[畢業(yè)論文]淺談極坐標(biāo)及極坐標(biāo)方程的應(yīng)用

1、摘 要極坐標(biāo)法是一種重要的解題方法，雖然高中數(shù)學(xué)教材已經(jīng)刪去極坐標(biāo)的內(nèi)容，但這一思想和方法對(duì)解決平面幾何問題和高等數(shù)學(xué)問題都有很重要的作用，有必要加以深入研究。本文首先對(duì)極坐標(biāo)的基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行闡述，給出了極坐標(biāo)的相關(guān)概念，以及求曲線方程的方法與步驟，并求出了三種圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程，然后討論了極坐標(biāo)在平面解析幾何中的應(yīng)用，最后探討了極坐標(biāo)在解決高等數(shù)學(xué)問題的應(yīng)用。通過對(duì)極坐標(biāo)在數(shù)學(xué)各方面的應(yīng)用的探討，我們能夠發(fā)現(xiàn)極坐標(biāo)有很大的優(yōu)越性。通過探討研究，使我們對(duì)極坐標(biāo)這一思想和方法有更深的了解，并使學(xué)生對(duì)高中平面解析幾何內(nèi)容有完整的把握，有更深層次的掌握。同時(shí)，這種對(duì)知識(shí)的深入掌握可以使教育者更好

2、的完成對(duì)其的教學(xué)任務(wù)。關(guān)鍵詞：極坐標(biāo)；應(yīng)用；優(yōu)越性abstractthe method of using the polar coordinates is an usually used method. although the content of the method has been deleted in the process of editing the mathematical textbook for middle school students, this method is very important to solve the problem of plane geomet

3、ry and advanced mathematics. it is necessary to study this method further.first this paper illustrates the basic knowledge of polar coordinates. the writer gives the relative concepts of polar coordinates and the method and steps of solving curve equation, and work out the polar coordinates equation

4、 of three taper curves. second it discusses the application of the method in plane analytic geometry. and then it probes into the application of the method in solving the advanced mathematical problem. by exploring the application of polar coordinates in many mathematical aspects, we may notice the

5、advantages of polar coordinates and its certain applicable range. by studying, it makes us understand the concepts and the thinking further. it also makes the students grasp the content of plane analytic geometry wholly and deeper in middle school. also, the deep understanding of the knowledge makes

6、 the teacher finish the educational tasks better.keywords: polar coordinates; application; advantages前 言第一個(gè)用極坐標(biāo)來確定平面上點(diǎn)的位置的是牛頓。他的流數(shù)法與無窮級(jí)數(shù)，大約于1671年寫成，出版于1736年。此書包括解析幾何的許多應(yīng)用，例如按方程描出曲線，書中創(chuàng)見之一，是引進(jìn)新的坐標(biāo)系。瑞士數(shù)學(xué)家j.貝努力利于1691年在教師學(xué)報(bào)上發(fā)表了一篇基本上是關(guān)于極坐標(biāo)的文章，所以通常認(rèn)為j.貝努利是極坐標(biāo)的發(fā)現(xiàn)者。j.貝努利的學(xué)生j.赫爾曼在1729年不僅正式宣布了極坐標(biāo)的普遍可用，而且自由地應(yīng)用

7、極坐標(biāo)去研究曲線。 在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，是人們公認(rèn)的最容易接受并且被經(jīng)常采用的方法，但它并不是確定點(diǎn)的位置的唯一方法。有些復(fù)雜的曲線用直角坐標(biāo)表示，形式極其復(fù)雜，但用極坐標(biāo)表示，就變得十分簡(jiǎn)單且便于處理，在此基礎(chǔ)上解決平面解析幾何問題也變的極其簡(jiǎn)單。通過探究極坐標(biāo)在平面解析幾何中的廣泛應(yīng)用，使我們能夠清楚的認(rèn)識(shí)到，用極坐標(biāo)來解決某些平面解析幾何問題和某些高等數(shù)學(xué)問題比用直角坐標(biāo)具有很大的優(yōu)越性，故本文對(duì)其進(jìn)行了初步探討。 國(guó)內(nèi)外研究動(dòng)態(tài)，不僅在數(shù)學(xué)理論方面，很多學(xué)者對(duì)極坐標(biāo)以及極坐標(biāo)方程做了深入探究，而且在如物理、電子、軍事等領(lǐng)域，很多學(xué)者對(duì)極坐標(biāo)也有較深的研究。由此看來，極坐標(biāo)已應(yīng)用到各

