粘性流體力學(xué)第一章

1、粘性流體力學(xué) 第一章第一章 粘性流體的基本概念粘性流體的基本概念 第二章第二章 粘性流體力學(xué)的基本方程粘性流體力學(xué)的基本方程 第三章第三章 層流層流NS方程的精確解方程的精確解 第四章第四章 不可壓流體層流邊界層不可壓流體層流邊界層 第五章第五章 層流不穩(wěn)定性和轉(zhuǎn)捩層流不穩(wěn)定性和轉(zhuǎn)捩 第六章第六章 湍流基本理論湍流基本理論 第七章第七章 不可壓縮流體湍流邊界層不可壓縮流體湍流邊界層 第八章第八章 射流與尾跡射流與尾跡 第九章第九章 內(nèi)部流動(dòng)內(nèi)部流動(dòng) 第一章第一章 粘性流體的基本概念粘性流體的基本概念 第一節(jié)第一節(jié) 粘性流體力學(xué)的發(fā)展粘性流體力學(xué)的發(fā)展 第二節(jié)第二節(jié) 兩種基本流態(tài)兩種基本流態(tài)層流

2、、湍流層流、湍流 和雷諾數(shù)和雷諾數(shù) 第三節(jié)第三節(jié) 流體的傳輸性質(zhì)流體的傳輸性質(zhì) 第四節(jié)第四節(jié) 應(yīng)變率張量和應(yīng)力張量應(yīng)變率張量和應(yīng)力張量 第五節(jié)第五節(jié) 廣義牛頓定律廣義牛頓定律 第第一節(jié) 粘性流體力學(xué)的發(fā)展1、研究流體粘性的意義、研究流體粘性的意義n流體存在著粘性，粘性是流體阻止其本身流動(dòng)的性質(zhì)。當(dāng)流場(chǎng)中存在速度梯度時(shí)，流體就會(huì)產(chǎn)生阻力，這就是粘性。n在求解運(yùn)動(dòng)物體在流體中的阻力，以及渦旋的擴(kuò)散、熱量的傳遞等問(wèn)題時(shí)，粘性會(huì)起主導(dǎo)作用不能忽略。n粘性流體力學(xué)就是研究在粘性不能忽略情況下的流體的宏觀運(yùn)動(dòng)，以及流體和在其中運(yùn)動(dòng)的物體之間相互作用所遵循的規(guī)律。2 2、粘性流體力學(xué)的發(fā)展、粘性流體力學(xué)的發(fā)

3、展 粘性流體力學(xué)在理論上的發(fā)展首先是納維（Navier 1827年在歐拉方程中加上了粘性項(xiàng)。 經(jīng)過(guò)柯西（Cauchy）、泊松（Poisson 1829年）和維納特（Vanant 1843年）等人的研究。最后由斯托克斯（Stokes 1845年）完成粘性流體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量方程（NavierStokes方程）。 1904年普朗特（Ludwig Prandtl）提出了邊界層理論，才把實(shí)驗(yàn)與理論分析結(jié)合起來(lái)。以后粘性流體力學(xué)主要在邊界層理論和湍流理論兩個(gè)方面發(fā)展起來(lái)。3 3 邊界層理論的發(fā)展概況邊界層理論的發(fā)展概況 邊界層理論的建立邊界層理論的建立 1904年普朗特提出了邊界層理論，把流體分成兩個(gè)區(qū)域，離

4、物面很近的區(qū)域，速度梯度很大，粘性力起很大作用，但這層流體很薄，稱(chēng)作邊界層，而外層按無(wú)粘性流動(dòng)處理。 1905年普朗特和1908年布拉休斯（Blasius）對(duì)平板邊界層引入了相似性解。 積分關(guān)系式法積分關(guān)系式法 1921年卡門(mén)（Von Karman）和波爾豪森（Pohlhauses）引入了動(dòng)量積分方程。從而提出了邊界層的動(dòng)量積分關(guān)系式解法。 湍流邊界層的積分關(guān)系式解法有多種，其中用的比較廣泛的是希德法（Head 1958年），此法的主要缺點(diǎn)忽略了邊界層上游的歷史影響。 有多種改進(jìn)和推廣此法的方法，其中格林法（Green 1973年）考慮了雷諾應(yīng)力的變化以及上游的歷史影響，總的精度有明顯的提高。

5、以后依斯特（East 1977年）把Green法發(fā)展成解湍流邊界層的逆方法，以便預(yù)估分離流動(dòng)，得到了較好的結(jié)果 積分關(guān)系式法在跨邊界層積分時(shí)不可避免的要失掉很多邊界層的信息，不能反映邊界層的湍流結(jié)構(gòu)，如切應(yīng)力的分布，而且它需要對(duì)邊界層的速度剖面進(jìn)行假設(shè)，所以此法不適用邊界條件突然變化和分離等情況。 但是在流體機(jī)械中，為了工程上的需要，此法還要進(jìn)一步發(fā)展以適用于三維邊界層、非定常邊界層、可壓縮邊界層及溫度邊界層等分析計(jì)算的要求。 微分解法微分解法 60年代以后隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，邊界層的微分解法也發(fā)展起來(lái)。1968年斯坦福（Stanford）大學(xué)舉行了一次專(zhuān)門(mén)會(huì)議估計(jì)常用的湍流邊界層計(jì)算方法的精度

