第三章 測量誤差基本知識

1、 1. 1.對同一量多次觀測，其觀測值不相同。對同一量多次觀測，其觀測值不相同。 2.2.觀測值之和不等于理論值觀測值之和不等于理論值 三三 角角 形形 +180+180 閉合水準閉合水準 h0h0 3-1 3-1 觀測誤差的分類觀測誤差的分類一一. . 測量誤差的發(fā)現(xiàn)測量誤差的發(fā)現(xiàn) 等精度觀測：觀測條件相同的各次觀測。等精度觀測：觀測條件相同的各次觀測。 不等精度觀測：觀測條件不相同的各次觀測。不等精度觀測：觀測條件不相同的各次觀測。二二. . 測量誤差產生的原因測量誤差產生的原因1. 1. 儀器誤差儀器誤差2. 2. 觀測者感官的限制觀測者感官的限制( (觀測誤差）觀測誤差）3. 3. 外

2、界條件的影響外界條件的影響總稱為觀測條件。總稱為觀測條件。三三. . 測量誤差的分類測量誤差的分類特性特性: : 在相同的觀測條件下，無論在個體和群體在相同的觀測條件下，無論在個體和群體 上，呈現(xiàn)出以下特性：上，呈現(xiàn)出以下特性：誤差的絕對值為一常量，或按一定的規(guī)律變化；誤差的絕對值為一常量，或按一定的規(guī)律變化；誤差的正負號保持不變，或按一定的規(guī)律變化；誤差的正負號保持不變，或按一定的規(guī)律變化；誤差的絕對值隨著單一觀測值的倍數(shù)而積累。誤差的絕對值隨著單一觀測值的倍數(shù)而積累。 （一）（一）. .系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差-累積誤差累積誤差 例例 ：鋼尺：尺長、溫度、傾斜改正：鋼尺：尺長、溫度、傾斜改正 水準

3、儀水準儀：i i角角 經緯儀經緯儀：2c2c、i i角角觀測值的準確度：觀測值的準確度： 指觀測值偏離真值的程度。指觀測值偏離真值的程度。 系統(tǒng)誤差對其有較大的影響。系統(tǒng)誤差對其有較大的影響。 消除方法消除方法:1.:1.校正儀器；校正儀器； 2.2.觀測值加改正數(shù)；觀測值加改正數(shù)； 3.3.采用一定的觀測方法加以抵消或削弱。采用一定的觀測方法加以抵消或削弱。 在相同的觀測條件下，對某個固定量作一系列在相同的觀測條件下，對某個固定量作一系列的觀測，如果觀測結果的差異在正負號及數(shù)值上，的觀測，如果觀測結果的差異在正負號及數(shù)值上，都沒有表現(xiàn)出一致的傾向，都沒有表現(xiàn)出一致的傾向， 即沒有任何規(guī)律性，

4、這即沒有任何規(guī)律性，這類誤差稱為偶然誤差。類誤差稱為偶然誤差。（二）（二）. . 偶然誤差偶然誤差（三）、誤差處理原則（三）、誤差處理原則1. 1.粗差：增加多余觀測，舍棄含有粗差的觀測值，并粗差：增加多余觀測，舍棄含有粗差的觀測值，并 重新進行觀測。重新進行觀測。 2.2.系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差: :按其產生的原因和規(guī)律加以改正、抵消按其產生的原因和規(guī)律加以改正、抵消 和削弱。和削弱。3.3.偶然誤差：根據(jù)誤差特性合理的處理觀測數(shù)據(jù)，減偶然誤差：根據(jù)誤差特性合理的處理觀測數(shù)據(jù)，減 少其影響。少其影響。 對對358358個三角形在相同的觀個三角形在相同的觀測條件下觀測了全部內角，三角測條件下觀測了全

