地震反應(yīng)時(shí)程分析方法

1、地震反應(yīng)時(shí)程分析方法信春雷(西南交通大學(xué) 土木工程學(xué)院 ,四川 成都 610031)摘 要 :分析地震工程中動(dòng)力方程求解逐步積分方法中的線性加速度法 、new mar k - 法 、wil so n - 法和中心差分法 ,明確指出這 4 種分析方法的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)以及它們各自的適用范圍 ,并在此基礎(chǔ)上合理選用數(shù)值逐步積分方法問(wèn) 題給出建議 ,為求解地震反應(yīng)和結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)提供非常重要的參考依據(jù) 。關(guān)鍵詞 :時(shí)程分析法 ;線性加速度法 ; new ma r k - 法 ; wil so n - 法 ;中心差分法中圖分類號(hào) : p631 . 4 + 1文獻(xiàn)標(biāo)志碼 : a文章編號(hào) :100825696 (

2、2010) 0320050204analysis method of time2history earthqua ke responsexin chun2lei( civil engineering school , so ut hwe st j iao to ng u niver sit y ,chengdu 610031 , china)abstract :it si mp l y i nt ro duce d t he st ep2by2st ep i nt e gratio n met ho d s fo r solvi ng dyna mic equatio n s i n ea r

3、 t h2qua ke e ngi nee ri ng , i ncl udi ng li nea r accelerat e d met ho d , new ma r k2met ho d , wil so n2met ho d a nd ce nt ral diff e re nce met ho d ,it poi nt s o ut t he merit s a nd sho r t co mi ngs a nd t he app licatio n fiel d of t he se fo ur met ho ds a nd give s a ref ere nce to sol

4、ve t he ea r t hquack re spo n se a nd sei smic de si gn .key words :ti me2hi sto r y a nal ysi s met ho d ; li nea r accelerat ed met ho d ; new ma r k2 met ho d ; wil so n2met ho d ;ce nt ral diff ere nce met ho d結(jié)構(gòu)抗震計(jì)算的主要方法是對(duì)多遇地震地區(qū)采用振型分解反應(yīng)譜方法進(jìn)行分析 ,這種方法是一種 靜力分析法 ,它將地震剪力等效為水平力作用在結(jié) 構(gòu)上 ,然后按照靜力學(xué)的方法進(jìn)行分

5、析計(jì)算 。這種 計(jì)算方法同實(shí)際地震反應(yīng)尚有一定的差距 ,計(jì)算精 度不夠 ,不一定能夠 保證 地 震作 用下 的 結(jié)構(gòu) 安全 。 時(shí)程分析法是一種動(dòng)力分析法 ,它是將結(jié)構(gòu)物視為 一個(gè)彈性振動(dòng)體 ,將地震時(shí)地面運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的位移 、速 度 、加速度作用在結(jié)構(gòu)物上 ,然后用動(dòng)力學(xué)的方法研 究其振動(dòng)情況 。顯然 ,時(shí)程分析法比振型分解反應(yīng)譜法能更準(zhǔn)確地反映地震是結(jié)構(gòu)物的反應(yīng) 2 。多自由度體系地震反應(yīng)方程為 m u + c u m i x g .+ k u= -( 1)在式 ( 1) 中 , 地面振動(dòng)加速度是復(fù)雜的隨機(jī)函 數(shù) 。同時(shí) , 在彈塑性反應(yīng)中剛度矩陣與阻尼矩陣亦 隨時(shí)間變化 。因此 , 不可能求

6、出解析解 , 只能采取數(shù) 值分析方法求解 。常用的地震反應(yīng)計(jì)算數(shù)值方法有 線性加速度法 、new ma r k - 法 、wil so n - 法和中 心差分法 1 24 , 將式 ( 1) 轉(zhuǎn)化為增量方程為 m u + c u + k x = - m u g .( 2) 再逐步積分求解 , 即將時(shí)間轉(zhuǎn)化分成一系列微小時(shí) 間段 , 在時(shí)間內(nèi)可采 取 一些 假設(shè) , 從 而 能對(duì) 增量 式 ( 2) 直接積分 , 得出地震反應(yīng)增量 , 以該步的終態(tài)值 , 作為下一時(shí)間段的初始值 。這樣逐步積分 , 即可得 出結(jié)構(gòu)在地震作用下振動(dòng)反應(yīng)的全過(guò)程 。下面簡(jiǎn)單介紹這幾種方法 。概述1結(jié)構(gòu)動(dòng)力理論是直接通

