數(shù)學(xué)論文席位的公平分配問題

1、數(shù)學(xué)建模論文席位的公平分配問題姓名：學(xué)號(hào)：18 15 20 公平的委員分配問題摘要: 1.我們首先是用慣例分配法來解決這委員分配問題的,由于方法來解決存在很大的缺陷,因此,通過組內(nèi)的討論,我們想出了q值法來解決此問題，發(fā)現(xiàn)這樣能作到相對(duì)公平。我們這一組開始就考慮到了該怎樣分配能作到相對(duì)公平，就這個(gè)問題，我們開始了研討。我們采用慣例分配法分析發(fā)現(xiàn)：各樓所得到的委員數(shù)a 、b 、c樓分別為：3、3、4人，而q值法其結(jié)果為：a、 b、 c樓分別為：2、3、5人。 2.“取其精華，去其糟粕”我們發(fā)現(xiàn)q值法能很好的解決委員分配問題，q 值法：我們用qi=(pi*pi)/n(n+1),其中i=a、 b、

2、c,pi為第 i樓的人數(shù)，n為分配到的委員數(shù)，我們采用將剩下的一位委員名額分給q值最大的一方。通過計(jì)算得到qa=9204.16、qb=9240.75、qc=9331.2比較得到：qaqbqc,所以我們決定把剩下的一名委員分給c樓。 3.我們用慣例分配法發(fā)現(xiàn)有一名委員不好分配，不知道分給誰更公平些。建議：我們的思維不能太單一了，在考慮問題方面要做到全面些，這樣才會(huì)少走彎路。（無論在哪方面都一樣。）關(guān)鍵字：委員分配、比例法、q值法 1.1問題的重述 分配問題是日常生活中經(jīng)常遇到的問題，它涉及到如何將有限的人力或其他資源以“完整的部分”分配到下屬部門或各項(xiàng)不同任務(wù)中.分配問題涉及的內(nèi)容十分廣泛，例如

3、：學(xué)校共有1000學(xué)生，235人住在a樓，333人住b樓，432人住c樓，學(xué)校要組織一個(gè)10人委員會(huì)，試用慣例分配法和q值方法分配各樓的委員數(shù)并比較結(jié)果。1.2問題的分析 數(shù)學(xué)中通常人們用比例的方法來分配各個(gè)樓要派出幾個(gè)人來組建委員會(huì)，當(dāng)比例中有小數(shù)時(shí)人們有按照慣例使得各組中小數(shù)最大的組擁有更多的人數(shù)。然而人們是怎樣分配的呢？又因?yàn)闆]棟樓所占比例不是整數(shù)，可以會(huì)出現(xiàn)不公平的現(xiàn)象。為了讓席位分配更加公平我們不應(yīng)該采用比例法，要引用不比例法更好的q值法對(duì)其進(jìn)行求解。這樣才能更好的解決在分配席位中出現(xiàn)的不公平問二、模型的假設(shè)符號(hào)設(shè)定2.1假設(shè) ： 1.委員是以整數(shù)計(jì)量的，并且為有限個(gè)，設(shè)為n個(gè);2.

4、每個(gè)單位有有限個(gè)人，委員是按各集體的人員多少來分配的3每個(gè)單位的每個(gè)人都具有相同的選舉權(quán)利；4每個(gè)單位至少應(yīng)該分配到一個(gè)名額，如果某個(gè)單位，一個(gè)名額也不應(yīng)該分到的話，則應(yīng)將其剔除在分配之外；5在名額分配的過程中，分配是穩(wěn)定的，不受任何其他因素所干擾.6.在分配中不會(huì)存在性別歧視，男女平等。2.2符號(hào)設(shè)定： pi-第i樓的人數(shù) ni-第i樓分配的委員數(shù) n-第i樓的委員數(shù)ni的計(jì)算的整數(shù)部分三、模型的建立與求解建模分析：目標(biāo)：慣例分配法和q值分配法問題在數(shù)學(xué)上，代表名額分配問題的一般描述是：設(shè)名額數(shù)為n，共有s個(gè)單位，各單位的人數(shù)分別為pi,i=1,2,s.問題是如何尋找一組整數(shù)q1,qs使得q

5、1+q2+?qs=n，其中qi是第i個(gè)單位所獲得的代表名額數(shù)，并且“盡可能”地接近它應(yīng)得的份額pin/(p1+p2+ps)，即所規(guī)定的按人口比例分配的原則. 如果對(duì)一切的i=1,2,s，嚴(yán)格的比值恰好是整數(shù)，則第i個(gè)單位分得qi名額，這樣分配是絕對(duì)公平的，每個(gè)名額所代表的人數(shù)是相同的.但由于人數(shù)是整數(shù)，名額也是整數(shù)，qi是整數(shù)這種理想情況是極少出現(xiàn)的，這樣就出現(xiàn)了用接近于qi的整數(shù)之代替的問題.在實(shí)際應(yīng)用中，這個(gè)代替的過程會(huì)給不同的單位或團(tuán)體帶來不平等，這樣，以一種平等、公正的方式選擇qi是非常重要的，即確定盡可能公平（不公平程度達(dá)到極?。┑姆峙浞桨? 按慣例分配席位方案，即按人數(shù)比例分配原則

