電大教育專科【高等數(shù)學(xué)（B）】形成性考核冊答案(完整版附題目)

1、1 電大電大【高等數(shù)學(xué)（高等數(shù)學(xué)（b b） 】形成性考核冊答案形成性考核冊答案 電大電大【高等數(shù)學(xué)（高等數(shù)學(xué)（b b） 】形考作業(yè)形考作業(yè) 1 1 答案：答案： 初等數(shù)學(xué)知識 一、名詞解釋： 鄰域設(shè)是兩個實數(shù)，且，滿足不等式的實數(shù)的全體，稱為點和a0 axx 的鄰域。a 絕對值數(shù)軸上表示數(shù)的點到原點之間的距離稱為數(shù)的絕對值。記為。aaa 區(qū)間數(shù)軸上的一段實數(shù)。分為開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間、無窮區(qū)間。 數(shù)軸規(guī)定了原點、正方向和長度單位的直線。 實數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。 二、填空題 1絕對值的性質(zhì)有、0abaab )0( b b a b a aaababa 。baba 2開區(qū)間的表示有、

2、。),(ba 3閉區(qū)間的表示有、。ba， 4無窮大的記號為。 5表示全體實數(shù)，或記為。)(，x 6表示小于的實數(shù)，或記為。)(b，bbx 7表示大于的實數(shù)，或記為。)(，aa xa 8去心鄰域是指的全體。用數(shù)軸表示即為 9.manzu )()(aaaa， 9滿足不等式的數(shù)用區(qū)間可表示為。1 1 2 x x 2 1 1( ， 三、回答題 1答：（1）發(fā)展符號意識，實現(xiàn)從具體數(shù)學(xué)的運算到抽象符號運算的轉(zhuǎn)變。 （2）培養(yǎng) 嚴密的思維能力，實現(xiàn)從具體描述到嚴格證明的轉(zhuǎn)變。 （3）培養(yǎng)抽象思維能力，實現(xiàn)從具體數(shù)學(xué)到概念化數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變。 （4）樹立發(fā)展變化意識，實現(xiàn)從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變。 2 2答：包

3、括整數(shù)與分數(shù)。 3答：不對，可能有無理數(shù)。 4答：等價于。51 ( ， 5答：。) 2 3 2 1 ( ， 四、計算題 1解：。12 02 01 02 01 0)2)(1( xx x x x x xx或或 。), 2() 1 ,(解集為 2解： 05 01 05 01 0)5)(1(056 2 x x x x xxxx或 。15xx或)5 1，解集為（ 3解：為方程的解。520)5)(2(0103 21 2 xxxxxx， 函函 數(shù)（數(shù)（p3p3） 一、名詞解釋 函數(shù)設(shè) x 與 y 是兩個變量，若當(dāng) x 在可以取值的范圍 d 內(nèi)任意取一個數(shù)值時，變量 y 通過某一法則 f,總有唯一確定的值與之

4、對應(yīng)，則稱變量 y 是變量 x 的函數(shù)。其中 d 叫做 函數(shù)的定義域，f 稱為對應(yīng)法則，集合 g=y|y=f(x),x叫做函數(shù)的值域。d 奇函數(shù)若函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，若對于任意的，恒有)(xfy x 為奇函數(shù)。，則稱函數(shù))()(xfxf)(xfy 偶函數(shù)若函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，若對于任意的，恒有)(xfy x ，則稱函數(shù)為偶函數(shù)。)()(xfxf)(xfy 定義域自變量的取值范圍，記作。dx 值域所有函數(shù)值組成的集合，記作 g=y|y=f(x),x。d 初等數(shù)學(xué)包括幾何與代數(shù)，基本上是常量的數(shù)學(xué)。 三角函數(shù)：稱為三角函數(shù)。xyxyxyxyxyxycscseccottancossin，

5、 指數(shù)函數(shù)稱函數(shù)為指數(shù)函數(shù)。) 10(aaay x ， 復(fù)合函數(shù)設(shè)若的值域包含在的定義域中，則，)()(xuufy)(xu)(ufy 通過構(gòu)成的函數(shù)，記作，稱其為復(fù)合函數(shù)，稱為中間變量。yux)(xfyu 對數(shù)函數(shù)稱函數(shù)為對數(shù)函數(shù)。) 10(logaaxy a ，且 反函數(shù)若函數(shù)的值域為，若，都有一個確定的且滿足的)(xfy ggy)(xfy 值與之對應(yīng)。則由此得到一個定義在上的以為自變量、為因變量的新函數(shù)，稱它為xgyx 的反函數(shù)，記作。)(xfy )( 1 yfx 冪函數(shù)稱函數(shù)（為實數(shù)）為冪函數(shù)。 xy 3 常函數(shù)稱函數(shù)為常函數(shù)。)( 為常數(shù)ccy 常量在某一變化過程中，始終保持不變的量。

6、 變量在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量。 二、填空題 1函數(shù)概念最早是由萊布尼茲引進的。有了函數(shù)概念，人們就可以從數(shù)量上描述運動。 2在歷史上第一個給出函數(shù)一般定義的是狄里克雷，并給出了一個不能畫出圖形的函 數(shù)。這就是著名的狄里克雷函數(shù)，其表達式是。 是有理數(shù)， 是無理數(shù)， x x xf 1 0 )( 3函數(shù)的三種表示法：解析法、圖像法、列表法。 4函數(shù)表達了因變量與自變量之間的一種對應(yīng)規(guī)則。 5單值函數(shù)是當(dāng)自變量在定義域中取定了一數(shù)值時，與之對應(yīng)的函數(shù)值是唯一的函數(shù)。 6奇函數(shù)的圖像特點是關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖像特點是關(guān)于 y 軸對稱。 7單調(diào)函數(shù)的圖像特點是總是上升或總是下降。 8反

