統(tǒng)計(jì)學(xué)【第5章：概率】

1、 甲、乙二人賭博，各出賭注甲、乙二人賭博，各出賭注30元，共元，共60元，每局元，每局甲、乙勝的機(jī)會(huì)均等，都是甲、乙勝的機(jī)會(huì)均等，都是1/2。約定：誰(shuí)先勝滿。約定：誰(shuí)先勝滿3局則他贏得全部賭注局則他贏得全部賭注60元，現(xiàn)已賭完元，現(xiàn)已賭完3局，甲局，甲2勝勝1負(fù)，而因故中斷賭局，問這負(fù)，而因故中斷賭局，問這60元賭注該如何分給元賭注該如何分給2人，才算公平？人，才算公平？分分 賭賭 注注 問問 題題 帕斯卡和費(fèi)爾馬一邊親自賭博，一邊仔細(xì)分析計(jì)帕斯卡和費(fèi)爾馬一邊親自賭博，一邊仔細(xì)分析計(jì)算賭博中出現(xiàn)的各種問題，終于完整地解決了算賭博中出現(xiàn)的各種問題，終于完整地解決了“分賭注問題分賭注問題”，并將此

2、題的解法向更一般的情，并將此題的解法向更一般的情況推廣，從而建立了概率論的一個(gè)基本概念況推廣，從而建立了概率論的一個(gè)基本概念數(shù)數(shù)學(xué)期望。學(xué)期望。分分 賭賭 注注 問問 題題 而惠更斯經(jīng)過(guò)多年的潛心研究，解決了擲骰子中而惠更斯經(jīng)過(guò)多年的潛心研究，解決了擲骰子中的一些數(shù)學(xué)問題。的一些數(shù)學(xué)問題。1657年，他將自己的研究成果年，他將自己的研究成果寫成了專著寫成了專著論擲骰子游戲中的計(jì)算論擲骰子游戲中的計(jì)算。這本書。這本書迄今為止被認(rèn)為是概率論中最早的論著。迄今為止被認(rèn)為是概率論中最早的論著。 分分 賭賭 注注 問問 題題 在他們之后，對(duì)概率論這一學(xué)科做出貢獻(xiàn)的是瑞在他們之后，對(duì)概率論這一學(xué)科做出貢獻(xiàn)

3、的是瑞士數(shù)學(xué)雅可布士數(shù)學(xué)雅可布貝努利。他在前人研究的基礎(chǔ)上，貝努利。他在前人研究的基礎(chǔ)上，繼續(xù)分析賭博中的其他問題，給出了繼續(xù)分析賭博中的其他問題，給出了“賭徒輸光賭徒輸光問題問題”的詳盡解法，并證明了被稱為的詳盡解法，并證明了被稱為“大數(shù)定律大數(shù)定律”的一個(gè)定理，這是研究等可能性事件的古典概率的一個(gè)定理，這是研究等可能性事件的古典概率論中的極其重要的結(jié)果。論中的極其重要的結(jié)果。分分 賭賭 注注 問問 題題 概概 率率 的的 意意 義義 了解發(fā)生意外事故的可能性大小，確定保險(xiǎn)金額；了解發(fā)生意外事故的可能性大小，確定保險(xiǎn)金額；了解來(lái)商場(chǎng)購(gòu)物的顧客人數(shù)的各種可能性大小，合了解來(lái)商場(chǎng)購(gòu)物的顧客人數(shù)的

4、各種可能性大小，合理配置服務(wù)人員；理配置服務(wù)人員；了解每年最大洪水超警戒線可能性大小，合理確定了解每年最大洪水超警戒線可能性大小，合理確定堤壩高度；堤壩高度；了解學(xué)生報(bào)道率，以確定床位數(shù)了解學(xué)生報(bào)道率，以確定床位數(shù)基基 本本 概概 念念 在自然界和人類社會(huì)生活中，普遍存在著兩類現(xiàn)象，在自然界和人類社會(huì)生活中，普遍存在著兩類現(xiàn)象，一類是在一定條件下必然出現(xiàn)的現(xiàn)象，稱為一類是在一定條件下必然出現(xiàn)的現(xiàn)象，稱為確定性確定性現(xiàn)象現(xiàn)象；另一類則是我們事先無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)知其結(jié)果的；另一類則是我們事先無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)知其結(jié)果的現(xiàn)象，稱為現(xiàn)象，稱為隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象（帶有隨機(jī)性、偶然性的現(xiàn)（帶有隨機(jī)性、偶然性的現(xiàn)象）。象）

5、。隨機(jī)隨機(jī)現(xiàn)象現(xiàn)象 基基 本本 概概 念念 隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)：當(dāng)人們?cè)谝欢ǖ臈l件下對(duì)它加以：當(dāng)人們?cè)谝欢ǖ臈l件下對(duì)它加以觀察或進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，觀察或試驗(yàn)的結(jié)果是多個(gè)可能觀察或進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，觀察或試驗(yàn)的結(jié)果是多個(gè)可能結(jié)果中的某一個(gè)。而且在每次試驗(yàn)或觀察前都無(wú)法結(jié)果中的某一個(gè)。而且在每次試驗(yàn)或觀察前都無(wú)法確知其結(jié)果，即呈現(xiàn)出偶然性?；蛘哒f(shuō)，出現(xiàn)哪個(gè)確知其結(jié)果，即呈現(xiàn)出偶然性?；蛘哒f(shuō)，出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果結(jié)果“憑機(jī)會(huì)而定憑機(jī)會(huì)而定”。隨機(jī)隨機(jī)現(xiàn)象現(xiàn)象 基基 本本 概概 念念 下面那些現(xiàn)象是隨機(jī)現(xiàn)象？下面那些現(xiàn)象是隨機(jī)現(xiàn)象？A 明天的最高溫度明天的最高溫度B 在地面上拋物體會(huì)下落在地面上拋物體會(huì)下落C

