2020版高考數(shù)學二輪復習 第三篇 思想導引 3.1 函數(shù)與方程思想課件 理

1、第三篇 思想導引方法點睛第1講函數(shù)與方程思想 題型一在函數(shù)、方程、不等式中的應用題型一在函數(shù)、方程、不等式中的應用【例例1 1】(1)(1)設設0a1,e0a1,e為自然對數(shù)的底數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù), ,則則a,aa,ae e,e,ea a-1-1的大小關系為的大小關系為( () )A.eA.ea a-1aa-1aae eB.aB.ae eaeaea a-1-1C.aC.ae eeea a-1a-1aD.aeD.aea a-1a-1ae e(2)(2)已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)f(x)是定義在是定義在R R上的偶函數(shù)上的偶函數(shù), ,且當且當x0 x0時時, ,f(x)=logf(x)=log2 2

2、(1-x),(1-x),若若f(af(a2 2-1)1,-1)0,-x-1,x0,則則f(x)=ef(x)=ex x- -10,10,所以所以f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上是增函數(shù)上是增函數(shù), ,且且f(0)=0,f(x)0,f(0)=0,f(x)0,所以所以e ex x-1x,-1x,即即e ea a-1a.-1a.又又y=ay=ax x(0a1)(0aaaae e, ,從而從而e ea a-1aa-1aae e. .(2)(2)選選A.A.依題意依題意,f(x),f(x)在在(-,0)(-,0)上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減, ,且且f(x)f(x)在在R R上是偶函數(shù)上是偶函數(shù). .所

3、以所以f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上是增函數(shù)上是增函數(shù), ,且且f(1)=f(-1)=1.f(1)=f(-1)=1.由由f(af(a2 2-1)1,-1)1,得得|a|a2 2-1|1,-1a-1|1,-1a2 2-11,-11,解得解得- a0- a0或或0a .0a0f(x)0得得x x2 2-4x+30,-4x+30,解得解得1x3,1x3,2221134xx3x44x4x ，13x44x故函數(shù)故函數(shù)f(x)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,3),(1,3),單調(diào)遞減區(qū)間是單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)(0,1)和和(3,+),(3,+),故在區(qū)間故在區(qū)間(0,2)(0

4、,2)上上,x=1,x=1是函數(shù)的極小值點是函數(shù)的極小值點, ,這個極小值這個極小值點是唯一的點是唯一的, ,也是最小值點也是最小值點, ,所以所以f(x)f(x)minmin=f(1)= =f(1)= 由于函數(shù)由于函數(shù)g(x)=-xg(x)=-x2 2+2bx-4,x1,2.+2bx-4,x1,2.12當當b1b2b2時時,g(x),g(x)maxmax=g(2)=4b-8.=g(2)=4b-8.故問題等價于故問題等價于 b112b52，21b2b211b44b8.22，或或解得解得b1b1或或1b 1b 所以所以b b 答案答案: : 142，14214(,2題型二在三角函數(shù)、平面向量中的

5、應用題型二在三角函數(shù)、平面向量中的應用【例例2 2】(1)(1)已知向量已知向量a=(,1),=(,1),b=(+2,1),=(+2,1),若若| |a+ +b|=|=| |a- -b|,|,則實數(shù)則實數(shù)的值為的值為( () )A.-1A.-1B.2B.2C.1C.1D.-2D.-2(2)(2)若方程若方程cos cos 2 2x-sin x+a=0 x-sin x+a=0在在 上有解上有解, ,則則a a的取的取值范圍是值范圍是_._.(02，【解析解析】(1)(1)選選A.A.方法一方法一: :由由| |a+ +b|=|=|a- -b|,|,可得可得a2 2+ +b2 2+ +2 2ab=

6、 =a2 2+ +b2 2-2-2ab, ,所以所以ab=0,=0,故故ab=(,1)=(,1)(+2,1)=+2,1)=2 2+2+1=0,+2+1=0,解得解得=-1.=-1.方法二方法二: :a+ +b=(2+2,2),=(2+2,2),a- -b=(-2,0),=(-2,0),由由| |a+ +b|=|=|a- -b|,|,可得可得(2+2)(2+2)2 2+4=4,+4=4,解得解得=-1.=-1.(2)(2)方法一方法一: :把方程變形為把方程變形為a=-cos a=-cos 2 2x+sin x,xx+sin x,x令令f(x)=-cosf(x)=-cos2 2x+sin x,x

