小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(六年級(jí))目30講(附答案)(全)

1、小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級(jí)）- 1 -小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程 ( 六年級(jí) )第 1 講 比較分?jǐn)?shù)的大小第 2 講 巧求分?jǐn)?shù)第 3 講 分?jǐn)?shù)運(yùn)算的技巧第 4 講 循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)第 5 講 工程問(wèn)題 ( 一 )第 6 講 工程問(wèn)題 ( 二 )第 7 講 巧用單位“ 1”第 8 講 比和比例第 9 講 百分?jǐn)?shù)第 10 講 商業(yè)中的數(shù)學(xué)第 11 講 圓與扇形第 12 講 圓柱與圓錐第 13 講 立體圖形 ( 一)第 14 講 立體圖形 ( 二)第 15 講 棋盤(pán)的覆蓋第 16 講 找規(guī)律第 17 講 操作問(wèn)題第 18 講 取整計(jì)算第 19 講 近似值與估算第 20 講 數(shù)值代入法第 21 講 枚舉法第 22

2、講 列表法第 23 講 圖解法第 24 講 時(shí)鐘問(wèn)題第 25 講 時(shí)間問(wèn)題第 26 講 牛吃草問(wèn)題第 27 講 運(yùn)籌學(xué)初步（一）第 28 講 運(yùn)籌學(xué)初步（二）第 29 講 運(yùn)籌學(xué)初步（三）第 30 講 趣題巧解- 1 -小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級(jí)）- 2 -第一講比較分?jǐn)?shù)的大小同學(xué)們從一開(kāi)始接觸數(shù)學(xué)，就有比較數(shù)的大小問(wèn)題。比較整數(shù)、小數(shù)的大小的方法比較簡(jiǎn)單，而比較分?jǐn)?shù)的大小就不那么簡(jiǎn)單了，因此也就產(chǎn)生了多種多樣的方法。對(duì)于兩個(gè)不同的分?jǐn)?shù)，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三種情況，其中前兩種情況判別大小的方法是：分母相同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，分子大的那個(gè)分?jǐn)?shù)比較大；分子相同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，分母大的那個(gè)

3、分?jǐn)?shù)比較小。第三種情況，即分子、分母都不同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，通常是采用通分的方法，使它們的分母相同，化為第一種情況，再比較大小。由于要比較的分?jǐn)?shù)千差萬(wàn)別，所以通分的方法不一定是最簡(jiǎn)捷的。下面我們介紹另外幾種方法。1. “通分子”。當(dāng)兩個(gè)已知分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)比較大，而分子的最小公倍數(shù)比較小時(shí)，可以把它們化成同分子的分?jǐn)?shù)，再比較大小，這種方法比通分的方法簡(jiǎn)便。如果我們把課本里的通分稱為“通分母”，那么這里講的方法可以稱為“通分子”。2. 化為小數(shù)。這種方法對(duì)任意的分?jǐn)?shù)都適用，因此也叫萬(wàn)能方法。但在比較大小時(shí)是否簡(jiǎn)便，就要看具體情況了。3. 先約分，后比較。有時(shí)已知分?jǐn)?shù)不是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，可以先約分。4.

4、 根據(jù)倒數(shù)比較大小。5. 若兩個(gè)真分?jǐn)?shù)的分母與分子的差相等、 則分母（子）大的分?jǐn)?shù)較大； 若兩個(gè)假分?jǐn)?shù)的分子與分母的差相等， 則分母（子）小的分?jǐn)?shù)較大。也就是說(shuō)，6. 借助第三個(gè)數(shù)進(jìn)行比較。有以下幾種情況：（ 1）對(duì)于分?jǐn)?shù) m和 n，若 mk ， kn，則 mn。- 2 -小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級(jí)）- 3 -（ 2）對(duì)于分?jǐn)?shù)m和 n，若 m-k n-k ，則 m n。前一個(gè)差比較小，所以mn。（ 3）對(duì)于分?jǐn)?shù)m和 n，若 k-m k-n ，則 m n。注意，（ 2）與（ 3）的差別在于，（2）中借助的數(shù)k 小于原來(lái)的兩個(gè)分?jǐn)?shù)m和 n；（ 3）中借助的數(shù)k 大于原來(lái)的兩個(gè)分?jǐn)?shù)m和 n。（ 4）把

5、兩個(gè)已知分?jǐn)?shù)的分母、分子分別相加，得到一個(gè)新分?jǐn)?shù)。新分?jǐn)?shù)一定介于兩個(gè)已知分?jǐn)?shù)之間，即比其中一個(gè)分?jǐn)?shù)大，比另一個(gè)分?jǐn)?shù)小。利用這一點(diǎn)， 當(dāng)兩個(gè)已知分?jǐn)?shù)不容易比較大小，新分?jǐn)?shù)與其中一個(gè)已知分?jǐn)?shù)容易比較大小時(shí)，就可以借助于這個(gè)新分?jǐn)?shù)。比較分?jǐn)?shù)大小的方法還有很多，同學(xué)們可以在學(xué)習(xí)中不斷發(fā)現(xiàn)總結(jié)，但無(wú)論哪種方法，均來(lái)源于：“分母相同，分子大的分?jǐn)?shù)大；分子相同，分母小的分?jǐn)?shù)大”這一基本方法。練習(xí) 11. 比較下列各組分?jǐn)?shù)的大?。捍鸢概c提示 練習(xí) 1- 3 -小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級(jí)）- 4 -第二講巧求分?jǐn)?shù)我們經(jīng)常會(huì)遇到一些分?jǐn)?shù)的分子、分母發(fā)生變化的題目，例如分子或分母加、減某數(shù)，或分子與分母同時(shí)加、減某數(shù)

