材料力學 第五章 彎曲應力

1、回顧與比較內力內力AF應力公式及分布規(guī)律應力公式及分布規(guī)律PITFAyFSM?均勻分布均勻分布線形分布線形分布5-2 5-2 純彎曲時的正應力純彎曲時的正應力5-3 5-3 橫力彎曲時的正應力橫力彎曲時的正應力 強度條件強度條件5-4 5-4 彎曲切應力彎曲切應力5-6 5-6 提高梁強度的措施提高梁強度的措施5-1 5-1 純彎曲純彎曲一、純彎曲一、純彎曲梁段梁段CDCD上，只有彎矩，沒有剪力上，只有彎矩，沒有剪力梁段梁段ACAC和和BDBD上，既有彎矩，又有剪力上，既有彎矩，又有剪力5-1 5-1 純彎曲純彎曲純彎曲純彎曲橫力彎曲橫力彎曲FsMFaFaFF5-2 純彎曲時的正應力純彎曲時的

2、正應力1、變形幾何關系、變形幾何關系2、物理關系、物理關系3、靜力學關系、靜力學關系純彎曲的內力純彎曲的內力剪力剪力Fs=0橫截面上沒有切應力橫截面上沒有切應力只有正應力。只有正應力。彎曲正應力的彎曲正應力的分布規(guī)律分布規(guī)律和和計算公式計算公式1、變形幾何關系、變形幾何關系（一）實驗觀察現(xiàn)象：（一）實驗觀察現(xiàn)象：施加一對正彎矩，觀察變形施加一對正彎矩，觀察變形觀察到縱向線與橫向線有何變化？觀察到縱向線與橫向線有何變化？縱向線縱向線由直線由直線曲線曲線橫向線橫向線由直線由直線直線直線相對旋轉一個角度后，相對旋轉一個角度后，仍然與縱向弧線垂直。仍然與縱向弧線垂直。變化的是：變化的是：1 1、縱向線

3、的長度、縱向線的長度2 2、兩橫截面的夾角、兩橫截面的夾角各縱向線的長度還相等嗎？各縱向線的長度還相等嗎？各橫向線之間依然平行嗎？各橫向線之間依然平行嗎？3 3、橫截面的寬度、橫截面的寬度橫截面繞某一軸線發(fā)生了偏轉。橫截面繞某一軸線發(fā)生了偏轉。（二）提出假設：（二）提出假設：1、平面假設：、平面假設：變形前為平面的橫截面變形后仍保持為平面；變形前為平面的橫截面變形后仍保持為平面；于于16951695年提出梁彎曲的平面假設年提出梁彎曲的平面假設瑞士科學家瑞士科學家Jacob.貝努力貝努力縱向纖維之間沒有相互擠壓，縱向纖維之間沒有相互擠壓，2、假設：、假設：觀察縱向纖維之間有無相互作用力觀察縱向纖

4、維之間有無相互作用力各縱向纖維只是發(fā)生了簡單的軸向拉伸或壓縮。各縱向纖維只是發(fā)生了簡單的軸向拉伸或壓縮。凹入凹入一側纖維一側纖維凸出凸出一側纖維一側纖維觀察縱向纖維的變化觀察縱向纖維的變化在正彎矩的作用下，在正彎矩的作用下，偏上的纖維偏上的纖維縮短，縮短，偏下的纖維偏下的纖維伸長。伸長?？s短；縮短；伸長。伸長。纖維長度不變纖維長度不變中性層中性層中性層中性層LL000LL=0=0既不伸長也不縮短既不伸長也不縮短中性軸中性軸中性軸上各點中性軸上各點=0各橫截面繞各橫截面繞 中性軸發(fā)生偏轉。中性軸發(fā)生偏轉。中性軸的位置中性軸的位置過截面形心過截面形心你能解釋一下托架開孔合理嗎？托架會不會破壞？你能

5、解釋一下托架開孔合理嗎？托架會不會破壞？（三）理論分析：（三）理論分析：y y的物理意義的物理意義縱向纖維到中性層的距離；縱向纖維到中性層的距離；點到中性軸的距離。點到中性軸的距離。zy兩直線間的距離兩直線間的距離公式推導公式推導線應變的變化規(guī)律線應變的變化規(guī)律與纖維到中性層的距離成正比。與纖維到中性層的距離成正比。從橫截面上看：從橫截面上看： 點離開中性軸越遠，點離開中性軸越遠，該點的線應變越大。該點的線應變越大。2、物理關系、物理關系虎克定律虎克定律EyE彎曲正應力的分布規(guī)律彎曲正應力的分布規(guī)律a、與點到中性軸的距離成正比；、與點到中性軸的距離成正比；c、正彎矩作用下，、正彎矩作用下，上壓

6、下拉；上壓下拉；當當 5的細長梁，的細長梁，用純彎曲正應力公式計算橫力彎曲正應力，用純彎曲正應力公式計算橫力彎曲正應力，誤差誤差2%滿足工程中所需要的精度。滿足工程中所需要的精度。zIMymaxmax 推導彎曲正應力計算公式的方法總結推導彎曲正應力計算公式的方法總結（1 1）理想模型法：）理想模型法：純彎曲（剪力為零，彎矩為常數(shù)）純彎曲（剪力為零，彎矩為常數(shù)）（2 2）“實驗實驗觀察觀察假設假設” ” ：梁彎曲假設梁彎曲假設（3）外力外力內力內力變形幾何關系變形幾何關系物理關系物理關系靜力學關系靜力學關系（4 4）三關系法）三關系法積分積分應力合成內應力合成內力力橫力彎曲橫力彎曲應力法應力法（