7、函數(shù)的圖像特點是關(guān)于直線 y=x 對稱。 三、回答題 1答：設(shè)函數(shù)在集合上有定義，如果存在一個正數(shù)，對所有的，)(xfy dmdx 恒有，則稱函數(shù)為有界函數(shù)。mxf)()(xfy 2答：（1）當(dāng)一個函數(shù)在區(qū)間有界時，正數(shù)的取法不是唯一的。)(xfy 內(nèi)， )(bam （2）有界性是依賴于區(qū)間的。 3答：，則稱函數(shù)在區(qū)間)()()( 212121 xfxfxxbaxx，則，且，)(xfy 單調(diào)增加。否則，稱為單調(diào)減少。內(nèi)， )(ba 4答：若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)，其值域是，則函數(shù)存在反)(xfy 內(nèi)， )(ba)(dc，)(xfy 函數(shù)其定義域是，值域是。，)( 1 xfy )(dc，)(ba， 四、

8、作圖題 （1） 解：是拋物線。 2 xy （2） 解：是立方拋物線。 3 xy （3） 解：是正弦曲線。xysin （4） 解：是余弦曲線。xycos （5） 解：是正切曲線。xytan （6） 解：是半拋物線。 2 1 xy （7） 解：是自然對數(shù)函數(shù)。xyln （8） 解：是指數(shù)函數(shù)(a1)。 x y2 4 （9） 解：是對數(shù)函數(shù)(a1)。xy 2 log （10）解：是對數(shù)函數(shù)（a1） 。xy 2 1 log (11) 解：是指數(shù)函數(shù)(a1)。 x ey 第（1）題圖 第（2）題圖 第（3）題圖 第（4）題圖 第（5）題圖 第（6）題圖 第（7）題圖 第（8）題圖 第（9）題圖 第（10

9、）題圖 第（11）題圖 第（12）題圖 五、計算題 （1）解：。 4 ) 2 ( 2 22 ll rs （2）解：設(shè)長為，寬為，則，xy 10 20 10 6022 y x y yx 面積。 2 2001020cms （3）解：，所以定義域為。101xx)1( ， （4）解：， ， 5log)2( 2 f 4 5 log) 2 1 ( 2 f) 12(log)( 22 2 bababaf 。) 1(log)( 4 2 2 xxf 5 （5）解：由解得，交換和，得到的反函數(shù)， 2 x x y y y x 1 2 xy 2 x x y x x y 1 2 由，故定義域為。101xx)1 () 1(

10、， （6）解：復(fù)合函數(shù)為3121) 11( 2 xxxy 六、討論題 答：（1）復(fù)合函數(shù)是函數(shù)之間的一種運算； （2）并不是任何兩個函數(shù)都能構(gòu)成一個復(fù)合函數(shù)； （3）復(fù)合函數(shù)可以是由多個（大于兩個）函數(shù)復(fù)合而成； （4）中，后者的值域正好是前者的定義域；)()(xuufy， （5）構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的各簡單函數(shù)，除了最后一個外，都是基本初等函數(shù)。 極 限（p9） 一、名詞解釋 極 限一個數(shù)列或函數(shù)其變化趨勢的終極狀態(tài)。 無窮小量極限為零的變量或者常數(shù) 0。 連 續(xù)設(shè)函數(shù)在及其一個鄰域內(nèi)有定義，且等式)(xfy 0 xx 成立，則稱函數(shù)在連續(xù)。)()(lim 0 0 xfxf xx )(xfy 0 x

11、x 數(shù)列極限對數(shù)列來說，若時，則稱數(shù)列的極限為記 n xnaxn n x, a 作。axn n lim 函數(shù)極限設(shè)函數(shù)在的附近有定義，當(dāng)時，則稱函)(xfy 0 xx 0 xx axf)( 數(shù)在時的極限為 a ，記作)(xfy 0 xx axf xx )(lim 0 無窮大量若，則稱為該極限過程下的無窮大量。)(limxf)(xf 二、填空題 1從極限產(chǎn)生的歷史背景來看，極限概念產(chǎn)生于解決微積分的基本問題：求面積，體 積，弧長，瞬時速度以及曲線在一點的切線問題。 2極限概念描述的是變量在某一變化過程中的終極狀態(tài)。 3在中國古代，極限概念已經(jīng)產(chǎn)生，我國春秋戰(zhàn)國時期的莊子天下篇中說： “一尺之棰，

12、日取其半，萬世不竭” ，就是極限的樸素思想。 4公元 3 世紀，中國數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)，就用圓內(nèi)接正多邊形周長去逼近圓周長這 一極限思想來近似地計算圓周率的。 6 5極限概念產(chǎn)生于求面積求切線兩個實際問題。 三、回答題 1簡述連續(xù)性概念。 答：設(shè)函數(shù)在及其一個鄰域內(nèi)有定義，且等式成立，則)(xfy 0 xx )()(lim 0 0 xfxf xx 稱函數(shù)在連續(xù)。在（a,b）內(nèi)連續(xù)是指函數(shù)在（a,b）內(nèi)的)(xfy 0 xx )(xfy )(xfy 每個點處均連續(xù)。 2間斷點分成幾類？ 答： 限中至少有一個不存在第二類間斷點：左右極 的左右極限均存在第一類間斷點：在該點 間斷點 3什么是單側(cè)連續(xù)

