拉格朗日插值公式的證明及其應(yīng)用

1、拉格朗日插值公式的證明及其應(yīng)用摘要: 拉格朗日(Lagrange)插值公式是多項(xiàng)式中的重要公式之一,在理論和實(shí)踐中都有著廣泛的應(yīng)用.本文闡述了Lagrange插值的基本理論，譬如：線形插值，拋物插值，Lagrange多項(xiàng)式等.然后將線形插值，拋物插值，Lagrange多項(xiàng)式插值分別應(yīng)用到高中知識(shí)中，并且學(xué)會(huì)用計(jì)算機(jī)程序來編寫.插值法的思想與中國剩余定理一脈相承, 體現(xiàn)了代數(shù)中線性化 (即表示為求和和數(shù)乘的形式) 這一基本思路, 大巧若拙.本文的目的是通過介紹拉格朗日插值公式的推導(dǎo)，唯一性，證明過程及其在解題與實(shí)際生活問題中的應(yīng)用來尋找該公式的優(yōu)點(diǎn)，并且引人思考它在物理，化學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用.通過實(shí)

2、際鑒定過程，利用插值公式計(jì)算生活中的成本問題，可以了解它的計(jì)算精度高,方法快捷.關(guān)鍵詞： 拉格朗日插值公式 唯一性 證明 解題應(yīng)用 資產(chǎn)評(píng)估曲線插值問題，直觀地說，認(rèn)為已知的一批數(shù)據(jù)點(diǎn)是準(zhǔn)確的，這些數(shù)據(jù)點(diǎn)所表現(xiàn)的準(zhǔn)確函數(shù)關(guān)系是未知的，在這種情況下要作一條近似曲線且點(diǎn)點(diǎn)通過這些點(diǎn)，插值問題不僅要討論這種近似曲線的構(gòu)造方法，還要討論點(diǎn)增多時(shí)這種近似曲線是否穩(wěn)定地收斂于未知函數(shù)，我們先研究一種簡單常用的插值拉格朗日插值.一.定義，推導(dǎo)及其在解題中的應(yīng)用.線性插值. 線性插值的定義假定已知區(qū)間的端點(diǎn)處的函數(shù)值, ,要求線性插值多項(xiàng)式使它滿足, 的幾何意義:通過兩點(diǎn)和的直線，如圖所示，的表達(dá)式由幾何意義

3、直接給出，即 (點(diǎn)斜式)，圖 (兩點(diǎn)式)由兩點(diǎn)式方程看出，由兩個(gè)線性函數(shù),的線性組合得到,其系數(shù)分別為及,即顯然,及也是插值多項(xiàng)式,在節(jié)點(diǎn)及上滿足條件， ， ， 稱函數(shù),（圖）及（圖）為一次插值基函數(shù)或線性插值基函數(shù).圖象為： 圖2 圖3. 線性插值例題例1. 已知用線性插值計(jì)算.解：由題意取，若取為節(jié)點(diǎn)，則線性插值為：.若取為節(jié)點(diǎn)，則線性插值為：.二次插值. 二次插值的定義若時(shí),假定插值節(jié)點(diǎn)為要求二次插值多項(xiàng)式,使它滿足()的幾何意義:通過三點(diǎn)的 , , 的拋物線.例如，因?yàn)樗袃蓚€(gè)零點(diǎn)，故可表示為：.由得.所以，.同理 ， .函數(shù), ,稱為二次插值基函數(shù)或拋物插值基函數(shù).在區(qū)間上的圖形分別

4、為: 利用二次插值基函數(shù), , ,立即可得到二次插值多項(xiàng)式顯然,它滿足條件 .即 + + . 拉格朗日公式（二次插值）在解題中的應(yīng)用例2. 已知函數(shù)（為實(shí)數(shù) ）。若 ，則的最大值是多少？提示：由是偶函數(shù)，得.令節(jié)點(diǎn)，由拉格朗日插值公式（拋物插值）得注：用高中知識(shí)很難解決該題，從此題中可知拉格朗日公式在解題中的方便與快捷.例3. 已知求證：中至少有一個(gè)值不小于證明：根據(jù)二次函數(shù)的插值公式比較上式兩邊的系數(shù)，有假若都小于，則1=得出矛盾.所以，中至少有一個(gè)值不小于注：這是一道全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題，對(duì)高中生有一定難度，但應(yīng)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)來做卻易如反掌。從這方面可看出高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)對(duì)我們中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的指

