自動(dòng)控制理論時(shí)域分析2 二階系統(tǒng)

1、 3.2 3.2 二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng) 一個(gè)可以用二階微分方程來描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。從物理上講，二階系統(tǒng)包含有二個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，經(jīng)常用到的儲(chǔ)能元件有電感、電容等。 一、二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)形式 JKsJFsJKKFsJsKsRsCsG?22)()()(1)Ks Ts?( )R s( )C s?FJssK? 令： 則 二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)式: 無阻尼自然振蕩頻率； 阻尼比 二階系統(tǒng)的特征方程為： 系統(tǒng)的兩個(gè)特征根（閉環(huán)極點(diǎn)）為 特征根的性質(zhì)取決于 的大小，下面分四種情況討論。 2nJK?nJF?2?122,1?nns?0s2s2nn2? ? ? ?2222)(nnnsssG?n?JKsJF

2、sJKsRsCsG?2)()()(1)Ks Ts?( )R s( )C s?FJssK?特征根的s平面的分布情況見圖 1 1欠阻尼情況 : : 則二階系統(tǒng)具有一對共軛復(fù)根： 式中： 稱為阻尼振蕩頻率 ) 10(?dnjs?2, 1ssImRe0sImRe0s2s2s1s1s1s21n?n?01?00?(a)(b)(d)ImRe1?ImRe01s2s1?(c)21?nd1s2nn2 ,1?1s2nn2,1? ? ? ? ?cos特征根為： 特征根為：共扼復(fù)數(shù) 相等實(shí)數(shù) 不等實(shí)數(shù) 共扼虛數(shù) d?輸入為單位階躍信號，則系統(tǒng)輸出量的拉氏變換為 對上式進(jìn)行拉氏反變換，可得單位階躍響應(yīng)： 式中： 欠阻尼二

3、階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為一條衰減振蕩曲線，包含在一對包絡(luò)線 之內(nèi)。振蕩頻率為 。 )2()(222nnnssssC?2222)()(1dnndnnssss?) tsin1t(cose1) t ( cd2dtn?)sincos1(11122tteddtn?)sin(112?tedtn?21arctan?d?2tn1e1? ? ? ? 越小，系統(tǒng)振蕩越厲害，一般取0.50.8之間。 ?一條幅值按指數(shù)衰減的阻尼振蕩曲線 2 2臨界阻尼情況（ ） 由 可知，此時(shí)系統(tǒng)有兩個(gè) 相等的實(shí)根 對單位階躍輸入，系統(tǒng)輸出的拉氏變換可寫為 響應(yīng)曲線： 1?1s2nn2,1? ? ? ? ?n2 ,1s?nnnnnns

4、ssssssc?1)(1)2()(2222)1 (1)(tetcntn?( )c t( )r t01t( )c t一條單調(diào)上升的指數(shù)曲線 3 3過阻尼情況（ ） 此時(shí)系統(tǒng)有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根 對單位階躍輸入，輸出拉氏變換式寫成部分分式為 將上式拉氏反變換，得過阻尼情況時(shí)的時(shí)域響應(yīng)： 式中 1?1s2nn2,1? ? ? ? ?1s11( 21s)11( 2s1)s( c2nn1222nn122?)TeTe(1211)t ( c2t2T1t1T2?nnTT?)1()1(2221?( )r tt( )c t0也是一條單調(diào)上升的指數(shù)曲線 響應(yīng)速度比臨界阻尼緩慢 4無阻尼情況 此時(shí)系統(tǒng)有一對共扼虛根

5、這是一條等幅振蕩曲線。 njs?2 , 11s2nn2 , 1?)0(?tcos1)t ( cn?)0t ( ? ?( )c t012t)0(?)0(? ?( )c t012t1?( )r tt( )c t01?( )c t( )r t01t( )c t) 10(?重點(diǎn) 控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性 一動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)一動(dòng)態(tài)性能指標(biāo) 通常以系統(tǒng)單位階躍輸入時(shí)的響應(yīng)來定義時(shí)域性能指標(biāo)。 1上升時(shí)間 ：階躍響應(yīng)曲線首次從零值上升到其穩(wěn)態(tài)值所需 的時(shí)間。（若無超調(diào)量，取穩(wěn)態(tài)值1090） rt2峰值時(shí)間 ：階躍響應(yīng)曲線第一次出現(xiàn)峰值的時(shí)間。 pt3超調(diào)量 ：階躍響應(yīng)超過穩(wěn)態(tài)值的最大值與穩(wěn)態(tài)值之比