13、？ 答：設(shè)函數(shù)在及其右鄰域內(nèi)有定義，且等式成立，則)(xfy 0 xx )()(lim 0 0 0 xfxf xx 稱函數(shù)在右連續(xù)。同理可定義左連續(xù)。)(xfy 0 xx 4什么是連續(xù)函數(shù)？ 答：若函數(shù)在（a,b）內(nèi)的每個點處均連續(xù)，且在左端點處右連續(xù)，右端點處)(xfy 左連續(xù)，則稱函數(shù)在a,b上連續(xù)。)(xfy 5簡述復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理。 答：設(shè)函數(shù)在點處連續(xù)，函數(shù)在點處連續(xù)，而，)(zfy 0 zz )(xz 0 xx )( 00 xz 并設(shè)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，則復(fù)合函數(shù)在點處連續(xù)。)(xfy 0 xx )(xfy 0 xx 四、論述題 極限思想的辯證意義是什么？ 答：極限概念描述

14、的是變量在某一變化過程中的終極狀態(tài)，是一個無限逼近的過程，是 一個客觀上存在但又永遠達不到的數(shù)。在解決實際問題時， “無限”的過程標志著可以得到 精確的答案，他是為解決實際問題的需要而產(chǎn)生的，反過來又成為解決實際問題的有力工具。 五、計算題 （1）解： 3 4 1 3 2 4 lim 13 24 lim 2 2 2 2 n n n n nn 7 （2）解： 4 1 4 1 2 2sin 1 lim 2sin 2 lim 00 x x x x xx （3）解：0 1 1 lim)1(lim nn nn nn （4）解： e e xx x x x x 1 ) 1 1(lim) 1 1 (lim 1

15、1 六、討論 解： )(lim 0 xf x 1)1 (lim 0 x x )(lim 0 xf x 00lim 0 x ， 函數(shù)在 x=0 處極限不存在。 )(lim 0 xf x )(lim 0 xf x 8 電大天堂電大天堂【高等數(shù)學(xué)（高等數(shù)學(xué)（b b） 】形考作業(yè)形考作業(yè) 2 2 答案：答案： 導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù) 一、名詞解釋 導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)在及其鄰域內(nèi)有定義，)(xfy 0 xx 若存在，則稱此極限值為函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù) x xfxxf x y xx )()( limlim 00 00 )(xfy 0 xx 值。記為，等。 00 0) ( xxdx dy xx yxf ， 平均變化率稱為平均變化率

16、。 x xfxxf x y )()( 00 瞬時變化率稱為瞬時變化率。 x xfxxf x y xx )()( limlim 00 00 導(dǎo)函數(shù)對于區(qū)間（a,b）內(nèi)的每一點 x 都有導(dǎo)數(shù)值，這樣由這些導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的函數(shù) 稱為的導(dǎo)函數(shù)。)(xfy 高階導(dǎo)數(shù)二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)。 駐點使得的點。0)( x f 極值設(shè)函數(shù)在及其鄰域內(nèi)有定義，且在的鄰域內(nèi))(xfy 0 xx 0 xx 恒成立，則稱為極大值點，稱為極大值。同理可定義極小值。極大)()( 0 xfxf 0 xx )( 0 xf 值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值。 二、填空題 1導(dǎo)數(shù)的物理意義是瞬時速度。 2導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在一點處切線的些率

17、。 3導(dǎo)數(shù)的第三種解釋是變化率。 4導(dǎo)數(shù)是一種特殊的極限，因而它遵循極限運算的法則。 5可導(dǎo)的函數(shù)是連續(xù)的，但是連續(xù)函數(shù)不一定可導(dǎo)。 三、回答題 1什么是費馬定理？ 答：設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義，并且在處可導(dǎo)，如果對任意)(xfy 0 xx )( 0 xu 0 x 的，有（或） ，那么。)( 0 xux)()( 0 xfxf)()( 0 xfxf0)( 0 x f 2什么是羅爾定理？ 答：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，并且滿)(xfy 9 足，那么至少存在一點，使得。)()(bfaf)(ba，0)(f 3什么是拉格朗日定理？它的輔助函數(shù)是怎樣構(gòu)成的? 答：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間

18、a,b上連續(xù)，在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，那么至少存在一)(xfy 點，使得。)(ba，)()()(abfafbf 輔助函數(shù)為：。)( )()( )()(ax ab afbf xfx 4函數(shù)的性質(zhì)有哪些？ 答：函數(shù)的性質(zhì)有：有界性，奇偶性，周期性，單調(diào)性。 5導(dǎo)數(shù)的絕對值大小告訴我們什么？它反映在函數(shù)曲線上情況又怎樣？ 答：導(dǎo)數(shù)絕對值大小反映曲線的陡峭程度，導(dǎo)數(shù)的絕對值越大，則曲線越陡峭，否則， 曲線越平緩。 6什么是極大值（或極小值）? 答：設(shè)函數(shù)在及其鄰域內(nèi)有定義，且在的鄰域內(nèi)恒成)(xfy 0 xx 0 xx )()( 0 xfxf 立，則稱為極大值點，稱為極大值。 0 xx )( 0 x