7、5 5）數(shù)學方法）數(shù)學方法注意注意（1 1）計算正應力時，必須清楚所求的是）計算正應力時，必須清楚所求的是哪個截面哪個截面上上的應力，的應力，（3 3）特別注意正應力）特別注意正應力沿高度呈線性分布沿高度呈線性分布；從而確定該截面上的從而確定該截面上的彎矩彎矩及該截面對中性軸的及該截面對中性軸的慣性矩；慣性矩；（2）必須清楚所求的是該截面上）必須清楚所求的是該截面上哪一點哪一點的正應力，的正應力，（4）中性軸中性軸上正應力上正應力為零為零，并確定該并確定該點到中性軸的距離點到中性軸的距離，而在梁的上下邊緣處分別是最大拉應力和最大壓應力。而在梁的上下邊緣處分別是最大拉應力和最大壓應力。以及該點處

8、以及該點處應力的符號應力的符號（6 6）熟記矩形、圓形截面對中性軸的慣性矩的計算式。）熟記矩形、圓形截面對中性軸的慣性矩的計算式。（5 5）梁在中性軸的兩側分別受拉或受壓）梁在中性軸的兩側分別受拉或受壓; ;注意注意正應力的正正應力的正 負號（拉或壓）可根據(jù)負號（拉或壓）可根據(jù)彎矩的正負彎矩的正負及及梁的變形狀態(tài)梁的變形狀態(tài)來來 確定。確定。作彎矩圖，尋找最大彎矩的截面作彎矩圖，尋找最大彎矩的截面分析：分析：非對稱截面，非對稱截面，例例1 T1 T型截面鑄鐵梁，截面尺寸如圖。型截面鑄鐵梁，截面尺寸如圖。求最大拉應力、最大壓應力。求最大拉應力、最大壓應力。647.64 10 mzI計算最大拉應力

9、、最大壓應力計算最大拉應力、最大壓應力zc52889KN1m1m4KN1mACB要尋找中性軸位置；要尋找中性軸位置；（2 2）計算應力：）計算應力：33,max64 1052 1027.2MPa7.64 10t33,max64 1088 1046.1MPa7.64 10c（1 1）求支反力，作彎矩圖）求支反力，作彎矩圖B B截面應力分布截面應力分布9KN1m1m4KN1mACBFAFBFA=2.5KN2.5KNm4KNmMzIMy應用公式應用公式zc5288（3 3）結論）結論MPa1 .46max,cC C截面應力計算截面應力計算33,max62.5 1088 1028.8MPa7.64 1

10、0tMPa8 .28max,t2.5KNm4KNmM9KN1m1m1mACBFAFB4KNC C截面應力分布截面應力分布zIMy應用公式應用公式zc528830zy180120K1、C 截面上截面上K點正應力點正應力2、C 截面上最大正應力截面上最大正應力3 3、全梁上最大正應力、全梁上最大正應力4、已知、已知E=200GPa，C 截面的曲率半徑截面的曲率半徑例例2：矩形截面簡支梁承受均布載荷作用：矩形截面簡支梁承受均布載荷作用,如圖所示如圖所示1m3mq=60KN/mACB1、截面幾何性質計算、截面幾何性質計算1218. 012. 03123ZbhI 45m10832. 5確定形心主軸的位置

11、確定形心主軸的位置z確定中性軸的位置確定中性軸的位置180120確定形心的位置確定形心的位置q=60KN/m1m3mACB2. 2. 求支反力求支反力kN90AyFkN90ByFmkN605 . 0160190CMZKCKIyM （壓應力）（壓應力）3、C 截面上截面上K點正應力點正應力30zy180120K53310832. 510601060MPa7 .614、C 截面上最大正應力截面上最大正應力ZmaxmaxIyMCC53310832. 510901060MPa55.92彎矩彎矩公式公式MxFSx作內力圖作內力圖kN90AyFkN90ByFq=60KN/m1m3mACB90kN90kNm

12、67.5kN8/2ql5 5、全梁上最大正應力、全梁上最大正應力mkN5 .67maxMZmaxmaxWMMPa17.10453310832. 51090105 .67危險截面危險截面公式公式ZmaxmaxmaxIyMmkN60CMq=60KN/m1m3mACB6、已知、已知E=200GPa，C 截面的曲率半徑截面的曲率半徑45m10832. 5zIm4 .194CZCMEIEIM1359106010832. 510200練習練習1：計算下圖中：計算下圖中11截面上、兩點的正應截面上、兩點的正應力，并求梁內的最大正應力，畫危險面上正應力，并求梁內的最大正應力，畫危險面上正應力的分布規(guī)律。已知矩