6、新生嬰兒的體重新生嬰兒的體重D 太陽(yáng)從東方升起太陽(yáng)從東方升起 隨機(jī)隨機(jī)現(xiàn)象現(xiàn)象 基基 本本 概概 念念 由于隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果事先不能預(yù)知，初看似乎毫無(wú)由于隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果事先不能預(yù)知，初看似乎毫無(wú)規(guī)律。然而人們發(fā)現(xiàn)同一隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律。然而人們發(fā)現(xiàn)同一隨機(jī)現(xiàn)象大量重復(fù)大量重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，出現(xiàn)時(shí)，其每種可能的結(jié)果出現(xiàn)的其每種可能的結(jié)果出現(xiàn)的頻率具有穩(wěn)定性頻率具有穩(wěn)定性，從而表，從而表明隨機(jī)現(xiàn)象也有其固有的規(guī)律性。明隨機(jī)現(xiàn)象也有其固有的規(guī)律性。人們把隨機(jī)現(xiàn)象在大量重復(fù)出現(xiàn)時(shí)所表現(xiàn)出的量的人們把隨機(jī)現(xiàn)象在大量重復(fù)出現(xiàn)時(shí)所表現(xiàn)出的量的規(guī)律性稱為隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性稱為隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。隨機(jī)隨機(jī)現(xiàn)象現(xiàn)象

7、基基 本本 概概 念念 拋硬幣實(shí)驗(yàn)拋硬幣實(shí)驗(yàn) 隨機(jī)隨機(jī)現(xiàn)象現(xiàn)象 0.51810.50690.50160.500510612048601912012204840401200024000De MorganBuffonPearsonPearson正面頻率正面頻率( /n )正面次數(shù)正面次數(shù)( )投擲次數(shù)投擲次數(shù)(n) 試驗(yàn)者試驗(yàn)者nrnr基基 本本 概概 念念 “天有不測(cè)風(fēng)云天有不測(cè)風(fēng)云”和和“天氣可以預(yù)報(bào)天氣可以預(yù)報(bào)”有矛盾嗎？有矛盾嗎？天有不測(cè)風(fēng)云：隨機(jī)現(xiàn)象一次實(shí)現(xiàn)的偶然性天有不測(cè)風(fēng)云：隨機(jī)現(xiàn)象一次實(shí)現(xiàn)的偶然性天氣可以預(yù)報(bào)：研究者從大量的氣象資料來(lái)探索這天氣可以預(yù)報(bào)：研究者從大量的氣象資料來(lái)探索

8、這些偶然現(xiàn)象的規(guī)律性些偶然現(xiàn)象的規(guī)律性從表面上看，隨機(jī)現(xiàn)象的每一次觀察結(jié)果都是隨機(jī)從表面上看，隨機(jī)現(xiàn)象的每一次觀察結(jié)果都是隨機(jī)的，但多次觀察某個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，便可以發(fā)現(xiàn)，在大的，但多次觀察某個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，便可以發(fā)現(xiàn)，在大量的偶然之中存在著必然的規(guī)律。量的偶然之中存在著必然的規(guī)律。隨機(jī)隨機(jī)現(xiàn)象現(xiàn)象 基基 本本 概概 念念 為了對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性進(jìn)行研究，就需對(duì)隨為了對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性進(jìn)行研究，就需對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行重復(fù)觀察，我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀察稱機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行重復(fù)觀察，我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀察稱為為隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)，并簡(jiǎn)稱為試驗(yàn)，記為，并簡(jiǎn)稱為試驗(yàn)，記為E。例如，觀察某射手對(duì)固定目標(biāo)進(jìn)行射擊；拋一枚硬

9、例如，觀察某射手對(duì)固定目標(biāo)進(jìn)行射擊；拋一枚硬幣三次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)；記錄某市幣三次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)；記錄某市120急救急救電話一晝夜接到的呼叫次數(shù)等，均為隨機(jī)試驗(yàn)。電話一晝夜接到的呼叫次數(shù)等，均為隨機(jī)試驗(yàn)。隨機(jī)隨機(jī)試驗(yàn)試驗(yàn) 基基 本本 概概 念念 可重復(fù)性可重復(fù)性：試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；：試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；可觀察性可觀察性：試驗(yàn)結(jié)果可觀察，所有可能的結(jié)果是明：試驗(yàn)結(jié)果可觀察，所有可能的結(jié)果是明確的；確的；不確定性不確定性：每次試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果事先不能準(zhǔn)確預(yù)知。：每次試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果事先不能準(zhǔn)確預(yù)知。隨機(jī)隨機(jī)試驗(yàn)試驗(yàn) 基基 本本 概概 念念 我們把隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)基本結(jié)

10、果稱為樣本點(diǎn)，記作我們把隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，記作e 或或. 全體樣本點(diǎn)的集合稱為全體樣本點(diǎn)的集合稱為樣本空間樣本空間。樣本空間。樣本空間用用S或或表示表示.樣本樣本空間空間 樣本點(diǎn)樣本點(diǎn)e. S基基 本本 概概 念念 例如：如果試驗(yàn)是將一枚硬幣拋擲兩次，則樣本空例如：如果試驗(yàn)是將一枚硬幣拋擲兩次，則樣本空間由如下四個(gè)樣本點(diǎn)組成：間由如下四個(gè)樣本點(diǎn)組成： S=(正正,正正), (正正,反反), (反反,正正), (反反,反反)樣本樣本空間空間 樣本空間在如下意義上提供了樣本空間在如下意義上提供了一個(gè)理想試驗(yàn)的模型：在每次一個(gè)理想試驗(yàn)的模型：在每次試驗(yàn)中試驗(yàn)中必有必有一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)且

11、一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)且僅有僅有一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn) 。基基 本本 概概 念念 如果試驗(yàn)是測(cè)試某種燈泡的壽命如果試驗(yàn)是測(cè)試某種燈泡的壽命：則樣本點(diǎn)是一非負(fù)數(shù)，由于不能確知壽命的上界，則樣本點(diǎn)是一非負(fù)數(shù)，由于不能確知壽命的上界，所以可以認(rèn)為任一非負(fù)實(shí)數(shù)都是一個(gè)可能結(jié)果，所以可以認(rèn)為任一非負(fù)實(shí)數(shù)都是一個(gè)可能結(jié)果，故樣本空間故樣本空間S = t t 0樣本樣本空間空間 基基 本本 概概 念念 在隨機(jī)試驗(yàn)中，人們除了關(guān)心試驗(yàn)的結(jié)果本身外，在隨機(jī)試驗(yàn)中，人們除了關(guān)心試驗(yàn)的結(jié)果本身外，還關(guān)心試驗(yàn)的結(jié)果是否具備某一指定的可觀察的特還關(guān)心試驗(yàn)的結(jié)果是否具備某一指定的可觀察的特征，概率論中將這一可觀察的特征稱為