5、部內角，三角形內角和的誤差形內角和的誤差 i i I I=三角形內角和三角形內角和( (測量值）測量值）-180-180 其結果如表其結果如表 分析三角形內角和的誤差分析三角形內角和的誤差 I I的的規(guī)律。規(guī)律。四、偶然誤差的特性四、偶然誤差的特性 誤差區(qū)間 負誤差負誤差 正誤差正誤差 誤差絕對值誤差絕對值 d d K K/n K K/n K K/n K K/n K K/n K K/n 0303 45 45 0.1260.126 46 46 0.1280.128 91 0.254 91 0.254 36 36 40 40 0.1120.112 41 41 0.1150.115 81 0.226

6、 81 0.226 69 33 69 33 0.0920.092 33 33 0.0920.092 66 0.184 66 0.184 912 23 912 23 0.0640.064 21 21 0.0590.059 44 0.123 44 0.123 12151215 17 17 0.0470.047 16 16 0.0450.045 33 0.092 33 0.092 15181518 13 13 0.0360.036 13 13 0.036 0.036 26 0.073 26 0.073 18211821 6 6 0.0170.017 5 5 0.0140.014 11 0.031 1

7、1 0.031 2124 4 2124 4 0.0110.011 2 2 0.0060.006 6 0.017 6 0.017 2424以上以上 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 181 0.505 177 0.495 358 181 0.505 177 0.495 358 1.0001.000 偶然誤差的計 算在一定的條件下，偶然誤差的絕對值不會超過在一定的條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限度。（有界性）一定的限度。（有界性）絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機會絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機會要多；（密集性、區(qū)間性）要多；（密集性、區(qū)間性）偶然誤差的特性偶然誤差

8、的特性絕對值相等的正、負誤差出現(xiàn)的機會相等，可絕對值相等的正、負誤差出現(xiàn)的機會相等，可 相互抵消；相互抵消；同一量的等精度觀測，其偶然誤差的算術平均同一量的等精度觀測，其偶然誤差的算術平均 值，隨著觀測次數(shù)的增加而趨近于零，即。（抵償性）值，隨著觀測次數(shù)的增加而趨近于零，即。（抵償性） 0limnn -24 -21 -18-15-12-9 -6 -3 0 +3+6 +9 +12+15+18+21+24X=X= 偶然誤差服從正態(tài)分布偶然誤差服從正態(tài)分布dnky/)(xf正態(tài)分布曲線的數(shù)學方程式正態(tài)分布曲線的數(shù)學方程式22221)(efynnnnn.2222122limlim方差：方差：標準差：標

9、準差：nnnnlimlim2 1. 1.提高儀器等級提高儀器等級 2.2.進行多余觀測、求平差值。進行多余觀測、求平差值。 觀測值的精度觀測值的精度 觀測值的離散程度，主要取決于觀測值的離散程度，主要取決于偶然誤差的影響。偶然誤差的影響。減弱偶然誤差的方法減弱偶然誤差的方法 3-2 3-2 衡量精度的標準衡量精度的標準 為對觀測值的精度作出科學的評為對觀測值的精度作出科學的評定，常用定，常用中誤差中誤差、極限誤差極限誤差、相對相對誤差誤差作為評定精度的標準。作為評定精度的標準。一一. . 中誤差中誤差定義定義 : :在相同條件下，對某量（真值為在相同條件下，對某量（真值為X X）進行進行n n

10、次觀測，觀測值次觀測，觀測值L L1 1， L L2 2，L Ln n，偶然誤差（真誤差）偶然誤差（真誤差）1 1，2 2，n n，則方差的定義為：，則方差的定義為： 按有限次觀測的偶然誤差求得的標按有限次觀測的偶然誤差求得的標準差稱為中誤差。準差稱為中誤差。nnlim2nm 實際工作中，由于實際工作中，由于n n值總是有限的，故使用值總是有限的，故使用 的的 估值常由中誤差估值常由中誤差mm表達，即：表達，即：式中：式中：2232221.n中誤差越小，觀測精度越高。中誤差越小，觀測精度越高。 例例 已知：用甲乙兩臺儀器對同一角各觀測十已知：用甲乙兩臺儀器對同一角各觀測十次，其真誤差為：次，其

