流體動力學(xué)基本方程

1、 流體動力學(xué)基本方程例如求解定常均勻來流繞流橋墩時的橋墩受力問題：流場和橋墩表面受力由（邊界條件+控制方程組）決定。本章任務(wù)建立控制方程組，確定邊界條件的近似描述和數(shù)學(xué)表達。 I質(zhì)量連續(xù)性方程（質(zhì)量守恒方程）I-1方程的導(dǎo)出物質(zhì)體（或系統(tǒng)）的質(zhì)量恒定不變質(zhì)量守恒假設(shè)。質(zhì)量守恒假設(shè)對于很多流動問題是良好近似，分子熱運動引起的系統(tǒng)與外界的物質(zhì)交換可忽略不計。在此假設(shè)下，對物質(zhì)體有。根據(jù)輸運定理，設(shè)時刻該系統(tǒng)所占控制體為，對應(yīng)控制面，則有質(zhì)量守恒方程積分形式。上式亦表明，內(nèi)單位時間內(nèi)的質(zhì)量減少=上的質(zhì)量通量。由奧高公式得 ，于是有。考慮到的任意性，故有 ，即 質(zhì)量守恒方程微分形式I-2各項意義分析：

2、1）流體微團密度隨時間的變化率；定常流動；不可壓縮流動；均質(zhì)流體的不可壓縮流動。2）由（為微團的質(zhì)量）知（為該微團時刻體積），從而知=流體微團體積隨時間的相對變化率，即體膨脹率。3）不可壓縮流體，故有 。由奧高公式有，可見對于不可壓縮流動，任意閉合曲面上有。不可壓縮流動滿足的或是對速度場的一個約束。例1、1）定常流場中取一段流管，則由易知：；如為均質(zhì)不可壓縮流動，則。2）對于不可壓縮球?qū)ΨQ流動（如三維空間中的點源產(chǎn)生的流動）則有， 即，其中代表點源強度（單位時間發(fā)出的流體體積）。例2、均質(zhì)不可壓縮流體（密度為）從圓管（半徑為）入口端以速度流入管內(nèi)，經(jīng)過一定距離后，圓管內(nèi)流體的速度發(fā)展為拋物型剖

3、面，即。通常稱這種流動為圓管的入口流。試求當(dāng)管內(nèi)流動發(fā)展為拋物型剖面時的最大速度。解：如圖，將整個入口段取為控制體，對不可壓縮流體有：， 由于管壁無滲透故上式可寫為：，可得。II動量方程流體團所受合外力 = 該流體團的質(zhì)量 其加速度II-1方程的導(dǎo)出1直角坐標系下推導(dǎo)微分形式的動量定理時刻，考慮一個正六面體形狀的流體微團，如圖所示，該流體微團時刻所占控制體，其邊界。受力分析：體力合力=面力合力于是有，即。分量形式：或?qū)懗?，或。意義：單位體積流體團所受面力的合力。2積分形式的動量定理的導(dǎo)出考慮體系，該流體團時刻所占控制體，其邊界。由動量定理有利用輸運定理可得。于是得到積分形式動量定理： 該定理的

4、應(yīng)用：經(jīng)常應(yīng)用于求流體與邊界的相互作用力。例題1求流體作用于閘門上的力。（設(shè)渠寬）解：取控制體如圖所示，根據(jù)假定只需討論動量方程的方向分量方程。閘門受合力代入動量方程方程得故注：求時可直接設(shè)。注 微分形式的動量定理也可由積分形式的動量定理導(dǎo)出，推導(dǎo)過程如下：其中，因而得到。上式表明：流體團總動量的變化率=組成該流體團的流體質(zhì)點的動量變化率之和。另外，綜上可得，再考慮到系統(tǒng)大小形狀的任意性可得。盡管得到了流動的動量方程，但是不像經(jīng)典力學(xué)有了動量定理就可以求解質(zhì)點運動一樣，流體運動的動量方程中應(yīng)力張量等于什么我們還不知道，并且速度的隨體導(dǎo)數(shù)同時包含空間導(dǎo)數(shù)和時間導(dǎo)數(shù)，使得我們不僅需要初始條件，還需