7、過(guò)動(dòng)力方程求解地震反應(yīng) , 起源于 20 世紀(jì) 60 年代 。由于地震波為復(fù)雜的 隨機(jī)振動(dòng) , 對(duì)于多自由度體系振動(dòng)不可能直接得出 解析解 , 只可采用逐步積分法 , 而這種方法計(jì)算工作量大 , 只有在計(jì)算機(jī) 應(yīng)用 發(fā) 展的 前提 下 才能 實(shí)現(xiàn) 。線性加速度法2收稿日期 :2009211220作者簡(jiǎn)介 :信春雷 ( 1986 - ) , 男 ,碩士研究生 ,研究方向 : 地下結(jié)構(gòu)抗震.2 . 1基本思想1) 假 定在 時(shí) 間 t , t + t 內(nèi) , 加 速 度按 線 性 變化 。2) 結(jié)構(gòu)體系的特征在時(shí)間 t , t +t 內(nèi)保持為 常量 。2 . 2公式推導(dǎo)將式 ( 1) 在時(shí)刻 t

8、j 和 t j + 1 應(yīng)滿足的方程相減可 得到如下增量方程性動(dòng)力分析中有重要的意義 。同時(shí) , 擬靜力荷載向量 p 不僅取決于地震地面運(yùn)動(dòng)加速度的增量 , 而 且取決于前一時(shí)刻的計(jì)算反應(yīng)值 。這使得動(dòng)力反應(yīng)計(jì)算的誤差逐漸積 累 , 嚴(yán)重 時(shí)甚 至 導(dǎo)致 結(jié)果 發(fā)散 。為了盡可能減少這種誤差 , 提出了加速度平衡校正算法 , 即根據(jù)增量動(dòng)力平衡方程式求得- 1 ( m u j + c u j + k u ju j= - ix g , j - m c u j k u j ) .+= m ix g , j .( 3)( 12)-式中 :u j = u j + 1 - u j , 其余以此類推 。由

9、于線性加速度法假定 , 在時(shí)段 t 內(nèi) , 結(jié)構(gòu)的 加速度反應(yīng)是關(guān)于時(shí)間的線性函數(shù) ?；谶@一假 定 , 可以將式 ( 3) 化為關(guān)于位移增量 u 的線性代數(shù) 方程 。為此 , 首先將 u 按 taylo r 級(jí)數(shù)在 t j 附近展開(kāi)上述推導(dǎo)過(guò)程是以增量方程為目的 , 這樣推導(dǎo)出來(lái)的結(jié)果不僅能用于結(jié)構(gòu)的彈性地震反應(yīng)分析 , 而且也能夠用于結(jié) 構(gòu)的 彈塑 性地 震 反應(yīng) 分析 。當(dāng) 然 , 也可以全量方程為目的來(lái)推導(dǎo)相應(yīng)于方程式的代數(shù)方程 。事實(shí)上 , 式 ( 6) 和式 ( 8) 可以改寫為66- 6 u j - 2 u j , u j +1= u j +1- u jt2t2t u j u j

10、2 u ( t j +) = u j + + +( 13)1 !2 != 3 u j +1 - 3 u j2 u j - 1 ut. u j3 u j +1j-+ .( 4)tt23 !對(duì)時(shí)間求導(dǎo) , 可得 u ( t j +) = u j + u j + 1 u j( 14)將式 ( 13) 和式 ( 14) 代入動(dòng)力平衡方程可得 k u j +1 = p j +1 .其中2+ .2( 15)( 5)當(dāng)=t 時(shí) , 由于 u ( t j +) = u j + 1 和 u ( t j +) = u j + 1 , 并結(jié)合線性函數(shù)的假定 , 在求解過(guò)程 中取為增量形式 , 則式 ( 4) 和式