19、f 設(shè)函數(shù)在及其鄰域內(nèi)有定義，且在的鄰域內(nèi)恒成立，)(xfy 0 xx 0 xx )()( 0 xfxf 則稱為極小值點，稱為極小值。 0 xx )( 0 xf 7請舉例說明費馬定理只給出了極值的必要條件而不是充分條件。 答：例如：直線 y=c(c 為常數(shù))，在任意一點都滿足費馬定理的條件，且導(dǎo)數(shù)值都是 0，但是在任意一點處都不是極值點。 8最大值與極大值是一回事嗎？ 答：不是一回事。連續(xù)函數(shù)在某個閉區(qū)間上可能有多個極大值和極小值，但是最大值和 最小值卻各有一個。 9求最大值或最小值通常要經(jīng)過哪幾個步驟？ 答：（1）找出駐點和那些連續(xù)但不可導(dǎo)的點來，并計算出這些點的函數(shù)值；（2）計算 出比區(qū)間

20、端點處的函數(shù)值； （3）將以上個函數(shù)值進行比較，可得到最大值與最小值。 （4）如果是應(yīng)用問題，則需先分析題意，設(shè)變量，列出函數(shù)關(guān)系，在求出唯一駐點， 它就是答案。 四、計算題 1解：6)6(lim 3)3( lim )3()3( limlim 0 22 000 x x x x fxf x y xxxx 2解：。 xx xy 2 14 4 2 3 10 3解：xxxxycossin2 2 4解： nx y ln 1 5解： 332233 sin)cos(cos33)sin)(cos(cosxxxxxxy 6解： xx x ytan)sin( cos 1 7解：當(dāng)時，0 x x xy 1 )(ln

21、 當(dāng)時， 綜上所述，0 x xx xy 11 )ln( x x 1 )(ln 8解： 3 1 3 2 ) 3 2 ln() 3 2 ( xey xx 9解： 2 1 2 x x y 22 2 22 2 )1 ( 22 )1 ( 22)1 (2 x x x xxx y 10解：) 2 1sin(cosxxy ) 2 2sin(sinxxy ) 2 3sin(cosxxy ) 2 sin( )( xny n 五、應(yīng)用題 1解： 33 3 4 3 4 tvtrrv， ， 當(dāng)時， ， 22 43 3 4 ttv10r10t400v 答：體積 v 增加的速率為 400cm/s. 2. 解：設(shè)一邊長為 x

22、,則另一邊長為 1-x, 矩形面積 s=x(1-x)=, , 令，解得。 2 xx xs210s 2 1 x 答：從中間截斷，可得到最大矩形的面積。 2解：設(shè)寬為米，則長為米，圍墻長度為。x x 512 x xl 512 2 11 ，令， 2 2 2 5122512 2 x x x l 0l 即，解得x05122 2 x16x 舍掉，512/x16x 答：當(dāng)寬為 16 米，長為 32 米時，才能使材料最省。 微 分（p17） 一、名詞解釋 微分設(shè)函數(shù)處的微分，記xxfyxxfxxfy在點為函數(shù)處可導(dǎo)，則稱在點)()()( 作xxfdydy)(，即 函數(shù)的一階微分形式的不變性無論是自變量也好，還

23、是中間變量也好， u 總是成立的。duufdy) ( 微分的線性化 由知，其中為線性)(lim 0 0 xf x y x )()( 0 高階的無窮小是比 xxxfyxxf)( 0 主部，也就是微分。 二、填空題 1微分有雙重意義，一是表示微小的量，二是表示一種與求導(dǎo)密切相關(guān)的運算。 2微分學(xué)包括兩個系統(tǒng)：概念系統(tǒng)與算法系統(tǒng)。 3導(dǎo)數(shù)是逐點定義的，它研究的是函數(shù)在一點附近的性質(zhì)。 4微分中值定理建立了函數(shù)的局部性質(zhì)和整體性質(zhì)的聯(lián)系，建立了微積分理論聯(lián)系實 際的橋梁。 三、回答題 1微分學(xué)基本問題是什么？ 答：求非均勻變化量的變化率問題。 2微分學(xué)的基本運算是什么？ 答：求導(dǎo)運算和求微分的運算。

24、3微分的線性化有什么應(yīng)用？ 答：可進行近似計算等。 四、計算題 1（1）解：dx x dy xx x y 334 11 4 40 ， （2）解：dx x dy xx y xxx xx 4 4ln1 4 4ln1 4 4ln44 2 ， （3）解：xdxdyxxxy2sin2sincossin2， （4）解：， xxxycossindxxxxdy)cos(sin 12 2解：cm)804.38( 3 4 33 v 3解：設(shè)03 . 0 1)( 0 3 xxxxf，取 則，xxfxfxxf)()()( 000 01 . 1 01 . 0 103 . 0 13 1 1) 1 () 1 (03 . 1

25、 3 2 33 x xxff 五、證明題 證明：令，xxxexf x ，取0)( 0 則，xx x eexffxfxfxfe xx 1 0 )0()0()0()()( 0 ，證畢。xe x 1 13 電大天堂電大天堂【高等數(shù)學(xué)（高等數(shù)學(xué)（b b） 】形考作業(yè)形考作業(yè) 3 3 答案：答案： 不定積分不定積分 一、名詞解釋 原函數(shù)如果函數(shù)定義在同一區(qū)間，并且處處有：)()(xfxf與)(ba， ，則稱是的一個原函數(shù)。dxxfxdfxfxf)()()()(或)(xf)(xf 不定積分若是的一個原函數(shù)，則稱為的不定積分。記作)(xf)(xfcxf)()(xf .cxfdxxf )()( 不定積分幾何意