6、，或分子、分母分別加、減不同的數(shù)，得到一個(gè)新分?jǐn)?shù)，求加、減的數(shù)，或求原來(lái)的分?jǐn)?shù)。這類題目變化很多，因此解法也不盡相同。數(shù)。分析：若把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母調(diào)換位置，原題中的分母加、減1 就變成分子加、減1，這樣就可以用例1 求平均數(shù)的方法求出分子、分母調(diào)換位置后的分?jǐn)?shù)，再求倒數(shù)即可。個(gè)分?jǐn)?shù)。分析與解： 因?yàn)榧由虾蜏p去的數(shù)不同，所以不能用求平均數(shù)的方法求解。，這個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？分析與解： 如果把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母調(diào)換位置，問(wèn)題就變?yōu)椋哼@個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？于是與例3 類似，可以求出在例 1例 4 中，兩次改變的都是分子，或都是分母，如果分子、分母同時(shí)變化，那么會(huì)怎樣呢？- 4 -小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級(jí)

7、）- 5 -數(shù) a。分析與解： 分子減去 a，分母加上 a，（約分前） 分子與分母之和不變，等于 29+43=72。約分后的分子與分母之和變?yōu)?+5=8，所以分子、分母約掉45-43=2 。求這個(gè)自然數(shù)。同一個(gè)自然數(shù)，得到的新分?jǐn)?shù)如果不約分，那么差還是45，新分?jǐn)?shù)約分后變例 7 一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母之和是23，分母增加19 后得到一個(gè)新分?jǐn)?shù)，分子與分母的和是1+5=6，是由新分?jǐn)?shù)的分子、分母同時(shí)除以426=7 得到分析與解： 分子加 10，等于分子增加了105=2（倍），為保持分?jǐn)?shù)的大小不變，分母也應(yīng)增加相同的倍數(shù)，所以分母應(yīng)加8 2=16。在例 8 中，分母應(yīng)加的數(shù)是在例 9 中，分子應(yīng)加的

8、數(shù)是由此，我們得到解答例8、例 9 這類分?jǐn)?shù)問(wèn)題的公式：分子應(yīng)加（減）的數(shù)=分母所加（減）的數(shù)原分?jǐn)?shù)；分母應(yīng)加（減）的數(shù)=分子所加（減）的數(shù)原分?jǐn)?shù)。- 5 -小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級(jí)）- 6 -分析與解： 這道題的分子、分母分別加、減不同的數(shù)，可以說(shuō)是這類題中最難的，我們用設(shè)未知數(shù)列方程的方法解答。（ 2x+2） 3=（x+5 ） 4，6x+6=4x+20，2x=14，x=7。練習(xí) 2是多少？答案與提示 練習(xí) 2- 6 -小學(xué)奧數(shù)基 教程（六年 ）- 7 -5.5 。解： (53+79) (4+7)=12 ， a=53-4 12=5。6.13 。解：（ 67-22 ）（ 16-7 ） =5，

9、7 5-22=13 。解： 分子 x，根據(jù)分母可列方程第三 分?jǐn)?shù)運(yùn)算的技巧 于分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算， 除了掌握常 的四 運(yùn)算法 外， 掌握一些特殊的運(yùn)算技巧， 才能提高運(yùn)算速度，解答 的 。1. 湊整法與整數(shù)運(yùn)算中的“湊整法”相同，在分?jǐn)?shù)運(yùn)算中，充分利用四 運(yùn)算法 和運(yùn)算律（如交 律、 合律、分配律），使部分的和、差、 、商成 整數(shù)、整十?dāng)?shù)從而使運(yùn)算得到 化。2. 分法- 7 -小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級(jí)）- 8 -3. 裂項(xiàng)法若能將每個(gè)分?jǐn)?shù)都分解成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之差，并且使中間的分?jǐn)?shù)相互抵消，則能大大簡(jiǎn)化運(yùn)算。例 7 在自然數(shù)1 100 中找出 10 個(gè)不同的數(shù)，使這10 個(gè)數(shù)的倒數(shù)的和等于1。分析與解：

10、 這道題看上去比較復(fù)雜，要求10 個(gè)分子為1，而分母不同的就非常簡(jiǎn)單了。- 8 -小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級(jí)）- 9 -括號(hào)。此題要求的是10 個(gè)數(shù)的倒數(shù)和為1，于是做成：所求的 10 個(gè)數(shù)是 2，6， 12， 20， 30， 42， 56， 72， 90， 10。的 10 和 30，仍是符合題意的解。4. 代數(shù)法5. 分組法分析與解： 利用加法交換律和結(jié)合律，先將同分母的分?jǐn)?shù)相加。分母為n 的分?jǐn)?shù)之和為原式中分母為220 的分?jǐn)?shù)之和依次為練習(xí) 3- 9 -小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級(jí)）- 10 -8. 在自然數(shù) 160 中找出 8 個(gè)不同的數(shù)，使這8 個(gè)數(shù)的倒數(shù)之和等于1。答案與提示練習(xí) 31.3

