符號，若被積函數(shù)是兩個函數(shù)之積時，可考慮用廣義積分中值定理.如果在證明如1和2例題時，可以根據(jù)估計定積分的值在證明比較簡單方便.結(jié)束語 中值定理是一條重要定理，它在微積分中占有重要的地位，起著重要的作用，深入挖掘滲透在這一定理中的數(shù)學思想，對于啟迪思維，培養(yǎng)創(chuàng)造能力具有重要意義.偉大的數(shù)學家希爾伯特說“數(shù)學的生命力在于聯(lián)系” 數(shù)學中存在著概念之間的親緣關系，存在著理論結(jié)構(gòu)各要素之間的聯(lián)系，存在著方法和理論之間的聯(lián)系， 存在著這一分支鄰域與那一分支鄰域等各種各樣的聯(lián)系，因此探索數(shù)學中各種各樣的聯(lián)

21、系乃是指導數(shù)學研究的一個重要思想實際上，具體地分析事物的具體聯(lián)系，是正確認識和改造客觀世界必不可少的思維方式在一定的意義上說，數(shù)學的真正任務就在于揭示數(shù)學對象之間、數(shù)學方法之間的內(nèi)在固有聯(lián)系，這一任務的解決不斷推動數(shù)學科學向前發(fā)展 中值定理在一些等式的證明中，我們往往容易思維定式，只是對于原來的式子要從哪去證明，很不容易去聯(lián)系其它，只從式子本身所表達的意思去證明.今后應當注重研究中值定理各定理之間的聯(lián)系，更好的應用中值定理解決不等式的證明.參考文獻1 高尚華.華中師范大學第三版.數(shù)學分析(上)m.北京:高等教育出版社，2001，(06).2 董煥河、張玉峰.高等數(shù)學與思想方法m.陜西:西安出版

22、社，2000，(09).3 高崚峰.應用微分中值定理時構(gòu)造輔助函數(shù)的三種方法j.四川:成都紡織高等?？茖W校學報.2007，(07):18-19.4 張?zhí)摇ⅫS星、朱建國.微分中值定理應用的新研究j.江蘇:南京工業(yè)職業(yè)技術學院學報.2007，(8):12-14.5 張元德、宋列俠.高等數(shù)學輔導30講m. 清華大學出版社，1994，(6).6ai jing-hua.characters equal definitions and application of convex functionj.journal of kaifeng university， vol.17，no.2，jun.2003:132-136.7 鐘朝艷.cauchy中值定理與taylor定理得新證明j.云南:曲靖師專學報.1998，(9):9.8 荊天.柯西中值定理的證明及應用j.北京:科技信息(學術版).2008，(06):14.9 葛健牙、張躍平、沈利紅.再探柯西中值定理j.浙江:金華職業(yè)技術學院學報.2007，(06):23.10劉劍秋、徐綏、