6、，確認(rèn)了偏微分方程的解法比積分關(guān)系式方法更精確，更普遍。 有層流邊界層的SC法（Smith and Clutter 1963年）和湍流邊界層的CS法（Cebeci and Smith 1967年）。 有關(guān)三維邊界層和邊界層分離計(jì)算仍在不斷發(fā)展。 有關(guān)湍流計(jì)算的模式理論等仍適用邊界層的計(jì)算，有關(guān)邊界層流動(dòng)的研究也是這些理論和方法發(fā)展的動(dòng)力。 邊界層的實(shí)驗(yàn)測(cè)量邊界層的實(shí)驗(yàn)測(cè)量 在湍流邊界層計(jì)算的發(fā)展中，邊界層的實(shí)驗(yàn)測(cè)量，其中最主要的是對(duì)速度分布規(guī)律的研究，這方面的成果有普朗特（Prandtl 1933年）的內(nèi)層律，卡門(mén)的外層律（Karman 1930年），克勞塞（Clauser 1954年，195

7、6年）壓力梯度對(duì)外層律影響的修正，科爾斯（Coles）的尾跡律, 以及1960年代克蘭（Kline）開(kāi)始用氫氣泡技術(shù)觀察到的邊界層猝發(fā)(burst)現(xiàn)象。 三維邊界層計(jì)算和邊界層的逆解法三維邊界層計(jì)算和邊界層的逆解法 邊界層的計(jì)算主要集中發(fā)展了三維邊界層計(jì)算和邊界層的逆解法的研究。 三維邊界層的積分關(guān)系式法三維邊界層的積分關(guān)系式法 主要是把Head法推廣到三維邊界層的計(jì)算，其中有Moore. J （1973）計(jì)算徑流葉輪的輪轂、外緣和葉片面的三維邊界層；Akakawa et al（1980）計(jì)算了軸流泵葉片的三維邊界層，并得出葉片后緣的脫流區(qū)；Lakshminarayance（1981）計(jì)算了

8、透平葉片的三維邊界層；Furakawa et al計(jì)算水泵葉輪環(huán)面和葉片面邊界層。差分法求解三維邊界層差分法求解三維邊界層 用差分法求解三維邊界層較晚。 Nash. J. F.（1972）用一階精度的顯式差分求解了機(jī)翼三維邊界層，Nash. J. F.（1976），Cebeci. J . et al(1977), Melean J. D. (1977), Tassa A. et al(1982)用隱式差分求解了三維邊界層。 Vatsa V. N (1984)導(dǎo)出了非正交旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的三維邊界層方程，引入了二維LevyLess變換，用零方程湍流模型方程封閉，并用分塊因子法求解。Anderson

9、O. L. (1987)計(jì)算了葉輪葉片面三維邊界層。 邊界層逆解法邊界層逆解法 邊界層計(jì)算的另一個(gè)活躍領(lǐng)域是邊界層的逆解法。對(duì)于二維定常分離邊界層，當(dāng)給定時(shí)，邊界層方程在分離點(diǎn)是奇點(diǎn)，用正解法無(wú)法求解。 D. Catherall et al（1966）首先提出了二維邊界層積分型逆解法。在二維邊界層上主要應(yīng)用East（1977）的逆解法。 三維邊界層在分離現(xiàn)象、判別和模擬方面比二維復(fù)雜，J. Cousteix(1981)提出了三維邊界層的逆解法。以后Le Ballear（1981），Delery J and Formery（1983），Radwan S. F. （1984）和Edwards D.

10、E.（1987）等都進(jìn)行邊界層逆解法的計(jì)算，并取得了滿意的結(jié)果。 大尺度分量與流動(dòng)的邊界條件和外力性質(zhì)有關(guān)，如湍流中動(dòng)量和熱量的交換，對(duì)于工程問(wèn)題很重要。在這方面對(duì)于管流、渠道、自由湍流和邊界層做了很多試驗(yàn)，在試驗(yàn)基礎(chǔ)上產(chǎn)生了湍流的半經(jīng)驗(yàn)理論。這個(gè)理論主要包括2030年代產(chǎn)生的Prandtl的混和長(zhǎng)度理論，Taylor的渦量傳輸理論和Karman的相似性理論。這些半經(jīng)驗(yàn)理論基于湍流微團(tuán)運(yùn)動(dòng)和分子運(yùn)動(dòng)的類(lèi)比。4 4、湍流理論發(fā)展概況、湍流理論發(fā)展概況 致力于湍流大尺度分量的描述致力于湍流大尺度分量的描述 在半經(jīng)驗(yàn)理論基礎(chǔ)上60年代以后進(jìn)一步提出模式理論湍流計(jì)算模型主要有代數(shù)型零方程模型，包括CS