11、( 5) 可變?yōu)? m + 3 c + k ,6 k= k j2tt( 16) 6 666 u ju j(u) j u j + 2 u j3 u j ,( 6) p j +1= m 2 u j+=-ttt2t 3 1u j = u jt + 1 u jt. c u j + 2 u j u jt -+( 7) m i x g , j +1 .t22( 17)將式 ( 6) 代入式 ( 7) 可得稱式 ( 15) 為擬靜力全量方程 。對(duì)線性加速度算法而言 , 用增量方程與全量方 程求解得到的結(jié)果 , 其計(jì)算精度是一樣的 。2 . 3特點(diǎn)及評(píng)價(jià)線性加速度法在選取時(shí)間步長(zhǎng)時(shí) , 應(yīng)滿足t 1 。與線性

12、加速度法的區(qū)別在于 , 線性加速度法在時(shí)刻t +t 使用動(dòng)力平衡方程 , 而 wil so n - 法則將動(dòng)力t 。平衡方程應(yīng)用于更后一點(diǎn)的時(shí)刻 t +u j =u j - u j - 1 u j , ( 20)11t2t1 u j214 . 2公式推導(dǎo) u ( t +t) = u ( t) +t u ( t) +(t) 2 u ( t) / 3 + (t) 2 u ( t +t) / 6 , ( 28) u ( t +t) = u ( t) +t u ( t) / 2 +1u ju jt u j .1 -=-+42t2( 21)將上述兩式代入增量方程 , 可得t u ( t +t) / 2

13、.在 t +t 時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方程為 m u ( t +t) + c u ( t +t) + k u ( t +t) = - m i x g ( t +t) .( 29) k u j= p j ,( 22)其中11 k = m + c + k ,( 23)t22t u j + 1 u j( 30)由式 ( 28) 和 式 ( 29 ) 導(dǎo) 出 的 u ( t + t) 和 u ( t +t) 代入式 ( 30) 可得1 p j= m +t21 c 1 u j -1 -t u j - m ix g , j .24 k u ( t +t) = p ( t +t) .( 31)( 24)其中同樣 , 也

14、可以推導(dǎo)出全量方程的遞推格式63 k = m + c + k ,( 32)(t) 2t k( 25)= u j +1= p j +1 .其中 p ( t +t) = m i x g ( t +t) +1166 k = k = m + c + k , u ( t) + u ( t) + 2 u ( t) m +t22t(t) 2t( 26) 3 1 u ( t) + 2 u ( t) +t u ( t) c .t2 p j +1 = - m i x g , j +1 +( 33)將 u ( t +t) 代入式 ( 29) 求得 u ( t +t) ,則 t +t 時(shí)刻的加速度可按下式內(nèi)插求得11

15、1 u j1 - u j m u j+-+2t2t1111 - u j1 -t u j c u j -.2t2411 u ( t +t) u ( t +t) .1 - u ( t) + =( 27)3 . 3特點(diǎn)及評(píng)價(jià)new ma r k - 法是線性加速度法的推廣 。當(dāng) 0 . 5 ,( 0 . 5 +) 2 / 4 , new ma r k - 法就無(wú)條件( 34)4 . 3特點(diǎn)及評(píng)價(jià)wil so n - 法的實(shí)質(zhì)是線性加速度法推廣 。當(dāng)1 . 37 時(shí) , 此 法 是 無(wú) 條 件 穩(wěn) 定 的 , 但 隨 著 的 增大 , 計(jì)算誤差也增大 , 所以通常取 = 1 . 4 。在地震 作用下

