買權(quán)賣權(quán)等價(jià)理論.doc

1、第八章買權(quán)賣權(quán)等價(jià)理論8-1 賣權(quán) -買權(quán)等價(jià)關(guān)係賣權(quán) -買權(quán)等價(jià)關(guān)係 （Put-Call Parity）指相同的履約價(jià)格 （ K ）及合約期間（T）的歐式買權(quán)與賣權(quán)間具有某種對等關(guān)係。因此買權(quán)與賣權(quán)間可彼此推算。P S C K （1r）-T（8.1 式）賣權(quán)股票買權(quán)買權(quán)履約價(jià)格折現(xiàn)值在前一章關(guān)於選擇權(quán)的評價(jià)，一直沒有討論關(guān)於賣權(quán)價(jià)格的評價(jià)，主要是因?yàn)榻逵少I權(quán) -賣權(quán)等價(jià)理論可以互相換算買權(quán)、賣權(quán)價(jià)格。範(fàn)例 8-1：根據(jù)民國 99年 11月16日元大 7V中鋼的認(rèn)購權(quán)證資料，元大 7V收盤價(jià)是0.97元，當(dāng)天中鋼股票收盤價(jià)為 31.8元，履約價(jià)格為 34元，民國 100年 3月21日到期（還有

2、 125天到期）， T 125 0.342，假設(shè)利率為 1，求在相365同條件下，賣權(quán)或認(rèn)售權(quán)證之理論價(jià)格?ANS ：PCS K（ lr）-T 0.9731.8 34（10.01） -0.3423.05若等價(jià)關(guān)係不成立，則表示買權(quán)或賣權(quán)間可能至少有一個(gè)有錯(cuò)價(jià)情形存在，藉由買低賣高可以有套利機(jī)會。範(fàn)例 8-2：假設(shè)股票現(xiàn)價(jià) 31，現(xiàn)行利率 10，三個(gè)月期的歐式買權(quán)現(xiàn)價(jià)3，賣權(quán)現(xiàn)價(jià) 2.25，履約價(jià)格均為 30，則：PS2.2531 33.25 CK （1r）-T 330（ 1 0.1） -3/12 329.29 32.29所以有套利機(jī)會，且由上式可知買權(quán)價(jià)格相對偏低。因此可使用買入買權(quán)，賣出賣權(quán)

3、並放空股票的策略進(jìn)行套利。到期時(shí)若股價(jià) 30，則執(zhí)行買權(quán)，結(jié)束股票空頭部位。而期初之操作策略有 32.253130.25 之現(xiàn)金流入， 3 個(gè)月後本利和為 30.25（10.1）0.2530.98，所以獲利 30.9830 0.98Futures and Options ， Chap 8， Y.C.CHU862010若到期股價(jià) 30，對方將會執(zhí)行賣權(quán)。則以 30 元買進(jìn)股票，結(jié)束股票空頭部位，同樣獲利 0.98 元。因此只要期初有不等價(jià)情形，運(yùn)用正確的套利方法，不論期末現(xiàn)貨價(jià)格為何，均可獲得無風(fēng)險(xiǎn)利潤。藉由等價(jià)關(guān)係，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)價(jià)平（股價(jià)等於履約價(jià)格，S K ）時(shí)，買權(quán)價(jià)值大於賣權(quán)。證明的方法很

4、簡單，首先將等價(jià)公式做移項(xiàng)，並將KS 代入：CPSS（ 1r）-TS1（ 1 r）-T （ 8.2式）由於（ 1r）-T 為一折現(xiàn)因子，必定小於 1，1（ 1 r） -T 0，此因在價(jià)平時(shí)， CP0，亦即買權(quán)價(jià)值大於賣權(quán)。從等價(jià)理論公式還可以看出利率上升時(shí)，買權(quán)價(jià)值上升，賣權(quán)價(jià)值下降。因?yàn)楫?dāng)利率上升時(shí)， K （1r） -T 下降，那麼 S K （l r） -T 便上升。所以 CP上升，不外乎 C 上升或 P 下降；反之，當(dāng)利率下降時(shí)， CP 下降，所以 C 下降或 P上升。當(dāng)股價(jià)波動性增加，買權(quán)與賣權(quán)的價(jià)格均會上升，但不會影響買權(quán)、賣權(quán)的相對價(jià)格（ CP）。因?yàn)閺牡葍r(jià)公式中，買權(quán)、賣權(quán)的相對價(jià)

5、格等於股價(jià)減掉履約價(jià)格的折現(xiàn)看來，影響相對價(jià)格的只有股價(jià)、利率、履約價(jià)格及到期期限等四個(gè)因素。而股價(jià)報(bào)酬的波動性並不在買權(quán)賣權(quán)這個(gè)等式中。也就是說，波動性對買權(quán)、賣權(quán)的影響是一樣的。此外，任一選擇權(quán)定價(jià)模型均需滿足等價(jià)理論公式，因此由前一章的 BS定價(jià)公式中，我們已知買權(quán)為：1-rT2（ 8.3 式）CSN（d ） KeN（d ）將其套入等價(jià)公式，可得賣權(quán)為：PKe-rT1N（d2）S1N（ d1）（ 8.4 式）或 K（1r）-T1 N（ d2） S1 N（d1）（ 8.5 式）練習(xí) 1：甲股票 S0 50， u0.5，d0.5，買權(quán)賣權(quán)的執(zhí)行價(jià)格均為50，無風(fēng)險(xiǎn)利率為 25，試求一年期賣權(quán)