11、 。8.2 ，6， 8 ， 12 ， 20 ， 30 ， 42 ， 56 。- 10 -小學(xué)奧數(shù)基 教程（六年 ）- 11 -9.5680 。解：從前向后，分子與分母之和等于2 的有 1 個(gè)，等于 3 的有 2 個(gè)，等于 4 的有 3個(gè)人一般地，分子與分母之和等于 n 的有 (n-1) 個(gè)。分子與分母之和小于 9+99=108 的有 1+2+3+106=5671（個(gè)）5671+9=5680（個(gè)）。第四 循 小數(shù)與分?jǐn)?shù)任何分?jǐn)?shù)化 小數(shù)只有兩種 果，或者是有限小數(shù)， 或者是循 小數(shù)， 而循 小數(shù)又分 循 小數(shù)和混循 小數(shù)兩 。那么，什么 的分?jǐn)?shù)能化成有限小數(shù)？什么 的分?jǐn)?shù)能化成 循 小數(shù)、混循 小

12、數(shù)呢？我 先看下面的分?jǐn)?shù)。（ 1）中的分?jǐn)?shù)都化成了有限小數(shù)，其分?jǐn)?shù)的分母只有 因數(shù)2 和 5，化因 40=23 5，含有 3 個(gè) 2， 1 個(gè) 5，所以化成的小數(shù)有三位。（ 2）中的分?jǐn)?shù)都化成了 循 小數(shù)，其分?jǐn)?shù)的分母沒(méi)有 因數(shù)2和 5。（ 3）中的分?jǐn)?shù)都化成了混循 小數(shù)，其分?jǐn)?shù)的分母中既含有 因數(shù)2或 5，又含有2 和 5 以外的 因數(shù)，化成的混循 小數(shù)中的不循 部分的位數(shù)與5，所以化成混循 小數(shù)中的不循 部分有兩位。于是我 得到 ：一個(gè)最 分?jǐn)?shù)化 小數(shù)有三種情況：（1）如果分母只含有 因數(shù)2 和 5，那么 個(gè)分?jǐn)?shù)一定能化成有限小數(shù)，并且小數(shù)部分的位數(shù)等于分母中 因數(shù)2 與5 中個(gè)數(shù) 多的那

13、個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)；（ 2）如果分母中只含有 2 與 5 以外的 因數(shù)，那么 個(gè)分?jǐn)?shù)一定能化成 循 小數(shù)；（ 3）如果分母中既含有 因數(shù) 2 或 5，又含有 2 與 5 以外的 因數(shù)，那么 個(gè)分?jǐn)?shù)一定能化成混循 小數(shù)，并且不循 部分的位數(shù)等于分母中 因數(shù)2 與 5 中個(gè)數(shù) 多的那個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)。例 1 判斷下列分?jǐn)?shù)中， 哪些能化成有限小數(shù)、 循 小數(shù)、 混循 小數(shù)？能化成有限小數(shù)的，小數(shù)部分有幾位？能化成混循 小數(shù)的，不循 部分有幾位？分析與解： 上述分?jǐn)?shù)都是最 分?jǐn)?shù)，并且32=25，21=37，250=253 ，78=2 313，117=33 13，850=252 17，根據(jù)上面的 ，得到：- 11 -

14、小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級(jí)）- 12 -不循環(huán)部分有兩位。將分?jǐn)?shù)化為小數(shù)是非常簡(jiǎn)單的。反過(guò)來(lái)， 將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，同學(xué)們可能比較熟悉將有限小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法，而對(duì)將循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法就不一定清楚了。我們分純循環(huán)小數(shù)和混循環(huán)小數(shù)兩種情況，講解將循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法。1. 將純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)。將上兩式相減，得將上兩式相減，得從例 2、例 3 可以總結(jié)出將純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法。純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法：分?jǐn)?shù)的分子是一個(gè)循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的數(shù)，分母的各位數(shù)都是9，9 的個(gè)數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同。2. 將混循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)。將上兩式相減，得將上兩式相減，得從例 4、例 5 可以總結(jié)出將混循環(huán)小數(shù)化成

15、分?jǐn)?shù)的方法?；煅h(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法：分?jǐn)?shù)的分子是小數(shù)點(diǎn)后面第一個(gè)數(shù)字到第一個(gè)循環(huán)節(jié)的末位數(shù)字所組成的數(shù)，減去不循環(huán)數(shù)字所組成的數(shù)所得的差；分母的頭幾位數(shù)字是9，末幾位數(shù)字都是0，其中 9 的個(gè)數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，0 的個(gè)數(shù)與不循環(huán)部分的位數(shù)相同。掌握了將循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的方法后，就可以正確地進(jìn)行循環(huán)小數(shù)的運(yùn)算了。- 12 -小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級(jí)）- 13 -例 6 計(jì)算下列各式：練習(xí) 41. 下列各式中哪些不正確？為什么？2. 劃去小數(shù) 0.27483619 后面的若干位，再添上表示循環(huán)節(jié)的兩個(gè)圓點(diǎn)，得到一個(gè)循環(huán)小數(shù)，例如0.274836 。請(qǐng)找出這樣的小數(shù)中最大的與最小的。3. 將下

