復數(shù)的三角形式與指數(shù)形式

1、第四講復數(shù)的三角形式與指數(shù)形式在中學，我們已經(jīng)學習過復數(shù)及其用代數(shù)形式a+bi表達的 四則運算法則及算律。初等數(shù)事題研究在大學數(shù)學中我們學習過建立在實數(shù)集合上的微積 分稱為實分析；同樣，在復數(shù)集合上也可以討論函數(shù)、 導數(shù)、微分、積分等問題，這就是大學數(shù)學本科（或研究 生）專業(yè)里一門必修課復變函數(shù)因此我們有必要對復數(shù)了解得更多些。本講講三個問題4.1復數(shù)的三角形式4.2復數(shù)的指數(shù)形式4.3復數(shù)的應用4.1、復數(shù)的三角形式、復數(shù)的幅角與楔我們知道復數(shù)Q+勿對應著復平 面上的點也對應復平面 上一個向量(如右圖所示)初等數(shù)題研究這個向量的長度叫做復數(shù)d+bi 的模，記為a+bi, 一般情況 下，復數(shù)的

2、模用字母I表示。同時，這個向量針對x軸的正方向有一個方向角，我們稱為 幅角，記為arg(a+bi),幅角一般情形下用希臘字母&表示。顯然a =r cos b =rsin把它們代入復數(shù)的代數(shù)形式得：a +bi =/cos&+i/sin0 = /(cos&+isin&)4.1 復數(shù)的三角形式這樣，我們把NcosO + isinO)叫做復數(shù)+勿的三角形式a+bi = r cos +zr sin = r (cos +z sin O)二、復數(shù)三角形式的運算法則初等數(shù)事題研究引入復數(shù)三角形式的一個重要原因在于用三角形式進行乘 除法、乘方、開方相對于代數(shù)形式較為簡單。所以這里只介紹三角形式的乘法、除法、乘方

3、與開方的運 算法則。1、復數(shù)的乘法設(shè) Z =/(cosq+isinq)z2 =r2(cosft+isin)那么 BQ = (cos6X + isinq)比(cosq +isin)4.1、復數(shù)的三角形式二、復數(shù)三角形式的運算法則1、復數(shù)的乘法平？ = (cos +ism)-r2(cos +isin)=中2 (cos 0x cos 02 - sin sin g)初等數(shù)事題研究+ ir/2 (sin 0 cos 02 + cos 0x sin $)=甲2【cos(0 + g) + i sin(q + 0)即 ZZ2 =茁2【cos(q + g)+Z sin + $)這說明，兩個復數(shù)相乘等于它們的模相

4、乘而幅角相加 這個運算在兒何上可以用下面的方法進行： 將向量可的模擴大為原來的抵倍，然后再將它繞原點逆時 針旋轉(zhuǎn)箱備就得到ZiZ2o4.1 復數(shù)的三角形式、復數(shù)三角形式的運算法則2、復數(shù)的除法r (cos 0. +isinQ) 十6 = !為(cosg + isin ft)初等數(shù)事題研究打(cos +1 sin 0x )(cos 02-i sin 02)(cos $ + i sin 2)(cos 02-i sin 02)=(cos q cos 32 + sin q sin g) r2+1 (sin cos $ cos 0x sin 2)=cos - g) + i sin(q - 0)4.1 復

5、數(shù)的三角形式、復數(shù)三角形式的運算法則2、復數(shù)的除法即 =丄cos（q -如+詁訕紹一02）5 r2這說明，兩個復數(shù)相除等于它們的模相除而幅角相減這個運算在兒何上可以用下面的方法進行:將向量Z的?？s小為原來的D分之一,然后再將它繞原點順時針旋轉(zhuǎn)角就得到Z4-Z2o3、復數(shù)的乘方。初等數(shù)事題研究利用復數(shù)的乘法不難得到z = r11 （cos nO+i sin這說明，復數(shù)的n次方等于它模的n次方，幅角的n倍。4.1、復數(shù)的三角形式二、復數(shù)三角形式的運算法則3、復數(shù)的乘方。zn = rn (cos nO-i sinn)這個運算在兒何上可以用下面的方法進行：初等數(shù)事題研究將向量可的模變?yōu)樵瓉淼膎次方，然

6、后再將它繞原點逆時針 旋轉(zhuǎn)角nB,就得到z11。4、復數(shù)的開方對于復數(shù)z=Hcos0 + isin0),根據(jù)代數(shù)基本定理及其 推論知，任何一個復數(shù)在復數(shù)范圍內(nèi)都有n個不同的n次方 根。設(shè) z = r(cos&+isin0)的一個n次方根為 G) = p(cos(p + isin(p)4.1 復數(shù)的三角形式二、復數(shù)三角形式的運算法則4、復數(shù)的開方那 么 cd1 = p(cos 0+i sin 0) = pn (cos n(p+i sin n(p) 所以 r = p9“0 = 0+%兀,仇= 0,l,2,)初等數(shù)事題研究廠0 + 2氐龍 0 2k/r門門丄丄c、即 p = d八(p = + = 0