11、（Cebeci and Smith 1968）、PS（Patankar and Spalding 1968）和MH（Mellor and Herring 1968）等模型；等效粘度模型（EVM），如常見(jiàn)一個(gè)方程和兩個(gè)方程（k-）模型；以及應(yīng)力代數(shù)模型（ASM），應(yīng)力微分模型（DSM），在應(yīng)力模型方面周培源教授有重大的貢獻(xiàn)。 構(gòu)造湍流模式總須引進(jìn)封閉假設(shè)和待定常數(shù)。促使人們考慮直接從Navier-Stokes方程出發(fā)模擬湍流，這就是湍流的直接數(shù)值模擬(DNS),也稱(chēng)完全湍流數(shù)值模擬（FTS）和大渦模擬（LES）。湍流的數(shù)值模擬方法 湍流研究方法 統(tǒng)計(jì)平均法 大渦模擬(LES) 直接法(DNS)

12、雷諾平均法(RANS) 統(tǒng)計(jì)法 格子 Boltzmann 法(LBM) 譜方法 偽譜法 渦動(dòng)力學(xué)法 雷諾平均湍流模式理論 渦粘性模型 代數(shù)渦粘模型 單方程模型 雙方程模型 Reynolds 應(yīng)力模型 二階矩應(yīng)力方程模型 代數(shù)應(yīng)力方程模型(ASM) Reynolds 平均理論 重整化群 k標(biāo)準(zhǔn) k 研究原因：初始條件的微小擾動(dòng)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的發(fā)展可以完全改變湍流運(yùn)動(dòng)的細(xì)節(jié)；但是高雷諾數(shù)的完全發(fā)展湍流的統(tǒng)計(jì)平均行為是穩(wěn)定的。完全發(fā)展湍流的這一特征決定了統(tǒng)計(jì)理論在湍流研究中的地位。小尺度湍流分量的描述小尺度湍流分量的描述 在湍流的統(tǒng)計(jì)理論中1922年L.Richardson提出了能量串級(jí)過(guò)程，G.

13、Taylor1935年引入了均勻和各向同性湍流的概念。1941年Kolmogorov提出了小尺度分量的新的相似性假設(shè)和局部各向同性湍流的理論。根據(jù)這些假設(shè)推出了一些定律，直至60年代才能得到實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證。 周培源1976年研究了網(wǎng)后均勻各向同性湍流的衰減規(guī)律。同時(shí)在統(tǒng)計(jì)理論方面對(duì)湍流的封閉性做了很多工作，主要有準(zhǔn)正則近似理論、Kraichnan的直接相互近似（DIA）和應(yīng)用非平衡統(tǒng)計(jì)力學(xué)方法解決湍流的封閉性問(wèn)題。 湍流的擬序結(jié)構(gòu)。湍流的擬序結(jié)構(gòu)。70年代以來(lái)湍流的擬序結(jié)構(gòu)成為了研究湍流結(jié)構(gòu)的新的起點(diǎn)。湍流的特征是間歇有序性，即擬序結(jié)構(gòu)的觸發(fā)是不規(guī)律的，但一旦觸發(fā)，它以近乎確定的規(guī)律發(fā)展。這方面的

14、研究包括發(fā)現(xiàn)和證實(shí)擬序結(jié)構(gòu)，如邊界層中的猝發(fā)現(xiàn)象、混合層中的大渦；利用現(xiàn)代信息處理技術(shù)（條件采樣，模式識(shí)別）檢測(cè)和分析擬序結(jié)構(gòu)；定量描述和了解擬序結(jié)構(gòu)的生成和發(fā)展，應(yīng)用它控制湍流，和構(gòu)造湍流模式。 現(xiàn)代混沌理論。現(xiàn)代混沌理論。70年代以來(lái)湍流發(fā)表的另一個(gè)重要的方面是現(xiàn)代混沌理論（Chaos），從1963年Lorenz開(kāi)始，將NavierStokes方程簡(jiǎn)化成三個(gè)一階常微分方程組成的非線性動(dòng)力系統(tǒng)。隨著參數(shù)的變化它會(huì)經(jīng)歷穩(wěn)定解、周期解、具有間歇性的解和湍亂無(wú)章的混沌解，這正是湍流發(fā)展過(guò)程和完全發(fā)展了的湍流所具有的特征。 粘性流動(dòng)存在兩種流態(tài)粘性流動(dòng)存在兩種流態(tài)層流和湍流層流和湍流 第二節(jié) 兩種基