11、真誤差為： 甲：甲：- 3- 3，22，44，2 2， 1 , 01 , 0， - 4- 4，33，22，-3-3。 （2424） 乙：乙：00， 11， -7 -7 ， 11， - 2- 2， -1-1，1, 8 1, 8 ， 00， 3 3 。（。（2424） 求：求：mm甲甲，mm乙乙7 . 21072 甲m6 . 310130 乙m解：解：按觀測值的真誤差計算中誤差按觀測值的真誤差計算中誤差第一組觀測第二組觀測次序觀測值 l2觀測值 l211800003-3918000000021800002-241595959+1131795958+241800007-74941795956+416

12、1800002-2451800001-111800001-1161800000001795959+1171800004-4161795952+86481795957+3918000000091795958+241795957+39101800003-391800001-11|247224130中誤差 7.221nm 6.322nm 例例 已知：七個三角形的閉合差已知：七個三角形的閉合差f f為：為： -3-3，-2-2，88，-5-5，-2-2， 55，-9-9 求：三角形閉合差的中誤差求：三角形閉合差的中誤差mmf f5.57212 nffmf解：解：180f其真值其真值X X應等于應等于0

13、 0。閉合差的真誤差閉合差的真誤差所以所以0iiifXf 測量中通常取測量中通常取2 2倍或倍或3 3倍中誤差作為偶然倍中誤差作為偶然誤差的容許誤差，即誤差的容許誤差，即容容=2=2mm 或或 容容=3=3mm 。二二. .極限誤差（容許誤差）極限誤差（容許誤差）定義定義 ：由偶然誤差的特性可知，在一定的觀測：由偶然誤差的特性可知，在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。這個限值就是值。這個限值就是極限誤差極限誤差。通常以。通常以3 3倍中誤差倍中誤差為真誤差極限誤差的估值，即為真誤差極限誤差的估值，即 極極33mm 。極限誤差的作用：區(qū)

14、別誤差和錯誤的界限。極限誤差的作用：區(qū)別誤差和錯誤的界限。誤差出現(xiàn)的概率誤差出現(xiàn)的概率22221)(0 xexf則若9973. 0)(9545. 0)(6826. 0)()(3322xfxfXPxf 相對誤差相對誤差K K 是中誤差的絕對值是中誤差的絕對值 mm 與相與相應觀測值應觀測值 D D 之比，通常以分母為之比，通常以分母為1 1的分式的分式來表示，稱其為相對（中）誤差。即來表示，稱其為相對（中）誤差。即: :mDDmk1三三. .相對誤差相對誤差中誤差和真誤差均是絕對誤差。中誤差和真誤差均是絕對誤差。相對誤差相對誤差 k :k : 例例 已知：已知：D D1 1=100m, m=10

15、0m, m1 1=0.01m0.01m D D2 2=200m, m=200m, m2 2=0.01m0.01m 求：求： K K1 1, K, K2 2 解：解：20000120001. 010000110001. 0222111DmKDmK : : 角度，高差的誤差用角度，高差的誤差用mm表示、量距誤差表示、量距誤差用用K K表示。表示。 在距離量測中，常用往返測量結果的較在距離量測中，常用往返測量結果的較差率來進行檢核。較差率為：差率來進行檢核。較差率為：DDDDDDD平均平均平均返往1 較差率是真誤差的相對誤差。較差率愈較差率是真誤差的相對誤差。較差率愈小，觀測結果愈可靠。小，觀測結果