7、，1，2, )n n n顯然,當k從0依次取到n 1,所得到的角的終邊互不相同, 但k從n開始取值后，前面的終邊又周期性出現(xiàn)。因此，復數(shù)Z的n個n次方根為=如(cos ?+兀 + i sin &+%兀),仇=0,1,2,兀一1)4.1 復數(shù)的三角形式二、復數(shù)三角形式的運算法則4、復數(shù)的開方廠3 + lkn: . . 0 + 2氐兀 門 ci cixa)k =/(cos+ zsm)， (k =，一1)nn從求根公式可以看岀，相鄰兩個根之間幅角相差初等數(shù)事題研究n所以復數(shù)z的n個n次方根均勻地分布在以原點為圓心， 以它的模的n次算術(shù)根為半徑的圓周上。因此:一求一個復數(shù)z的全部n次方根，可以用下面的

8、幾何手段進行:z = /(cos 0 + i sin 0)先作出圓心在原點，半徑為咖的圓，然后作出角？的終邊以這條終邊與圓的交點為分點，將圓周n等分，那么，每個等分點對應的復數(shù)就是復數(shù)Z的n次方根。4.2、復數(shù)的指數(shù)形式在對復數(shù)三角形式的乘法規(guī)則討論中，我們發(fā)現(xiàn)，復數(shù)的三 角形式將復數(shù)的乘法“部分地”轉(zhuǎn)變成加法（模相乘，幅角 相加）這種改變運算等級的現(xiàn)象在初等函數(shù)中有過體現(xiàn)：對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)axay =ax+ylog“（Q）= lg“ 兀+噸 “ J前者將兩個同底幕的乘積變成同底的指數(shù)相加；后者將 兩個真數(shù)積的對數(shù)變成兩個同底對數(shù)的和。從形式上看，復數(shù)的乘法與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系更為密切些：初等數(shù)

9、早題研究z&2 =打乙cos +g） + isin（q +g）（方礦）如）=（妙2）嚴根據(jù)運個牛寸點，復數(shù)z=r(cos0+isin&)應該可以表示成 某種指數(shù)形式即復數(shù)應該可以表示成J的形式這里有三個問題需要解決：(1) 反映復數(shù)本質(zhì)特征的三個因素：模r、幅角6、虛數(shù) 單位2應各自擺放在什么位置？(2) 在這些位置上它們應呈現(xiàn)什么形態(tài)？(3) 作為指數(shù)形式的底應該用什么常數(shù)？初等數(shù)事題研究先來研究第一個問題.4.2、復數(shù)的指數(shù)形式再重新觀察下面的等式ZjZ2 = rr2 cos + $） + i sin（ + $）（方礦）（耐）=（妙2）嚴初等數(shù)事題研究首先,顯然模r應該占據(jù)ys”中系數(shù)y的

10、位置， 其次，幅角。應該占據(jù)V 年指數(shù)x的位置，對于虛數(shù)單位i,如果放到系數(shù)y的位置會怎樣？由于（irax）2 =-r2a2x等式右邊是實數(shù)，對于任意虛數(shù)而言，這是不可能的。因此幅角。也應該占據(jù)指數(shù)的位置。這樣第二個問題就產(chǎn)生了：它與幅角一起在指數(shù)的位置上 是什么關(guān)系？（相加？相乘？）4.2、復數(shù)的指數(shù)形式幅角。與虛數(shù)單位i是相加的關(guān)系會怎樣?先考察模為1的復數(shù)cos0 + isin0初等數(shù)事題研究如果寫成才我的形式 _方面，由于與（訃）的形式差別不是很大，其次（/+&）=/+&在復數(shù)的乘方法則中，應該僅是幅角的n倍而沒有虛數(shù)單 位也要n倍，所以虛數(shù)單位與幅角不應該是相加關(guān)系，而 應該是相乘關(guān)

11、系z ra現(xiàn)在來審查乘法、除法和乘方法則是否吻合4.2、復數(shù)的指數(shù)形式*2 =（邙嚴）（公戶）=（甲2鬼吃）Zl -S-Z2 =（邙嚴）*（空嚴）=（打子eW殲初等數(shù)事題研究乘除法保持“模相乘除、幅角相加減”、乘方保持“模的 n次方、幅角的n倍”的本質(zhì)特征下面來解決最后一個問題：應該選用哪個常數(shù)作為底數(shù)？我們暫時將z =/（cos&+Esin&）形式化地看做r與e的“二元函數(shù)”數(shù)學是“形式化的科學”，因此，一些形式化的性質(zhì)應 該“形式化”地保持不變。下面我們將r（cosO+isinO） = rai0等式兩邊對。形式化地求“偏微分”ddOr(cosO + isin0)= r(-sin + ico

12、s 0) =r(cos & + i sin &)i = zidai0dO= iral0lna =zi Ina于是由 iz = izhia 二lna = l =a=e這樣我們利用不太嚴格的推理得到了復數(shù)的第三種表 現(xiàn)形式一一指數(shù)式z =a+bi = r (cos +1 sin ) = re10初等數(shù)早題研究從復數(shù)的模與幅角的角度看，復數(shù)的指數(shù)形式其實是三角 形式的簡略化對于指數(shù)形式的嚴格證明可以參讀復數(shù)的指數(shù)形式的證明4.2、復數(shù)的指數(shù)形式將函數(shù)cosx,sinx寫成泰勒級數(shù)形式: 兀 兀？兀ex =1 + +1! 2!n*2464w44w2COS X = 112!4!6!(4w-4)I (4一