13、形截面的寬為力的分布規(guī)律。已知矩形截面的寬為75毫毫米，高米，高150毫米。毫米。101.2m1m1m1-1P=8KN40ab練習練習2：圓型截面梁的橫截面直徑為：圓型截面梁的橫截面直徑為D50毫米，受力如圖。毫米，受力如圖。計算最大正應力并畫危險面上的正應力分布規(guī)律。計算最大正應力并畫危險面上的正應力分布規(guī)律。q=10KN/m1m練習練習3：求下圖中：求下圖中11截面上點的正應力、此截截面上點的正應力、此截面上的最大正應力、此梁上的最大正應力。已面上的最大正應力、此梁上的最大正應力。已知矩形截面的寬為知矩形截面的寬為120毫米，高毫米，高180毫米。毫米。q=60KN/m1m2m1-130a

14、三、彎曲正應力強度條件三、彎曲正應力強度條件彎曲正應力彎曲正應力的分布規(guī)律的分布規(guī)律危險點：危險點：距離中性軸最遠處；距離中性軸最遠處；分別發(fā)生分別發(fā)生最大拉應力最大拉應力與與最大壓應力最大壓應力；zmaxmaxmaxIyM1、塑性材料、塑性材料抗拉壓強度相等抗拉壓強度相等無論內力圖如何無論內力圖如何梁內最大應力梁內最大應力 IyMzmaxmaxmax其強度條件為其強度條件為通常將梁做成矩形、圓形、工字形等通常將梁做成矩形、圓形、工字形等對稱于中性軸對稱于中性軸的截面；的截面；此類截面的最大拉應力與最大壓應力相等。此類截面的最大拉應力與最大壓應力相等。因此：因此： 強度條件可以表示為強度條件可

15、以表示為 wMzmaxmax無論截面形狀如何，無論截面形狀如何，a但對于塑性材料，但對于塑性材料，b2.2.離中性軸最遠處。離中性軸最遠處。要綜合考慮彎矩要綜合考慮彎矩M與截面形狀與截面形狀Iz1.1.彎矩的絕對值最大的截面上；彎矩的絕對值最大的截面上；塑性材料塑性材料c、塑性材料制成的、塑性材料制成的變截面梁變截面梁總之，總之， 梁內最大應力發(fā)生在：梁內最大應力發(fā)生在： wMzmaxmax3 .強度條件為強度條件為2、脆性材料、脆性材料抗拉壓強度不等?？估瓑簭姸炔坏取攘D形狀有關。內力圖形狀有關。梁內最大拉應力與最大壓應力分別發(fā)生在梁內最大拉應力與最大壓應力分別發(fā)生在最大應力通常與截面形狀

16、，最大應力通常與截面形狀，通常將梁做成通常將梁做成T T形、倒形、倒T T形等形等 關于關于中性軸不對稱中性軸不對稱的截面。的截面。離中性軸最遠的最上邊緣與最下邊緣。離中性軸最遠的最上邊緣與最下邊緣。由于脆性材料抗壓不抗拉，由于脆性材料抗壓不抗拉，a a脆性材料的最大應力與截面形狀有關脆性材料的最大應力與截面形狀有關MM或者或者 脆性材料梁的危險截面與危險點脆性材料梁的危險截面與危險點上壓下拉上壓下拉上拉下壓上拉下壓b b脆性材料的最大應力與內力圖有關脆性材料的最大應力與內力圖有關危險截面只有一個。危險截面只有一個。tzttIMymax,czccIMymax,危險截面處分別校核：危險截面處分別

17、校核：二個強度條件表達式二個強度條件表達式M危險截面有二個；危險截面有二個；每一個截面的最上、最下邊緣均是危險點；每一個截面的最上、最下邊緣均是危險點； 脆性材料梁的危險截面與危險點脆性材料梁的危險截面與危險點tzttIMymax,czccIMymax,各危險截面處分別校核：各危險截面處分別校核：四個強度條件表達式四個強度條件表達式zMwmax zwmaxM彎曲正應力強度計算的三個方面彎曲正應力強度計算的三個方面1、強度校核、強度校核tzttIMymax,czccIMymax,2、設計截面、設計截面3、確定許可載荷、確定許可載荷例例1 1：圖示為機車輪軸的簡圖。試校核輪軸的強度。：圖示為機車輪

18、軸的簡圖。試校核輪軸的強度。,kN5 .62,m16. 0,m267. 0,1302Fbammd材料的許用應力材料的許用應力.MPa60mm1601d分析分析（2 2）危險截面：危險截面：（3 3）危險點危險點 zWMmaxmax截面關于中性軸對稱截面關于中性軸對稱M彎矩彎矩 最大的截面最大的截面zW抗彎截面系數(shù)抗彎截面系數(shù) 最小的截面；最小的截面；危險截面的最上、下邊緣處。危險截面的最上、下邊緣處。（1）輪軸為塑性材料）輪軸為塑性材料,公式公式（1 1）計算簡圖）計算簡圖（2 2）繪彎矩圖）繪彎矩圖MFaFbFbB B截面，截面，C C截面截面（3）危險截面危險截面（4 4）強度校核）強度校

