專題八之一定點數(shù)的運算v2013

1、定點數(shù)的運算定點數(shù)的運算4.6小節(jié)，小節(jié)，Page 228定點數(shù)的表示定點數(shù)的表示n有符號數(shù)都以有符號數(shù)都以2的補碼表示的補碼表示n最高位為符號位最高位為符號位n整數(shù)部分比特數(shù)為整數(shù)部分比特數(shù)為m，小數(shù)部分為，小數(shù)部分為n當沒有小數(shù)部分當沒有小數(shù)部分-整數(shù)整數(shù)以以16bit為例，如果表示整數(shù)，大小順序如下：為例，如果表示整數(shù)，大小順序如下：0 x7FFF 32767 0 x0000 00 xFFFF -1 0 x8000 -32768整數(shù)的表示整數(shù)的表示nm-bit有符號定點整數(shù)表示的數(shù)據(jù)范圍：有符號定點整數(shù)表示的數(shù)據(jù)范圍： nm-bit無符號定點整數(shù)表示的數(shù)據(jù)范圍：無符號定點整數(shù)表示的數(shù)據(jù)范

2、圍：n能夠表示能夠表示 個數(shù)個數(shù)n在有限位的情況下，數(shù)據(jù)范圍有限在有限位的情況下，數(shù)據(jù)范圍有限m21201m12211mm定點數(shù)的表示定點數(shù)的表示n同樣數(shù)值的數(shù)可以用不同同樣數(shù)值的數(shù)可以用不同bit的二進制數(shù)表的二進制數(shù)表示示(6)10011000000110(-5)10101111111011n用更多位表示有符號數(shù)時，用更多位表示有符號數(shù)時，左邊填充符號左邊填充符號位位整數(shù)的算術(shù)運算整數(shù)的算術(shù)運算n加減運算加減運算無符號數(shù)無符號數(shù) 2+900101001+1011有符號數(shù)有符號數(shù) 2+(-7)00101001+1011整數(shù)的算術(shù)運算整數(shù)的算術(shù)運算n乘法運算乘法運算無符號數(shù)無符號數(shù) 2x900

3、101001x001000000000001000010010整數(shù)的算術(shù)運算整數(shù)的算術(shù)運算n乘法運算乘法運算有符號數(shù)有符號數(shù) 2x(-7)00101001x001000000000111011110010符號位乘法，符號位乘法，取補碼！取補碼！整數(shù)的算術(shù)運算整數(shù)的算術(shù)運算n乘法運算乘法運算n處理器必須知道是進行有符號還是無符號處理器必須知道是進行有符號還是無符號數(shù)的運算，才能給出正確結(jié)果數(shù)的運算，才能給出正確結(jié)果擴展擴展n可以用不同位數(shù)的二進制數(shù)表示同一個數(shù)可以用不同位數(shù)的二進制數(shù)表示同一個數(shù)值值無符號數(shù)無符號數(shù)8bit)00000000 10010110(16bit

4、)有符號數(shù)有符號數(shù) -10610010110(8bit)11111111 10010110(16bit)n無符號數(shù)的擴展，高位補無符號數(shù)的擴展，高位補0。n有符號數(shù)的擴展，高位補有符號數(shù)的擴展，高位補符號位符號位擴展擴展n可以用不同位數(shù)的二進制數(shù)表示同一個數(shù)可以用不同位數(shù)的二進制數(shù)表示同一個數(shù)值值無符號數(shù)無符號數(shù)8bit)00000000 10010110(16bit)有符號數(shù)有符號數(shù) -10610010110(8bit)11111111 10010110(16bit)移位移位(shift)n可以通過左移一位完成可以通過左移一位完成x2n可以通過右移一位完成可以通過右

5、移一位完成/2無符號數(shù)無符號數(shù)151 10010111 101001011 75有符號數(shù)有符號數(shù)-105 10010111 101001011 7511001011 -53邏輯右移邏輯右移算術(shù)右移算術(shù)右移定點數(shù)表示的小數(shù)定點數(shù)表示的小數(shù)n小數(shù)點后面的位數(shù)稱為小數(shù)點后面的位數(shù)稱為Q值值(小數(shù)，小數(shù)，n個比特個比特)n小數(shù)點前面的位數(shù)稱為小數(shù)點前面的位數(shù)稱為S值值(整數(shù)，整數(shù)，m個比特個比特)n相應的表示定點小數(shù)的格式稱為相應的表示定點小數(shù)的格式稱為S1Q15、S2Q14、S3Q13等等(有時也稱有時也稱Qm.n)n或簡稱或簡稱Q15、Q14、Q13格式的定點數(shù)格式的定點數(shù)n用于表示數(shù)據(jù)的總比特數(shù)