12、一個(gè)征，概率論中將這一可觀察的特征稱為一個(gè)事件事件：隨機(jī)事件隨機(jī)事件：在試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件：在試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件;必然事件必然事件：在每次試驗(yàn)中都必然發(fā)生的事件：在每次試驗(yàn)中都必然發(fā)生的事件;不可能事件不可能事件：在任一次試驗(yàn)中都不可能發(fā)生的事件。：在任一次試驗(yàn)中都不可能發(fā)生的事件。隨機(jī)隨機(jī)事件事件 基基 本本 概概 念念 在拋擲一枚骰子的試驗(yàn)中，假設(shè)我們關(guān)心出現(xiàn)的點(diǎn)在拋擲一枚骰子的試驗(yàn)中，假設(shè)我們關(guān)心出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是否為奇數(shù)，數(shù)是否為奇數(shù)， “點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”就是一個(gè)事件。就是一個(gè)事件。它在試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生，是一隨機(jī)事件。它在試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生

13、，是一隨機(jī)事件。同樣，同樣，“點(diǎn)數(shù)小于點(diǎn)數(shù)小于7”與與“點(diǎn)數(shù)為點(diǎn)數(shù)為8”也分別是一個(gè)也分別是一個(gè)事件，前者在試驗(yàn)中是必然發(fā)生的，即是必然事件，事件，前者在試驗(yàn)中是必然發(fā)生的，即是必然事件，后者在試驗(yàn)中是不可能發(fā)生的，即是不可能事件。后者在試驗(yàn)中是不可能發(fā)生的，即是不可能事件。隨機(jī)隨機(jī)事件事件 基基 本本 概概 念念 引入樣本空間后，事件便可表示為樣本空間的子集。引入樣本空間后，事件便可表示為樣本空間的子集。用用A，B，來(lái)表示。來(lái)表示。例如，擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)例如，擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)樣本空間：樣本空間： S = 1,2,3,4,5,6事件事件B:“點(diǎn)數(shù)小于點(diǎn)數(shù)小于5” B=1,2

14、,3,4；事件事件B就是就是S的一個(gè)子集的一個(gè)子集。B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)B中的樣中的樣本點(diǎn)本點(diǎn)1，2，3，4中的某一個(gè)出現(xiàn)。中的某一個(gè)出現(xiàn)。集合集合表示表示 基基 本本 概概 念念 稱僅含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件為稱僅含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件為基本事件基本事件；稱含有兩個(gè)或兩個(gè)以上樣本點(diǎn)的事件為稱含有兩個(gè)或兩個(gè)以上樣本點(diǎn)的事件為復(fù)合事件復(fù)合事件。集合集合表示表示 基基 本本 概概 念念 事件事件關(guān)系關(guān)系 關(guān)系關(guān)系 符號(hào)符號(hào) 概率論中的意義概率論中的意義 集合論集合論 BA包含包含若若A發(fā)生必有發(fā)生必有B發(fā)生發(fā)生（B不發(fā)生則不發(fā)生則A必不發(fā)生）必不發(fā)生） A是是B的子集的子集等價(jià)等價(jià)BA 事件事件A包含

15、包含B 事件事件B包含包含A A與與B相等相等基基 本本 概概 念念 事件事件關(guān)系關(guān)系 關(guān)系關(guān)系 符號(hào)符號(hào) 概率論中的意義概率論中的意義 集合論集合論 互不相容互不相容（互斥）（互斥）對(duì)立對(duì)立（逆事件）（逆事件）AAB事件事件A與與B不能同時(shí)不能同時(shí)發(fā)生發(fā)生A與與B無(wú)公共無(wú)公共元素元素事件事件“非非A”A的余集的余集基基 本本 概概 念念 事件事件運(yùn)算運(yùn)算 運(yùn)算運(yùn)算 符號(hào)符號(hào) 概率論中的意義概率論中的意義 集合論集合論 )(BABA 事件的和事件的和 （并）（并）事件事件A與與B至少至少有一個(gè)發(fā)生有一個(gè)發(fā)生A與與B的并集的并集 事件的積事件的積（交）（交）)(BAAB事件事件A與與B同時(shí)發(fā)生同

16、時(shí)發(fā)生A與與B的交集的交集 事件的差事件的差BA 事件事件A發(fā)生，發(fā)生，B不發(fā)生不發(fā)生 A與與B的差集的差集 基基 本本 概概 念念 韋恩韋恩 圖圖S B A BA S B A BAorBA S B A ABorBA S B A BA S B A BAS A A ASA 基基 本本 概概 念念 假定某個(gè)試驗(yàn)有有限個(gè)可能的結(jié)果，假定某個(gè)試驗(yàn)有有限個(gè)可能的結(jié)果，e1, e2, ，en，假定從該試驗(yàn)的條件及實(shí)施方法上去分析，我們找假定從該試驗(yàn)的條件及實(shí)施方法上去分析，我們找不到任何理由認(rèn)為其中某一結(jié)果例如不到任何理由認(rèn)為其中某一結(jié)果例如ei，比任一其，比任一其它結(jié)果它結(jié)果ej,更有優(yōu)勢(shì)，則我們只好認(rèn)

17、為所有結(jié)果在試更有優(yōu)勢(shì)，則我們只好認(rèn)為所有結(jié)果在試驗(yàn)中有同等可能的出現(xiàn)機(jī)會(huì)，即驗(yàn)中有同等可能的出現(xiàn)機(jī)會(huì)，即1/n的出現(xiàn)機(jī)會(huì)。的出現(xiàn)機(jī)會(huì)。古典古典概率概率 基基 本本 概概 念念 定義定義 若隨機(jī)試驗(yàn)滿足下述兩個(gè)條件：若隨機(jī)試驗(yàn)滿足下述兩個(gè)條件： (1) 它的樣本空間只有有限多個(gè)樣本點(diǎn)；它的樣本空間只有有限多個(gè)樣本點(diǎn)； (2) 每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同。每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同。稱這種試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑榉Q這種試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑榈瓤赡芨判偷瓤赡芨判突蚧蚬诺涓判凸诺涓判?。古典古典概率概?基基 本本 概概 念念 古典古典概率概率 ,21kiiiAAAA 則事件則事件A發(fā)生的概率發(fā)生的概率 kjiSAnkAPAP