15、本流態(tài)層流、 湍流和雷諾數(shù)1 1、層流和湍流、層流和湍流 ReynoldsReynolds在在18831883年的著名試驗(yàn)研究了這一現(xiàn)象。年的著名試驗(yàn)研究了這一現(xiàn)象。 試驗(yàn)裝置如圖11所示。當(dāng)大容器T中的流體處于某一溫度之下，閥門(mén)K開(kāi)度很小時(shí)，玻璃管G內(nèi)流體以極低速度流動(dòng)；此時(shí)，如讓另一種與容器T內(nèi)流體比較相近似的有顏色的流體自小容器B通過(guò)細(xì)管和尖針流入玻璃管G，可以看出此股有顏色流體的流束與周?chē)牧黧w不發(fā)生混雜。此時(shí)流體做層狀流動(dòng)，這種流體分層的流動(dòng)狀態(tài)叫做層流。流體層間只有分子級(jí)的動(dòng)量交換，而看不出流體間的混摻。圖11 雷諾試驗(yàn) 如果試管內(nèi)流速逐漸提高，可以看出顏色流束逐漸波動(dòng)，但還與周?chē)?/p>

16、流體沒(méi)發(fā)生混雜。隨著流速的進(jìn)一步提高，顏色流束開(kāi)始斷開(kāi)，發(fā)生了局部混雜。當(dāng)?shù)侥骋涣魉賄cr（上臨界流速）時(shí)，顏色流體在尖針出口即與周?chē)黧w發(fā)生混雜，整個(gè)玻璃管呈淡的顏色流?？梢哉J(rèn)為此時(shí)層流流態(tài)已完全破壞，流體微團(tuán)間發(fā)生強(qiáng)烈的動(dòng)量交換，液流呈不規(guī)律的湍亂狀態(tài)，稱(chēng)為湍流。如果實(shí)驗(yàn)開(kāi)始是湍流，逐漸減小管內(nèi)流速，到某一臨界值Vcr（下臨界速度,Vcr Recr 時(shí)為湍流， 當(dāng) Re Re Recr時(shí)，可以是湍流也可以是層流，工程上多按湍流處理。圓管中的臨界雷諾數(shù)為：Recr 2300和 Recr 800012000。crcrV dRecrcrV dReVdRe 對(duì)于確定的流體，溫度固定（即粘度確定）時(shí)

17、，其流態(tài)決定于臨界速度。因此引用下列量綱為1的組合數(shù)作為判別流態(tài)的準(zhǔn)則，對(duì)于管流： 均勻流動(dòng)流過(guò)一個(gè)二維圓柱（半徑為R）的理想流動(dòng)的解是一個(gè)均勻流U與一個(gè)偶極子疊加而得到的勢(shì)流解。2222cos (1)sin (1)rRuUrRuUr 22(14sin)2ppU22()14sin12pppCU 2 2、粘性的影響、粘性的影響 圖12 圓柱繞流的勢(shì)流解 勢(shì)流（theoretical） 亞臨界（subcritical） Re1.86105超臨界（supercritical） Re6.7105Re =Ua/ 圖13 圓柱繞流壓力系數(shù)Cp 圖14 粘性流體繞圓柱時(shí)的流態(tài) 如圖14所示：（a）在極小雷諾

18、數(shù)范圍（Re1）流動(dòng)不分離，前后左右對(duì)稱(chēng)；（b）在小雷諾數(shù)（35Re3040）流動(dòng)是定常的層流，在背風(fēng)面出現(xiàn)有限“對(duì)渦”回流區(qū)；（c）3040Re8090時(shí)，對(duì)渦仍然存在，流動(dòng)是層流，但尾流開(kāi)始作不定常流動(dòng)，但由于粘性尾流衰減很快而消失（d）卡門(mén)渦階段（8090Re150300），流動(dòng)基本上是層流，圓柱兩側(cè)渦旋先后周期性從圓柱表面脫落，在尾流中形成交替排列的兩列渦旋。這一現(xiàn)象首先由Karman（1921）理論上加以闡述，稱(chēng)為卡門(mén)渦街；（e）“亞臨界”階段（150300Re1.3105），圓柱迎風(fēng)面的層流邊界層先轉(zhuǎn)捩為湍流邊界層，然后與圓柱表面分層，分離點(diǎn)位置比亞臨界階段明顯偏后，而尾跡變得比較

19、狹窄。 圖15圓柱繞流的阻力 圓柱繞流的阻力由兩部分組成，摩擦阻力和壓差阻力，由圖13所示，在粘性繞流的情況下迎風(fēng)面的壓力比背風(fēng)面的壓力大的多而形成壓差阻力。圖15為阻力系數(shù)(D為阻力)隨雷諾數(shù)Re變化的曲線。 在圖在圖1 14 4中：中： （a）的阻力主要是摩擦阻力，CD的數(shù)值很大，D與 成正比， 稱(chēng)為蠕流。（b）（c）的阻力中，摩擦阻力與壓差阻力同樣重要。（d）（e）（f）的阻力主要是壓差阻力，占總阻力的90，CD與Re無(wú)關(guān)，阻力D與 的平方成正比。隨著雷諾數(shù)增加，由亞臨界階段向超臨界階段的過(guò)渡是突然發(fā)生的，此時(shí)阻力會(huì)有一個(gè)突然的降落稱(chēng)為“阻力危機(jī)”。當(dāng)來(lái)流湍流度較高或表面粗糙時(shí)，阻力危機(jī)