6、- hamilton (哈密頓)方法慣例分配方法：按比例分配完取整數(shù)的名額后，剩下的名額按慣例分給小數(shù)部分較大者。存在不公平現(xiàn)象，能否給出更公平的分配席位的方案？在數(shù)學(xué)上，代表名額分配問題的一般描述是：設(shè)名額數(shù)為n，共有s個(gè)單位，各單位的人數(shù)分別為pi,i=1,2,s.問題是如何尋找一組整數(shù)q1,qs使得q1+q2+?qs=n，其中qi是第i個(gè)單位所獲得的代表名額數(shù)，并且“盡可能”地接近它應(yīng)得的份額pin/(p1+p2+ps)，即所規(guī)定的按人口比例分配的原則.如果對(duì)一切的i=1,2,s，嚴(yán)格的比值恰好是整數(shù)，則第i個(gè)單位分得qi名額，這樣分配是絕對(duì)公平的，每個(gè)名額所代表的人數(shù)是相同的.但由于人

7、數(shù)是整數(shù)，名額也是整數(shù)，qi是整數(shù)這種理想情況是極少出現(xiàn)的，這樣就出現(xiàn)了用接近于qi的整數(shù)之代替的問題.在實(shí)際應(yīng)用中，這個(gè)代替的過程會(huì)給不同的單位或團(tuán)體帶來不平等，這樣，以一種平等、公正的方式選擇qi是非常重要的，即確定盡可能公平（不公平程度達(dá)到極小）的分配方案.hamilton (哈密頓)方法哈密頓方法具體操作過程如下 先讓各個(gè)單位取得份額qi的整數(shù)部分qi； 計(jì)算ri=qi-qi，按照從大到小的數(shù)序排列，將余下的席位依次分給各個(gè)相應(yīng)的單位，即小數(shù)部分最大的單位優(yōu)先獲得余下席位的第一個(gè)，次大的取得余下名額的第二個(gè)，依此類推，直至席位分配完畢. 上述6個(gè)樓的21個(gè)名額的分配結(jié)果見表1. 哈密頓

8、方法看來是非常合理的，但這種方法也存在缺陷.譬如當(dāng)s和人數(shù)比例不變時(shí)，代表名額的增加反而導(dǎo)致某單位名額qi的減少.表1樓別人數(shù)所占比例入選人數(shù) a235235/10003b333333/10003c432432/10004考慮上述 棟樓所選人員名額分配問題.因?yàn)橛?0生代表參加該委員會(huì)時(shí)可能出現(xiàn)不公平問題這樣算a棟會(huì)多同時(shí)對(duì)b、c兩棟都不公平。因此決定增加一席位用q值法進(jìn)行分配分配情況見下表表2樓別人數(shù)所占比例入選人數(shù)人數(shù)a235235/10002.5853b333333/10003.6634c432432/10004.7524顯然，這個(gè)結(jié)果對(duì)于c是不公平的，總名額多了一個(gè)，但是只有a b增加

9、名額而c名額不變。q值法眾所周知，pi/ni表示第i個(gè)單位每個(gè)代表名額所代表的人數(shù).很顯然，當(dāng)且僅當(dāng)pi/ni全相等時(shí)，名額的分配才是公平的.但是，一般來說，它們不會(huì)全相等，這就說明名額的分配是不公平的，并且pi/qi中數(shù)值較大的一方吃虧或者說對(duì)這一方不公平.同時(shí)我們看到，在名額分配問題中要達(dá)到絕對(duì)公平是非常困難的.既然很難作到絕對(duì)公平，那么就應(yīng)該使不公平程度盡可能的小，因此我們必須建立衡量不公平程度的數(shù)量指標(biāo).不失一般性，我們考慮a，b雙方席位分配的情形（即s=2）.設(shè)a，b雙方的人數(shù)為p1,p2，占有的席位分別為n1,n2，則a，b的每個(gè)席位所代表的人數(shù)分別為p1/n1，p2/n2，如果p

10、1/n1=p2/n2，則席位分配是絕對(duì)公平的，否則就是不公平的，且對(duì)數(shù)值較大的一方不公平.為了刻劃不公平程度，需要引入數(shù)量指標(biāo)，一個(gè)很直接的想法就是用數(shù)值|p1/n1-p2/n2|來表示雙方的不公平程度，稱之為絕對(duì)不公平度，它衡量的是不公平的絕對(duì)程度.顯然，其數(shù)值越小，不公平程度越小，當(dāng)|p1/n1-p2/n2|=0時(shí)，分配方案是絕對(duì)公平的.用絕對(duì)不公平度可以區(qū)分兩種不同分配方案的公平程度，例如：顯然第二種分配方案比第一種更公平.但是，絕對(duì)不公平度有時(shí)無法區(qū)分兩種不公平程度明顯不同的情況：第一種情形顯然比第二種情形更不公平，但它們具有相同的不公平度，所以“絕對(duì)不公平度”不是一個(gè)好的數(shù)量指標(biāo)，我