19、核B B截面：截面：zBBWMmaxzCCWMmaxC C截面：截面：（5 5）結論）結論MFaFbFb316. 0322675 .623231dFaMPa5 .413232dFbMPa4 .46313. 0321605 .62mmd1302.MPa60mm1601dm267. 0am16. 0b,kN5 .62F輪軸滿足強度條件輪軸滿足強度條件例例2 2：某車間欲安裝簡易吊車，大梁選用工字鋼。已知電葫蘆：某車間欲安裝簡易吊車，大梁選用工字鋼。已知電葫蘆材料的許用應力材料的許用應力MPa,140kN,7 . 61F,kN502F起重量起重量跨度跨度m,5 . 9l試選擇工字鋼的型號。試選擇工字

20、鋼的型號。自重自重分析分析（2 2）確定危險截面）確定危險截面（5 5）計算）計算maxM（6 6）計算）計算 ，選擇工字鋼型號，選擇工字鋼型號zW zWMmaxmax（3 3）截面為關于中性軸對稱）截面為關于中性軸對稱（1 1）簡化為力學模型）簡化為力學模型（4 4）應力計算公式）應力計算公式FFFkN,7 . 61F,kN502Fm,5 . 9l（1 1）計算簡圖）計算簡圖（2 2）繪彎矩圖）繪彎矩圖MFL/4 zWMmaxmax（3 3）危險截面）危險截面KNmM45 . 910)507 . 6(3max maxMWz3cm962（4 4）強度計算）強度計算（5 5）選擇工字鋼型號）選擇

21、工字鋼型號36c36c工字鋼工字鋼3cm962zWF=F1+F2MPa140例例3 3：T T型截面鑄鐵梁，截面尺寸如圖示。型截面鑄鐵梁，截面尺寸如圖示。試校核梁的強度。試校核梁的強度。 MPa,60,MPa30ct9KN1m1m4KN1mACB2080120205 5、作彎矩圖，確定危險截面、作彎矩圖，確定危險截面 ccttmax,max,6 6、確定危險點，進行強度校核、確定危險點，進行強度校核分析：分析：非對稱截面；非對稱截面；確定形心主軸位置；確定形心主軸位置；1、脆性材料，、脆性材料，2、尋找形心、尋找形心3、確定中性軸位置；、確定中性軸位置；4、計算圖形對中性軸的主慣性矩、計算圖形

22、對中性軸的主慣性矩危險截面與內力圖有關危險截面與內力圖有關mm522012020808020120102080cy（2 2）求截面對中性軸）求截面對中性軸z z的慣性矩的慣性矩1220803zI（1 1）求截面形心）求截面形心z152208012020yz2281202012120203242208046m1064. 7（4 4）確定危險截面）確定危險截面33,max64 1052 1027.2MPa7.64 10t33,max64 1088 1046.1MPa7.64 10c（3 3）求支反力，作彎矩圖）求支反力，作彎矩圖B B截面應力強度計算截面應力強度計算9KN1m1m4KN1mACBF

23、AFBFA=2.5KN2.5KNm4KNmMzIMy應用公式應用公式zc5288 t c MPa30tMPa,60c46m1064. 7zI（5 5）結論）結論C截面強度計算截面強度計算33,max62.5 1088 1028.8MPa7.64 10tzIMy應用公式應用公式zc5288 MPa30tMPa,60c46m1064. 7zI2.5KNm4KNmM9KN1m1m1mACBFAFB4KN t cMPac171064. 71052105 . 2633max,滿足強度條件滿足強度條件例例4：一簡支梁受力如圖所示。已知：一簡支梁受力如圖所示。已知 ，空心圓截面，空心圓截面的內外徑之比的內外

24、徑之比 ，試選擇截面直徑，試選擇截面直徑D；若外徑；若外徑D增加增加一倍，比值一倍，比值 不變，則載荷不變，則載荷 q 可增加到多大？可增加到多大？8 . 0DdMPa12L=4mABq=0.5KN/mzWMmax3 3、作彎矩圖，確定危險截面；、作彎矩圖，確定危險截面；分析：分析：對稱截面；對稱截面；1、塑性材料，、塑性材料，2、已知圖形對中性軸的主慣性矩、已知圖形對中性軸的主慣性矩5、公式、公式MPa124 4、確定危險點，進行強度校核、確定危險點，進行強度校核8 . 0DdMPa12L=4mABq=0.5KN/m1、求支座反力，并作彎矩圖、求支座反力，并作彎矩圖FAFBFA=FB=ql/

25、2M281qL2、確定危險截面、確定危險截面2max81qLMmN.100 . 13強度計算強度計算)1 (3243DWzmaxMmD113. 0若外徑若外徑D增加一倍，增加一倍，,226. 0mD 2max81qLMzW)1 (3243DmKNq.0 . 48 . 0DdMPa12zWM8 . 0Dd不變不變zWM例例5： 已知已知 材料的材料的 ，由，由M圖知：圖知： ，試校核其強度。，試校核其強度。mNM.102 . 15maxMPa7016281448單位：cmzIMymax5 5、確定危險點，進行強度校核、確定危險點，進行強度校核分析：分析：非對稱截面；非對稱截面；確定形心主軸位置；

26、確定形心主軸位置；1、塑性材料，、塑性材料，2、尋找形心、尋找形心3、確定中性軸位置；、確定中性軸位置；4、計算圖形對中性軸的主慣性矩、計算圖形對中性軸的主慣性矩MPa706、公式、公式（1 1）確定中性軸的位置）確定中性軸的位置1082628) 514(108141628cm13（2 2）計算截面對形心主軸的慣性矩）計算截面對形心主軸的慣性矩ASyzC16281448單位：cmzyzCy32816121zI31081212)1314(28162)1319(1018426200cm（4）正應力校核）正應力校核zIMymax所以結構安全。所以結構安全。問題：問題：若材料為鑄鐵，截面這樣放置是否合