7、 x+sin x,x 顯然顯然, ,當且僅當當且僅當a a屬于屬于f(x)f(x)的值域時有解的值域時有解. .因為因為f(x)=-(1-sinf(x)=-(1-sin2 2x)+sin x= x)+sin x= 且由且由xx 知知sin x(0,1,sin x(0,1,易求得易求得f(x)f(x)的值域為的值域為(-1,1,(-1,1,故故a a的取值范圍是的取值范圍是(-1,1.(-1,1.(0,2，(0,2，215(sin x)24 ，(02，方法二方法二: :令令t=sin x,t=sin x,由由x x 可得可得t(0,1.t(0,1.將方程變?yōu)閷⒎匠套優(yōu)閠 t2 2+t-1-a=0

8、.+t-1-a=0.依題意依題意, ,該方程該方程在在(0,1(0,1上有解上有解, ,設設f(t)=tf(t)=t2 2+t-1-a,+t-1-a,其圖其圖象是開口向上的拋物線象是開口向上的拋物線, ,對稱軸對稱軸t= t= 如圖所示如圖所示. .(0,2，12 ，因此因此,f(t)=0,f(t)=0在在(0,1(0,1上有解等價于上有解等價于 即即 所以所以-1a1,-10f(x)=2- 0恒成立恒成立, ,所以所以f(x)f(x)在在1,+)1,+)上是增函數(shù)上是增函數(shù), ,所以當所以當x=1x=1時時,f(x),f(x)minmin=f(1)=3,=f(1)=3,即當即當n=1n=1時

9、時,(b,(bn n) )maxmax= =要使對任意的正整數(shù)要使對任意的正整數(shù)n,n,不等式不等式b bn nkk恒成立恒成立, ,則須使則須使kk(b(bn n) )maxmax= = 所以實數(shù)所以實數(shù)k k的最小值為的最小值為 1x21x1.616，1.6【拓展提升拓展提升】數(shù)列問題函數(shù)數(shù)列問題函數(shù)( (方程方程) )化法化法數(shù)列問題函數(shù)數(shù)列問題函數(shù)( (方程方程) )化要注意數(shù)列問題中化要注意數(shù)列問題中n n的取值為正的取值為正整數(shù)整數(shù), ,涉及的函數(shù)具有離散性特點涉及的函數(shù)具有離散性特點, ,其一般解題步驟是其一般解題步驟是: :第一步第一步: :分析數(shù)列式子的結構特征分析數(shù)列式子的

10、結構特征. .第二步第二步: :根據(jù)結構特征構造根據(jù)結構特征構造“特征特征”函數(shù)函數(shù)( (方程方程),),轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化問題形式問題形式. .第三步第三步: :研究函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)性質(zhì). .結合解決問題的需要研究函數(shù)結合解決問題的需要研究函數(shù)( (方程方程) )的相關性質(zhì)的相關性質(zhì), ,主要涉及函數(shù)單調(diào)性與最值、值域主要涉及函數(shù)單調(diào)性與最值、值域問題的研究問題的研究. .第四步第四步: :回歸問題回歸問題. .結合對函數(shù)結合對函數(shù)( (方程方程) )相關性質(zhì)的研究相關性質(zhì)的研究, ,回歸問題回歸問題. .【變式訓練變式訓練】已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列aan n 的公差的公差d=1,d=1,等比數(shù)列等比

11、數(shù)列bbn n 的公比的公比q=2,q=2,若若1 1是是a a1 1,b,b1 1的等比中項的等比中項, ,設向量設向量a=(a=(a1 1,a,a2 2),),b=(b=(b1 1,b,b2 2),),且且ab=5.=5.(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列aan n,b,bn n 的通項公式的通項公式. .(2)(2)設設c cn n= log= log2 2b bn n, ,求數(shù)列求數(shù)列ccn n 的前的前n n項和項和T Tn n. .na2【解析解析】(1)(1)依題設依題設,a,a1 1b b1 1=1,=1,且且ab=5.=5.因為數(shù)列因為數(shù)列aan n 的公差為的公差為d=1,bd=1,

12、bn n 的公比的公比q=2,q=2,所以所以a an n=n,b=n,bn n=2=2n-1n-1(nN(nN* *).).11111112211111a b1a b1a1a ba b5a ba1 2b5.b1. ， ， ，所以即解得（ ）(2)c(2)cn n= log= log2 2b bn n=2=2n nloglog2 22 2n-1n-1=(n-1)2=(n-1)2n n(nN(nN* *),),T Tn n=c=c1 1+c+c2 2+ +c+cn n=2=22 2+2+22 23 3+3+32 24 4+ +(n-1)2+(n-1)2n n, ,2T2Tn n=2=23 3+2