6、為：用于表示數(shù)據(jù)的總比特數(shù)為：m+n，其中包，其中包含一個符號比特（包含在含一個符號比特（包含在m個比特中）個比特中）定點數(shù)表示的小數(shù)定點數(shù)表示的小數(shù)n以以S1Q15為例，大小順序如下：為例，大小順序如下：0 x7FFF0 x00010 x00000 xFFFF0 x80010 x8000-1-1+2(-15)-2(-15)02(-15)1-2(-15)整數(shù)數(shù)值整數(shù)數(shù)值/215定點數(shù)表示的小數(shù)定點數(shù)表示的小數(shù)n數(shù)據(jù)范圍與精度數(shù)據(jù)范圍與精度S1Q15格式格式范圍范圍精度精度S2Q14S3Q13SmQn1521114222152142132n213244nmm22211定點數(shù)表示的小數(shù)定點數(shù)表示的

7、小數(shù)n定點小數(shù)的數(shù)據(jù)范圍與數(shù)據(jù)精度有限定點小數(shù)的數(shù)據(jù)范圍與數(shù)據(jù)精度有限n需要在范圍與精度間做折中需要在范圍與精度間做折中n在能夠表示范圍的情況下選擇盡量大的在能夠表示范圍的情況下選擇盡量大的Q值，值，從而獲得更大的精度從而獲得更大的精度n需要考慮運算過程中間數(shù)據(jù)的范圍需要考慮運算過程中間數(shù)據(jù)的范圍定點數(shù)表示的小數(shù)定點數(shù)表示的小數(shù)n將小數(shù)表示成定點數(shù)形式的方法將小數(shù)表示成定點數(shù)形式的方法選擇合適的選擇合適的Q值，即小數(shù)部分的比特數(shù)值，即小數(shù)部分的比特數(shù)n將小數(shù)將小數(shù) ，然后取整數(shù)部分，然后取整數(shù)部分0.54321 X215=17799.90542取整后取整后17800=0 x4588=(0100

8、010110001000)b=0.543212890625nx2Q15格式格式定點數(shù)表示的小數(shù)定點數(shù)表示的小數(shù)-2.5467 X213=-20862.5664取整后取整后-20863=0 xAE81=(1010111010000001)b=-2.5467529296875Q13格式格式定點小數(shù)的運算定點小數(shù)的運算n加減運算加減運算0.25+ (-0.75)00101010-0.511000.5+ (-1.5)-1001010101100定點小數(shù)的運算定點小數(shù)的運算n處理器的運算規(guī)則與處理器的運算規(guī)則與Q值無關(guān)值無關(guān)n由程序員確定解釋計算過程中的數(shù)據(jù)由程序員確定解釋計算過程中的數(shù)據(jù)n但需要注意，

9、請在加，減運算前對齊小數(shù)但需要注意，請在加，減運算前對齊小數(shù)點點 ！定點小數(shù)的運算定點小數(shù)的運算n乘法運算乘法運算0.25x (-0.75)-0.18750010X 1010000000100000111011110100.小數(shù)點位置小數(shù)點位置定點小數(shù)的運算定點小數(shù)的運算0.5x (-1.5)-0.750010 Q2X 1010 Q2000000100000111011110100.小數(shù)點位置小數(shù)點位置定點小數(shù)的運算定點小數(shù)的運算0.5x (-1.5)-0.50100 Q3X 1010 Q2000001000000110011101000.定點小數(shù)的運算定點小數(shù)的運算nSa1Qb1xSa2Qb

10、2 = S(a1+a2)Q(b1+b2)n小數(shù)運算保存結(jié)果時，可以只保存高位部小數(shù)運算保存結(jié)果時，可以只保存高位部分，從而損失部分精度分，從而損失部分精度n為了保證保存結(jié)果的為了保證保存結(jié)果的Q值，可能需要將乘積值，可能需要將乘積左移左移1位再保存位再保存(a1+a2中兩個符號位中兩個符號位)nDSP提供了將乘積自動左移提供了將乘積自動左移1位的功能位的功能例子：1.78 x 0.6 +2.43 = ?n估計使用的定點數(shù)格式：估計使用的定點數(shù)格式：1278.1因此，因此，S2Q14或或Q14，m=2,n=14026.0因此，因此，S1Q15或或Q15，m=1,n=15因此，因此，S3Q13或或

11、Q13，m=3,n=132243.24498.343.26.078.1x最后計算結(jié)果：最后計算結(jié)果：因此，結(jié)果可采用因此，結(jié)果可采用Q13！任何小數(shù)可以使用多種格式表示n1.78可以使用Q14格式表示（16bit）：n還可以使用Q12格式（16bit）：n還可以使用S2Q30格式（32bit）n其中整數(shù)部分比特決定數(shù)據(jù)范圍數(shù)據(jù)范圍，小數(shù)部分決定數(shù)據(jù)表示的精度精度！)710_(52.291631638478.1278.114EBxxx)710_(88.7290409678.1278.112BCxxx)851710_(.721911260446278.130EEBxx采用Q13格式計算：1.78x