27、理若材料為鑄鐵，截面這樣放置是否合理？mNM.102 . 15maxMPa7082510262001015102 . 1MPa65.68426200cmIz28zzCy1、已知、已知T型截面的慣性矩為型截面的慣性矩為IZC10-6m4，材料的，材料的許用拉應力為許用拉應力為t30MP，許用壓應力，許用壓應力c60MP，校核梁的強度。，校核梁的強度。3KN1m1m9KNm1mzc52882、AB梁為梁為10號工字鋼，在號工字鋼，在B點用圓桿支撐，點用圓桿支撐， BC桿的直徑為桿的直徑為D20毫米，梁與桿采用同種材料，毫米，梁與桿采用同種材料，許用應力為許用應力為160MP，求許用載荷？，求許用載

28、荷？q2m1mABC3、圖示中的梁由二根槽鋼組成，許用應力為、圖示中的梁由二根槽鋼組成，許用應力為120MP，選擇槽鋼的型號。，選擇槽鋼的型號。q=5KN/m3mM=7.5KNm4、矩形截面懸臂梁的跨度為、矩形截面懸臂梁的跨度為L4米，截面的高、寬比米，截面的高、寬比為為3：2，均布載荷的集度為，均布載荷的集度為10KN，許用應，許用應力為力為10MP，確定矩形截面的尺寸。，確定矩形截面的尺寸。bhq=10KN/m5、已知、已知T型截面的慣性矩為型截面的慣性矩為IZC21.7610-6m4，材，材料的許用拉應力料的許用拉應力t= 30MP，許用壓應力，許用壓應力c=60MP，設計載荷？，如果截

29、面倒置，設計載荷？，如果截面倒置？q4m2mzc601006、20工字鋼，許用應力為工字鋼，許用應力為160MP，求載，求載荷荷P。P1m1m1mP7、已知、已知T型截面的慣性矩為型截面的慣性矩為IZC10000cm4，材料，材料的許用拉應力為的許用拉應力為t40MP，許用壓應力，許用壓應力c160MP，h196.4，求力，求力P？。？。P2P1.4m0.6m250h18、許用應力為60MP，校核強度。10KNm30KNm1m1m1m60120120609 9、2525號槽鋼，許用應力為號槽鋼，許用應力為120MP120MP，求，求M M？，畫危險面的正應力的分布規(guī)律。？，畫危險面的正應力的分

30、布規(guī)律。2m3mM10、球墨鑄鐵材料，采用、球墨鑄鐵材料，采用T型截面，慣性矩為型截面，慣性矩為IZC30000cm4，畫危險面上的正應力的分布規(guī)律，并，畫危險面上的正應力的分布規(guī)律，并求梁內的最大拉應力、最大壓應力。求梁內的最大拉應力、最大壓應力。q=20KN/m4mM=20KNm1206011、已知、已知T型截面的慣性矩為型截面的慣性矩為IZC2010-6m4，材，材料的許用拉應力為料的許用拉應力為t32MP，許用壓應力，許用壓應力c75MP，校核強度。，校核強度。9KN1m4KN1m1mzc306012、AB梁的跨度為梁的跨度為L6米，當力米，當力P直接作用在梁直接作用在梁的中點時，梁的

31、最大正應力超過許用應力的的中點時，梁的最大正應力超過許用應力的30。為消除過載的影響，增加一輔助梁。為消除過載的影響，增加一輔助梁CD。求。求輔助梁的跨度？輔助梁的跨度？PaL13、在、在200200的矩形截面上左右對稱地挖去直的矩形截面上左右對稱地挖去直徑為徑為160的半圓。作梁的內力圖，并求梁內的的半圓。作梁的內力圖，并求梁內的最大正應力。最大正應力。5KN/m8KNm4m1m14、已知工字型截面梁的慣性矩為、已知工字型截面梁的慣性矩為IZC104cm4，材，材料的許用拉應力為料的許用拉應力為t40MP，許用壓應力，許用壓應力c100MP，y1=100mm，y2=220mm，L=1m，求，

32、求載荷集度載荷集度？zc21qLLqL22L15、槽形截面梁受力如圖，材料為鑄鐵。對本身截、槽形截面梁受力如圖，材料為鑄鐵。對本身截面形心軸的慣性矩為面形心軸的慣性矩為IZC=1.729109mm4，許用拉，許用拉應力為應力為t=40Mpa,許用壓應力為許用壓應力為C=80MPa，求，求梁的許可載荷梁的許可載荷P。P2P0.6m1.4mZC18331716、鑄鐵制成的槽形截面梁，、鑄鐵制成的槽形截面梁， 材料的材料的t=40MPa, C=150MPa, 對截面形心軸的慣性矩為對截面形心軸的慣性矩為IZ4010-6m4，y1=0.14m，y2=0.06m，校核梁的強度，校核梁的強度1m1m2mP