20、會(huì)提前發(fā)生。UU從這個(gè)經(jīng)典的例子可以看出：（1） 實(shí)際的粘性流動(dòng)與無(wú)粘流動(dòng)有很顯著的不同：如流速分布，壁面應(yīng)力等。其中重要的不同就是粘性流動(dòng)中有切應(yīng)力存在及物面的粘附條件（無(wú)滑移條件）。（2） 隨著雷諾數(shù)不同，可以有不同的流態(tài)，流譜，壓力、流速分布，形成不同的邊界層和尾流。第三節(jié) 流體的傳輸性質(zhì) 動(dòng)量傳遞現(xiàn)象 粘性流體在流動(dòng)過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生動(dòng)量傳遞，這是粘性的本質(zhì)。流體的分子運(yùn)動(dòng)可以解釋流體的粘性。流體的分子除了有與流動(dòng)方向一致的平均前進(jìn)速度，還伴隨著微觀不規(guī)律的熱運(yùn)動(dòng)。 在相鄰流體層之間會(huì)發(fā)生某些物理量的傳輸（或稱(chēng)輸運(yùn)）：動(dòng)量輸運(yùn)、熱量輸運(yùn)、質(zhì)量輸運(yùn)。 流體與壁面之間的動(dòng)量傳輸。在固體壁面附近，

21、流體分子一撞到固體壁面就失去了動(dòng)量的平均前進(jìn)分量，它在固壁處的平均速度為零，這就是無(wú)滑移條件。從固體表面反射的流體分子通常和距離固壁只有平均自由程的其它分子發(fā)生碰撞而得到動(dòng)量的前進(jìn)分量，再次碰撞固面，又失去前進(jìn)的動(dòng)量分量。另一方面，由于和固面反射的分子相碰撞而使平均速度減慢了的流體分子，再與遠(yuǎn)離固體表面處的流體分子發(fā)生碰撞，也會(huì)進(jìn)行動(dòng)量交換。這樣，隨著離開(kāi)固體表面距離的增加，流體分子的平均速度會(huì)逐漸增加。事實(shí)上，只要流體分子的平均速度有差異，即有速度梯度，就會(huì)有上述流體分子間的動(dòng)量傳遞現(xiàn)象。 流體之間的動(dòng)量傳輸。進(jìn)一步可以認(rèn)為速度不同的相鄰質(zhì)點(diǎn)間也會(huì)發(fā)生動(dòng)量交換。假設(shè)質(zhì)量為m，速度分別為u1和

22、u2（u1 u2）的兩個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)在相鄰的兩層中運(yùn)動(dòng)，它們之間產(chǎn)生動(dòng)量交換后，速度分別變成為u1+u和u2u。那么流體質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量變化率為mu,相應(yīng)于這個(gè)動(dòng)量變化率就是質(zhì)點(diǎn)間存在切應(yīng)力。所以在粘性流體中，只要有速度梯度，在流體中任何切面兩側(cè)就會(huì)存在大小相等、方向相反的切應(yīng)力。 此項(xiàng)動(dòng)能將變成分子熱運(yùn)動(dòng)的能量。在流體的動(dòng)能轉(zhuǎn)換為熱能不可逆過(guò)程中將產(chǎn)生壓力損失。 在層流中，流體的動(dòng)量交換是通過(guò)分子熱運(yùn)動(dòng)而進(jìn)行的。當(dāng)流速很大時(shí)，流動(dòng)變得不穩(wěn)定，宏觀的質(zhì)點(diǎn)也將開(kāi)始不規(guī)律地運(yùn)動(dòng)，由于流體質(zhì)點(diǎn)之間混合，將進(jìn)行動(dòng)量交換，這種動(dòng)量交換比分子運(yùn)動(dòng)而引起的動(dòng)量交換大得多，為湍流。0)(21)(211222212221

23、uuuumuuuumuum 流體質(zhì)點(diǎn)在做動(dòng)量交換時(shí)，動(dòng)量是守恒的，但只要是非完全碰撞，就會(huì)有u1+uu2，全部動(dòng)能會(huì)減少，這個(gè)減少量為： 熱量（能量）傳遞粘性系數(shù) 當(dāng)流場(chǎng)有速度梯度時(shí)，將會(huì)產(chǎn)生動(dòng)量的傳遞。速度梯度（變形率）與切應(yīng)力間的關(guān)系，遵循牛頓內(nèi)摩擦定律： (15)式中動(dòng)力粘性系數(shù)的單位為泊（p）或厘泊（cp） dydu21110101MSNSPap2 ms 運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)為： 動(dòng)力粘性系數(shù)隨溫度與壓力而變化，但壓力的影響甚微。液體的粘性系數(shù)隨溫度升高而減少，而氣體的隨溫度的升高而增加。因?yàn)橐后w分子的自由程小，粘性系數(shù)決定于分子碰撞的時(shí)間，而溫度升高，液體分子的碰撞時(shí)間減少。氣體的分子自由程