16、列純循環(huán)小數(shù)化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)：4. 將下列混循環(huán)小數(shù)化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)：5. 計(jì)算下列各式：答案與提示練習(xí) 41.（1）（3（） 4）不正確。第五講工程問(wèn)題（一）顧名思義， 工程問(wèn)題指的是與工程建造有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。其實(shí)，這類題目的內(nèi)容已不僅僅是工程方面的問(wèn)題，也括行路、水管注水等許多內(nèi)容。在分析解答工程問(wèn)題時(shí)，一般常用的數(shù)量關(guān)系式是：- 13 -小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級(jí)）- 14 -工作量 =工作效率工作時(shí)間，工作時(shí)間 =工作量工作效率，工作效率 =工作量工作時(shí)間。工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用數(shù)1 表示，也可工作效率指的是干工作的快慢，其意義是單位時(shí)間里所干的工作量。單位時(shí)間的選取

17、，根據(jù)題目需要，可以是天，也可以是時(shí)、分、秒等。工作效率的單位是一個(gè)復(fù)合單位，表示成“工作量 / 天”，或“工作量 / 時(shí)”等。但在不引起誤會(huì)的情況下，一般不寫(xiě)工作效率的單位。例 1 單獨(dú)干某項(xiàng)工程，甲隊(duì)需100 天完成，乙隊(duì)需150 天完成。甲、乙兩隊(duì)合干50 天后，剩下的工程乙隊(duì)干還需多少天？分析與解： 以全部工程量為單位1。甲隊(duì)單獨(dú)干需100 天，甲的工作效例 2 某項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需 36 天完成，乙單獨(dú)做需 45 天完成。如果開(kāi)工時(shí)甲、乙兩隊(duì)合做，中途甲隊(duì)退出轉(zhuǎn)做新的工程，那么乙隊(duì)又做了 18 天才完成任務(wù)。問(wèn)：甲隊(duì)干了多少天？分析： 將題目的條件倒過(guò)來(lái)想，變?yōu)椤耙谊?duì)先干 18 天，

18、后面的工作甲、乙兩隊(duì)合干需多少天？”這樣一來(lái)，問(wèn)題就簡(jiǎn)單多了。答：甲隊(duì)干了12 天。例 3 單獨(dú)完成某工程，甲隊(duì)需 10 天，乙隊(duì)需 15 天，丙隊(duì)需 20 天。開(kāi)始三個(gè)隊(duì)一起干，因工作需要甲隊(duì)中途撤走了，結(jié)果一共用了 6 天完成這一工程。問(wèn)：甲隊(duì)實(shí)際工作了幾天？分析與解： 乙、丙兩隊(duì)自始至終工作了6 天，去掉乙、丙兩隊(duì)6 天的工作量，剩下的是甲隊(duì)干的，所以甲隊(duì)實(shí)際工作了例 4 一批零件，張師傅獨(dú)做20 時(shí)完成，王師傅獨(dú)做30 時(shí)完成。如果兩人同時(shí)做，那么完成任務(wù)時(shí)張師傅比王師傅多做 60 個(gè)零件。這批零件共有多少個(gè)？分析與解： 這道題可以分三步。首先求出兩人合作完成需要的時(shí)間，- 14 -小

19、學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級(jí)）- 15 -例 5 一水池裝有一個(gè)放水管和一個(gè)排水管，單開(kāi)放水管5 時(shí)可將空池灌滿，單開(kāi)排水管7 時(shí)可將滿池水排完。如果一開(kāi)始是空池，打開(kāi)放水管1 時(shí)后又打開(kāi)排水管，那么再過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間池內(nèi)將積有半池水例 6 甲、乙二人同時(shí)從兩地出發(fā)，相向而行。走完全程甲需60 分鐘，乙需40 分鐘。出發(fā)后5 分鐘，甲因忘帶東西而返回出發(fā)點(diǎn)，取東西又耽誤了5 分鐘。甲再出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間兩人相遇？分析：這道題看起來(lái)像行程問(wèn)題，但是既沒(méi)有路程又沒(méi)有速度，所以不能用時(shí)間、路程、速度三者的關(guān)系來(lái)解答。甲出發(fā) 5 分鐘后返回，路上耽誤 10 分鐘，再加上取東西的 5 分鐘，等于比乙晚出發(fā) 15 分鐘。