5、要邊界條件才能確定一個具體流動。3蘭姆葛羅米柯形式的動量方程II-2地轉(zhuǎn)參照系下的動量方程就很多空間和時間尺度都較小的流動而言，地球參照系通常課近似看作慣性系。但是對于大尺度的流體運動問題，必須考慮地球自轉(zhuǎn)的影響。在海洋和大氣的大尺度運動問題中，通常把地心看成慣性參照系，地球相對于地心有自轉(zhuǎn)運動。我們在此介紹地轉(zhuǎn)參照系下的動量方程，為將來學(xué)習(xí)物理海洋學(xué)、地球流體動力學(xué)等打基礎(chǔ)。地球上運動質(zhì)點的絕對速度，其中代表質(zhì)點相對于地球表面的運動速度，牽連速度（牽連速度=地球表面上該質(zhì)點所在位置繞地心的自轉(zhuǎn)速度），為地球自轉(zhuǎn)角速度。絕對加速度：，其中代表相對加速度，牽連加速度，科氏加速度。動量方程：其中，

6、。因為真實力與參照系無關(guān)，故一般情況下可以忽略地球自轉(zhuǎn)角速度的變化，認為，于是有。III.能量方程III1能量方程的推導(dǎo)：時刻流體團所占控制體，其邊界，能量平衡關(guān)系式：時刻其中，代表單位質(zhì)量流體的內(nèi)能（分子熱運動動能+分子間相互作用勢能），為熱流強度，根據(jù)付利葉熱傳導(dǎo)定律對各向同性流體設(shè)單位時間內(nèi)單位質(zhì)量流體從外界吸收的輻射能為，則故能量方程積分形式為：因為所以得到能量方程微分形式：，其中。由于旋轉(zhuǎn)運動張量是反對稱張量，而應(yīng)力張量是對稱張量，故有（因是對稱張量）記。另外，于是有如下形式的能量方程：。方程中各項意義分析：代表單位體積流體能量變化率；代表作用在單位體積流體微團上的體力的功率；代表作

7、用在單位體積流體微團表面的面力的合力的功率；代表單位時間內(nèi)單位體積流體微團通過熱傳導(dǎo)和輻射吸收從外界獲得的能量。III2動能方程將動量方程 兩邊同時點積得： 。其中，故有動能定理。上式表明：單位體積流體微團動能變化率作用于該微團上的體力的功率作用于該微團上的合面力的功率。III3熱流量方程：面力的功率包含兩項，其中合面力的功率轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的宏觀運動動能，另一部分轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的內(nèi)能。盡管系統(tǒng)內(nèi)部的應(yīng)力是內(nèi)力，但是粘性應(yīng)力必然導(dǎo)致機械能的耗散。如果系統(tǒng)要維持定常狀態(tài)，必須有外力對系統(tǒng)做功，補充其機械能損耗。參考本章后面的例題。IV.本構(gòu)方程數(shù)學(xué)預(yù)備：記，根據(jù)二階張量定義，將坐標系旋轉(zhuǎn)，從原坐標系到旋轉(zhuǎn)

8、后的坐標系，二階張量的張量元滿足變換：，其中變換矩陣。逆變換：。本構(gòu)方程的導(dǎo)出1應(yīng)力張量分解：偏應(yīng)力張量，代表運動流體的應(yīng)力張量與各向同性應(yīng)力張量（記為）的差異。記作；是對稱二階張量。2線性假設(shè)（Newton粘性定律的推廣，對于剪切流動，）偏應(yīng)力產(chǎn)生于速度場的不均勻性。線性假設(shè)：假設(shè)偏應(yīng)力張量各分量與速度梯度張量的各分量成線性關(guān)系：。是四階張量，滿足變換關(guān)系。是由81個系數(shù)組成的一組系數(shù)，這組系數(shù)確定了偏應(yīng)力張量各張量元與速度梯度張量各張量元之間的關(guān)系，由于偏應(yīng)力張量和速度梯度張量都滿足二階張量定義，于是有可知。數(shù)學(xué)上定義，由81個元素組成的量，若其元素滿足該變換的則稱之為四階張量。3各向同性

9、流體及其四階張量的表達式31各向同性流體：若在原坐標系和旋轉(zhuǎn)后的坐標系中偏應(yīng)力張量分別表示為和，若則應(yīng)當(dāng)有，于是要求。*考慮一個特例來理解流體粘性的各向同性：水池中插入并移動平板引起的兩個純剪切流動的粘性應(yīng)力大小與平板放置方向無關(guān)。只要加上一個速度梯度，就對應(yīng)一個粘性應(yīng)力，粘性系數(shù)與速度梯度的方向無關(guān)。 *32對于各向同性流體，可以證明（參見吳書p75）四階張量可表示為，其中是標量，即。33偏應(yīng)力張量是對稱張量，于是，于是。另外，由上式還可知。4分解，于是如果流體只有旋轉(zhuǎn)運動而沒有變形運動，那么偏應(yīng)力張量0。偏應(yīng)力與變形運動相關(guān)聯(lián)。5將的表達式帶入上式，得最后得到：其中代表無體積變化的純剪切運