18、j1)()(中基本事件的總數(shù)中基本事件的總數(shù)包含的基本事件數(shù)包含的基本事件數(shù)稱此概率為稱此概率為古典概率古典概率, 這種確定概率的方法稱為這種確定概率的方法稱為古典方法古典方法.設(shè)事件設(shè)事件A包含其樣本空間包含其樣本空間S中中K個(gè)基本事件個(gè)基本事件, 即即基基 本本 概概 念念 古典古典概率概率 把把C、C、E、E、I、N、S七個(gè)字母分別寫在七張同七個(gè)字母分別寫在七張同樣的卡片上，并且將卡片放入同一盒中，現(xiàn)從盒中樣的卡片上，并且將卡片放入同一盒中，現(xiàn)從盒中任意一張一張地將卡片取出，并將其按取到的順序任意一張一張地將卡片取出，并將其按取到的順序排成一列，假設(shè)排列結(jié)果恰好拼成一個(gè)英文單詞：排成一列

19、，假設(shè)排列結(jié)果恰好拼成一個(gè)英文單詞：C ISN C EE基基 本本 概概 念念 古典古典概率概率 拼成英文單詞拼成英文單詞SCIENCE 的情況數(shù)為的情況數(shù)為故該結(jié)果出現(xiàn)的概率為：故該結(jié)果出現(xiàn)的概率為：這個(gè)概率很小，如果多次重復(fù)這一抽卡試驗(yàn)，則我這個(gè)概率很小，如果多次重復(fù)這一抽卡試驗(yàn)，則我們所關(guān)心的事件在們所關(guān)心的事件在1260次試驗(yàn)中大約出現(xiàn)次試驗(yàn)中大約出現(xiàn)1次。次。422解解：七個(gè)字母的排列總數(shù)為：七個(gè)字母的排列總數(shù)為7！00079. 012601! 74 p古古 典典 概概 率率 例例：一個(gè)袋子中裝有：一個(gè)袋子中裝有 10 個(gè)大小相同的球，其中個(gè)大小相同的球，其中 3個(gè)黑球，個(gè)黑球，7個(gè)

20、白球，求：個(gè)白球，求：(1) 從袋子中任取一球，這個(gè)球是黑球的概率；從袋子中任取一球，這個(gè)球是黑球的概率；(2)從袋子中任取兩球，剛好一個(gè)白球一個(gè)黑球的從袋子中任取兩球，剛好一個(gè)白球一個(gè)黑球的概率以及兩個(gè)球全是黑球的概率。概率以及兩個(gè)球全是黑球的概率。古古 典典 概概 率率 (1) 從袋子中任取一球，這個(gè)球是黑球的概率；從袋子中任取一球，這個(gè)球是黑球的概率；(1)解解10 個(gè)球中任取一個(gè)個(gè)球中任取一個(gè), 共有共有10110 C種種. 從從而根據(jù)古典概率計(jì)算而根據(jù)古典概率計(jì)算, 事件事件:A“取到的球?yàn)楹谇蛉〉降那驗(yàn)楹谇颉钡母怕蕿榈母怕蕿?(AP11013CC .103 古古 典典 概概 率率

21、(2)從袋子中任取兩球，剛好一個(gè)白球一個(gè)黑球的從袋子中任取兩球，剛好一個(gè)白球一個(gè)黑球的概率以及兩個(gè)球全是黑球的概率。概率以及兩個(gè)球全是黑球的概率。解解(2) 10 個(gè)球中任取兩球的取法有個(gè)球中任取兩球的取法有210C種種, 其中其中剛好一個(gè)白球剛好一個(gè)白球, 一個(gè)黑球的取法有一個(gè)黑球的取法有1713CC 種取法種取法,記記B為為事件事件“剛好取到一個(gè)白球一個(gè)黑球剛好取到一個(gè)白球一個(gè)黑球”，)(BP2101713CCC ,157 4521 古古 典典 概概 率率 (2)從袋子中任取兩球，剛好一個(gè)白球一個(gè)黑球的從袋子中任取兩球，剛好一個(gè)白球一個(gè)黑球的概率以及兩個(gè)球全是黑球的概率。概率以及兩個(gè)球全是

22、黑球的概率。解解(2) 10 個(gè)球中任取兩球的取法有個(gè)球中任取兩球的取法有210C種種, 其中其中兩個(gè)球均是黑球的取法有兩個(gè)球均是黑球的取法有23C種種,C為為球均為黑球球均為黑球”，則：，則：事件事件“兩個(gè)兩個(gè) )(CP21023CC 453 .151 頻頻 率率 的的 定定 義義 次數(shù)為次數(shù)為，)(Arn頻率具有下述基本性質(zhì)頻率具有下述基本性質(zhì):1.; 1)(0 Afn2.; 1)( sfn3.設(shè)設(shè)nAAA,21是是兩兩互不相容兩兩互不相容的事件的事件,則則).()()()(2121nnnnnnAfAfAfAAAf 定義定義：若在相同條件下進(jìn)行：若在相同條件下進(jìn)行n次試驗(yàn)，次試驗(yàn)，其中其中

23、 發(fā)生的發(fā)生的 A則稱則稱nArAfnn)()( 為事件為事件A發(fā)生的發(fā)生的頻率頻率.頻頻 率率 的的 穩(wěn)穩(wěn) 定定 性性在充分多次試驗(yàn)中，事件的頻率總在一個(gè)定值附近在充分多次試驗(yàn)中，事件的頻率總在一個(gè)定值附近擺動(dòng)，而且，試驗(yàn)次數(shù)越多，一般來(lái)說(shuō)擺動(dòng)越小擺動(dòng)，而且，試驗(yàn)次數(shù)越多，一般來(lái)說(shuō)擺動(dòng)越小. 這個(gè)性質(zhì)叫做這個(gè)性質(zhì)叫做頻率的穩(wěn)定性頻率的穩(wěn)定性。頻率在一定程度上反映了事件發(fā)生的可能性大小。頻率在一定程度上反映了事件發(fā)生的可能性大小。盡管每進(jìn)行一連串（盡管每進(jìn)行一連串（n次）試驗(yàn)，所得到的頻率可次）試驗(yàn)，所得到的頻率可以各不相同，但只要以各不相同，但只要 n相當(dāng)大，頻率與概率是會(huì)非相當(dāng)大，頻率與概