20、我們將題目改述一下：完成一件工作，甲需 60 分鐘，乙需 40 分鐘，乙先干 15 分鐘后，甲、乙合干還需多少時(shí)間？由此看出，這道題應(yīng)該用工程問(wèn)題的解法來(lái)解答。答：甲再出發(fā)后15 分鐘兩人相遇。練習(xí) 51. 某工程甲單獨(dú)干 10 天完成，乙單獨(dú)干 15 天完成，他們合干多少天才可完成工程的一半？2. 某工程甲隊(duì)單獨(dú)做需48 天，乙隊(duì)單獨(dú)做需36 天。甲隊(duì)先干了6 天后轉(zhuǎn)交給乙隊(duì)干，后來(lái)甲隊(duì)重新回來(lái)與乙隊(duì)一起干了 10 天，將工程做完。求乙隊(duì)在中間單獨(dú)工作的天數(shù)。3. 一條水渠，甲、乙兩隊(duì)合挖需 30 天完工?，F(xiàn)在合挖 12 天后，剩下的乙隊(duì)單獨(dú)又挖了 24 天挖完。這條水渠由甲隊(duì)單獨(dú)挖需多少天

21、？則完成任務(wù)時(shí)乙比甲多植50 棵。這批樹(shù)共有多少棵？5. 修一段公路，甲隊(duì)獨(dú)做要用40 天，乙隊(duì)獨(dú)做要用24 天。現(xiàn)在兩隊(duì)同時(shí)從兩端開(kāi)工，結(jié)果在距中點(diǎn)750 米處相遇。這段公路長(zhǎng)多少米？6. 蓄水池有甲、乙兩個(gè)進(jìn)水管，單開(kāi)甲管需 18 時(shí)注滿，單開(kāi)乙管需 24 時(shí)注滿。如果要求 12 時(shí)注滿水池，那么甲、乙兩管至少要合開(kāi)多長(zhǎng)時(shí)間？7. 兩列火車(chē)從甲、乙兩地相向而行，慢車(chē)從甲地到乙地需8 時(shí)，比快車(chē)從40 千米。求甲、乙兩地的距離。答案與提示練習(xí) 52.14 天。- 15 -小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級(jí)）- 16 -3.120 天。4.350 棵。5.6000 米。6.8 時(shí)。提示：甲管12 時(shí)都開(kāi)

22、著，乙管開(kāi)7.280 千米。第六講工程問(wèn)題（二）上一講我們講述的是已知工作效率的較簡(jiǎn)單的工程問(wèn)題。只要我們靈活運(yùn)用基本的分析方法，問(wèn)題也不難解決。例 1 一項(xiàng)工程，如果甲先做5 天，那么乙接著做在較復(fù)雜的工程問(wèn)題中，工作效率往往隱藏在題目條件里，這時(shí)，20 天可完成；如果甲先做20 天，那么乙接著做8 天可完成。如果甲、乙合做，那么多少天可以完成？分析與解： 本題沒(méi)有直接給出工作效率，為了求出甲、乙的工作效率，我們先畫(huà)出示意圖：從上圖可直觀地看出：甲 15 天的工作量和乙12 天的工作量相等， 即甲 5 天的工作量等于乙4 天的工作量。 于是可用“乙工作 4 天”等量替換題中“甲工作5 天”這

23、一條件，通過(guò)此替換可知乙單獨(dú)做這一工程需用20+4=24（天）甲、乙合做這一工程，需用的時(shí)間為例 2 一項(xiàng)工程，甲、乙兩隊(duì)合作需6 天完成，現(xiàn)在乙隊(duì)先做7 天，然后么還要幾天才能完成？分析與解： 題中沒(méi)有告訴甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)的工作效率，只知道他們合作- 16 -小學(xué)奧數(shù)基 教程（六年 ）- 17 - 把“乙先做7 天，甲再做4 天”的 程 化 “甲、乙合做4 天，乙再 獨(dú)例 3 獨(dú)完成一件工作，甲按 定 可提前2 天完成，乙 要超 定 3 天才能完成。如果甲、乙二人合做2天后，剩下的 由乙 獨(dú)做，那么 好在 定 完成。 ：甲、乙二人合做需多少天完成？分析與解： 乙 獨(dú)做要超 3 天，甲、乙合做2

24、 天后乙 做， 好按 完成， 明甲做2 天等于乙做3 天，即完成 件工作，乙需要的 是甲的，乙需要10+5=15（天）。甲、乙合作需要例 4 放 一個(gè)水池的水，若同 打開(kāi)1， 2，3 號(hào) ， 20 分 可以完成；若同 打開(kāi)2， 3，4 號(hào) ， 21 分 可以完成；若同 打開(kāi)1，3，4 號(hào) ， 28 分 可以完成；若同 打開(kāi)1，2，4 號(hào) ， 30 分 可以完成。 ：如果同 打開(kāi)1，2，3， 4 號(hào) ，那么多少分 可以完成？分析與解： 同 打開(kāi) 1，2，3 號(hào) 1 分 ，再同 打開(kāi)2，3，4 號(hào) 1 分 ，再同 打開(kāi)1，3，4 號(hào) 1 分 ，再同 打開(kāi)1， 2，4 號(hào) 1 分 ， ， 1，2，

25、3，4 號(hào) 各打開(kāi)了3 分 ，放水量等于一例 5 某工程由一、二、三小 合干，需要8 天完成；由二、三、四小 合干，需要10 天完成；由一、四小 合干，需15 天完成。如果按一、二、三、四、一、二、三、四、的 序，每個(gè)小 干一天地 流干，那么工程由哪個(gè) 最后完成？分析與解： 與例 4 似，可求出一、二、三、四小 的工作效率之和是例 6 甲、乙、丙三人做一件工作，原 劃按甲、乙、丙的 序每人一天 流去做，恰好整天做完，并且 束工作的是乙。若按乙、丙、甲的 序 流- 17 -小學(xué)奧數(shù)基 教程（六年 ）- 18 -件工作，要用多少天才能完成？分析與解： 把甲、乙、丙三人每人做一天稱 一 。在一 中，