10、動，代表各向同性膨脹運動。6Stokes假設(shè)對于不可壓縮流體，0。對于可壓縮流體表示流體發(fā)生膨脹或收縮時引起的法向應(yīng)力，被稱為第二粘性系數(shù)或膨脹粘性系數(shù)。Stokes假設(shè)：系統(tǒng)處于準熱力學(xué)平衡狀態(tài)時，可近似認為。7的意義考慮純剪切運動，粘性應(yīng)力，可知為動力學(xué)粘性系數(shù)。8的意義設(shè)流體滿足Stokes假設(shè)，可以證明作用于球形微團上的法應(yīng)力的平均值。So, its a measure of the local intensity of the “squeezing” of the fluid.證明：The average value of the normal component of the st

11、ress on a surface element at position over all directions of the normal to the element is 證明：.Since ,或者在球坐標系下，Hence， characterizing the fluid pressure in a moving fluid which is analogous to the static fluid pressure in the sense that its a measure of the local intensity of the squeezing of the flui

12、d.（關(guān)于與熱力學(xué)壓強的關(guān)系，建議學(xué)生查莊禮賢流體力學(xué)對應(yīng)章節(jié)。）9關(guān)于偏應(yīng)力張量A general relative motion near any point may be represented as the superposition of two simple shearing motion, each of which gives rise to a tangential stress determined by and the corresponding velocity gradient, together with a rigid rotation and an isotro

13、pic expansion, neither of which has an effect ( in a fluid of isotropic structure ) on the non-isotropic part of the stress tensor and may of cause be regarded as the only possible linear tensorial relation, involving one scalar parameter, between and a symmetrical tensor whose diagonal elements hav

14、e zero sum . (以上8和9)引自Batchlor,1994) 本構(gòu)方程（廣義牛頓公式）的適用范圍：1）大多數(shù)液體；2）非高溫、非高頻振動的氣體；非牛頓流體：油漆、橡膠、蜂蜜、血液、瀝青等。例1寫出純剪切流動偏應(yīng)力張量各分量例2吳書p203，23 1） 平板上的切應(yīng)力，平板所受總阻力。2） 處流體內(nèi)摩擦力為0。例3 吳書p203，22柱坐標系下應(yīng)力張量的表達式見p190。除外，應(yīng)力張量其他非對角元均為零。管壁處的切應(yīng)力，單位長圓管對流體的阻力。與圓管共軸的半徑為的單位長流體柱表面的總摩擦力。V流體力學(xué)基本方程組V-1 完備的微分形式流體力學(xué)基本方程組內(nèi)能，具體函數(shù)形式由熱力學(xué)理論給出

15、。對于完全氣體。V-2 N-S方程將代入動量方程即得：，其中。當(dāng)流場溫度變化不大時，近似為常數(shù)，故有，其中。最后得到。又，若流體不可壓縮，方程化為NS方程：。又，若流體粘性可略，方程化為理想流體Euler方程：。V-3耗散函數(shù)耗散函數(shù)單位時間內(nèi)粘性導(dǎo)致的單位體積流體機械能轉(zhuǎn)化成的內(nèi)能。其中為壓縮功，而為粘性力的功，它將導(dǎo)致機械能轉(zhuǎn)化成內(nèi)能。定義耗散函數(shù)，它等于單位時間內(nèi)由于粘性應(yīng)力做功導(dǎo)致的機械能轉(zhuǎn)化成的內(nèi)能。它可以化成如下形式：?？梢?，恒大于或等于零。這說明粘性力做功總是使機械能轉(zhuǎn)化成內(nèi)能，這個過程不可逆。例題：拖動上板引起的剪切運動，。設(shè)平板面積間距，忽略邊緣效應(yīng)，寫出該流動的耗散函數(shù)。，