24、大，粘性決定于分子碰撞的次數(shù)，溫度升高，熱運(yùn)動(dòng)加強(qiáng)，使氣體分子碰撞的次數(shù)加多。（16） 式中為液體密度，運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)的單位為涻（st）或厘涻（cst）： stscm2scmst2112000022096. 003368. 011tt 水在一個(gè)大氣壓下，不同溫度的粘性系數(shù)見(jiàn)表11，干空氣在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，不同溫度的粘性系數(shù)見(jiàn)表12。對(duì)于水，在一個(gè)大氣壓下，不同溫度的粘性系數(shù) 用亥姆霍茲關(guān)系式表示：（17）式中 為一個(gè)大氣壓下，0時(shí)的動(dòng)力粘度系數(shù)，t為攝氏溫度。o表11：水在一個(gè)大氣壓下不同溫度時(shí)的粘性系數(shù)表12：干空氣在一個(gè)大氣壓下不同溫度時(shí)的粘性系數(shù) 表13：幾種氣體在一個(gè)大氣壓下 和薩瑟蘭

25、常數(shù)o/Ts Ko 對(duì)于各種氣體的粘性系數(shù)可以近似采用冪次公式表示： (18) 式中T0=273.16 K, 為一個(gè)大氣壓下，0時(shí)氣體的動(dòng)力粘度系數(shù)，n為溫度指數(shù)，如空氣n0.76，氫n0.69，二氧化碳n0.95，在估算時(shí)，高溫可取n0.5，低溫時(shí)n1.0。準(zhǔn)確些還可用蘇士南(Sutherland)公式計(jì)算： (19) 式中T0=273.16 K，TS為蘇士南系數(shù)。表13列出了幾種氣體在一個(gè)大氣壓下的粘性系數(shù)及蘇士南常數(shù)TS。00nTTSSTTTTTT0230002、導(dǎo)熱系數(shù)K 流體的傳輸性質(zhì)除了粘性以外還有傳熱和擴(kuò)散，傳熱是流體運(yùn)動(dòng)中熱量傳遞的度量，而擴(kuò)散是標(biāo)志流體的傳遞。 當(dāng)流場(chǎng)具有溫度

26、梯度時(shí)，將會(huì)產(chǎn)生熱量的傳遞，溫度梯度與熱流量的關(guān)系遵循傅利葉(Fourier)定律： (110) 式中q為單位面積的熱流矢量，T為溫度，K為導(dǎo)熱系數(shù)，單位通常用W/(mK)。對(duì)于各向同性的流體，K無(wú)方向性，僅隨溫度和壓力而變化。導(dǎo)熱系數(shù)也有類(lèi)似于式（18）和式（19）的公式： 32000SSTTKTKTTT00nKTKTKT q(1-11)(1-12) 流體中的擴(kuò)散有兩種形式：一種是發(fā)生在同一種流體中，在某一指定的體積內(nèi)，總會(huì)不斷跑出一些分子，同時(shí)進(jìn)來(lái)一些分子，該體積內(nèi)質(zhì)量一直是變化的，稱(chēng)為自擴(kuò)散。另一種是發(fā)生在含有兩種或兩種以上流體的混和物之間的質(zhì)量交換，最終可以成為宏觀上均勻的混和物，這是

27、一種二元（或多元）的擴(kuò)散。 在后種擴(kuò)散中容積濃度的梯度（i表示第i組流體）與質(zhì)量傳輸量Mi的關(guān)系遵循費(fèi)克（Fick）定律： (113) iiDA M 3 3、質(zhì)量擴(kuò)散系數(shù)、質(zhì)量擴(kuò)散系數(shù) 式中 為在容積濃度減少的方向，在單位時(shí)間內(nèi)第i組的質(zhì)量在面積A上的質(zhì)量傳輸量；D為質(zhì)量擴(kuò)散系數(shù)，SI單位為m2/s。 單位面積的質(zhì)量傳輸量，可以寫(xiě)成容積濃度 (單位體積內(nèi)某i組流體的質(zhì)量)和速度的乘積： (114) 速度 稱(chēng)為擴(kuò)散速度。另外 (混和介質(zhì)的密度)為常數(shù)時(shí)，還可以用質(zhì)量濃度 得出費(fèi)克公式的另一種形式：()iiiiDA MViMiViiC (115) 嚴(yán)格地講，存在壓力梯度或溫度梯度，也可以有質(zhì)量的傳

28、輸，即： (116) 式中Dp和DT是由于壓力梯度及溫度梯度所引起的質(zhì)量傳輸?shù)臄U(kuò)散系數(shù)。通常后兩者較第一項(xiàng)為小。(ln)iiDC V(ln)ln( )(ln)iipTDCDpDT V第四節(jié)第四節(jié) 應(yīng)變率張量和應(yīng)力張量應(yīng)變率張量和應(yīng)力張量 由柯西亥姆霍茲（流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分解）定理可知：流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可以分解為三部分：平移、旋轉(zhuǎn)與變形（線變形和剪切變形）。 1 1、應(yīng)變率張量、應(yīng)變率張量 圖16 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解 柯西(Cauchy)亥姆霍茲（Helmholtz）分解 圖16中M0為流體微團(tuán)中的一點(diǎn)，M0的速度為V0。M點(diǎn)為此微團(tuán)M0的鄰域上任一點(diǎn)，M的速度為V，那么可以表示為： 式中 為應(yīng)變率