24、率是會(huì)非常接近的。常接近的。定義定義在相同條件下進(jìn)行在相同條件下進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)次重復(fù)試驗(yàn), 若事件若事件A發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率 nArAfnn)()( 隨著試驗(yàn)次數(shù)隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大而的增大而穩(wěn)定地在某個(gè)常數(shù)穩(wěn)定地在某個(gè)常數(shù)P附近擺動(dòng)附近擺動(dòng),則稱則稱P為事件為事件A的的概率，概率，記為記為P(A).概概 率率 的的 統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 定定 義義 概率被視為頻率的穩(wěn)定值概率被視為頻率的穩(wěn)定值, 從而應(yīng)具有與頻率相應(yīng)的從而應(yīng)具有與頻率相應(yīng)的性質(zhì)性質(zhì):1.; 1)(0 Ap2.; 1)( Sp3.設(shè)設(shè)nAAA,21是兩兩不相容的事件是兩兩不相容的事件, 則則).()()()(2121nnApApAp

25、AAAP 概概 率率 的的 統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 定定 義義 例如，若我們希望知道某射手中靶的概率，應(yīng)對(duì)這例如，若我們希望知道某射手中靶的概率，應(yīng)對(duì)這個(gè)射手在同樣條件下大量射擊情況進(jìn)行觀察記錄。個(gè)射手在同樣條件下大量射擊情況進(jìn)行觀察記錄。若他射擊若他射擊n發(fā)，中靶發(fā)，中靶m發(fā)，發(fā)，當(dāng)當(dāng)n很大時(shí)，可用很大時(shí)，可用頻率頻率m/n作為他中靶概率的估計(jì)。作為他中靶概率的估計(jì)。概概 率率 的的 統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 定定 義義 例例：從某魚池中?。簭哪臭~池中取 100 條魚條魚,做上記號(hào)后再放入該魚做上記號(hào)后再放入該魚池中。先從該池中任意捉來(lái)池中。先從該池中任意捉來(lái) 40 條魚，發(fā)現(xiàn)其中兩條魚，發(fā)現(xiàn)其中兩條有記號(hào)，問池內(nèi)大

26、約有多少條魚條有記號(hào)，問池內(nèi)大約有多少條魚?解解設(shè)池內(nèi)有設(shè)池內(nèi)有n條魚，條魚，則從池中捉到一條有記號(hào)魚的則從池中捉到一條有記號(hào)魚的 概率為概率為100/n ，它近似于捉到有記號(hào)魚的頻率它近似于捉到有記號(hào)魚的頻率2/40，即即402100 n,2000 n故池內(nèi)大約有故池內(nèi)大約有2000條魚條魚.概概 率率 的的 統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 定定 義義 概概 率率 的的 統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 定定 義義 拋硬幣試驗(yàn)中正反面出現(xiàn)的概率各是拋硬幣試驗(yàn)中正反面出現(xiàn)的概率各是1/2，如果你做，如果你做了了100次試驗(yàn)，出現(xiàn)正面這個(gè)事件發(fā)生了次試驗(yàn)，出現(xiàn)正面這個(gè)事件發(fā)生了20次，你會(huì)次，你會(huì)有什么想法？如果另外一位同學(xué)做了有什么想

27、法？如果另外一位同學(xué)做了100次試驗(yàn)，前次試驗(yàn)，前99次都是正面，你又會(huì)有什么想法？次都是正面，你又會(huì)有什么想法？基基 本本 概概 念念 主觀主觀概率概率 一些概率既不能由等可能性來(lái)計(jì)算，也不可能從試一些概率既不能由等可能性來(lái)計(jì)算，也不可能從試驗(yàn)得出。比如，你五年內(nèi)去歐洲旅游的概率等。這驗(yàn)得出。比如，你五年內(nèi)去歐洲旅游的概率等。這種概率稱為種概率稱為主觀概率主觀概率(subjective probability)?？梢哉f(shuō)，主觀概率是一次事件的概率?；?yàn)榛谒梢哉f(shuō)，主觀概率是一次事件的概率。或?yàn)榛谒莆盏男畔?，某人?duì)某事件發(fā)生的自信程度。掌握的信息，某人對(duì)某事件發(fā)生的自信程度。概概 率率 的

28、的 性性 質(zhì)質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1. 0)( P性質(zhì)性質(zhì)2 (有限可加性有限可加性)設(shè)設(shè)nAAA,21是兩兩互不相容是兩兩互不相容的事件，則：的事件，則：).()()()(2121nnAPAPAPAAAP 性質(zhì)性質(zhì)3).(1)(APAP S B A BA概概 率率 的的 性性 質(zhì)質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)4).()()(ABPAPBAP 性質(zhì)性質(zhì)5 對(duì)任一事件對(duì)任一事件A,. 1)( AP性質(zhì)性質(zhì)6 對(duì)任意兩個(gè)事件對(duì)任意兩個(gè)事件A,B,有有).()()()(ABPBPAPBAP S B A BAorBA S B A BA 例例 某城市中發(fā)行某城市中發(fā)行 2 種報(bào)紙種報(bào)紙.,BA經(jīng)調(diào)查經(jīng)調(diào)查, 在這在這2 種報(bào)紙的訂

29、戶中種報(bào)紙的訂戶中,訂閱訂閱A報(bào)的有報(bào)的有45%, 訂閱訂閱B報(bào)的有報(bào)的有35%, 同時(shí)訂閱同時(shí)訂閱 2 種報(bào)紙種報(bào)紙BA,的有的有10%,求只訂一種報(bào)紙的概率求只訂一種報(bào)紙的概率. 例例S B:35% A:45% AB10% 例例 )()(ABBPABAP )()()()(ABPBPABPAP 1 . 035. 01 . 045. 0 . 6 . 0 S B:35% A:45% AB10% 條條 件件 概概 率率 Monty Hall problem 條條 件件 概概 率率 如在事件如在事件A發(fā)生的條件下求事件發(fā)生的條件下求事件B發(fā)生的概率，將此發(fā)生的概率，將此概率記作概率記作P(B|A).