16、證明=外力拉動上板的功率上板受外力上板受流體摩擦力，力功率，得證。例題 NS 方程應(yīng)用于靜止流體NS 方程：1）若流體靜止，NS 方程化成什么形式？2）推導(dǎo)阿基米德定律（Archimeder）答：1）。若僅受重力這唯一體力，則，即（均質(zhì)流體）。2）如圖物體浸沒在靜止流體中，求作用于物體上的合面力。合面力。注：其中利用了吳書公式18 on page20，該公式的導(dǎo)出如下所示。, 將分割成無數(shù)個正六面體微元，如圖所示：下面計算 對任一個正六面體微元上，將上式在給定和的情況下對積分，即對給定和的一串流體微團積分上式，得到其中和分別代表該流體微團串左、右兩端的值，即流體團表面上給定和的兩點的值。在圖中

17、，對于流體團右側(cè)表面上的面元有；同樣對于流體團左側(cè)表面上的面元有。于是VI邊界條件流體力學(xué)方程組是支配流體運動的普適的方程組。要確定某個具體的流動，就要找出流體力學(xué)方程組的一種確定的解。為此，就必須給出決定這個解的定解條件。這通常包括邊界條件和初始條件。本節(jié)討論幾種常用的邊界條件。1無窮遠邊界條件e.g.飛機在天空飛行，天空邊界無窮遠，在無窮遠處流體的運動狀態(tài)不受飛機的影響，并且通常是已知的，因此有邊界條件：。如果無窮遠處空氣靜止，在固定在地球上的參照系中，其中代表大氣壓強。如果把參照系固定在飛機上（設(shè)飛行速度），則在繞流問題中，一般情況下，當(dāng)流體的空間尺度遠大于明顯受物體擾動的流動區(qū)域的尺度

18、時，即可將擾動可略的區(qū)域視為無窮遠。2兩種流體分界面上的邊界條件21液體的表面張力表面張力的概念：液體表面上任一面元邊界上的線元都要受到與該線元垂直的，沿界面切向的作用力，稱為表面張力。單位長度邊界線元上的表面張力設(shè)為，被稱為表面張力系數(shù)。作用于單位面積界面上的表面張力的合力為，其中，是任意兩個包含的正交平面和界面交線的曲率半徑（若指向曲率中心，曲率半徑為正，否則為負）。22應(yīng)力邊界條件：(吳書圖3.7.2，以下公式與吳書圖3.7.2相協(xié)調(diào))在界面兩側(cè)對稱的取微元小柱體，柱高兩底面的尺度，對此微元應(yīng)用動量定理，由于體力和柱體側(cè)面受力兩底上的面力，故有兩底上的面力作用在柱體側(cè)面與邊界面的交線上的

19、表面張力0即 由此可見，界面兩側(cè)切應(yīng)力連續(xù)，法應(yīng)力在界面平均曲率不為零時有一個突變。特別地23速度邊界條件假設(shè)1）兩介質(zhì)的界面是物質(zhì)面，即假設(shè)界面上不發(fā)生蒸發(fā)、滲透、凝結(jié)和相互融解等的現(xiàn)象，那么，在運動過程中，分界面始終由同一批質(zhì)點所組成；2）兩介質(zhì)的界面不發(fā)生分離。在以上兩個假設(shè)下，界面的兩側(cè)質(zhì)點速度必滿足連續(xù)性條件：。在流體的分界面上同樣有分子的輸運效應(yīng)，它的效果就是減小界面上物理量的法向梯度。如果界面兩側(cè)流體切向速度不連續(xù)，那么就會出現(xiàn)動量輸運（粘性應(yīng)力），直至切向速度達到一致。由此我們假設(shè)切向速度連續(xù)，。此條件稱為無滑移條件，對粘性流體的界面成立。對于理想流體，沒有切向速度邊界條件。24熱力學(xué)邊界條件同樣，考慮到在流體分界面上的分子輸運效應(yīng)，假設(shè)邊界兩側(cè)溫度連續(xù)，。再考慮前面提到的界面上的小柱體內(nèi)的由于熱傳導(dǎo)引起的能量的變化，有平衡方程：柱體內(nèi)內(nèi)能的增加率=其表面的熱通量的負值由于柱體內(nèi)的能量和側(cè)面上的熱通量的量階低于兩底面上的熱通量，因此有上底面的熱通量下底面的熱通量即，即。3固壁邊界條件和自由表面邊界條件（兩介質(zhì)界面邊界條件的兩個重要特例）與分界面兩邊都是求解對