8、個(gè)領(lǐng)域。第一章 預(yù)備知識(shí)1.1 極坐標(biāo)系的建立在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)，叫作極點(diǎn)，引一條射線，叫做極軸，再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位和角度的正方向(通常取逆時(shí)針方向)。對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)，用表示線段的長(zhǎng)度，表示從到的角度，叫點(diǎn)的極徑，叫點(diǎn)的極角，有序數(shù)對(duì)就叫點(diǎn)的極坐標(biāo)。這樣建立的坐標(biāo)系叫極坐標(biāo)系，記作若點(diǎn)在極點(diǎn)，則其極坐標(biāo)為=0，可以取任意值。 圖1-1 圖1-2 如圖1-2，此時(shí)點(diǎn)的極坐標(biāo)可以有兩種表示方法：(1) 0， (2) 0， 同理，也是同一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)。又由于一個(gè)角加后都是和原角終邊相同的角，所以一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)不唯一。但若限定， ，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)和極坐標(biāo)就可以一一對(duì)應(yīng)了。1.2 曲線的極坐

9、標(biāo)方程在極坐標(biāo)系中，曲線可以用含有這兩個(gè)變數(shù)的方程來表示，這種方程叫曲線的極坐標(biāo)方程。求曲線的極坐標(biāo)方程的方法與步驟：1建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，并設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為；2寫出適合條件的點(diǎn)的集合；3；4化簡(jiǎn)所得方程；5證明得到的方程就是所求曲線的方程。三種圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程： 圖1-3過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，以焦點(diǎn)為極點(diǎn)，的反向延長(zhǎng)線為極軸，建立極坐標(biāo)系。設(shè)是曲線上任意一點(diǎn)，連結(jié)，作，垂足分別為那么曲線就是集合.設(shè)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，得 即 這就是橢圓、雙曲線、拋物線的統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程。其中當(dāng)時(shí)，方程表示橢圓，定點(diǎn)是它的左焦點(diǎn)，定直線是它的左準(zhǔn)線。時(shí)，方程表示開口向右的拋物線。時(shí)，方程只表示雙曲線右

10、支，定點(diǎn)是它的右焦點(diǎn)，定直線是它的右準(zhǔn)線。若允許，方程就表示整個(gè)雙曲線。1.3 極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，設(shè)是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，其直角坐標(biāo)，極坐標(biāo)是，從點(diǎn)作，由三角函數(shù)定義，得.圖1-4進(jìn)一步有 注：在一般情況下，由確定角時(shí)，可根據(jù)點(diǎn)所在的象限取最小角。第二章 極坐標(biāo)在平面解析幾何中的應(yīng)用2.1極坐標(biāo)法求到定點(diǎn)的線段長(zhǎng)度解析幾何中涉及到某定點(diǎn)的線段長(zhǎng)度時(shí)，可以考慮利用極坐標(biāo)法求解。但是絕大多數(shù)解析幾何問題中題設(shè)條件是以直角坐標(biāo)方程形式給出的，在求解過程中運(yùn)算繁瑣復(fù)雜，將此類問題轉(zhuǎn)化為用極坐標(biāo)方程求解，十分簡(jiǎn)潔，收到良好

11、的效果。巧設(shè)極點(diǎn)，建立極坐標(biāo)系是解決問題的關(guān)鍵。2.1.1以定點(diǎn)為極點(diǎn)如果題設(shè)條件與結(jié)論中，涉及到過某定點(diǎn)的線段長(zhǎng)度問題，應(yīng)該取該點(diǎn)為極點(diǎn)，先將直角坐標(biāo)原點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，施行平移公式、直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互化公式，化普通方程為極坐標(biāo)方程求解。例1 設(shè)等腰的頂角為，高為，在內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)，到三邊 的距離分別為，并且滿足關(guān)系，求點(diǎn)的軌跡。圖2-1解: 如圖2-1所示,以為極點(diǎn),的平分線為極軸,建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)極坐標(biāo)為,則由得 化簡(jiǎn)得 化成直角坐標(biāo)方程為 這是以為圓心，以為半徑的圓，所求的軌跡是該圓在等腰內(nèi)部的部分。 2.1.2以原點(diǎn)為極點(diǎn)如果題設(shè)條件或結(jié)論中涉及到直角坐標(biāo)系原點(diǎn)的線段長(zhǎng)度時(shí)，應(yīng)選取原點(diǎn)為極點(diǎn)