29、張量， 為微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度。第二項(xiàng)為流體微元象剛體一樣旋轉(zhuǎn)所造成相鄰點(diǎn)的速度增量，第三項(xiàng)是由于流體微元的變形而造成相鄰點(diǎn)的速度增量。0dd VVrr117 如果流場(chǎng)是連續(xù)的，速度的各階導(dǎo)數(shù)存在，那么M點(diǎn)的速度可用Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)，在直角坐標(biāo)系x1，x2，x3中表示為（忽略了二次以上的高階項(xiàng)）： 或： (118)112233dddduuuVeee0123123dddxxxxxxVVVVV0123123ddddxxxxxxVVVVVVdV V的三個(gè)分量為：du1，du2，du3，式中e1、e2和e2為x1，x2，x3方向的單位矢量。11111231123ddddduuuuxxxuxxxr， 22

30、221232123ddddduuuuxxxuxxxr33331233123ddddduuuuxxxuxxxr111123112222212333333123dddddduuuxxxuxuuuuxxxxuxuuuxxx 用矩陣表示： 簡(jiǎn)寫(xiě)成： (119) 式中 叫變形率矩陣。可以把變形率矩陣分解成一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣和一個(gè)反對(duì)稱(chēng)矩陣： ddijuxVrijux311211213132122122323331213233112211221122ijuuuuuxxxxxuuuuuuxxxxxxuuuuuxxxxx 312121313122213233123132110221102211022uuuuxxxx

31、uuuuxxxxuuuuxxxx 式中右邊第一項(xiàng)稱(chēng)為應(yīng)變率張量(二階張量) ，第二項(xiàng)為剛體自轉(zhuǎn)率張量 ，而 。上式可以簡(jiǎn)寫(xiě)為：kijke12Viijijkkjuex （120）ij式中eijk是levycivita排列符號(hào)。 為角速度分量。k323121000ijkke ddd Vrr01 , ,1, ,ijkei j ki j k任兩個(gè)下表相同 如果按123、231和312排列如果不按順序排列 應(yīng)變率張量 應(yīng)變率張量 為二階張量，共有9個(gè)分量，應(yīng)變率可分為兩類(lèi)：一種是伸長(zhǎng)率，另一種是切變率。伸長(zhǎng)率為單位時(shí)間內(nèi)單位長(zhǎng)度的微元的伸長(zhǎng)或壓縮，當(dāng)伸長(zhǎng)時(shí)為正，壓縮時(shí)為負(fù)；在直角坐標(biāo)系中，,和 為x1,

32、x2和x3方向的伸長(zhǎng)率：312112233123 uuuxxx112233 在x1方向的伸長(zhǎng)率由圖17（a）表示。圖中 為dt時(shí)間間隔內(nèi)，dx1長(zhǎng)度在x1方向的伸長(zhǎng)，那么伸長(zhǎng)率可用（121）式表示。（1-21）111d dux tx112233e（1-22） 圖 1.7 流體運(yùn)動(dòng)的種類(lèi) 圖17（b）中流體微元受到的切應(yīng)力作用可產(chǎn)生剪切變形，那么微元在單位時(shí)間的角改變量（角變形）為： 定義流體微元的剪切變率為角的改變量，用 ， 和 表示，那么： (123)122112122uudtxx122331311331233223122112212121xuxuxuxuxuxu 那么應(yīng)變率張量可以用矩陣表

33、示為：111213222123333132000 由上式可見(jiàn)張量是一個(gè)對(duì)稱(chēng)張量，有9個(gè)分量，其分量的大小不僅與時(shí)間和微團(tuán)的位置有關(guān)，還與坐標(biāo)系的選擇有關(guān)的。但是應(yīng)變率張量表示的是流場(chǎng)中一位置上的微團(tuán)的應(yīng)變率狀態(tài)，此狀態(tài)與坐標(biāo)的選擇無(wú)關(guān)的，故必定存在三個(gè)應(yīng)變率張量的不變量與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)。應(yīng)變率張量的第1、2和3不變量分別用I1、I2和I3表示： 321,xxx3322111I2312232121133332222112IijI3（1-24）（1-25）（1-26）I1是微元的體積膨脹率。I2是與微元的耗散相聯(lián)系的。根據(jù)對(duì)稱(chēng)張量的性質(zhì)，存在一個(gè)使非對(duì)角線上的分量為零的坐標(biāo)系，這個(gè)坐標(biāo)系叫主軸坐