6、的百分?jǐn)?shù)。下式中， 為輸出響應(yīng)的最大值； 為穩(wěn)態(tài)值。 %100)()()(?cctcMPP)(Ptc)(?cPM 4調(diào)整時(shí)間 （又稱過渡過程時(shí)間） ：響應(yīng)曲線達(dá)到并保持與穩(wěn)態(tài)值之差在預(yù)定的差值內(nèi)（又叫誤差帶 ）所需要的時(shí)間。一般取2%或5%。 st二、二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)二、二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo) （1）峰值時(shí)間）峰值時(shí)間 因?yàn)?整理得： 為輸出響應(yīng)達(dá)到第一個(gè)峰值所需的時(shí)間，應(yīng)取 因?yàn)?，得到 與極點(diǎn)虛部成反比, 一定時(shí),極點(diǎn)離實(shí)軸越遠(yuǎn), 越短。 )sin(11)(2?tetcdtn0dt) t (dcptt? ? ?0)cos()sin(?pdtdpdtntetepnpn?2pd1

7、)t(tg? ? ? ?21tg?Pt? ?Pdt21?ndPt?3 ,2,0?pptPtPtPt （2）最大超調(diào)量 因?yàn)樽畲蟪{(diào)量發(fā)生在峰值時(shí)間上，所以將 代入 得 表明:二階系統(tǒng)的最大超調(diào)量僅與阻尼比有關(guān), 越大, 越小。 21?ndPtPM221211)sin1(cos1)(?eetcP? ?%100121?etcMpP)sin(11)(2?tetcdtnPM（3）調(diào)整時(shí)間 ts 欠阻尼情況下輸出響應(yīng)的衰減情況可以用包絡(luò)線近似。 （ ） 求得 當(dāng) 時(shí)，忽略 （ ） ( ) 表明：調(diào)整時(shí)間與系統(tǒng)極點(diǎn)的實(shí)數(shù)值成反比。由于 由 決定，若 不變，加大 的數(shù)值，則可在不影響系統(tǒng) 的情況下，加快系統(tǒng)

8、的響應(yīng)速度。 ?21ln05. 0ln1?nst1?21ln?nst?4?05.0111)(12?sntsetcnnst?305.0ln?05.0?02.0?05.0?PM?n?PMst （4）上升時(shí)間）上升時(shí)間 根據(jù)定義 因?yàn)? 必有： 所以: 其中 上式表明：在 一定的情況下，無阻尼自然振蕩頻率 越大，系統(tǒng)的響應(yīng)就越迅速。 n?rt1)tsin(1e1)t ( crd2tnr?0?rnte?rdtdrt?21?nd?3.2 3.2 二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng) 小結(jié) 阻尼比小： 上升時(shí)間短，調(diào)整時(shí)間長，超調(diào)量大 阻尼比大：上升時(shí)間長 希 望：上升時(shí)間短、調(diào)整時(shí)間短、超調(diào)量小，工程

9、上阻尼比一般取0.40.8。阻尼比為0.707稱 為最佳阻尼比. drt? ? ?nst?43?%10021?eMP21?ndPt例3-2 P67 例題 3-3 P97 通常把三階以上的系統(tǒng)就稱為高階系統(tǒng) 。一般近似為一個(gè)二階系統(tǒng)來處理。 設(shè) 控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 階躍響應(yīng) 011n1nnn011m1mmmasasasabsbsbsb)s(D)s(M)s(R)s(C?rknknkkknkknkkkqjjjqjrknknkkjmiissCsBpsAsAssspszsksC12221011221)2(11)2()()()(?)1sin1cos()(21120tCtBeeAAtCknkkqjri

10、knkkttpjnkkj?3.3 高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng) 高階系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線高階系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線 1. 高階系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)的瞬態(tài)分量由一階慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)合成。 2. 響應(yīng)曲線的類型（振蕩情況）由閉環(huán)極點(diǎn)的性質(zhì)所決定。 3. 閉環(huán)極點(diǎn)離虛軸愈近，其對系統(tǒng)的影響愈大。 4. 偶極子： 同一位置或相距很近的閉環(huán)零、極點(diǎn) ，對系統(tǒng)的影響很小。 5. 主導(dǎo)極點(diǎn)：如果系統(tǒng)中有一個(gè)極點(diǎn)（或一對復(fù)數(shù)極點(diǎn)）距虛軸很近，且附近沒有閉環(huán)零點(diǎn)，而其他閉環(huán)極點(diǎn)與虛軸的距離都比該極點(diǎn)與虛軸距離大5倍以上，這種離虛軸最近的閉環(huán)極點(diǎn)將對系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)起主導(dǎo)作用，并稱其為閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。 )1sin1cos()(21120tCtBeeAAtCknkkqjriknkkttpjnkkj?例：三階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) 系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)： 系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)： 實(shí)極點(diǎn) P3的實(shí)部和P1 、P2的實(shí)部之比： 所以P1 、P2為一對主導(dǎo)極點(diǎn)。 如果忽略P3 對應(yīng)的動(dòng)態(tài)分