30、P(B)=1/6，例例如如，擲一顆均勻骰子，擲一顆均勻骰子，B=擲出擲出2點(diǎn)點(diǎn)， A=擲出偶數(shù)點(diǎn)擲出偶數(shù)點(diǎn)， P(B|A)=？已知事件已知事件A發(fā)生，此時(shí)試驗(yàn)所有可能結(jié)果構(gòu)成的集發(fā)生，此時(shí)試驗(yàn)所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是合就是A，于是于是P(B|A)= 1/3. A中共有中共有3個(gè)元素，它們的出現(xiàn)是等可能個(gè)元素，它們的出現(xiàn)是等可能的，其中只有的，其中只有1個(gè)在集個(gè)在集A中，中，條條 件件 概概 率率 定義定義 設(shè)設(shè)A、B是兩個(gè)事件，是兩個(gè)事件， 且且, 0)( AP則稱則稱)()(APABPABP ）（(1)為在事件為在事件A發(fā)生的條件下，發(fā)生的條件下， 事件事件B的的條件概率條件概率.注注：若

31、事件若事件A已已發(fā)生，且又是發(fā)生，且又是B中的樣本點(diǎn)，則此點(diǎn)中的樣本點(diǎn)，則此點(diǎn)必屬于必屬于AB. 因已知因已知A已發(fā)生已發(fā)生,故故A成為新的樣本空間。成為新的樣本空間。用韋恩圖表達(dá)用韋恩圖表達(dá)(1)式式.SABBA條條 件件 概概 率率 定義定義 設(shè)設(shè)A、B是兩個(gè)事件，是兩個(gè)事件， 且且, 0)( AP則稱則稱)()(APABPABP ）（為在事件為在事件A發(fā)生的條件下，發(fā)生的條件下， 事件事件B的的條件概率條件概率.P(AB)為事件為事件A、B同時(shí)發(fā)生的概率，即同時(shí)發(fā)生的概率，即聯(lián)合概率聯(lián)合概率。 P(A)或或P(B)為事件為事件A或或B的的邊緣概率邊緣概率。 (1)用定義計(jì)算用定義計(jì)算;(

32、2)根據(jù)加入條件后改變了的情況來(lái)計(jì)算根據(jù)加入條件后改變了的情況來(lái)計(jì)算.條條 件件 概概 率率 的的 計(jì)計(jì) 算算 1) 用定義計(jì)算用定義計(jì)算:316361)()()|( BPABPBAP例：例：A=擲出擲出2點(diǎn)點(diǎn)， B=擲出偶數(shù)點(diǎn)擲出偶數(shù)點(diǎn)條條 件件 概概 率率 的的 計(jì)計(jì) 算算 條條 件件 概概 率率 的的 計(jì)計(jì) 算算 2)從加入條件后改變了的情況去算從加入條件后改變了的情況去算 擲骰子擲骰子例：例：A=擲出擲出2點(diǎn)點(diǎn)， B=擲出偶數(shù)點(diǎn)擲出偶數(shù)點(diǎn)P(A|B）=31B發(fā)生后的發(fā)生后的縮減樣本空間縮減樣本空間所含樣本點(diǎn)總數(shù)所含樣本點(diǎn)總數(shù)在縮減樣本空間在縮減樣本空間中中A所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)

33、條條 件件 概概 率率 Monty Hall problem 聯(lián)聯(lián) 合合 概概 率率 由條件概率的定義：由條件概率的定義：即即 若若P(A)0，則，則P(AB)=P(A)P(B|A)()()|(APABPABP 而而 P(AB)=P(BA)將將A、B的位置對(duì)調(diào)，有的位置對(duì)調(diào)，有故故 P(B)0，則，則P(AB)=P(B)P(A|B) 若若 P(B)0，則，則P(BA)=P(B)P(A|B) 條條 件件 概概 率率 例例 設(shè)某種動(dòng)物由出生算起活到設(shè)某種動(dòng)物由出生算起活到20年以上的概率為年以上的概率為0.8，活到，活到25年以上的概率為年以上的概率為0.4. 問現(xiàn)年問現(xiàn)年20歲的這種歲的這種動(dòng)物

34、，它能活到動(dòng)物，它能活到25歲以上的概率是多少？歲以上的概率是多少？解：設(shè)解：設(shè)A=能活能活20年以上年以上，B=能活能活25年以上年以上依題意，依題意， P(A)=0.8, P(B)=0.4所求為所求為P(B|A) .)()()|(APABPABP 5 . 08 . 04 . 0)()( APBP一場(chǎng)精彩的足球賽將要舉行，一場(chǎng)精彩的足球賽將要舉行，5個(gè)球迷好不容易才個(gè)球迷好不容易才搞到一張入場(chǎng)券。大家都想去，只好用抽簽的方搞到一張入場(chǎng)券。大家都想去，只好用抽簽的方法來(lái)解決。法來(lái)解決。入場(chǎng)入場(chǎng)券券5張同樣的卡片，只有一張上寫有張同樣的卡片，只有一張上寫有“入場(chǎng)券入場(chǎng)券”，其，其余的什么也沒寫。

35、將它們放在一起，洗勻，讓余的什么也沒寫。將它們放在一起，洗勻，讓5個(gè)個(gè)人依次抽取。人依次抽取。 到底誰(shuí)說(shuō)的對(duì)呢？到底誰(shuí)說(shuō)的對(duì)呢？ “先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會(huì)大先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會(huì)大. ”. ”“大家不必爭(zhēng)先恐后，你們一個(gè)一個(gè)按大家不必爭(zhēng)先恐后，你們一個(gè)一個(gè)按次序來(lái)，誰(shuí)抽到入場(chǎng)券的機(jī)會(huì)都一樣大次序來(lái)，誰(shuí)抽到入場(chǎng)券的機(jī)會(huì)都一樣大.”.”事事 件件 的的 獨(dú)獨(dú) 立立 性性 顯然顯然 P(A|B)=P(A)這就是說(shuō)，這就是說(shuō)，已知事件已知事件B發(fā)生，并不影響事件發(fā)生，并不影響事件A發(fā)生發(fā)生的概率，這時(shí)稱事件的概率，這時(shí)稱事件A、B獨(dú)立獨(dú)立。 A=第二次擲出第二次擲出6點(diǎn)點(diǎn)， B