5、導(dǎo)有重要作用。例4設(shè)為非等腰的三邊長，為面積。求證：分析：由不等式左邊分母聯(lián)想到拉格朗日插值公式證明：構(gòu)造二次多項(xiàng)式：則由拉格朗日插值公式得比較等式兩邊的系數(shù)得由海倫公式得因?yàn)椴蝗嗟?，所以，上式等?hào)不成立.于是，小結(jié)：由此可推廣：設(shè)為互不相等的個(gè)數(shù)，則例5二次函數(shù)滿足，則的值是多少？提示：由拉格朗日插值公式可設(shè) 例已知求的近似值解：令，列表1).用線性插值多項(xiàng)式三組數(shù)據(jù)中，可以任取兩組數(shù)據(jù)構(gòu)造線性插值多項(xiàng)式鑒于插值點(diǎn)所處的位置，應(yīng)選取構(gòu)造所以 ， 2).用拋物插值多項(xiàng)式用全部數(shù)據(jù)構(gòu)造拋物插值多項(xiàng)式所以， 結(jié)論：對(duì)比時(shí)，拋物插值更精確例7.已知滿足求的取值范圍.分析：解決本題關(guān)鍵是用表示，用高

6、中知識(shí)聯(lián)立方程組求出并代入，從而確定的取值范圍，這樣做過程較繁，而使用二次函數(shù)的拉格朗日公式卻恰到好處.解：由二次拉格朗日公式得則由已知得3.次Lagrange插值多項(xiàng)式上面對(duì)及的情況,得到一次與二次插值多項(xiàng)式及, 用插值基函數(shù)表示的方法容易推廣到一般情形.下面討論個(gè)節(jié)點(diǎn)的次插值多項(xiàng)式,假定它滿足條件（）為了構(gòu)造,先定義次插值基函數(shù)定義：若次多項(xiàng)式 在個(gè)節(jié)點(diǎn)上滿足條件就稱這個(gè)次多項(xiàng)式為節(jié)點(diǎn)上的次插值基函數(shù)類似及的推導(dǎo)方法，可得次插值基函數(shù)為滿足（）的插值多項(xiàng)式可表示 （）由的定義知形如()式的插值多項(xiàng)式稱為Lagrange插值多項(xiàng)式令易求則（）可改寫為：注意: 次插值多項(xiàng)式通常是次數(shù)為的多項(xiàng)式

7、,特殊情況次數(shù)可能小于二拉格朗日（Lagrang）插值公式的證明設(shè)已知函數(shù)在個(gè)互異的點(diǎn)處的函數(shù)值，現(xiàn)構(gòu)造一個(gè)次數(shù)不超過的多項(xiàng)式，使?jié)M足，.（）1.唯一存在性滿足插值條件（）的次數(shù)不超過次的多項(xiàng)式 ()是唯一存在。證明：把條件（）帶入（）式得：以的系數(shù)組成的行列式為由于互異，所以，這樣有唯一的解，所以唯一存在.2.證明過程證明：以代入（）式得：解得：從而有 這里 ，易證： . 這就證明了時(shí)，公式成立.現(xiàn)假設(shè)時(shí)公式成立，則時(shí)，我們把代入（）得解得：（）從而把（）式代入上式得從假設(shè)得：這里易證： 即時(shí)成立.得證.從證明過程可看出，插值基函數(shù)的結(jié)構(gòu)和由來是自然而合理的.三拉格朗日插值公式在實(shí)際生活（資

8、產(chǎn)評(píng)估）中的應(yīng)用1資產(chǎn)評(píng)估公式 資產(chǎn)評(píng)估就是在利用現(xiàn)時(shí)條件下,被評(píng)估資產(chǎn)全新狀態(tài)的重置成本減去資產(chǎn)的各種陳舊貶值后的差額作為被評(píng)估資產(chǎn)現(xiàn)時(shí)價(jià)值,基本計(jì)算公式為:資產(chǎn)價(jià)值 = 重置全價(jià) ( 實(shí)體性貶值 + 功能性貶值 + 經(jīng)濟(jì)性貶值 )2. 理論方法與實(shí)際應(yīng)用分析假設(shè)某類設(shè)備個(gè)功能參數(shù)與價(jià)格,即已知個(gè)功能參數(shù): ,及其相對(duì)的個(gè)價(jià)格:,現(xiàn)在的問題是如何根據(jù)此組數(shù)據(jù)列表:功能與成本數(shù)據(jù)表找出功能與成本之間的函數(shù)關(guān)系: 假設(shè)在該參數(shù)區(qū)間( 插值區(qū)間 ) 內(nèi)存在一條代數(shù)多項(xiàng)式的函數(shù)曲線,在該曲線上的數(shù)值均滿足以上各點(diǎn)的數(shù)值對(duì)應(yīng)關(guān)系,以此函數(shù)曲線作為關(guān)系式的模擬曲線，就是所謂的拉格朗日插值法.利用這條曲線