33、=30KNq=15N/my1y217、圖示結構，、圖示結構，AB為為T形鑄鐵梁，形鑄鐵梁，y1=140mm，y2=60mm，慣性矩為慣性矩為IZ4107毫米毫米4。CD為直徑為為直徑為d=30毫米的圓截面鋼毫米的圓截面鋼桿，載荷桿，載荷P可在梁上自由移動。已知可在梁上自由移動。已知AC2米，米，CB1米，鑄米，鑄鐵的許用拉應力為鐵的許用拉應力為 t=35MPa，許用壓應力為，許用壓應力為c=140MPa，鋼材的許用應力為鋼材的許用應力為=160MPa，確定系統(tǒng)的許可載荷，確定系統(tǒng)的許可載荷P。（不考慮（不考慮CD桿的穩(wěn)定性桿的穩(wěn)定性)PABCDy2y1ZC5-4 彎曲切應力彎曲切應力橫力彎曲橫

34、力彎曲橫截面上內力橫截面上內力 既有彎矩又有剪力；既有彎矩又有剪力；橫截面上應力橫截面上應力 既有正應力又有切應力。既有正應力又有切應力。切應力切應力分布規(guī)律和計算公式分布規(guī)律和計算公式FAFBFA=FB=PFsMPPPaPPaaLCA觀察觀察AC段內力段內力Fs=P =+=+常量常量+M線性規(guī)律上升線性規(guī)律上升橫截面上的切應力合成剪力橫截面上的切應力合成剪力橫截面上的剪力產(chǎn)生切應力橫截面上的剪力產(chǎn)生切應力關于切應力的兩點假設關于切應力的兩點假設目標：目標：距離中性軸為距離中性軸為y的直線上各點切應力計算公式的直線上各點切應力計算公式?y距中性軸等遠距中性軸等遠的各點處切應的各點處切應力大小相

35、等力大小相等。1、在、在AC 段取長為段取長為dx的微段的微段FsMPPPa2、分析微段上的應力、分析微段上的應力zIMy1zIydMM)(23、切開微段分析、切開微段分析4、分析微段的平衡條件、分析微段的平衡條件0)(12sFFFdAFA1225、計算右側截面正應力形成的合力、計算右側截面正應力形成的合力11)(AzdAIydMM11)(AzdAyIdMM*)(ZSIdMMz同理同理*1ZSIMFzzbISdxdMZ*6、微元體的平衡方程、微元體的平衡方程012bdxFF*2)(ZSIdMMFz*1ZSIMFz0* bdxSIdMZzzsbISFZ*zsbISFZ*距離中性軸為距離中性軸為y

36、 y的直的直線上點的切應力計線上點的切應力計算公式算公式7、切應力計算公式、切應力計算公式zsybISFZ*zsybISFZ*各項的物理意義各項的物理意義1、Fs欲求切應力的點所在截面的剪力；欲求切應力的點所在截面的剪力；2、Iz欲求切應力的點所在截面對中欲求切應力的點所在截面對中性軸的慣性矩；性軸的慣性矩；3、b欲求切應力的欲求切應力的點處截面的寬度點處截面的寬度；4、Sz*橫截面上距離中性軸為橫截面上距離中性軸為y y的的橫線以外部分橫線以外部分的面積的面積A A1 1對中性軸的靜矩。對中性軸的靜矩。16281448208012020AFS23 8、切應力分布規(guī)律、切應力分布規(guī)律max切應

37、力沿截面高度按切應力沿截面高度按拋物線拋物線規(guī)律變化。規(guī)律變化。中性軸處中性軸處最大正應力所最大正應力所在的點在的點工字形截面梁切應力沿高度的分布規(guī)律工字形截面梁切應力沿高度的分布規(guī)律maxzsybISFZ*計算公式計算公式切應力危險點切應力危險點中性軸處中性軸處fsAFmax最大切應力最大切應力腹板上的切應力呈拋物線變化；腹板上的切應力呈拋物線變化；腹板部分的切應力合力占總剪力的腹板部分的切應力合力占總剪力的9597%9597%。工字形截面的翼緣工字形截面的翼緣)(z翼緣部分的水平切應力沿翼緣翼緣部分的水平切應力沿翼緣寬度按寬度按直線規(guī)律直線規(guī)律變化；變化；翼緣部分的切應力強度計算時一般不予

38、考慮。翼緣部分的切應力強度計算時一般不予考慮。并與腹板部分的豎向剪力并與腹板部分的豎向剪力形成形成“剪應力流剪應力流” 。)( ysFT形截面梁切應力沿高度的分布規(guī)律形截面梁切應力沿高度的分布規(guī)律zsybISFZ*計算公式計算公式切應力危險點切應力危險點中性軸處中性軸處max圓形截面梁切應力沿高度的分布規(guī)律圓形截面梁切應力沿高度的分布規(guī)律zsybISFZ*計算公式計算公式切應力危險點切應力危險點中性軸處中性軸處maxAFs34max最大切應力最大切應力2 2、橫截面上同一高度各點的切應力匯交于一點、橫截面上同一高度各點的切應力匯交于一點3 3、豎直分量沿截面寬度相等，沿高度呈拋物線規(guī)律變化、豎