26、義表示形狀完全一樣只是位置不同的一族曲線。 二、填空題 1在數(shù)學(xué)中必須考慮的運算有兩類：正運算與逆運算。 2對應(yīng)于加法運算的逆運算是減法，對應(yīng)于乘法運算的逆運算是除法，對應(yīng)于正整數(shù) 次乘方運算的逆運算是開方，對應(yīng)于微分運算的逆運算是積分。 3關(guān)于逆運算我們至少有兩條經(jīng)驗：一是逆運算一般說比正運算困難，二是逆運算常 常引出新結(jié)果。如減法引出負數(shù)，除法引出有理數(shù)，正數(shù)開方引出無理數(shù)，負數(shù)開方引出虛 數(shù)。 三、回答題 1什么叫函數(shù) f(x)在區(qū)間（a,b）的原函數(shù)？有多少個？它們彼此之間有什么關(guān)系？ 答：若，則稱是的一個原函數(shù)，有無窮多個，彼此之間相差一個)()(xfxf)(xf)(xf 常數(shù)。 2

27、什么叫函數(shù) f(x)在區(qū)間（a,b）的不定積分？ 答：函數(shù) f(x)的原函數(shù)的全體，稱為函數(shù) f(x)的不定積分。 3兩個函數(shù)的不定積分相等是什么意思？ 答：這兩個函數(shù)相等。 4說明數(shù)學(xué)運算中存在的正運算與逆運算。 答：減法是加法的逆運算；除法是乘法的逆運算；開方是乘方的逆運算；不定積分是微 分的逆運算；等等。 5說明原函數(shù)和不定積分的關(guān)系。 答：原函數(shù)的全體就是不定積分。 四、計算題 1求下列函數(shù)的原函數(shù) （1）解：因為， 所以該函數(shù)的原函數(shù)為 cxdx55cxxf 5)( （2）解： cxxfcxxdx 22 )(2該函數(shù)的原函數(shù)為， 14 （3）解：， cexdedxe xxx222 2

28、)2( 2 1 44 cexf x 2 2)(該函數(shù)的原函數(shù)為 （4）解： cxxdxxdxx 3 4 1 3 1 3 1 3 2 9 1 3 1 1 666 cxxf 3 4 2 9 )(該函數(shù)的原函數(shù)為 （5）解：， cxcxdxx 6155 6 1 66 cxxf 6 )(該函數(shù)的原函數(shù)為 （6）解： cxxfcxdx2)(22該函數(shù)的原函數(shù)為， （7）解： cxxfcxdx x )( 2 1 該函數(shù)的原函數(shù)為， （8）解： cxxfcxxdxcos)(cossin該函數(shù)的原函數(shù)為， （9）解： cxxfcxdxx 556 5 1 )( 5 1 該函數(shù)的原函數(shù)為， （10）解： cfcd

29、 443 4 1 )( 4 1 該函數(shù)的原函數(shù)為， 2求下列各不定積分 （1）解：cxdxx 54 5 1 （2）解： cxcxdxxdxxx 2 5 1 2 3 2 3 5 2 1 2 3 1 （3）解：cxdx x x x 4ln 4 ln)4 1 ( （4）解： cxxdxxxdxtan) 1(sectan 22 （5）解：cedxe xx （6）解： cxxd x dx x 1ln) 1( 1 1 1 1 15 （7）解： cxxxddxxx 2 sin 2 1 sinsincossin （8）解)1 ( 1 1 2 1 arctan 1 1 arctanarctan 2 22 xd

30、x xxdx x xxxxdx =cxxx)1ln( 2 1 arctan 2 16 定定 積積 分（分（p26） 一、名詞解釋 定積分設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)插入個分點：上連續(xù)，在區(qū)間)(baxfy ba，1n ，把區(qū)間分成個小區(qū)間，其長度為bxxxxxa nn 1210 ba，n 1ii xx， ，其中0，1，2，3，在每個小區(qū)間上任取一點： iii xxx 1 i1-n 1ii xx， i ，并作乘積，再求出部分和，令，若 1 iii xx ii xf)( 1 0 )( n i iin xfsmax 10 i ni x （為常數(shù)） ，則稱為函數(shù)的定積分，記作ssn 0 lim ss上，在區(qū)間)(b

31、axfy b a n i ii xfdxxf 1 0 0 )(lim)( 定積分幾何意義若函數(shù)，則定積分表示由曲線、直0)(xfy b a dxxf)()(xfy 線軸所圍的曲邊梯形的面積。xbxax以及、 定積分中值定理設(shè)函數(shù) 則在，上連續(xù)，在區(qū)間)(baxfy 上至少存在一點， ba 使得。 b a baabfdxxf)()(，其中 微積分基本定理設(shè)函數(shù)則上連續(xù)，在區(qū)間)(baxfy b a dxxf)( =，這里)()()(afbf a b xf)()(xfxf 牛頓萊布尼茲公式即微積分基本定理中的公式。 二、填空題 1定積分是對連續(xù)變化過程總效果的度量，求曲邊形區(qū)域的面積是定積分概念的