16、, 對(duì)于一般阻尼比 5 %的鋼筋混凝土結(jié)構(gòu) , 時(shí) 間步長(zhǎng)t 0 . 04 t ( t 為地震波的卓越周期) 可以取得較好的結(jié)果 5 。由度方程的求解過(guò)程 。5 . 3特點(diǎn)及評(píng)價(jià)由于不需要計(jì)算總體的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣 , 采 用中心差分法基本上可以在單元一級(jí)進(jìn)行求解 。如 果所有相繼單元的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣相同 , 只需計(jì)算或從輔助存儲(chǔ)器連續(xù)讀出對(duì)應(yīng)于第一個(gè)單元的矩中心差分法5陣即可求解 。此法可以有效地解出階數(shù)很高的系統(tǒng) 。5 . 1基本思想中心差分法的基本思想是 : 在計(jì)算函數(shù)的中心 點(diǎn)差分 , 并與初始點(diǎn)函數(shù)值進(jìn)行比較 , 若兩者之差足 夠小則結(jié)束 , 則以中 心點(diǎn) 差 分函 數(shù)值 作

17、為結(jié) 果 ; 否 則 , 步長(zhǎng)減半 , 并將中心點(diǎn)差分函數(shù)值送給初始點(diǎn)函 數(shù)值 , 繼續(xù)迭代 , 直到滿足誤差要求為止 。5 . 2公式推導(dǎo)將位移增量函數(shù)按 taylo r 級(jí)數(shù)展開(kāi)得同時(shí) ,該方法的效率取決于能否采用對(duì)角線質(zhì)量矩陣和能否忽略通常與速度有關(guān)的阻尼力 。若只包含一 個(gè)對(duì)角線阻尼矩陣 ,則仍可保持在單元一級(jí)求解 。實(shí) 際上可以通過(guò)采用足夠細(xì)密的有限元離散化來(lái)提高 解的精度 ,從而濾掉對(duì)角線質(zhì)量矩陣的缺點(diǎn) 4 。6結(jié)束語(yǔ)1) 選擇適當(dāng)?shù)牡卣鸩?。應(yīng)根據(jù)設(shè)防烈度 、震中距及場(chǎng)地類別選取適當(dāng)?shù)牡卣鹩涗浕蛉斯つM地震波 。對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu) , 應(yīng)采用不少于 4 條能反映當(dāng)?shù)?特征的地震波 ,

18、其中應(yīng)包括一條本地區(qū)歷史上發(fā)生 地震時(shí)的實(shí)測(cè)記錄波 。2) 合理簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型 。由于時(shí)程分析法需要逐步積分 , 對(duì)于復(fù)雜的結(jié)構(gòu) , 計(jì)算量巨大 。由于1 u ( t)t2u ( t +t)= u ( t) + u ( t)t +21u ( t)t3+ ,( 35)6u ( t - t) = un - 1 , u ( t) = un , u ( t +t) = un + 1 .速度和加速度也有同樣的關(guān)系 , 由式 ( 35) 得前差分 式為計(jì)算條件的限制 , 目 前 在實(shí) 際工 程 中還 比較 少用 。un+1 = un + unt + 1 unt21u t3.+迄今在國(guó)內(nèi)采用較多的是簡(jiǎn)化

19、的層模型 。3) 正確選擇構(gòu)件的恢復(fù)力模型與破壞準(zhǔn)則 。根據(jù) 所選擇的計(jì)算模型來(lái)確定恢復(fù)力模型與破壞準(zhǔn)則 。采 用三維桿系模型時(shí) , 梁恢復(fù)力模型的骨架曲線可采用 雙折線形式 。而采用層模型時(shí) , 可采用靜力彈塑性方法計(jì)算層恢復(fù)力模型的骨架曲線等 。n26( 36)同樣可得后差分公式為un- 1 = un - unt + 1 unt21u t3.-+n26( 37)把以上兩式分別相減或相加可得參考文獻(xiàn)unt = 1 ( un+1- un- 1 ) + o (t3 ) ,( 38)2 1 陳國(guó)興 ,陳忠漢 . 工程結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)原理 m . 北京 :中國(guó)水利水電出版社 ,2002 . 2 孫鈞 . 地下結(jié)構(gòu)有限元法解析 m . 上海 : 同濟(jì)大學(xué)出版 社 ,1988 . 3 薛禹群 ,謝春紅 . 水文地質(zhì)學(xué)的數(shù)值法 m . 北京 :煤炭工 業(yè)出版社 ,1980 . 4 k. j . 巴斯 . 工程分析中的有限元法 m . 北京 : 機(jī)械工業(yè) 出