34、標(biāo)系。三個(gè)主軸坐標(biāo)系的主軸用 表示，那么在主軸坐標(biāo)系中，切變率皆為零，應(yīng)變率張量可以簡(jiǎn)化為：123000000（1-27） 2 應(yīng)力張量 圖18 P的應(yīng)力狀態(tài) 靜止流體和理想流體中，某一點(diǎn)的應(yīng)力（表面力）只用一個(gè)標(biāo)量壓力表示，流體內(nèi)微元的表面力永遠(yuǎn)沿作用面的內(nèi)法線方向，其大小與作用面無(wú)關(guān)。 粘性流體中，應(yīng)力除了上述正應(yīng)力以外還有粘性切應(yīng)力，所以一個(gè)表面上的總應(yīng)力一般不垂直于此表面，而且在不同方向上的應(yīng)力也不相等。 考慮粘性流體中一點(diǎn)P的應(yīng)力狀態(tài)，在P點(diǎn)附近取一個(gè)微元（立方體），此微元共有6個(gè)表面，每個(gè)表面用外法線單位矢量表示，如圖18所示。每一個(gè)表面的應(yīng)力可以分解成三個(gè)應(yīng)力分量。如ABCD平面

35、可以用其外法線單位矢量表示，此面上的總應(yīng)力為 , 沿x1,x2, x3方向的三個(gè)應(yīng)力分量分別為3e3 (前面腳標(biāo)表示作用面的外法線方向，后一個(gè)腳標(biāo)表示應(yīng)力分量的方向)，那么 為：333231,331 132233 3eee3（1-28） P點(diǎn)附近一共存在六個(gè)表面力，可以用動(dòng)量矩定律證明，當(dāng)此微元趨近無(wú)窮小時(shí)，上述六個(gè)表面力，兩兩大小相等，方向相反。那么此微元趨近于無(wú)窮小時(shí)，可用 和 表示此微元的應(yīng)力狀態(tài)，也就是說(shuō)用9個(gè)應(yīng)力分量表示。這9個(gè)應(yīng)力分量不僅與空間位置和時(shí)間有關(guān)，還與作用面的方向（即坐標(biāo)軸的選擇）有關(guān)，組成一個(gè)二階張量1,2 3 所以二階應(yīng)力張量 是矢量的并積。應(yīng)力張量是對(duì)稱(chēng)張量。11

36、121311 1 112 1 213 1 321222321 2 12222232331323331 3 1323233 3 3e ee ee ee ee ee ee ee ee e11 1 112 1 213 1 321 2 13333e ee ee ee ee e 過(guò)N點(diǎn)任何平面上的應(yīng)力n 圖19 作用在微元四面體上的面積力 設(shè)此平面的外法線方向的單位矢量為 ， 的三個(gè)分量為 ?？梢员硎緸椋?上式用約定求和表示為： 即同一項(xiàng)中不同變量的相同下標(biāo)j表示j1，2，3 三項(xiàng)相加。其中 。 如果在P點(diǎn)附近取一個(gè)四面體，根據(jù)靜力學(xué)平衡條件馬上可以得出上述表達(dá)式： jjnjjnjjnnnnnnnnnn

37、nnn333322311332332222112213312211111nn123,nnn1 1223 3nnnneeejjnne11cos( , )n e n（1-29） 即過(guò)N點(diǎn)任何平面上的應(yīng)力等于此平面外法線的單位矢量與此點(diǎn)應(yīng)力張量的點(diǎn)積。 同樣也可以得出一個(gè)張量與矢量的點(diǎn)積，例如： jijie ejjjijijjjjiijjiinnnn ee eeeee123 nnnnn jijiiijiijnn ne e ee（1-30）（1-31）（1-32） 當(dāng)張量為對(duì)稱(chēng)二階張量時(shí)，上述兩種點(diǎn)積的結(jié)果相同。非對(duì)稱(chēng)二階張量則不然。根據(jù)上述點(diǎn)積概念同樣可以定義張量的散度 。其中漢密爾頓符號(hào)可以表示為

38、： 123123jjxxxx eeeejijijjijijjiijjjxxxee eeeee （1-33）（1-34） 流體微元中單位質(zhì)量的流體所受的表面力 圖110 微元體上的應(yīng)力張量 圖110所示為流體微元在x1方向上所受的表面應(yīng)力，那么此微元在x1方向所受全部表面力之和為dF1： 32122221231fxxxxx3111211123123123123dd d dd d dd d dFx xxx xxx xxxxx31111211123123d1d d dFfx xxxxx 由此可見(jiàn)流體微元中單位質(zhì)量流體所受的表面力的合力為 即為二階張量的散度。11223311fff efee1（1-35）第五節(jié) 廣義牛頓定律 廣義牛頓定律（廣義牛頓粘性公式）表示的是粘性流體應(yīng)力張量和應(yīng)變率張量之間的關(guān)系。此定律是牛頓內(nèi)摩擦定律的推廣。 牛頓提出了關(guān)于粘性流體做直流層狀運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩流體層間的切應(yīng)力與層間速度梯度成正比，即：1212ddux21212（1-36a）（1-36b）圖111 流體的直流層狀運(yùn)動(dòng) 斯托克斯(Stokes)把牛頓內(nèi)摩擦定律推廣到粘性流體的流動(dòng)中，他根