32、最直 接的起源。 2積分學(xué)的基本問題是非均勻變化量的求積問題。它的數(shù)學(xué)模型是， 1 0 0 )(lim n i ii xf 它的物理原形是求變速運動的路程，它的幾何原形是求曲邊梯形的面積。 3微分學(xué)的基本問題是求非均勻變化量的變化率問題，它的數(shù)學(xué)模型是，它的 x y x 0 lim 物理原形是求瞬時速度，它的幾何原形是求切線斜率，它的基本運算是求導(dǎo)運算和求微分的 運算。 4微分學(xué)研究的是函數(shù)的局部性態(tài)，無論是微分概念，還是微商概念，都是逐點給出 的。數(shù)學(xué)家研究函數(shù)的局部性質(zhì)，其目的在于以局部定整體。 5積分學(xué)包括不定積分和定積分兩大部分，不定積分的目的是提供積分方法。 17 三、回答題 1定積

33、分有哪些應(yīng)用？ 答：物理學(xué)應(yīng)用，幾何學(xué)應(yīng)用等。例如，路程問題，曲邊梯形面積問題等。 2定積分的性質(zhì)有哪些？ 答：由以下 9 條： （1）； b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf)()()()( （2）； b a b a dxxfkdxxkf)()( （3）； b a a b dxxfdxxf)()( （4）； a a dxxf0)( （5）； b a c a b c dxxfdxxfdxxf)()()( （6）； b a abdx （7）若在； b a b a dxxgdxxfxgxfba)()()()(，則上， （8）設(shè),上的最大值和最小值，在分別是函數(shù)，)(baxfymm

34、則：； b a abmdxxfabm)()()( （9）設(shè)函數(shù) 則在，使得上連續(xù)，在區(qū)間)(baxfy 上至少存在一點， ba 。 b a baabfdxxf)()(，其中 3簡述積分區(qū)間上限為變量時定積分定理。 答：設(shè)函數(shù)則上可導(dǎo)，且上有定義且連續(xù)，在閉區(qū)間)(batfy x a badttf)(，在 。 x a xfdttf)()( 4建立定積分步驟有哪些？ 答：分為 4 步： （1）分割；（2）作積；（3）作和；（4）取極限， ii xf)( 1 0 )( n i ii xf 1 0 0 )(lim n i ii xf 其中。max 10 i ni x 18 四、計算題 1利用定積分性質(zhì)

35、，比較下列積分值大小。 （1）解：， 32 10 xxx時，當(dāng) 1 0 1 0 32 dxxdxx （2）解：， 23 21 xxx時，當(dāng) 2 1 2 1 23 dxxdxx （3）解：， xxx 2 lnln21 時，當(dāng) 2 1 2 1 2 lnlnxdxxdx 2求函數(shù)的平均值。上，在區(qū)間41 332 2 xxy 解：平均值 a=. 4 1 232 2 49 1 4 )3 2 3 3 2 ( 3 1 )332( 14 1 xxxdxxx 3設(shè) 4 sin 0 xdx dy tdty x ，求 解：， 。xdtt dx dy x sin)sin( 0 2 2 4 sin 4 x x xdx

36、dy 4設(shè)，求。 2 1 1 1 x dx a y dx dy 解：=。 dx dy a x dx a x 1 2 ) 1 1 ( 2 1 5計算下列定積分 （1） 解：20 1 3 4 1 4 3 1 3 xdxx （2） 解： 4 1 2 3 2 3 2 3 3 14 )14( 3 2 1 4 3 2 xdxx （3） 解：2)1(1 2 cossin 2 xxdx （4） 解： 0 1 0 1 10 1 1 )( 1 0 )( e eeexdedxe xxx （5） 解： 2 1 3 dx x x 2 1 3 33 dx x x 2 1 ) 3 3 1 (dx x 12ln3)2ln1(

37、ln31 1 2 3ln3 1 2 xx 19 （6） 解： 4 1 4 1 4 1 4 1 2 32 1 6 1 32 1 6 1 ) 32 1 32 1 ( 6 1 94 1 dt t dt t dt tt dt t 11ln 12 1 5ln 6 1 5 11 ln 12 1 5ln 12 1 1 4 32ln 12 1 1 4 32ln 12 1 tt 6解：如下圖, 體積 v= 4 0 4 0 22 32 0 4 2 1 44)(axaaxdxdxxf 第 6 題圖 第 7 題圖 第 8 題圖 第 9 題圖 7解：如上圖， 體積 3 2 0 2 ) 12 1 2 1 () 4 1 (

38、) 2 1 ( 2 0 2 0 32 2 2 xxxdx x xdx x v 8解：如上圖， ， 9 3 1 132 2 2 1 1 2 y x y x xy xy 或 面積 3 1 322 3 32 1 3 ) 3 1 3()32(xxxdxxxs 9解：如上圖，面積 4 2 24 2 4 eeedxes xx 20 電大天堂電大天堂【高等數(shù)學(xué)（高等數(shù)學(xué)（b b） 】形考作業(yè)形考作業(yè) 4 4 答案：答案： 微積分簡史微積分簡史 注意：以下六題自己從書中相應(yīng)位置的內(nèi)容去概括，要抓住重點，言簡意賅，寫滿所留 的空地。 1論述微分學(xué)的早期史。 答：見書 p216217 2簡述費馬對微分學(xué)的貢獻。

39、答：見書 p217218 3簡述巴羅對微分學(xué)的貢獻。 答：見書 p218220 4論述積分學(xué)的早期史。 答：見書 p206210 5論述微積分對人類歷史的貢獻。 答：見書“一、前言一、前言”一開始的部分（前兩段） 。 6牛頓和萊布尼茲對微積分的發(fā)現(xiàn)做出了什么貢獻？ 答：見書 p222225。 微分方程(p33) 一、回答題 1微分方程的定義。 答：含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程。 2何為微分方程的通解、特解、初始條件？ 答：滿足微分方程的所有函數(shù)，叫做微分方程的通解；滿足微分方程的一個解或者部分 解，稱為微分方程的特解。微分方程最初所滿足的條件，叫做初始條件。 3何為變量可分離的微分方程？ 答