16、愈可靠。較差率較差率 設在相同的觀測條件下對未知量觀測了設在相同的觀測條件下對未知量觀測了n n次，觀測值為次，觀測值為l l1 1、l l2 2l ln n，中誤差為，中誤差為mm1 1、mm2 2 mmn n，則其算術平均值（最或然值、，則其算術平均值（最或然值、似真值）為：似真值）為： nlnlllxn 213-3 3-3 觀測值的算術平均值及中誤差觀測值的算術平均值及中誤差一一. . 算術平均值（最或然值、似真值）算術平均值（最或然值、似真值） 設未知量的真值為設未知量的真值為X X，可寫出觀測值的真，可寫出觀測值的真誤差公式為誤差公式為: :)(2121nnlllnX lnX nlX

17、nx觀測值的算術平均值x算術平均值真誤差推導過程nnlXlXlX.2211（i=1，2，n）將上列等式相加將上列等式相加:則有：則有：由偶然誤差第四特性知道，當觀測次數(shù)由偶然誤差第四特性知道，當觀測次數(shù)無限增多時，無限增多時，xx趨近于零，趨近于零，即即 n n趨近無窮大時，算術平均值即為真值。趨近無窮大時，算術平均值即為真值。 xxX0limxn nlnlllxn 21二、觀測值的改正值二、觀測值的改正值觀測值的改正值：算術平均值與觀測值觀測值的改正值：算術平均值與觀測值 之差稱為觀測值的改之差稱為觀測值的改 正數(shù)正數(shù)v。nnlxvlxvlxv.22110lnlnvlxnv三、按觀測值的改正

18、值計算中誤差三、按觀測值的改正值計算中誤差nm第一公式第一公式條件：條件：X（觀測值（觀測值 真值）已知真值）已知第二公式第二公式 其中其中 v vi i觀測值改正數(shù)觀測值改正數(shù) 1nvvm條件：條件：X X（觀測值真值）未知，（觀測值真值）未知，x x（算術平均值）已知（算術平均值）已知iilxv觀測值觀測值平均值平均值nm1nvv證明：證明：iilxviilX （i=1i=1，2 2，3 3，n n）兩式相減，有：兩式相減，有：)(xXvii)()()(2211xXvxXvxXvnn 即即將上列等式兩端各自平方，并求其和，則將上列等式兩端各自平方，并求其和，則 2)()(2xXnvxXvv

19、將將 代入上式，則代入上式，則 2)(xXnvvn 0v)(iilX 所以：所以： 213121222221222)(2)(nnnxXnnn nnlXnlXxX由于由于 為偶然誤差，它們的非自乘為偶然誤差，它們的非自乘積積 仍具有偶然誤差的性質，仍具有偶然誤差的性質，根據(jù)偶然誤差的特性，即根據(jù)偶然誤差的特性，即n ,210lim13121nnnn代回原式中，得代回原式中，得故故即即 21) 1(mnvvnvvnnnvv證畢證畢nn 13121, 2222)(nnxX得得按觀測值的改正數(shù)計算中誤差按觀測值的改正數(shù)計算中誤差 次序觀測值 l改正數(shù) vvv1123.457-5252123.450+2

20、43123.453-114123.449+395123.451+11S123.452040毫米16. 3232. 61540452.1230mll小結小結一、已知真值一、已知真值X X，則真，則真誤差誤差 一、真值不知，則一、真值不知，則 iilX nmilxivnlx1nvvm二、中誤差二、中誤差二、中誤差二、中誤差白塞爾公式白塞爾公式二二. .用改正數(shù)用改正數(shù)v 計算計算算術平均值算術平均值（或然值）中誤差（或然值）中誤差MMx xn1) 1(nnvvnmMx算術平均值中誤差算術平均值中誤差為觀測值的中誤差為觀測值的中誤差的的 倍，即倍，即:算術平均值中誤差與觀測次數(shù)的關系算術平均值中誤差