12、，應(yīng)用互化公式，將直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化極坐標(biāo)方程求解。例2 已知橢圓，直線:，是上一點(diǎn)，射線交橢圓于，又點(diǎn)在上，且滿足，當(dāng)點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。解: 如圖2-2所示，以為極點(diǎn)，為極軸，建立極坐標(biāo)系。則由互化公式知橢圓的極坐標(biāo)方程為 (1)直線的極坐標(biāo)方程為 (2) ，則由(1)式知 由(2)式知又,有所以 即 點(diǎn)的軌跡是以為中心，長(zhǎng)軸、短軸分別為且長(zhǎng)軸平行與軸的橢圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)。圖2-22.1.3以焦點(diǎn)為極點(diǎn) 凡涉及圓錐曲線的焦半徑或焦點(diǎn)弦長(zhǎng)度的問題，應(yīng)選取焦點(diǎn)為極點(diǎn)(橢圓左焦點(diǎn)，雙曲線右焦點(diǎn))，應(yīng)用圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程求解。例3 設(shè)為拋物線的頂點(diǎn)，為焦點(diǎn)，且為

13、過的弦。已知。圖2-3解: 如圖2-3所示，以為極點(diǎn)，的反向延長(zhǎng)線為極軸，建立極坐標(biāo)系。則拋物線的極坐標(biāo)方程為 于是 2.2 極坐標(biāo)簡(jiǎn)解與角有關(guān)的解析幾何題含有已知角或公共頂點(diǎn)的一類解析幾何題，運(yùn)用極坐標(biāo)系（或化直角坐標(biāo)系為極坐標(biāo)系）進(jìn)行解題，?？杀芊本秃?jiǎn)，化難為易，達(dá)到事半功倍的效果。下面分類舉例說明。2.2.1含有已知角，角頂點(diǎn)為極點(diǎn)例4 已知在的兩邊上，=，的面積為8，求的中點(diǎn)的軌跡方程。圖2-4解：以為極點(diǎn)，為極軸，建立極坐標(biāo)系，如圖2-4所示，設(shè)，則 即 (1) 因?yàn)?所以 (2) (3)得 (4)(1)代入(4)并化簡(jiǎn)，得即為所求。2.2.2含有已知角，坐標(biāo)軸平移，化角頂點(diǎn)為極點(diǎn)例

14、5 已知曲線：，頂點(diǎn)（2，0），點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，是以為斜邊的等腰直角三角形，頂點(diǎn)按順時(shí)針排列，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最大值及點(diǎn)的坐標(biāo)。圖2-5解: 曲線化為：，以點(diǎn)為新坐標(biāo)系原點(diǎn)，則曲線為 以點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正方向?yàn)闃O軸，建立極坐標(biāo)系。如圖2-5所示，則曲線為 (1)設(shè)，則 (2)(2)代入(1)得 即 所以點(diǎn)的軌跡方程為 即 (3)故當(dāng)過（3）的圓心時(shí)，的最大值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.2.3 極坐標(biāo)法證明幾何定理在平面幾何證明中，極坐標(biāo)法是一種重要的方法，應(yīng)用十分廣泛，下面以部分平面幾何中著名定理為例，談?wù)剺O坐標(biāo)法在證明中的應(yīng)用。2.3.1應(yīng)用圓心是，半徑是的圓的方程來證明例6 求證：圓內(nèi)接四邊形兩組對(duì)邊

15、乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積（托列迷定理）。證明：如圖2-6，以為極點(diǎn)，的延長(zhǎng)線為極軸建立極坐標(biāo)系。設(shè)圓的半徑為， 則：. 、三點(diǎn)都在上， 另由正弦定理得 圖2-62.3.2應(yīng)用極點(diǎn)在圓上，圓心為的方程證明例7 自圓上一點(diǎn)引三弦，并以它們各自為直徑畫圓。求證：所畫三圓的其它三交點(diǎn)共線（沙爾孟定理）。圖2-7證明：如圖2-7 ,分別是的直徑，分別是的交點(diǎn)，以為極點(diǎn)，的延長(zhǎng)線為極軸建立極坐標(biāo)系，為簡(jiǎn)便計(jì)，設(shè)，極軸與的交角分別為，則所以 （1） （2） （3）設(shè)，則由（1）、（2）得 取，得，代入（1）中，得.點(diǎn)坐標(biāo)為.同理應(yīng)用輪換得點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為.顯然三點(diǎn)坐標(biāo)滿足法線式方程故三點(diǎn)共線，命題獲證