36、=第一次擲出第一次擲出6點(diǎn)點(diǎn)，將一顆均勻骰子連擲兩次，將一顆均勻骰子連擲兩次， 設(shè)設(shè) 事事 件件 的的 獨(dú)獨(dú) 立立 性性 由乘法公式知，當(dāng)事件由乘法公式知，當(dāng)事件A、B獨(dú)立時(shí)，有：獨(dú)立時(shí)，有： P(AB)=P(A) P(B)P(AB)=P(B)P(A|B)定義：若兩事件定義：若兩事件A、B滿足滿足 P(AB)= P(A) P(B) 則稱則稱A、B獨(dú)立，或稱獨(dú)立，或稱A、B相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。例例 從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記 A=抽到抽到K, B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的，問事件問事件A、B是否獨(dú)立是否獨(dú)立？可見可見, , P(AB)=P

37、(A)P(B)，由于由于 P(A)=4/52=1/13, 說(shuō)明事件說(shuō)明事件A、B獨(dú)立。獨(dú)立。解：解： P(AB)=2/52=1/26P(B)=26/52=1/2例例5 有三個(gè)箱子，分別編號(hào)為有三個(gè)箱子，分別編號(hào)為1,2,3，1號(hào)箱裝有號(hào)箱裝有1個(gè)個(gè)紅球紅球4個(gè)白球，個(gè)白球，2號(hào)箱裝有號(hào)箱裝有2紅紅3白球，白球，3號(hào)箱裝有號(hào)箱裝有3紅紅球。某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，球。某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，求取得紅球的概率。求取得紅球的概率。 1 2 3 1 2 3解解：記：記 Ai=球取自球取自i號(hào)箱號(hào)箱， i=1,2,3; B =取得紅球取得紅球 即即 B= A1B+A2B+

38、A3B， 且且 A1B、A2B、A3B兩兩互斥兩兩互斥B發(fā)生總是伴隨著發(fā)生總是伴隨著A1，A2，A3 之一同時(shí)發(fā)生，之一同時(shí)發(fā)生， P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)運(yùn)用加法公式得運(yùn)用加法公式得 1 2 3將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計(jì)算中常用的在概率計(jì)算中常用的全概率公式全概率公式。對(duì)求和中的每一項(xiàng)對(duì)求和中的每一項(xiàng)運(yùn)用乘法公式得運(yùn)用乘法公式得P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)31iiiABPAPBP)()()(代入數(shù)據(jù)計(jì)算得：代入數(shù)據(jù)計(jì)算得：P(B)=8/15全全 概概 率率 公公 式式設(shè)設(shè)S為

39、隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，為隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，A1,A2,An是兩兩互斥是兩兩互斥的事件，且有的事件，且有P(Ai)0，i =1,2,n, niiiABPAPBP1)()()(稱滿足上述條件的稱滿足上述條件的A1,A2,An為為完備事件組完備事件組. .,1SAnii 則對(duì)任一事件則對(duì)任一事件B，有有全全 概概 率率 公公 式式niiiABPAPBP1)()()(全概率公式的來(lái)由全概率公式的來(lái)由, , 不難由上式看出不難由上式看出:“:“全全”部概率部概率P(B)被分解成了許多部分之和。被分解成了許多部分之和。它的理論和實(shí)用意義在于：它的理論和實(shí)用意義在于：在較復(fù)雜情況下直接計(jì)在較復(fù)雜情況下直接計(jì)

40、算算P(B)不易，但不易，但B總是伴隨著某個(gè)總是伴隨著某個(gè)Ai出現(xiàn)，適當(dāng)?shù)厝コ霈F(xiàn)，適當(dāng)?shù)厝?gòu)造這一組構(gòu)造這一組Ai往往可以簡(jiǎn)化計(jì)算往往可以簡(jiǎn)化計(jì)算. .全全 概概 率率 公公 式式某一事件某一事件B的發(fā)生有各種可能的原因的發(fā)生有各種可能的原因(i=1,2,n)，如果如果B是由原因是由原因Ai所引起，則所引起，則B發(fā)生的概率是發(fā)生的概率是每一原因都可能導(dǎo)致每一原因都可能導(dǎo)致B發(fā)生，故發(fā)生，故B發(fā)生的概率是各發(fā)生的概率是各原因引起原因引起B(yǎng)發(fā)生概率的總和，即發(fā)生概率的總和，即全概率公式全概率公式. .P(B)=P(Ai)P(B |Ai)我們還可以從另一個(gè)角度去理解全概率公式：我們還可以從另一個(gè)角度

41、去理解全概率公式：例例: :（敏感性問題的調(diào)查）學(xué)生閱讀黃色書刊和看黃（敏感性問題的調(diào)查）學(xué)生閱讀黃色書刊和看黃色影像會(huì)影響學(xué)生身心健康發(fā)展，但這些都是避開色影像會(huì)影響學(xué)生身心健康發(fā)展，但這些都是避開家長(zhǎng)進(jìn)行的，屬于個(gè)人隱私行為。要調(diào)查觀看黃色家長(zhǎng)進(jìn)行的，屬于個(gè)人隱私行為。要調(diào)查觀看黃色書刊和影像的學(xué)生在全體學(xué)生中所占的比例書刊和影像的學(xué)生在全體學(xué)生中所占的比例p是一件是一件難事。這里的關(guān)鍵是要設(shè)計(jì)一個(gè)調(diào)查方案，使被調(diào)難事。這里的關(guān)鍵是要設(shè)計(jì)一個(gè)調(diào)查方案，使被調(diào)查者愿意做出真實(shí)的回答又能保守個(gè)隱私。查者愿意做出真實(shí)的回答又能保守個(gè)隱私。Stanley L.Warner發(fā)明了一種可以消除人們抵觸