26、無(wú) 先 后，完成的 工作量都相同。所以三種 序前面若干 完成的工作量及用的天數(shù)都相同（ 下 虛 左 ），相差的就是最后一 （ 下 虛 右 ）。由最后一 完成的工作量相同，得到練習(xí) 61. 甲、乙二人同 開(kāi)始加工一批零件，每人加工零件 數(shù)的一半。甲完成有多少個(gè)？需的 相等。 ：甲、乙 獨(dú)做各需多少天？3. 加工一批零件，王 傅先做6 李 傅再做12 可完成，王 傅先做8 李 傅再做9 也可完成。 在王 傅先做 2 ，剩下的兩人合做， 需要多少小 ？獨(dú)修各需幾天？5.蓄水池有甲、乙、丙三個(gè) 水管，甲、乙、丙管 獨(dú)灌 一池水依次需要10，12，15 。上午8 點(diǎn)三個(gè)管同 打開(kāi)，中 甲管因故關(guān) ， 果

27、到下午2點(diǎn)水池被灌 。 ：甲管在何 被關(guān) ？6. 獨(dú)完成某 工作，甲需9 ，乙需 12 。如果按照甲、乙、甲、乙、的 序 流工作，每次1 ，那么完成 工作需要多 ？7. 一 工程，乙 獨(dú)干要 17 天完成。如果第一天甲干，第二天乙干， 交替 流干，那么恰好用整天數(shù)完成；如果第一天乙干，第二天甲干， 交替 流干，那么比上次 流的做法多用半天完工。 ：甲 獨(dú)干需要幾天？答案與提示 練習(xí) 61.360 個(gè)。- 18 -小學(xué)奧數(shù)基 教程（六年 ）- 19 -2. 甲 18 天，乙 12 天。3.7.2 。解：由下 知，王干2 等于李干3 ，所以 獨(dú)干李需12+6 23=21（ ），王需213 2=14

28、（ ）。所求 5. 上午 9 。6.10 時(shí) 15 分。7.8.5天。解：如果兩人 流做完的天數(shù)是偶數(shù)，那么不 甲先 是乙先，兩種 流做的方式完成的天數(shù)必定相同（ 左下 ）。甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲 在乙先比甲先要多用半天，所以甲先 ，完成的天數(shù)一定是奇數(shù)，于是得到右上 ，其中虛 左 的工作量相同，右 的工作量也相同， 明乙做 1 天等于甲做半天，所以乙做 17 天等于甲做 8.5 天。第七 巧用 位“ 1”- 19 -小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級(jí)）- 20 -在工程問(wèn)題中，我們往往設(shè)工作總量為單位“ 1”。在許多分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，都會(huì)遇到單位“ 1”的問(wèn)題，根據(jù)題目條件正確使用單位“ 1”，能使解

29、答的思路更清晰，方法更簡(jiǎn)捷。分析：因?yàn)榈谝惶?、第二天都是與全書(shū)比較，所以應(yīng)以全書(shū)的頁(yè)數(shù)為單位答：這本故事書(shū)共有240 頁(yè)。分析與解： 本題條件中單位“1”的量在變化，依次是“全書(shū)的頁(yè)數(shù)”、“第一天看后余下的頁(yè)數(shù)”、“第二天看后余下的頁(yè)數(shù)”，出現(xiàn)了 3 個(gè)不同的單位“ 1”。按照常規(guī)思路，需要統(tǒng)一單位“ 1”，轉(zhuǎn)化分率。但在本題中，不統(tǒng)一單位“1”反而更方便。我們先把全書(shū)看成“1”，看成“ 1”，就可以求出第三天看后余下的部分占全書(shū)的共有多少本圖書(shū)？分析與解： 故事書(shū)增加了，圖書(shū)的總數(shù)隨之增加。題中出現(xiàn)兩個(gè)分率，這給計(jì)算帶來(lái)很多不便，需要統(tǒng)一單位“ 1”。統(tǒng)一單位“ 1”的一個(gè)竅門(mén)就是抓“不變量

30、”為單位“ 1”。本題中故事書(shū)、圖書(shū)總數(shù)都發(fā)生了變化，而其它書(shū)的本數(shù)沒(méi)有變，可以以圖書(shū)室原來(lái)共有圖書(shū)- 20 -小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級(jí)）- 21 -分析與解：與例 3 類似，甲、乙組人數(shù)都發(fā)生了變化，不變量是甲、 乙組的總?cè)藬?shù)， 所以以甲、 乙組的總?cè)藬?shù)為單位“1”。例 5 公路上同向行駛著三輛汽車(chē)，客車(chē)在前，貨車(chē)在中，小轎車(chē)在后。在某一時(shí)刻，貨車(chē)與客車(chē)、小轎車(chē)的距離相等；走了 10 分鐘，小轎車(chē)追上了貨車(chē)；又過(guò)了5 分鐘，小轎車(chē)追上了客車(chē)，再過(guò)多少分鐘，貨車(chē)追上客車(chē)？分析與解： 根據(jù)“在某一時(shí)刻，貨車(chē)與客車(chē)、小轎車(chē)的距離相等”，設(shè)這段距離為單位“1”。由“走了10 分鐘，小轎車(chē)追上了貨車(chē)”