39、直分量沿截面寬度相等，沿高度呈拋物線規(guī)律變化1 1、在截面邊緣上各點的切應力的方向與圓周相切。、在截面邊緣上各點的切應力的方向與圓周相切。 max= 2.0FsA圓環(huán)截面的最大切應力圓環(huán)截面的最大切應力zymaxsF切應力的危險點切應力的危險點能否說：能否說：“切應力的最大值一定發(fā)生在中性軸上切應力的最大值一定發(fā)生在中性軸上”？當中性軸附近有尺寸突變時當中性軸附近有尺寸突變時最大切應力不發(fā)生在中性軸上；最大切應力不發(fā)生在中性軸上；當中性軸附近有沒有尺寸突變時當中性軸附近有沒有尺寸突變時 最大切應力最大切應力發(fā)生在中性軸發(fā)生在中性軸上；上；切應力強度條件切應力強度條件)(maxmax,maxzz

40、SbISF對于等寬度截面，對于等寬度截面， 發(fā)生在中性軸上；發(fā)生在中性軸上；max在進行梁的強度計算時，需注意以下問題在進行梁的強度計算時，需注意以下問題：（1 1）對于細長梁的彎曲變形，正應力的強度條件是主要的，剪應）對于細長梁的彎曲變形，正應力的強度條件是主要的，剪應 力的強度條件是次要的。力的強度條件是次要的。max對于寬度變化的截面，對于寬度變化的截面， 不一定不一定發(fā)生在中性軸上。發(fā)生在中性軸上。一般情況下，一般情況下，以正應力設計為主，以正應力設計為主， 切應力校核為輔；切應力校核為輔；(2) 對于對于較粗短較粗短的梁，當?shù)牧?，當集中力較大集中力較大時，時，注意注意(4) 薄壁截面

41、梁薄壁截面梁時，也需要校核切應力。時，也需要校核切應力。截面上的剪力較大，需要校核切應力強度條件。截面上的剪力較大，需要校核切應力強度條件。(3) 載荷離支座較近載荷離支座較近時，時， 截面上的剪力較大；截面上的剪力較大；(5) 木梁順紋木梁順紋方向，抗剪能力較差方向，抗剪能力較差;(6) 工字形工字形截面梁，要進行切應力校核截面梁，要進行切應力校核;注意注意例題例題1 1：懸臂梁由三塊木板粘接而成?？缍葹椋簯冶哿河扇龎K木板粘接而成?？缍葹? 1m m。膠合膠合面的許可切應力為面的許可切應力為0.340.34MPaMPa，木材的木材的= 10 MPa= 10 MPa， =1MPa=1MPa，求

42、許可載荷求許可載荷F F。100505050lFzWMmaxmax1.1.畫梁的剪力圖和彎矩圖畫梁的剪力圖和彎矩圖2.2.按正應力強度條件計算許可載荷按正應力強度條件計算許可載荷 lbhF621AFS2/3max3.3.按切應力強度條件計算許可載荷按切應力強度條件計算許可載荷 kN013/22bhFxFsxMFFLF 216bhlF3.75kN bhF2/32 gZZSbISF*g4.4.按膠合面強度條件計算許按膠合面強度條件計算許可載荷可載荷 3.825kN3F5.5.梁的許可載荷為梁的許可載荷為 minminkN825. 3kN10kN75. 3iFF 100505050 xFsxMFFL

43、F gbbhF12505010033 3.75kNF例例2鑄鐵梁的截面為鑄鐵梁的截面為T字形，受力如圖。已知材料許用拉應力字形，受力如圖。已知材料許用拉應力為為 ，許用壓應力為，許用壓應力為 ， 。試校核梁的正應力強度和剪應力強度。若將梁的截面倒置，情試校核梁的正應力強度和剪應力強度。若將梁的截面倒置，情況又如何？況又如何？MPa35MPa100MPa40AB2m1m3mP=20KNCDq=10KN/m20030200302003020030(a) (a) 確定中性軸的位置確定中性軸的位置2320102035 .21203ASyzCcm75.1546013 cm23)1075.15(20320

44、3121zI23 5 . 1)75.1520(320320121(c) (c) 最大靜矩：最大靜矩：88. 775.153max,zS3372 cmzzC(b) 計算圖形對形心主軸的慣性矩計算圖形對形心主軸的慣性矩(1) 平面圖形幾何性質計算平面圖形幾何性質計算157.5（2 2）繪剪力圖、彎矩圖）繪剪力圖、彎矩圖計算約束反力：計算約束反力：,30KNFAy,10KNFByAB2m1m3mCDP=20KNq=10KN/mFAyFBy作內力圖作內力圖FsM10KN10KN.m20KN.m20KN10KN（3 3）正應力強度計算）正應力強度計算對于對于A A截面：截面：z82max10013. 6

45、10) 325. 4()(AAMMPa1 .2482max10013. 61075.15)(AAMMPa4 .52P=20KNq=10KN/mFAyFByFs10KN20KN10KNM10KN.m20KN.m20030zC157.546013 cmIzMPa100MPa40（3 3）正應力強度計算）正應力強度計算對于對于D D截面：截面：zP=20KNq=10KN/mFAyFByFs10KN20KN10KNM10KN.m20KN.m20030zC157.546013 cmIzMPa100MPa4082max10013. 61075.15)(DDMMPa2 .2682max10013. 6102