11、們必須尋求新的數(shù)量指標(biāo).這時(shí)自然想到用相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)，下面我們引入相對(duì)不公平的概念.如果p1/n1p2/n2，則說明a方是吃虧的，或者說對(duì)a方是不公平的，稱為對(duì)a的相對(duì)不公平度；如果p1/n1p2/n2，此時(shí)與前一種情形相比后一種更公平.建立了衡量分配方案的不公平程度的數(shù)量指標(biāo)ra，rb后，制定分配方案的原則是：相對(duì)不公平度盡可能的小.假設(shè)a，b雙方已經(jīng)分別占有n1，n2個(gè)名額，下面我們考慮這樣的問題，當(dāng)分配名額再增加一個(gè)時(shí)，應(yīng)該給a方還是給b方，如果這個(gè)問題解決了，那么就可以確定整個(gè)分配方案了，因?yàn)槊總€(gè)單位至少應(yīng)分配到一個(gè)名額，我們首先分別給每個(gè)單位一個(gè)席位，然后考慮下一個(gè)名額給哪個(gè)單位，直至分配

12、完所有名額.不失一般性，假設(shè)p1/n1p2/n2，這時(shí)對(duì)a方不公平，當(dāng)再增加一個(gè)名額時(shí)，就有以下三種情形：情形1：p1/（n1+1）p2/n2，這表明即使a方再增加一個(gè)名額，仍然對(duì)a方不公平，所以這個(gè)名額應(yīng)當(dāng)給a方；情形2：p1/（n1+1）p2/(n2+1)，這表明b方增加一個(gè)名額后，對(duì)a方更加不公平，這時(shí)對(duì)a的相對(duì)不公平度為公平的名額分配方法應(yīng)該是使得相對(duì)不公平度盡可能的小，所以若情形1發(fā)生，毫無疑問增加的名額應(yīng)該給a方；否則需考察rb(n1+1,n2)和ra(n1,n2+1)的大小關(guān)系，如果rb(n1+1,n2)ra(n1,n2+1)，則增加的名額應(yīng)該給a方，否則應(yīng)該給b方.注意到rb(

13、n1+1,n2)ra(n1,n2+1)等價(jià)于，名額（席位）分配問題應(yīng)該對(duì)各方公平是理所當(dāng)然的，問題的關(guān)鍵是在于建立衡量公平程度的即合理又簡(jiǎn)明的數(shù)量指標(biāo).惠丁頓法所提出的數(shù)量指標(biāo)是相對(duì)不公平值ra，rb，它是確定分配方案的前提.在這個(gè)前提下導(dǎo)出的分配方案分給q值最大的一方無疑是公平的.但這種方法也不是盡善盡美的，這里不再探討.引入公式于是知道增加的席位分配可以由qk的最大值決定，且它可以推廣到多個(gè)組的一般情況。用qk的最大值決定席位分配的方法稱為q值法。對(duì)多個(gè)組（m個(gè)組）的席位分配q值法可以描述為 1先計(jì)算每個(gè)組的q值： qk , k=1,2,m2求出其中最大的q值qi（若有多個(gè)最大值任選其中一

14、個(gè)即可） 3將席位分配給最大q值qi對(duì)應(yīng)的第i組。這種分配方法很容易編程處理。 模型求解 按應(yīng)分配的整數(shù)部分分配，余下的部分按q值分配。 本問題的整數(shù)名額是10如下： 表3：樓別人數(shù)所占比例入選人數(shù)a2350.2352b3330.3333c4320.4324對(duì)10個(gè)席位的分配求q值：qa=2352/（22）=90.24 qb=3332/（33）=92.40 qc=4322/（44）=93.31比較qa、qb、qc，qc最大因此最后一個(gè)席位因分給c樓，所以人數(shù)為： a：2 b；3 c：5四、模型評(píng)注以上的兩中分配方法在生活中的用途很廣，但q值法對(duì)席位等的分配要比比例法更加公平精確。q值模型系統(tǒng)地給席位的分配方案，便于指導(dǎo)工作實(shí)踐模型原理簡(jiǎn)單明了且公平準(zhǔn)確，容易理解與靈活運(yùn)用建模的方法和思想對(duì)其他類型也適合，易于推廣到其他領(lǐng)域。五、最后總結(jié)：q值法的應(yīng)用應(yīng)在對(duì)分配不公平的問題中進(jìn)行，