31、，可知小轎可知小轎車(chē) (10+5) 分鐘比客車(chē)多行了兩個(gè)這樣的距離，每分鐘多行這段距離的兩班各有多少人？乙班有 84-48=36 （人）。練習(xí) 7樹(shù)上原有多少個(gè)桃？- 21 -小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級(jí)）- 22 -剩下的部分收完后剛好又裝滿6 筐。共收西紅柿多少千克？7. 六年級(jí)兩個(gè)班共有學(xué)生94 人，其中女生有39 人，已知一班的女生占本答案與提示練習(xí) 71.35 個(gè)。2.60 個(gè)。3.64 噸。4.384 千克。6. 男生 15 人，女生 21 人。7. 一班 45 人，二班 49 人。第八講 比和比例- 22 -小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級(jí)）- 23 -比的概念是借助于除法的概念建立的。兩個(gè)

32、數(shù)相除叫做兩個(gè)數(shù)的比。例如，5 6 可記作 56。比值。表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例（式）。如，3 7=9 21。判斷兩個(gè)比是否成比例，就要看它們的比值是否相等。兩個(gè)比的比值相等，這兩個(gè)比能組成比例，否則不能組成比例。在任意一個(gè)比例中，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積。即：如果ab=cd，那么 ad=b c。兩個(gè)數(shù)的比叫做單比，兩個(gè)以上的數(shù)的比叫做連比。例如abc 。連比中的“”不能用“”代替，不能把連比看成連除。把兩個(gè)比化為連比，關(guān)鍵是使第一個(gè)比的后項(xiàng)等于第二個(gè)比的前項(xiàng)，方法是把這兩項(xiàng)化成它們的最小公倍數(shù)。例如，甲乙 =56，乙丙 =43，因?yàn)?6 ，4=12 ，所以5 6=10 12 ， 4

33、3=129，得到甲乙丙=10 129。例 1 已知 3 (x-1)=7 9，求 x。解：7 (x-1)=39，x-1=3 97，例 2六年級(jí)一班的男、女生比例為32，又來(lái)了 4 名女生后，全班共有 44 人。求現(xiàn)在的男、女生人數(shù)之比。分析與解： 原來(lái)共有學(xué)生44-4=40 （人），由男、女生人數(shù)之比為3 2 知，如果將人數(shù)分為 5 份，那么男生占3 份，女生占 2份。由此求出女生增加4 人變?yōu)?16+4=20（人），男生人數(shù)不變，現(xiàn)在男、女生人數(shù)之比為24 20=6 5。在例 2 中，我們用到了按比例分配的方法。將一個(gè)總量按照一定的比分成若干個(gè)分量叫做按比例分配。按比例分配的方法是將按已知比分

34、配變?yōu)榘捶輸?shù)分配，把比的各項(xiàng)相加得到總份數(shù)，各項(xiàng)與總份數(shù)之比就是各個(gè)分量在總量中所占的分率，由此可求得各個(gè)分量。例 3 配制一種農(nóng)藥， 其中生石灰、 硫磺粉和水的重量比是1212，現(xiàn)在要配制這種農(nóng)藥2700 千克，求各種原料分別需要多少千克。分析： 總量是 2700 千克，各分量的比是1 212，總份數(shù)是1+2+12=15，答：生石灰、硫磺粉、水分別需要180， 360 和 2160 千克。在按比例分配的問(wèn)題中，也可以先求出每份的量，再求出各個(gè)分量。如例3 中，總份數(shù)是1+2+12=15，每份的量是2700 15=180（千克），然后用每份的量分別乘以各分量的份數(shù)，即用180 千克分別乘以1，

35、 2， 12，就可以求出各個(gè)分量。例 4 師徒二人共加工零件400 個(gè)，師傅加工一個(gè)零件用9 分鐘，徒弟加工一個(gè)零件用15 分鐘。完成任務(wù)時(shí)，師傅比徒弟多加工多少個(gè)零件？分析與解： 解法很多，這里只用按比例分配做。師傅與徒弟的工作效率- 23 -小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級(jí)）- 24 -有多少學(xué)生？按比例分配得到例 6 某高速公路收費(fèi)站對(duì)于過(guò)往車(chē)輛收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：大客車(chē)30 元，小客車(chē)15 元，小轎車(chē)10 元。某日通過(guò)該收費(fèi)站的大客車(chē)和小客車(chē)數(shù)量之比是5 6，小客車(chē)與小轎車(chē)之比是4 11，收取小轎車(chē)的通行費(fèi)比大客車(chē)多210 元。求這天這三種車(chē)輛通過(guò)的數(shù)量。分析與解： 大客車(chē)、小轎車(chē)通過(guò)的數(shù)量都是與小客