40、：把形如的微分方程，稱為微分方程。)()(ygxf dx dy 4微分方程與建模有和關(guān)系。 答：拋棄具體意義，只關(guān)心微分方程的形狀，研究如何解方程，等這些工作做熟練了， 反過來又可以用它解決實際問題。 5建模思想和步驟是什么？ 答：建模思想就是將各種各樣的實際問題化為數(shù)學(xué)問題，通過建立數(shù)學(xué)模型，最終使實 際問題得到解決。 步驟：（1）明確實際問題，并熟悉問題的背景； （2）形成數(shù)學(xué)模型； 21 （3）求解數(shù)學(xué)問題； （4）研究算法，并盡量使用計算機； （5）回到實際中去，解釋結(jié)果。 二、計算題 1求下列微分方程的解。 （1）解：，代入初始條件得， cxxdxxy3)32( 2 1c 滿足初始條

41、件的特解為13 2 xxy （2）解： cxcxdxxdxxy 2 3 1 2 1 2 1 3 8 1 2 1 1 444 代入初始條件得， 滿足初始條件的特解為 3 8 c 3 8 3 8 2 3 xy （3）解：，代入初始條件得， cexdedxey xxx333 2)3( 3 6 62c 滿足初始條件的特解為22 3 x ey 2解：由題意：， 2 1 1 3 2 2 x y x xy c x xdx x xy 1 ) 1 3( 3 2 2 代入初始條件得，4c4 1 )( 3 x xxf 3解：由題意：， 100000 1000 2 . 0200 x y xy cxxdxxy 2 1

42、. 0200)2 . 0200( 代入初始條件得，所求的函數(shù)關(guān)系是0c 2 200 xxy 4解：由題意：，分離變量： 21600 0 0 0 r t r r t r kr dt dr kdt r dr 兩邊積分： ， kdt r dr cktrlnln kt cer 22 代入初始條件得：，這時：， 0 0 r t r 0 rc kt err 0 代入初始條件得： 21600 0 r t r k er r 1600 0 0 2 2 1 1600 k e ，代入得2ln1600k 1600 2ln k kt err 0 ，化簡得：， t err 1600 2ln 0 1600 02 t rr

43、所以鐳的量 r 與時間 t 的函數(shù)關(guān)系為 1600 02 t rr 23 高等數(shù)學(xué)（高等數(shù)學(xué)（b b） （1 1）綜合練習(xí)）綜合練習(xí) 一、名詞解釋 1函數(shù)設(shè) x 與 y 是兩個變量，若當(dāng) x 在可以取值的范圍 d 內(nèi)任意取一個數(shù)值時， 變量 y 通過某一法則 f,總有唯一確定的值與之對應(yīng)，則稱變量 y 是變量 x 的函數(shù)。其中 d 叫做函數(shù)的定義域，f 稱為對應(yīng)法則，集合 g=y|y=f(x),x叫做函數(shù)的值域。d 2. 奇函數(shù)若函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，若對于任意的，恒有)(xfy x 為奇函數(shù)。，則稱函數(shù))()(xfxf)(xfy 3連續(xù)設(shè)函數(shù)在及其一個鄰域內(nèi)有定義，且等式)(xfy 0

44、xx 成立，則稱函數(shù)在連續(xù)。在（a,b）內(nèi)連續(xù)是指函)()(lim 0 0 xfxf xx )(xfy 0 xx )(xfy 數(shù)在（a,b）內(nèi)的每個點處均連續(xù)。)(xfy 4定積分設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)插入個分點：上連續(xù)，在區(qū)間)(baxfy ba，1n ，把區(qū)間分成個小區(qū)間，其長度為bxxxxxa nn 1210 ba，n 1ii xx， ，其中0，1，2，3，在每個小區(qū)間上任取一點： iii xxx 1 i1-n 1ii xx， i ，并作乘積，再求出部分和，令，若 1 iii xx ii xf)( 1 0 )( n i iin xfsmax 10 i ni x （為常數(shù)） ，則稱為函數(shù)的定積分，

45、記作ssn 0 lim ss上，在區(qū)間)(baxfy b a n i ii xfdxxf 1 0 0 )(lim)( 5微分方程含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程。 二、填空題 1函數(shù)的反函數(shù)是（） ； x y3xy 3 log 2若函數(shù)內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)增加，則，有），在（baxf)()(bax， ；0)( x f 3；)() 1 1 (lim 44 e x x x 4若，則；xdxxfsin)( )(sin)(xxf 5若函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為零，則在該點取得極值且為1 2 xcbxaxy在點 （a+b+c） ； 三、判斷題 24 1若 f(x)在（a，b）內(nèi)嚴格單調(diào)，則 f(x)在（a，b）內(nèi)存在反函數(shù)