12、0.6+2.43n表示兩個乘數(shù)（Q13）：n兩個定點小數(shù)相乘n所以，乘法結(jié)果為S6Q26，總共32bit，其中小數(shù)部分26bit，整數(shù)部分4bit，符號2bi1278.113xx491581926.026.013xx)21()21(2211*bbaababaQSQSQS)4459B0200_(71670530491514582xx已完成1.78x0.6，繼續(xù)后面的+2.43n由于后面的2.43使用S3Q13格式表示，所以，必須先將32位乘積通過移位方式保留為S3Q13的16bit存放格式，以便完成加法！n分兩步來說明：n乘積結(jié)果71670530（0 x04459b02

13、）左移1位保存高16bit，得到S5Q11格式；n再將左移2bit，得到S3Q13， 8748n注意，因為我們知道成績結(jié)果可以用Q13存放！否則上面的操作將導致溢出錯誤！完成最后的加法，n2.43用Q13表示n兩個加數(shù)都是Q13，小數(shù)點位置相同，可以完成加法運算：n該結(jié)果轉(zhuǎn)換為對應的小數(shù)：n整個過程都使用的整數(shù)運算整數(shù)運算操作指令！19907243.213x286551990787484979.3228655131.78x0.6+2.43的C程序代碼：/* short - 16 bit, long - 32 bit */main() short a=1.78*8192; b=0.6*8192;

14、 c=2.43*8192; short d; d=(short)(long)a * (long)b *2) 16) *4) +c; printf(“The result is %fn”,d/8192.);溢出溢出n如果計算結(jié)果超出數(shù)據(jù)表示范圍，則產(chǎn)生如果計算結(jié)果超出數(shù)據(jù)表示范圍，則產(chǎn)生溢出溢出n溢出以后的結(jié)果與實際結(jié)果相差甚遠溢出以后的結(jié)果與實際結(jié)果相差甚遠n可能向正、負兩個方向溢出可能向正、負兩個方向溢出0110+ 001110010.75+ 0.3751.125-0.875溢出溢出1010+ 11010111-0.75+ -0.375-1.1250.875從計算結(jié)果中已經(jīng)無法確定實際結(jié)果從

15、計算結(jié)果中已經(jīng)無法確定實際結(jié)果應該是什么應該是什么每次算術(shù)運算，每次算術(shù)運算，CPU可以設置溢出可以設置溢出標志標志溢出溢出n信號處理算法中由于具有連續(xù)的乘累加運信號處理算法中由于具有連續(xù)的乘累加運算，因此容易出現(xiàn)溢出算，因此容易出現(xiàn)溢出n計算過程應該保證不產(chǎn)生溢出，或者溢出計算過程應該保證不產(chǎn)生溢出，或者溢出后能做正確的處理后能做正確的處理n定點定點DSP為溢出處理提供了各種機制為溢出處理提供了各種機制溢出溢出n為了確保不產(chǎn)生溢出，可以將需要累加的為了確保不產(chǎn)生溢出，可以將需要累加的數(shù)據(jù)縮小數(shù)據(jù)縮小n這種方式會導致精度損失這種方式會導致精度損失溢出溢出n在每次加減運算后，判斷是否溢出。如果在

16、每次加減運算后，判斷是否溢出。如果發(fā)生溢出，可以將輸入數(shù)據(jù)縮小后，重新發(fā)生溢出，可以將輸入數(shù)據(jù)縮小后，重新計算。計算。n極大降低計算效率極大降低計算效率溢出溢出n采用飽和的方法，得到一個最接近正確結(jié)采用飽和的方法，得到一個最接近正確結(jié)果的結(jié)果果的結(jié)果n對對32bit運算，如果向正方向溢出，結(jié)果設運算，如果向正方向溢出，結(jié)果設置成置成0 x7FFF FFFF。如果向負方向溢出，。如果向負方向溢出，結(jié)果設置成結(jié)果設置成n如果計算中間結(jié)果可能溢出，但保證最終如果計算中間結(jié)果可能溢出，但保證最終結(jié)果不會溢出時，這種方法引入誤差結(jié)果不會溢出時，這種方法引入誤差0 x8000 0000溢出溢出n引入保護位，采用更多的位數(shù)計算引入保護位，采用更多的位數(shù)計算1111 1010+ 1111 11011111 0111-0.75+ -0.375-1.125-1.125溢出溢出n如果計算中間結(jié)果可能溢出，但保證最終如果計算中間結(jié)果可能溢出，但保證最終結(jié)果不會溢出時，這種方法不會引入誤差結(jié)果不會溢出時，這種方法不會引入誤差n如果最終結(jié)果產(chǎn)生溢出，可以通過算術(shù)右如果最終結(jié)果產(chǎn)生溢出，可以通過算術(shù)右移的方式得到正確結(jié)果。如將移的方式得到正確結(jié)果。如將8bit結(jié)果右移結(jié)果右移1位后保存位后保存4bit結(jié)果