21、與觀測次數(shù)的關系概念概念 ：在間接觀測的情況下，未知量的中在間接觀測的情況下，未知量的中誤差和觀測值中誤差之間必有一定的關系，誤差和觀測值中誤差之間必有一定的關系，闡述這種關系的定律為闡述這種關系的定律為誤差傳播定律誤差傳播定律。即闡。即闡述觀測值的中誤差與觀測值函數(shù)中誤差的關述觀測值的中誤差與觀測值函數(shù)中誤差的關系的定律稱為系的定律稱為誤差傳播定律誤差傳播定律。 1nvvnm3-4 3-4 誤差傳播定律誤差傳播定律求直接觀測值的中誤差求直接觀測值的中誤差一、觀測值的函數(shù)一、觀測值的函數(shù)yxz（一）、和差函數(shù)：（一）、和差函數(shù)： 和差函數(shù)的中誤差：和差函數(shù)的中誤差：222yxzmmm1. 1.

22、和差函數(shù)的中誤差和差函數(shù)的中誤差例如：例如： 用用30m30m的鋼尺丈量一段的鋼尺丈量一段240m240m的距離，的距離， 共量共量8 8尺段。尺段。 設每一尺段丈量的中誤差為設每一尺段丈量的中誤差為5mm5mm， 則丈量全長則丈量全長D D的中誤差：的中誤差：)(1485mmmD821.lllD例如：兩點間的水平距離例如：兩點間的水平距離D D分為分為n n段來丈量，段來丈量， 各段量得的長度分別為各段量得的長度分別為d d1 1,d,d2 2,d,dn n， 則：則： D Dd d1 1+d+d2 2+d+dn n 即距離即距離D D是各分段觀測值是各分段觀測值d d1 1,d,d2 2,

23、d,dn n 之和。這種函數(shù)稱為之和。這種函數(shù)稱為和差函數(shù)和差函數(shù)。 22221nzmmmm 例例 三角形中，已知：三角形中，已知：A A、B B角的中誤差為角的中誤差為 mmA A 、mmB B，求：，求：C C角中誤差角中誤差mmC C。 解：解： ，C C角是直接觀測值角是直接觀測值A A、 B B角的函數(shù)。角的函數(shù)。 mmC C = ?= ? 例例 高差測定中的高差測定中的 ，h h是直接觀測是直接觀測 值值a a、b b的函數(shù)。的函數(shù)。bahBAC180（二）、（二）、倍函數(shù)的中誤差倍函數(shù)的中誤差倍函數(shù)的中誤差：倍函數(shù)的中誤差： 倍函數(shù)的函數(shù)式倍函數(shù)的函數(shù)式: :kxz xzkmm

24、例如：在比例尺為例如：在比例尺為l l：500500的地形圖上量得的地形圖上量得 某兩點間的距離某兩點間的距離d d134.7mm134.7mm，圖，圖 上量距的中誤差上量距的中誤差mmd d=土土0.2mm0.2mm， 則換算為實地兩點間的距離則換算為實地兩點間的距離D D及其及其 中誤差中誤差mmD D為：為：dDMmm 解：解：dMD 用尺子在用尺子在l l：10001000的地形圖上量得兩的地形圖上量得兩點間的距離點間的距離d,d,其相應的實地距離其相應的實地距離: : D Dl000dl000d 則則D D是是d d的倍函數(shù)。的倍函數(shù)。 例：例：量距中誤差：mD D=1000md d

25、二二. .線性函數(shù)及中誤差線性函數(shù)及中誤差設線性函數(shù)的一般式為：設線性函數(shù)的一般式為：式中：式中： 為系數(shù)；為系數(shù)； 為獨立觀測值。為獨立觀測值。當觀測值的中誤差分別為當觀測值的中誤差分別為 時，時，將函數(shù)式全微分，寫成中誤差的形式，按誤將函數(shù)式全微分，寫成中誤差的形式，按誤差傳播定律，函數(shù)差傳播定律，函數(shù) z z 的中誤差用下式計算：的中誤差用下式計算： nnxkxkxkxkz 332211ikixnmmmm,321 22332222112)()()()(nnzmkmkmkmkm 誤差傳播定律誤差傳播定律算術平均值算術平均值 已知：已知：求：求：mmx x nlllxn21) 1(1)1()