13、+22 24 4+3+32 25 5+ +(n-1)2+(n-1)2n+1n+1, ,兩式相減得兩式相減得, ,-T-Tn n=2=22 2+2+23 3+2+24 4+ +2+2n n-(n-1)2-(n-1)2n+1n+1, ,na2= -(n-1)2= -(n-1)2n+1n+1=-4+(2-n)2=-4+(2-n)2n+1n+1, ,T Tn n=(n-2)2=(n-2)2n+1n+1+4(nN+4(nN* *).).2n22212題型四函數(shù)與方程思想在幾何問題中的應用題型四函數(shù)與方程思想在幾何問題中的應用【例例4 4】(1)(1)某工件的三視圖如圖所示某工件的三視圖如圖所示, ,現(xiàn)將

14、該工件通過現(xiàn)將該工件通過切削切削, ,加工成一個體積盡可能大的長方體新工件加工成一個體積盡可能大的長方體新工件, ,并使并使新工件的一個面落在原工件的一個面內(nèi)新工件的一個面落在原工件的一個面內(nèi), ,則原工件材料則原工件材料的利用率為的利用率為) ( )新工件的體積（材料利用率原工件的體積3381642 1122 1A. B. C. D.99（ ）（ ）(2)(2)已知橢圓已知橢圓C: =1(ab0)C: =1(ab0)的右焦點為的右焦點為F(1,0),F(1,0),如圖如圖, ,設左頂點為設左頂點為A,A,上頂點為上頂點為B,B,且且 2222xyabOF FB AB BF. 求橢圓求橢圓C

15、C的方程的方程; ;若過若過F F的直線的直線l交橢圓于交橢圓于M,NM,N兩點兩點, ,試確定試確定 的的取值范圍取值范圍. .FM FN 【解析解析】(1)(1)選選A.A.如圖所示如圖所示, ,原工件是一個底面半徑為原工件是一個底面半徑為1,1,高為高為2 2的圓錐的圓錐, ,依題意加工后的新工件是圓錐的內(nèi)接長依題意加工后的新工件是圓錐的內(nèi)接長方體方體, ,且落在圓錐底面上的面是正方形且落在圓錐底面上的面是正方形, ,設正方形的邊設正方形的邊長為長為a,a,長方體的高為長方體的高為h,h,則則0a 0h2.0a 0h2.于是于是 h=2- a.h=2- a.2，h221a21，2令令f(

16、a)=Vf(a)=V長方體長方體=a=a2 2h=2ah=2a2 2- a- a3 3, ,所以所以f(a)=4a-3 af(a)=4a-3 a2 2, ,令令f(a)=0,f(a)=0,解得解得a= a= 易知易知f(a)f(a)maxmax=f =f 所以材料利用率所以材料利用率= = 222 23，2 216.327（）216827.9123(2)(2)由已知由已知,A(-a,0),B(0,b),F(1,0),A(-a,0),B(0,b),F(1,0),則由則由 得得b b2 2-a-1=0.-a-1=0.因為因為b b2 2=a=a2 2-1,-1,所以所以a a2 2-a-2=0,-

17、a-2=0,解得解得a=2.(a=2.(列出方程列出方程) )所以所以a a2 2=4,b=4,b2 2=3,=3,所以橢圓所以橢圓C C的方程為的方程為 =1.=1.OF FB AB BF ，22xy43(i)(i)若直線若直線l斜率不存在斜率不存在, ,則則l:x=1,:x=1,此時此時 (ii)(ii)若直線若直線l斜率存在斜率存在, ,設設l:y=k(x-1),M(x:y=k(x-1),M(x1 1,y,y1 1),),N(xN(x2 2,y,y2 2),),則由則由 消去消去y y得得339M1N1FM FN.224 （ ，）， （ ， ），22ykx 1xy143 （ ），(4k(

18、4k2 2+3)x+3)x2 2-8k-8k2 2x+4kx+4k2 2-12=0,(-12=0,(列出方程列出方程) )所以所以x x1 1+x+x2 2= x= x1 1x x2 2= = 所以所以 =(x=(x1 1-1,y-1,y1 1) )(x(x2 2-1,y-1,y2 2) )=(1+k=(1+k2 2)x)x1 1x x2 2-(x-(x1 1+x+x2 2)+1)+1= (= (轉(zhuǎn)化為函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)) )228k4k3，224k12.4k3FM FN 29.141k因為因為k k2 20,0,所以所以0 1,0 1,所以所以34- 4,34- 4,所以所以-3 -3 0)=1(a0)的中的中心和左焦點心和左焦點, ,點點P P為雙曲線右支上的任意一點為雙曲線右支上的任意一點, ,則則 的取值范圍為的取值范圍為_._.22xaOP FP 【解析解析】由由c=2c=2得得a a2 2+1=4,+1=4,所以所以a a2 2=3.=3.所以雙曲線方程為所以雙曲線方程為 -y-y2 2=1.=1.設點設點P(x,y)(x ),P(x,y