46、5. 7)(DDMMPa12MpaMPaD402 .26)(maxmaxMpaMPaD1004 .52)(maxmax正應力強度足夠正應力強度足夠。結論結論（4 4）切應力強度校核）切應力強度校核在在A A截面左側：截面左側：zzSbISFmax,max,max56310013. 603. 0103721020MPa12. 4切應力強度足夠切應力強度足夠。P=20KNq=10KN/mFAyFByFs10KN20KN10KNM10KN.m20KN.m20030zC157.546013 cmIz3372cmSzMPa35危險截面危險截面計算公式計算公式（5 5）若將梁的截面倒置）若將梁的截面倒置此

47、時強度不足會導致破壞。此時強度不足會導致破壞。yczzcyP=20KNq=10KN/mFAyFByFs10KN20KN10KNM10KN.m20KN.mz82max10013. 61075.15)(AAMMPa4 .52MPa401、求圖示梁上、求圖示梁上1-1截面上、二點的切應力，截面上、二點的切應力，及梁內最大的切應力。及梁內最大的切應力。101.2m1m1m1-1P=8KN40ab2、求圖示梁內最大正應力、最大切應力，并畫、求圖示梁內最大正應力、最大切應力，并畫出正應力與切應力的分布規(guī)律。出正應力與切應力的分布規(guī)律。q=10KN/m1mD=503、矩形截面簡支梁由三根寬為、矩形截面簡支梁

48、由三根寬為150、高為、高為60的矩形的矩形板膠合而成。已知膠合面上的許用剪應力為板膠合而成。已知膠合面上的許用剪應力為 膠合膠合0.5MP，梁的許用應力為：，梁的許用應力為：10MP， 2MP。校核梁的強度。校核梁的強度。q=2KN/m2m1506060604、矩形截面簡支梁、矩形截面簡支梁24100，許用剪應，許用剪應力為力為60MP，校核梁的剪切強度。，校核梁的剪切強度。P=10KN5m5mbh5、P200KN，均布載荷的集度為，均布載荷的集度為q=10KN/m，梁的，梁的跨度為跨度為L2米，集中力到支座的距離米，集中力到支座的距離a0.2米。米。梁的許用應力為：梁的許用應力為：160M

49、P， 100MP，選擇工字鋼型號。選擇工字鋼型號。q=10KN/mPPaaL6、矩形截面簡支梁、矩形截面簡支梁24100，梁的許用，梁的許用應力為：應力為：120MP，許用剪應力為，許用剪應力為 100MP，校核梁的強度。，校核梁的強度。2m2m2mq=1KN/mP=4KN241007、矩形截面簡支梁，高：寬、矩形截面簡支梁，高：寬3：2，梁的許用，梁的許用應力為：應力為：8MP， 0.7MP，設計矩，設計矩形截面的尺寸、。形截面的尺寸、。hbq=2KN/m1mP=4KN1m8、矩形截面簡支梁，寬、矩形截面簡支梁，寬50，高，高160，梁的，梁的許用應力為：許用應力為：MP， 1MP，求，求梁

50、的許可載荷。梁的許可載荷。hb1m5-6 5-6 提高彎曲強度的措施提高彎曲強度的措施ZmaxmaxWM max maxMmaxzzyI W zI zW11、合理布置支座、合理布置支座一、一、 降低降低 Mmax 22、合理布置載荷、合理布置載荷降低降低 Mmax FL/65FL/36安裝齒輪安裝齒輪靠近軸承一側；靠近軸承一側；33、集中力分散、集中力分散降低降低 Mmax F二、梁的合理截面二、梁的合理截面maxyIWzzdAyIz2ZmaxmaxWM增大抗彎截面系數(shù)增大抗彎截面系數(shù)y截面面積幾乎不變的情況下，截面面積幾乎不變的情況下，截面的大部分分布在截面的大部分分布在遠離中性軸遠離中性軸

51、的區(qū)域的區(qū)域1、合理設計截面合理設計截面抗彎截面系數(shù)抗彎截面系數(shù)WWZ Z越大、橫截面面積越大、橫截面面積A A越小，越小，截面越合理。截面越合理。AWz來衡量截面的經(jīng)濟性與合理性來衡量截面的經(jīng)濟性與合理性合理截面合理截面合理截面合理截面伽利略伽利略16381638年年關于兩種新科學的對話和證明關于兩種新科學的對話和證明“空心梁能大大提高強度，而無須增加重量，空心梁能大大提高強度，而無須增加重量，所以在技術上得到廣泛應用。所以在技術上得到廣泛應用。在自然界就更為普遍了，在自然界就更為普遍了，這樣的例子在這樣的例子在鳥類的骨骼鳥類的骨骼和各種和各種蘆葦蘆葦中可以看到，中可以看到，它們它們既輕巧既輕巧而又而又對彎曲和斷裂具有相當高的抵抗能力對彎曲和斷裂具有相當高的抵抗能力?！熬匦谓孛嬷行暂S附近的材料未充矩形截面中性軸附近的材料未充分利用，工字形截面更合理。分利用，工字形截面更合理。根據(jù)應力分布的規(guī)律：根據(jù)應力分布的規(guī)律：解釋解釋z合理截面合理截面合理截面要求上下危險點同時達到各自的許用應力。合理截面要求上下危險點同時達到各