微分方程習(xí)題教材

1、微分方程和差分方程作業(yè)題專業(yè)：土規(guī) 1101 班 姓名：劉邁克 學(xué)號： 2011306200521 微分方程模型作業(yè)：1用 matlab 求解微分方程組dx x y 0ddyt x y 0dy x y 0 dt1）求在初始條件 x|t 0 1,y|t 0 0下的特解，并畫出解函數(shù) y f （ x）的圖形2）分別用 ode23、ode45 求此微分方程組初值問題的數(shù)值解 （近似解） ，求解 區(qū)間為 t 0,2 利用畫圖來比較兩種求解器之間的差異解： 程序：x,y=dsolve(Dx+x+y=0,Dy+x-y=0, .x(0)=1, y(0)=0, t) ezplot(x,y,0,5);(1)x

2、1e 2t22e 2t2e 2t 24 4e 2t2 2e 2ty4e 2t4(2)先編寫函數(shù)文件 verderpol.m function xprime=verderpol(t,x)xprime=-x(1)-x(2); -x(1)+x(2);再編寫腳本文件 vdpl.m ，在命令窗口直接運行該文件 clear;y0=1;0;t,x=ode45 (23)(verderpol,1,40,y0);plot(t,x(:,1),or-);ode45求解器微分方程組初值問題的數(shù)值解 (近似解 )Ode23求解器微分方程組初值問題的數(shù)值解 (近似解 ) 兩種求解器之間的差異：由圖像可知， Ode45求解器

3、的圖像中點數(shù)比較多，更加精確。2設(shè)初始時容器里盛放著含凈鹽 10千克的鹽水 100升，現(xiàn)對其以每分鐘 3 升的 速率注入清水， 容器內(nèi)裝有攪拌器能將溶液迅時攪拌均勻， 并同時以每分鐘 2 升 的速率放出鹽水，求 1 小時后容器里的鹽水中還含有多少凈鹽？ 解： 分析：設(shè) t 時刻(單位為分鐘)凈鹽量為 x(t) (單位 : kg/l )，考慮時間區(qū)間為 t,t+ t 。dx 2* xdt 100 tx(0) 10 程序：x=dsolve(Dx=-2*x/(100+t),x(0)=10,t);結(jié)果：100000x (t 100)2程序： ezplot(x); 結(jié)果：當(dāng) t=60 時， x=3.90

4、253. 醫(yī)生給病人開藥時需告訴病人服藥的劑量和兩次服藥的間隔時間， 服用的劑量 過大會產(chǎn)生副作用甚至危險，服用的劑量過小又達(dá)不到治療的目的，例如， 為有 效殺死病菌，體內(nèi)藥物濃度應(yīng)達(dá)到 A, 試分析這一問題并設(shè)計出一種病人服藥的 方法。解：方法一：快速靜脈注射dx微分方程 dx kx 0dtx(0) D結(jié)果 x(t) De ktD ktc(t) e ktV方法二：恒速靜脈點滴方程 dx kx K0dt 0 x（0） 0解為 x(t) K0 (1 e kt )kKc(t) K0 (1 e kt ) (為第一次點滴，時間 T1) Vk第二次點滴初始值 c(t) K0(1 ek(t T1)Vk 方

5、法三：口服藥或肌注 方程 dx kx k1De k1tdt 1x(0) 0解得 x(t)k1D (e kt e k1t )k1 kc(t)k1D (e kt e k1t )V(k1 k)由分析可知，第二種效果更好一些。4. 早期腫瘤的體積增長滿足 Malthus 模型（ dV V ，其中 為常數(shù)），（1）求 dt腫瘤的增倍時間 。根據(jù)統(tǒng)計資料，一般有 （7,465） （單位為天），肺部惡性 腫瘤的增倍時間大多大于 70 天而小于 465 天（發(fā)展太快與太慢一般都不是惡性 腫瘤），故是確定腫瘤性質(zhì)的重要參數(shù)之一（ 2）為方便起見，醫(yī)生通常用腫瘤 直徑來表示腫瘤的大小，試推出醫(yī)生用來預(yù)測病人腫瘤直

6、徑增大速度的公式tD D023 . （3） 正常人身上也有癌細(xì)胞， 一個癌細(xì)胞直徑約為 10m，重約 0.001 g. ，當(dāng)患者被查出患有癌癥時，通常直徑已有 1cm以上（即已增大 1000倍）， 由此容易算出癌細(xì)胞轉(zhuǎn)入活動期已有 30 天，故如何在早期發(fā)現(xiàn)癌癥是攻克癌癥的關(guān)鍵之一。手術(shù)治療常不能割去所有癌細(xì)胞，故有時需進(jìn)行放射療法。 射線 強(qiáng)度太小無法殺死癌細(xì)胞， 太強(qiáng)病人身體又吃不消且會使病人免疫功能下降。 一 次照射不可能殺死全部癌細(xì)胞， 請設(shè)計一個可行的治療方案 （醫(yī)生認(rèn)為當(dāng)體內(nèi)癌 細(xì)胞數(shù)小于 105 個時即可憑借體內(nèi)免疫系統(tǒng)殺滅。解：（1）dV V ，其中為常數(shù)dtV ce t （其