36、車(chē)相比，如果能將5 6 中的 6 與 4 11 中的 4 統(tǒng)一成 4 ，6=12 ，就可以得到大客車(chē)小客車(chē)小轎車(chē)的連比。由 5 6=1012 和 411=12 33，得到大客車(chē)小客車(chē)小轎車(chē)=101233。以 10 輛大客車(chē)、12 輛小客車(chē)、33 輛小轎車(chē)為一組。 因?yàn)槊拷M中收取小轎車(chē)的通行費(fèi)比大客車(chē)多1033-30 10=30（元），所以這天通過(guò)的車(chē)輛共有21030=7（組）。這天通過(guò)大客車(chē) =107=70（輛），小客車(chē) =127=84（輛），小轎車(chē) =337=231（輛）。練習(xí) 81. 一塊長(zhǎng)方形的地，長(zhǎng)和寬的比是5 3，周長(zhǎng)是 96 米，求這塊地的面積。2. 一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)與寬的比是 4

37、3，寬與高的比是 5 4，體積是 450 分米 3。問(wèn)：長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各多少厘米？3. 一把小刀售價(jià)6 元。如果小明買(mǎi)了這把小刀，那么小明與小強(qiáng)的錢(qián)數(shù)之比是35；如果小強(qiáng)買(mǎi)了這把小刀，那么小明與小強(qiáng)的錢(qián)數(shù)之比是911。問(wèn)：兩人原來(lái)共有多少錢(qián)？5.甲、乙、丙三人分 138 只貝殼，甲每取走 5 只乙就取走 4 只，乙每取走5 只丙就取走 6 只。問(wèn)：最后三人各分到多少只貝殼？6.一條路全長(zhǎng) 60 千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的長(zhǎng)度之比是1 23，某人走各段路程所用的時(shí)間之比是 345。已知他走平路的速度是5 千米 / 時(shí)，他走完全程用多少時(shí)間？7.某俱樂(lè)部男、女會(huì)員的人數(shù)之比是3

38、2，分為甲、乙、丙三組，甲、乙、丙三組的人數(shù)之比是108 7。如果甲組中男、女會(huì)員的人數(shù)之比是31，乙組中男、女會(huì)員的人數(shù)之比是53，那么丙組中男、女會(huì)員的人數(shù)之比是多少？答案與提示 練習(xí) 81.540 米 2。- 24 -小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級(jí)）- 25 -2. 長(zhǎng) 100 厘米，寬 75 厘米，高 60 厘米。解：長(zhǎng)寬高 =201512，450000 (20 1512)=125=5 3 。長(zhǎng) =205=100（厘米），寬 =155=75（厘米），高 =125=60（厘米）。3.86 元。解：設(shè)小明有x 元錢(qián)。根據(jù)小強(qiáng)的錢(qián)數(shù)可列方程36+50=86（元）。4.2640 元。5. 甲 50

39、只，乙 40 只，丙 48 只。解：甲乙丙=252024，138 (25+20+24)=2 ，甲 =225=50（只），乙 =220=40（只），丙 =224=48（只）。6.12 時(shí)。7.5 ：9第九講百分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)有兩種不同的定義。（ 1）分母是 100 的分?jǐn)?shù)叫做百分?jǐn)?shù)。這種定義著眼于形式，把百分?jǐn)?shù)作為分?jǐn)?shù)的一種特殊形式。（ 2）表示一個(gè)數(shù)（比較數(shù)）是另一個(gè)數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)數(shù)）的百分之幾的數(shù)叫做百分?jǐn)?shù)。這種定義著眼于應(yīng)用，用來(lái)表示兩個(gè)數(shù)的比。所以百分?jǐn)?shù)又叫百分比或百分率。百分?jǐn)?shù)通常不寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式，而采用符號(hào)“”來(lái)表示，叫做百分號(hào)。在第二種定義中，出現(xiàn)了比較數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)數(shù)、分率（百分?jǐn)?shù)），這三者的關(guān)系如

40、下：- 25 -小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級(jí)）- 26 -比較數(shù)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)=分率（百分?jǐn)?shù)），標(biāo)準(zhǔn)數(shù)分率 =比較數(shù)，比較數(shù)分率 =標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。根據(jù)比較數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)數(shù)、分率三者的關(guān)系，就可以解答許多與百分?jǐn)?shù)有關(guān)的應(yīng)用題。例 1紡織廠的女工占全廠人數(shù)的80，一車(chē)間的男工占全廠男工的25。問(wèn)：一車(chē)間的男工占全廠人數(shù)的百分之幾？分析與解： 因?yàn)椤芭ふ既珡S人數(shù)的80”，所以男工占全廠人數(shù)的1-80 =20。又因?yàn)椤耙卉?chē)間的男工占全廠男工的25”，所以一車(chē)間的男工占全廠人數(shù)的20 25 =5。例 2學(xué)校去年春季植樹(shù) 500 棵，成活率為85，去年秋季植樹(shù)的成活率為90。已知去年春季比秋季多死了20 棵樹(shù)，那么去年學(xué)校共種活了多少棵樹(shù)？分析與解：去年春季種的樹(shù)活了500 85=425（棵），死了 500-425=75（棵）。去年秋季種的樹(shù)， 死了 75-20=55（棵