42、情發(fā)明了一種可以消除人們抵觸情緒的隨機(jī)化應(yīng)答方法。調(diào)查方案的核心是如下兩個(gè)緒的隨機(jī)化應(yīng)答方法。調(diào)查方案的核心是如下兩個(gè)問題：?jiǎn)栴}：?jiǎn)栴}問題A：你的生日是否在：你的生日是否在7月月1日之前？日之前？ 問題問題B：你是否看過(guò)黃色書刊或影像？：你是否看過(guò)黃色書刊或影像？ 被調(diào)查者事先從一個(gè)裝有黑球和白球的箱子中隨機(jī)被調(diào)查者事先從一個(gè)裝有黑球和白球的箱子中隨機(jī)抽取一個(gè)球，看過(guò)顏色后又放回。若抽出白球則回抽取一個(gè)球，看過(guò)顏色后又放回。若抽出白球則回答問題答問題A；若抽出黑球則回答問題；若抽出黑球則回答問題B。箱中黑球所占比率箱中黑球所占比率a是已知的，即是已知的，即 P 任意抽取一個(gè)是黑球任意抽取一個(gè)是

43、黑球=a P 任意抽取一個(gè)是白球任意抽取一個(gè)是白球= 1-= 1-a 被調(diào)查者無(wú)論回答被調(diào)查者無(wú)論回答A 題或題或 B，都只需在一張只有，都只需在一張只有“是是”和和“否否”兩個(gè)選項(xiàng)的答卷上作出選擇，然兩個(gè)選項(xiàng)的答卷上作出選擇，然后投入密封的投票箱內(nèi)。后投入密封的投票箱內(nèi)。答卷答卷 是是 否否 上述抽球和答卷都在一間無(wú)人的房間內(nèi)進(jìn)行，任何上述抽球和答卷都在一間無(wú)人的房間內(nèi)進(jìn)行，任何人都不知道被調(diào)查者抽到什么顏色的球以及在答卷人都不知道被調(diào)查者抽到什么顏色的球以及在答卷中如何選擇，這樣就不會(huì)泄露個(gè)人秘密，從而保證中如何選擇，這樣就不會(huì)泄露個(gè)人秘密，從而保證了答卷的真實(shí)可靠性。了答卷的真實(shí)可靠性。

44、 當(dāng)有較多的人參加調(diào)查后，打開投票箱進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。當(dāng)有較多的人參加調(diào)查后，打開投票箱進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。設(shè)共有設(shè)共有n張有效答卷，其中張有效答卷，其中k張選擇張選擇“是是”，則可用，則可用頻率頻率k/n估計(jì)回答估計(jì)回答“是是”的概率的概率 ，記為：，記為：=p答答是是= k/n回答回答是是有兩種情況：有兩種情況：一種是摸到白球?qū)栴}一種是摸到白球?qū)栴}A回答回答是是，也就是被調(diào)查者，也就是被調(diào)查者“生日在生日在7月月1日之前日之前”的概率，一般認(rèn)為是的概率，一般認(rèn)為是0.5，即，即 P 答答是是| |抽白球抽白球 =0.5另一種是摸到黑球后對(duì)問題另一種是摸到黑球后對(duì)問題B回答回答是是，這個(gè)條件概，這個(gè)條件概

45、率就是看不健康書刊或影像的學(xué)生在參加調(diào)查的學(xué)率就是看不健康書刊或影像的學(xué)生在參加調(diào)查的學(xué)生中的比率生中的比率p，即：，即：P 答答是是| |抽黑球抽黑球 =p利用全概率公式得：利用全概率公式得： P 答是答是=P 抽白球抽白球 P 答是答是| |抽白球抽白球 P 抽黑球抽黑球 P 答是答是| |抽黑球抽黑球 )1(5 . 0 p )1(5 . 0 nk p )1(5 . 0即即：如在一項(xiàng)調(diào)查大學(xué)生看過(guò)不健康書刊或影像的調(diào)查如在一項(xiàng)調(diào)查大學(xué)生看過(guò)不健康書刊或影像的調(diào)查時(shí)共有全校時(shí)共有全校1583名學(xué)生參加，最后統(tǒng)計(jì)答卷，全部名學(xué)生參加，最后統(tǒng)計(jì)答卷，全部有效。其中回答有效。其中回答“是是”的有的

46、有389張，據(jù)此可估算出張，據(jù)此可估算出: : 0762. 06 . 0)6 . 01(5 . 01583389 p假設(shè)箱子中共有假設(shè)箱子中共有50個(gè)球，其中個(gè)球，其中30個(gè)黑球，則個(gè)黑球，則a= =0.6 。 1 2 3實(shí)際中還有下面一類問題，是實(shí)際中還有下面一類問題，是“已知結(jié)果求原因已知結(jié)果求原因”這一類問題在實(shí)際中更為常見：已知某結(jié)果發(fā)生條這一類問題在實(shí)際中更為常見：已知某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生可能性大小。件下，求各原因發(fā)生可能性大小。某人從任一箱中任意摸出一球，某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球發(fā)現(xiàn)是紅球, ,求該求該球是取自球是取自1 1號(hào)箱的概率。號(hào)箱的概率?；蛘邌柣蛘?/p>

47、問: :該球取自哪號(hào)箱的可能性最大該球取自哪號(hào)箱的可能性最大? 1 2 3有三個(gè)箱子，分別編號(hào)為有三個(gè)箱子，分別編號(hào)為1,2,3，1號(hào)箱裝有號(hào)箱裝有1 1個(gè)紅個(gè)紅球球4個(gè)白球，個(gè)白球，2號(hào)箱裝有號(hào)箱裝有2紅球紅球3白球，白球，3號(hào)箱裝有號(hào)箱裝有3紅球。某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一紅球。某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，球，發(fā)現(xiàn)是紅球發(fā)現(xiàn)是紅球, ,求該球是取自求該球是取自1號(hào)箱的概率號(hào)箱的概率。)()()|(11BPBAPBAP記記 Ai=球取自球取自i號(hào)箱號(hào)箱, i=1,2,3; B =取得紅球取得紅球求求P(A1|B)3111kkkABPAPABPAP)()()|()(運(yùn)用全概率公式運(yùn)用全概率公式計(jì)算計(jì)算P(B) 1 2 3將這里得到的公式一般化，就得到將這里得到的公式一般化，就得到 貝葉斯公式貝葉斯公式貝貝 葉葉 斯斯 公公 式式該公式于該公式于1763年由貝葉斯