16、。2.3.3應(yīng)用圓的極坐標(biāo)方程、兩點(diǎn)或直線方程和法線式方程證明例8 求證：三角形外接圓上任一點(diǎn)在三邊上的射影共線（西摩松定理）。圖2-8證明：如圖2-8，以為極點(diǎn)，的延長(zhǎng)線為極軸建立坐標(biāo)系。設(shè)的外接圓直徑為，則的方程為，設(shè)頂點(diǎn)為的兩點(diǎn)式方程為. 這是的法線式方程，故知垂足的坐標(biāo)為.輪換三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，得，顯然三點(diǎn)的坐標(biāo)滿足法線式方程三點(diǎn)共線 ，定理得證。第三章 極坐標(biāo)在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用3.1 用極坐標(biāo)變換確定二重極限若二元函數(shù)在以原點(diǎn)為中心，以為半徑的去心圓域內(nèi)有定義，當(dāng)時(shí)，所謂函數(shù)極限的未定式是指，且時(shí)的二重極限.判定未定式二重極限不存在，常用的方法有以函數(shù)所屬的類型，選取路徑，使不存在；或

17、者選取兩種不同路徑，使都存在，但二者不相等。但對(duì)于判定未定式二重極限存在，并求其極限值，往往很困難，沒有有效的方法。本文用極坐標(biāo)變換就代換的幾種類型進(jìn)行了研究。在極坐標(biāo)變換，討論，即相應(yīng)于時(shí)，二元函數(shù)的極限。特地將函數(shù)化成形式，以確定函數(shù)的二重極限。3.1.1函數(shù)=極限存在的情形 1. 當(dāng)，即時(shí)，可直接用洛必達(dá)法則計(jì)算.例1 求解：令 =例2 求解：令 2. 若存在，對(duì)充分小的和任何，有，則 例3 求.解：令 此時(shí)，所以 3.1.2函數(shù)=極限不存在的情形1. 若不是常值函數(shù)，與方向角有關(guān)時(shí)，則不存在。例4 計(jì)算.解：令，對(duì)任意所以不存在。2. 若不存在時(shí)，則不存在。例5 計(jì)算 解：令 雖然 但

18、是 因此不存在。3. 若不存在，且時(shí)，則不存在。例6 計(jì)算 解：令 由于不存在，因此不存在?？傊?，對(duì)函數(shù)作極坐標(biāo)變換后，依次不同類型化成的不同形式，能夠方便、快捷地判斷當(dāng)時(shí)，函數(shù)二重極限存在性。 32 在極坐標(biāo)下定積分的應(yīng)用3.2.1平面區(qū)域面積的極坐標(biāo)計(jì)算公式定理1 設(shè)平面曲線的極坐標(biāo)方程為，連續(xù)，則由曲線軸及二直線所圍成區(qū)域面積為 (3-1)其中.證明：把曲線的極坐標(biāo)方程化為關(guān)于極角的參數(shù)方程1. 若函數(shù)嚴(yán)格減少，有則由曲線軸和二直線圍成區(qū)域面積為圖3-12. 若函數(shù)嚴(yán)格增加，有 則由曲線軸和二直線圍成區(qū)域面積為圖3-2歸納（1）、（2）有若函數(shù)在連續(xù)，且則由曲線軸和二直線圍成區(qū)域面積為同

19、理可證得定理2 設(shè)平面曲線的極坐標(biāo)方程為連續(xù)，則由曲線軸及二直線所圍成區(qū)域面積為 (3-2)其中 圖3-33.2.2旋轉(zhuǎn)體體積極坐標(biāo)公式定理3 設(shè)平面曲線的極坐標(biāo)方程為連續(xù)，則1. 由曲線軸及二直線圍成平面區(qū)域繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為 (3-3)圖3-42. 由曲線軸及二直線圍成平面區(qū)域繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為 (3-4)事實(shí)上，將參數(shù)方程代入 即可得到公式（3-3）和公式（3-4）.圖3-53.2.3旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積極坐標(biāo)公式定理4 設(shè)平面曲線的極坐標(biāo)方程為連續(xù)，則：1. 由曲線軸及二直線圍成平面區(qū)域繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為 （3-5）2. 由曲線軸及二直線圍成平面區(qū)域繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為 （3-6）事實(shí)上，方程代入 或即可得到公式（3-5）和（3-6），其中. 例7 求心形線圍成區(qū)域的面積，繞極軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積和側(cè)面積。解：（1） 根據(jù)圖形的對(duì)稱性由公式（3-1）有：心形線圍成區(qū)域的面積為（2）心行線繞極軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積由公式（3-3）有（3）心行線繞極軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面面積由公式（3-5）有圖3-6