46、；（ ） 2若 f(x)與 g(x)在都是偶函數(shù)，則 f(x)g(x)在實數(shù)范圍內(nèi)也是偶函數(shù)。 （ ）)(， 3若數(shù)列單調(diào)增加，則數(shù)列存在極限；（ ） n a n a 4若函數(shù) f(x)在點 a 可導(dǎo)，則函數(shù) f(x)在點 a 連續(xù)；( ) 5函數(shù) f(x)在（a，b）內(nèi)的極大值必定大于它在該區(qū)間內(nèi)的極小值。( ) 四、單選題 1函數(shù)內(nèi)（ d ） 。），（），在（00 1 )( x xxf a沒有極大值點； b. 沒有極小值點； c既沒有極大值點也沒有極小值點 d . 既有極大值點也有極小值點 2設(shè)函數(shù)連續(xù)，則等于（ a ）)(xf dxxf dx d )( a；b. ；)(xfdxxf)(

47、c；d. .cxf)( dx xdf)( 3下列函數(shù)中， （ c ）為復(fù)合函數(shù)。 a；b. ； x y 1 x y3 c；d. .xyln1xy 2 log 4設(shè)函數(shù)在點處可導(dǎo)，則( b )。)(xf 0 x h xfhxf h )()( lim 00 0 a與，h 都有關(guān)； b. 僅與有關(guān)，而與 h 無關(guān)； 0 x 0 x c僅與 h 有關(guān)，而與無關(guān)； d. 與，h 都無關(guān)。 0 x 0 x 5若在區(qū)間a，b上 f(x)0，在（a，b）內(nèi)，根據(jù)定積分的幾何意義，則0)( x f （ a ） 。 b a dxxf)( a大于；b. 小于；)(abbf)(abbf c等于；d. 大于.)(abb

48、f)(abaf 五、計算題 1求函數(shù)的定義域。 2 3 1 )( x x xf 解：由題意知 ，函數(shù)的定義域為.03 2 x33x)33(， 2用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在點的導(dǎo)數(shù)。2)( 2 xxxf1x 25 解： x xx x fxf xx 22)1 ()1 ( lim ) 1 ()1 ( lim 2 00 x xx x 2 0 lim 1) 1(lim 0 x x 3求的近似值。 1 . 0 e 解：令，取， x ey 0 0 x1 . 0 x 則由近似公式：，xxfxfxxf)()()( 000 1 . 11 . 0 001 . 0 eee 4設(shè)函數(shù)，求其原函數(shù)。17)( 35 xxxf 解：

49、cxxxdxxx 4635 4 7 6 1 ) 17( 所以原函數(shù)為：ycxxx 46 4 7 6 1 5求不定積分dxxa 22 解：令，則， ，taxsintaxacos 22 tdtadxcos dttatdtadxxa)2cos 2 1 2 1 (cos 22222 ctt a t a ct t acossin 22 )2sin 4 1 2 ( 22 2 c a xa a xa a xa 2222 2 arcsin 2 如下圖。c xax a xa 2 arcsin 2 222 六、論述題 試簡要論述微積分產(chǎn)生的歷史背景。 答：見書 p205。 作業(yè) 4 微積分簡史 26 1、 論述微

50、分學(xué)的早期史 答：在微分學(xué)這個鄰域內(nèi)，費馬給出了一個統(tǒng)一的無窮小方法，用以解決求最大最小值問題。牛頓和萊 布尼茨各自創(chuàng)立一套一般的符號體系，建立計算的正規(guī)程序或算法?？挛鞯?19 世紀數(shù)學(xué)家為這門學(xué)科重 建邏輯上的一致的、嚴格的基礎(chǔ)。 2、 簡述費馬對微分學(xué)的貢獻。 答：屬于微分方法的第一個真正值得注意的先驅(qū)工作是 1629 年費馬給出的。曲線的切線問題和函數(shù)的極 大、極小值問題都是微分學(xué)的基本問題。正是這兩個問題的研究促進了微分學(xué)的誕生，費馬在這兩個問 題都作出了重要貢獻，他處理這兩個問題的方法是一致的。用現(xiàn)代語言來說，都是先取增量，而后讓增 量趨向于 0，而這正是微他學(xué)的實質(zhì)所在。在費馬求

51、面積的過程中，我們看到了定積分的概念與運算的大 部分的主要方面?？梢钥隙ǖ卣f，除了巴羅以外，沒有任何數(shù)學(xué)家像費馬這樣接近于微積分的發(fā)明了。 3、 簡述巴羅對微分學(xué)的貢獻。 答：巴羅最重要的著作是他的光學(xué)和幾何學(xué)講義 。在這本書中我們能夠找到非常接近近代微分過程的 步驟。巴羅求切線的方法非常接近于微分學(xué)中所采用的方法。特別有趣重要的是巴羅把作曲線的切線與 曲線的求積聯(lián)系了起來。這就是說。他把微分學(xué)和積分學(xué)的兩個基本問題以幾何對比形式聯(lián)系起來了。 巴羅的確走到了微積分基本定理的大門口了。 4、 論述積分學(xué)的早期史。 答：積分學(xué)起源于各種求積問題，如面積、體積和弧長的計算這些問題的研究在西方要追溯到遙遠的古 希臘。安提豐提出，隨著一個圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)逐次成倍增加，圓與多邊形的差將被窮竭。阿基 米德對窮竭法做出發(fā)最巧妙的應(yīng)用。得到了球的體積和圓柱體的體積。我國古代的劉徽的割圓術(shù)和祖恒 提出的“冪勢既同，則積不容異”原理，對微積分作出了重大貢獻。 5、 論述微積分對人類歷史的貢獻。 答：微積分的誕生具有劃時代的意義，是數(shù)學(xué)史上的分水嶺和轉(zhuǎn)折點，這個偉大的發(fā)明明顯不同于舊數(shù) 學(xué)。舊數(shù)