26、1()1(1112222221221nnmnmmnmnmnmnmdlndlndlndxnxnnmmm.21設非線性函數(shù)的一般式為：設非線性函數(shù)的一般式為：式中：式中： 為獨立觀測值；為獨立觀測值； 為獨立觀測值的中誤差。為獨立觀測值的中誤差。求函數(shù)的全微分，并用求函數(shù)的全微分，并用“”替代替代“d”d”，得，得),(321nxxxxfz ixnmmmm,321 nxnxxZxfxfxf )()()(2121三三. .一般函數(shù)一般函數(shù)式中：式中： 是函數(shù)對是函數(shù)對 的偏導數(shù)，的偏導數(shù)，當函數(shù)式與觀測值確定后，它們均為常數(shù)，當函數(shù)式與觀測值確定后，它們均為常數(shù)，因此上式是線性函數(shù)，其中誤差為：因此

27、上式是線性函數(shù)，其中誤差為：ixf), 2 , 1(ni 22222221212)()()(nnZmxfmxfmxfm ix2222222121)()()(nnZmxfmxfmxfm 1. 1.列出觀測值函數(shù)的表達式：列出觀測值函數(shù)的表達式： 2.2.對函數(shù)式全微分，得出函數(shù)的真誤差與對函數(shù)式全微分，得出函數(shù)的真誤差與 觀測值真誤差之間的關系式：觀測值真誤差之間的關系式： 式中，式中， 是用觀測值代入求得的值。是用觀測值代入求得的值。 ),(21nxxxfZ nxnxxZxfxfxf )()()(2121)(ixf求觀測值函數(shù)中誤差的步驟和方法求觀測值函數(shù)中誤差的步驟和方法 3. 3.寫出函數(shù)

28、中誤差與觀測值中誤差之間的寫出函數(shù)中誤差與觀測值中誤差之間的關系式：關系式： 注意：在誤差傳播定律的推導過程中，要求注意：在誤差傳播定律的推導過程中，要求觀測值必須是獨立觀測值，其真誤差之間須觀測值必須是獨立觀測值，其真誤差之間須滿足下式，即滿足下式，即 4.4.計算觀測值函數(shù)中誤差計算觀測值函數(shù)中誤差22222221212)()()(nnZmxfmxfmxfm 0limnyxn 例例 已知：測量矩形的兩邊已知：測量矩形的兩邊a=20.00a=20.000.02m, 0.02m, b=50.00b=50.000.04m0.04m 求：矩形面積求：矩形面積A A及其中誤差及其中誤差mmA A 解

29、：解：1. 1.函數(shù)式函數(shù)式 A=aA=ab b 2. 2.全微分全微分 3.3.中誤差式中誤差式 （mm）222)()(baAmambm22)04. 020()02. 050(28. 164. 1AmdbadAbdbbAdaaAdA 例例 已知：測量斜邊已知：測量斜邊D=50.00D=50.000.05m0.05m，測得傾角測得傾角=15=15000000003030 求：水平距離求：水平距離D D 解：解：1. 1.函數(shù)式函數(shù)式 2.2.全微分全微分 3.3.化為中誤差化為中誤差 （mm） dDDdDd)sin()(cos cosDD2222203)15sin50(05.0)15(cos)sin()(cos mDmmDD048. 0Dm一一. . 不等精度觀測值的權不等精度觀測值的權 各非等精度觀測值的可靠程度，可用一各非等精度觀測值的可靠程度，可用一個數(shù)值來表示，稱其為各觀測值的個數(shù)值來表示，稱其為各觀測值的權權。 3-6 3-6 加權平均值及其中誤差加權平均值及其中誤差權的概念權的概念：“權權”是權衡輕重的意思，表示是權衡輕重的意思，表示觀觀 測結果質量的可靠程度。測結果質量的可靠程度。 觀測值的精度愈高，其權愈大。