9、（圖）,輸入新的功功能參數(shù),即可得到重置成本參考價(jià).圖 函數(shù)曲線拉格朗日插值多項(xiàng)式為(6)由此公式,代入時(shí),可看出結(jié)果就是對(duì)應(yīng)的,假設(shè)令,即只有兩個(gè)數(shù)據(jù)時(shí),就得到兩點(diǎn)插值計(jì)算公式:( 7 )這是個(gè)線性函數(shù),利用已知兩點(diǎn)作一條直線,作為擬合曲線,代表功能與成本之間的關(guān)系,也叫線性插值( 圖 )若時(shí),則得到3點(diǎn)插值計(jì)算公式: （8）這是個(gè)二次函數(shù),在圖形上,即通過已知各點(diǎn)作一條拋物線,代表功能與成本之間的關(guān)系,叫拋物線插值( 圖 )圖圖2.計(jì)算機(jī)運(yùn)算方法分析根據(jù)以上理論,已知設(shè)備信息點(diǎn)越多,曲線擬合也越復(fù)雜,品評(píng)估的準(zhǔn)確率就越高,計(jì)算公式也相應(yīng)地復(fù)雜起來.所以只能依靠計(jì)算機(jī)來解決.為便于計(jì)算,可將

10、拉格朗日插值多項(xiàng)式改寫為 ( 9 )編制程序時(shí),只須利用一個(gè)二重循環(huán)就可完成值的計(jì)算:先通過內(nèi)循環(huán),即先固定，令從0到累乘;然后再通過外循環(huán),即令從0到累加得出插值結(jié)果.程序流程圖見圖:輸入及 輸出 圖3. 結(jié)論由以上分析可知,采用拉格朗日插值法計(jì)算設(shè)備的功能重置成本,計(jì)算精度較高,方法快捷。但是,由于上述方法只能針對(duì)可比性較強(qiáng)的標(biāo)準(zhǔn)設(shè)備,方法本身也只考慮單一功能參數(shù),因此,它的應(yīng)用范圍受到一定的限制。作為一種探索,可將此算法以及其他算法集成與計(jì)算機(jī)評(píng)估分析系統(tǒng)中,作為傳統(tǒng)評(píng)估分析方法的輔助參考工具,以提高資產(chǎn)價(jià)值鑒定的科學(xué)性和準(zhǔn)確性。四評(píng)價(jià)與總結(jié) 拉格朗日插值方法式最基本的插值方法，其插值公

11、式形式對(duì)稱，便于記憶，在了解，證明，應(yīng)用拉格朗日插值公式的過程中，不僅要注重理論上的認(rèn)識(shí)，更加要應(yīng)用于實(shí)際生活中的各種問題中，不僅只有大學(xué)才能用拉格朗日公式來解決各種問題，高中的有些題也可以用它來解決會(huì)更加方便快捷，尤其是線性函數(shù)和二次函數(shù)方面。對(duì)于高次函數(shù)來說，我們并不了解它的性質(zhì)特征，而拉格朗日插值公式卻能輕易解決這個(gè)問題。參考文獻(xiàn):1.李慶揚(yáng)，王能超，易大義.數(shù)值分析.版. 武漢：華中科技大學(xué)出版社,2006 年. 2.李培明.拉格朗日插值公式的一個(gè)應(yīng)用.高等函授報(bào)（自然科學(xué)版）.1999年第3期.3.潘鐵.淺談應(yīng)用多項(xiàng)式的拉格朗日插值公式解題.中等數(shù)學(xué)報(bào).2010年第10期.4.沈文選，冷崗松.奧林匹克數(shù)學(xué)中的代表問題M.長沙：湖南師范大學(xué)出版社，20095.賀啟君，李樹林.談構(gòu)造法在高考和數(shù)學(xué)競賽中的應(yīng)用.中等數(shù)學(xué)報(bào).2010年第10期.8.張可村,趙英良.數(shù)值計(jì)算的算法與分析M.北京:科學(xué)出版社.20039.梁錦鵬.關(guān)于拉格朗日插值公式的注釋.廣東工學(xué)院報(bào).1993年第10期.9.王沫然. MATLAB與科學(xué)計(jì)算M.北京:清華大學(xué)出版