13、2)!初等數(shù)事題研究片3 y57r 4/1-3r4w-l.smx = xhd+ 3!5!7!(4m-3)! (4w-l)!將兀=iz代入可得：(iz)2(iz)3 (iz)n te =l + iz +2!3!n_2_3_4_5671 ZZ ZZ ZZ =l + ZZ1 H111 +2!3!4!5!6!7!_2_4_6_3_5_7Z1 Z Z Zx z Z Z Z、=(1+ ) + (Z+ )!2!4!6!3!5!7!= cosz + isinz由復數(shù)的三角形式與指數(shù)形式，我們很容易得到下面的 兩個公式：翻+伽嚴cos 0 - i sin 0 = eieei0 +eieeie -eie二 cos

14、 0 =， sin 0 =22i這兩個公式被統(tǒng)稱為歐拉公式初等數(shù)事題研究在復數(shù)的指數(shù)形式中，令r= l,0=7r,就得到下面的等式產(chǎn)=一1 或 e+l = 04.2、復數(shù)的指數(shù)形式在復數(shù)的指數(shù)形式中，令r=l,e=7T,就得到下面的等式= 1 或 e +1 = 0它是數(shù)學里最令人著迷的一個公式，它將數(shù)學里最重要的五 個數(shù)字就這么神秘地聯(lián)系到了一起：兩個超越數(shù)自然對 數(shù)的底6圓周率兀；三個單位 虛數(shù)單位i、自然數(shù)的乘法 單位1和加法單位0。初等數(shù)事題研究關(guān)于自然對數(shù)的底e和圓周率兀，這里我想多說那么兒句：它 們是迄今為止人類所發(fā)現(xiàn)的兩個彼此獨立的超越數(shù)，盡管從 理論上我們知道，超越數(shù)比有理數(shù)、代

15、數(shù)數(shù)（可以表示為有 理系數(shù)一元多項式的根的數(shù)）要多得多，但為人類所認識的 超越數(shù)卻僅此兩個！令人不可思議的是，它們居然憑借這么一個簡單關(guān)系彼此聯(lián) 系著。數(shù)學家們評價它是“上帝創(chuàng)造的公式”，我們只能看著它但 卻不能理解它。4.3、復數(shù)的應用初等數(shù)早題研究2z+z+ +z利用復數(shù)的三角形式，我們可以比較容易地解決一些數(shù)學其 他領(lǐng)域里的問題。由于我們這門課的特點，我們僅限于在初 等數(shù)學領(lǐng)域里舉兩個例子。例1：三角級數(shù)求和cosa + cos 2a + + cos nasina + sin 2a + + sin na解： 令z = cosa + isina 那么對任何自然數(shù)k,有zk =coska +

16、 isinka=(cos a + isina) + (cos 2a+ i sin 2a) + + (cos na + i sin na) =(cos a + cos 2a+ + cos na) + i (sin cr + sin 2a + + sin na)4.3、復數(shù)的應用例1:三角級數(shù)求和cos a + cos 2a + + cos nasin a + sin 2a + + sin na+14.3、復數(shù)的應用例1:三角級數(shù)求和cos a + cos 2a + + cos nasin a + sin 2a + + sin na解:另一方面z + z* 2 + + zz(l - z)1-z+1

17、4.3、復數(shù)的應用例1:三角級數(shù)求和cos a + cos 2a + + cos nasin a + sin 2a + + sin na初等數(shù)事題研究_ (cosa+ isina)l一(cosna + isinna) l-(cosa + isina)(cos a +1 sm a)(2 snr2 smcos )2 sin。a sm 2 -2i sincos 2 2 2.na z、/ na-n na-兀、sin (cos a +1 sin a)(cos+1 sin)+14.3、復數(shù)的應用例1:三角級數(shù)求和cos a + cos 2a + + cos nasin a + sin 2a + + sin

18、 na解:初等數(shù)事題研究 na . n+1sm sma2 2。asm 2 nasin2 r / na-n a 冗、.z na-n a_冗、 cos(a +) +1 sin(a +).a2222sm 2 nasm2 z w + 1- n + 1 、(cosa +1 sina).a 22sm 2.na n+1 smcosa2 2+14.3、復數(shù)的應用例1:三角級數(shù)求和cos a + cos 2a + + cos nasin a + sin 2a + + sin na初等數(shù)事題研究 na n+1. na . n+1smcosa sinsinaZ + /+ + z=22_ + j_22_ a. asin sin 2 2所以 + 1smcosacos a + cos 2a + + cos na = a sm 2 na . n + 1 smsmasin a + sin 2a + + sin na = asin 2+14.3、復數(shù)的應用例2：設(shè)M是單位圓周好+ y2=1上的動點，點N與定點A(2, 0) 和點M構(gòu)成一個等邊三角形的頂點，并且MNAM成