7、中 c 為常數(shù)）當(dāng)V 2V0,ln2t2) D D0 2316 D5d(D3)dtD323D 2dD D dt 3ln2dD ln2Ddt 3因為 t=0 時， D D0t所以 D D0 23（ 3）假設(shè)，不考慮殺死免疫細(xì)胞從而影響人類免疫功能，一位病人癌細(xì)胞直徑為 1cm，癌細(xì)胞含量為 106 ，治療打算用 17/2 天使癌細(xì)胞減少到可殺死水 平，每兩次治療的間隔為 1/2 ,用 9次治療使癌細(xì)胞得到控制。程序：clear;clc;for x=1:900000 k=1000000-x;for i=1:9 k=sqrt（2）*k-x;endif k=100000breakendend x解得，

8、 x=301006.每隔 1/2 進(jìn)行一次放射性治療，強(qiáng)度為殺死 301006 個 癌細(xì)胞。差分方程模型作業(yè)： 5某保險公司推出與養(yǎng)老結(jié)合的人壽保險計劃，其中介紹的例子為：如果40 歲的男性投保人每年交保險費 1540元，交費期 20歲至 60歲，則在他生存期間， 45 歲時（投保滿 5 年）可獲返還補(bǔ)貼 4000元， 50歲時（投保滿 10 年）可獲返 還補(bǔ)貼 5000元，其后每隔 5 年可獲增幅為 1000元的返還補(bǔ)貼。另外， 在投保人 去世或殘廢時，其受益人可獲保險金 20000 元。試建立差分方程模型分析： 若該 投保人的壽命為 76 歲，其交保險費所獲得的實際年利率是多少？而壽命若為

9、74歲時，實際年利率又是多少？ 解：若6. 據(jù)統(tǒng)計，某城市 2001年的豬肉產(chǎn)量為 30 萬噸，價格為 6.00 元/公斤。 2002 年生產(chǎn)豬肉 25 萬噸，價格為 6.00 元/ 公斤。已知 2003年生產(chǎn)豬肉 25萬噸，若 維持日前的消費水平與生產(chǎn)方式， 并假定豬肉產(chǎn)量與價格之間是線性關(guān)系。 問若 干年以后的產(chǎn)量與價格是否會趨于穩(wěn)定？若穩(wěn)定請求出穩(wěn)定的產(chǎn)量和價格 7已知一種昆蟲每兩周產(chǎn)卵一次， 六周以后死亡 （給除了變化過程的基本規(guī)律） 。 孵化后的幼蟲 2周后成熟， 平均產(chǎn)卵 100個，四周齡的成蟲平均產(chǎn)卵 150個。假 設(shè)每個卵發(fā)育成 2 周齡成蟲的概率為 0.09 ，（稱為成活率）

10、，2周齡成蟲發(fā)育成 4 周齡成蟲的概率為 0.2 。（1）假設(shè)開始時， 02 ，24，46 周齡的昆蟲數(shù)目相同，計算 2 周、4 周、6 周后各種周齡的昆蟲數(shù)目；（2）討論這種昆蟲各種周齡的昆蟲數(shù)目的演變趨勢：各周齡的昆蟲比例是否有 一個穩(wěn)定值？昆蟲是無限地增長還是趨于滅亡？（3）假設(shè)使用了除蟲劑，已知使用了除蟲劑后各周齡的成活率減半，問這種除 蟲劑是否有效？解：分別設(shè) 2 周齡蟲， 4周齡蟲， 6周齡蟲的數(shù)目為一個單位 所以 2周齡蟲， 4周齡蟲， 6周齡蟲的初值分別為 1，1，1 設(shè)兩周為一個觀察單位， 設(shè) xnk （n 1,2,3） 表示第 k 個時間單位 2n 齡幼蟲的 數(shù)目建立函數(shù)模

11、型：（1）計算 2 周、4周、6 周后各種周齡的昆蟲數(shù)目的程序x1k 1 100 x2k 150 x3k k 1kx20.09x1k 1kx30.02x2clear;clc;x0=1;1;1;L=0 100 150;0.09 0 0;0 0.2 0;x1=L*x0;x2=L*x1;x3=L*x2;x1;x2;x3結(jié)果如下：ans =1.0e+003 *0.2500 0.0001 0.00020.0390 0.0225 0.00002.2527 0.0035 0.0045(2)令 z 在比例中的值為 1編程求出個周齡在 90 100這個時間段的值以 z 的 值為一個單位，求 x， y 的和 z

12、的比。程序： clear;clc;x0=1;1;1;L=0 100 150;0.09 0 0;0 0.2 0;X=x0;x(1)=X(1);y(1)=X(2);z=X(3);for k=2:1001X=L*X;x(k)=X(1);y(k)=X(2);z(k)=X(3);end for i=100:200 x(i)/z(i),y(i)/z(i)end得出的結(jié)果大都分布在 m =547.7538 15.6954 ，所以三種蟲的比值為 547.75 ： 15.7 ：1 為恒定的值。由擬合圖像可知，昆蟲數(shù)目無限增長。( 3)如果使用了殺蟲劑，那么各周齡的昆蟲成活率減為原來的一半k設(shè)兩周為一個觀察單位， 設(shè) xn (n 1,2,3) 表示第 k 個時間單位 2n 齡幼蟲的 數(shù)目建立函數(shù)模型變?yōu)椋簒1k 1100x2k 150x3kk1x2k1x3程序 : clear;0.045x1k0.01x2kclc