6、價(jià)格。ANS： P5練習(xí) 2：假設(shè)臺積電目前股價(jià)為100 元，履約價(jià)格亦為100 元，股價(jià)年報(bào)酬波動Futures and Options ， Chap 8， Y.C.CHU872010性為 60，無風(fēng)險(xiǎn)利率為 0.06，則到期期限為一年的賣權(quán)合理價(jià)格為多少？-TANS ：PSN （ d1 ）1 K（1r）N （d2） 1100100（0.6551）（0.4211）(16%)100（ 0.345） 94.34 0.579 20.12或直接以買賣等價(jià)理論求出：PCS K（ 1 r）-T 25.78100100（16） -1 20.12根據(jù)等價(jià)理論公式 CPSK （1r）-T ，若將 P移到等號右

7、邊，則變?yōu)椋篊SPK （ 1 r）-T將右邊減去 K 再加上 K 可得： C（ SK ） K K （ 1 r）-T P（8.6式）（1）（ 2）（3）內(nèi)含價(jià)值利息賣權(quán)所以上式買權(quán)價(jià)值其實(shí)可以看成是三項(xiàng)的和。因此，買權(quán)的時(shí)間價(jià)值即包含第（ 2）項(xiàng)利息與第（3）項(xiàng)賣權(quán)的價(jià)值?；旧隙唐趦?nèi) （譬如一天之內(nèi)） ，第（2）項(xiàng)不會有太大的變化，所以買權(quán)的時(shí)間價(jià)值就只受第（ 3）項(xiàng)賣權(quán)價(jià)值的影響。而賣權(quán)具有保險(xiǎn)功能，如果股價(jià)上升，賣權(quán)價(jià)值會下降（所需要支付的保險(xiǎn)成本下降，亦即第（ 3）項(xiàng)賣權(quán)的價(jià)值會下降）。因此若股價(jià)上升，價(jià)內(nèi)買權(quán)的時(shí)間價(jià)值就會下降。8-2 證券的複製在第五章曾提過關(guān)於資產(chǎn)的配置，就是將投資

8、組合中不同資產(chǎn)的比重加以改變，藉以複製出具有相同部位的證券。在選擇權(quán)中，一樣可以用相同的原理複製出具有相同部位的資產(chǎn)。1.買入賣權(quán)買入買權(quán)賣空股票PCS K （lr）-T賣權(quán)其實(shí)等於買權(quán)加上賣空股票，再加上把錢存到銀行 （或是買一個(gè)債券） ，由於 K（ lr）-T代表購買無風(fēng)險(xiǎn)債券或?qū)㈠X存入銀行 ，可以視為無風(fēng)險(xiǎn)的投資，F(xiàn)utures and Options ， Chap 8， Y.C.CHU882010在討論複製產(chǎn)品時(shí)可以將此項(xiàng)省略。因此買入買權(quán)、賣空股票便可複製一個(gè)和賣權(quán)到期時(shí)，有類似報(bào)酬型態(tài)的投資組合。損益-SCK股價(jià)P藉由上面的損益圖，我們也可以看出買進(jìn)一單位買權(quán)並同時(shí)賣出一股股票所得

9、的總損益與買進(jìn)一單位賣權(quán)是相同的。2.買入買權(quán)買入股票買入賣權(quán)CSP K （lr）-T所以買入買權(quán)也可由買入股票、再買入賣權(quán)來複製。損益SCK股價(jià)P3.買入股票買入買權(quán)賣空賣權(quán)SCP K （lr）-T亦即買入股票可由買入買權(quán)、賣空賣權(quán)來複製。另外，賣空賣權(quán)（P）、賣空買權(quán)（ C）及賣空股票（ S）的道理和前述第 1、 2、3項(xiàng)是一樣的，只是方向相反。損益SCK股價(jià)PFutures and Options ， Chap 8， Y.C.CHU892010買權(quán)與賣權(quán)的履約價(jià)不一定要相同，而且買權(quán)與賣權(quán)的價(jià)格也不會一樣，所以實(shí)際上的損益圖並不會正好成對稱。大家可以試試看當(dāng)買權(quán)與賣權(quán)的履約價(jià)不相同，或買

10、權(quán)與賣權(quán)的價(jià)格不一樣時(shí)，損益圖會有什麼差別。4.賣空賣權(quán)買入股票賣空買權(quán)-TP S CK （l r）所以買入股票、賣空買權(quán)可以複製成賣空賣權(quán)的報(bào)酬型態(tài)。5.賣空買權(quán)賣空股票賣空賣權(quán)-TC SPK （l r）因此賣空股票、賣空賣權(quán)可以複製成賣空買權(quán)。6.賣空股票 =買入賣權(quán)賣空買權(quán)-TS P CK （l r）所以買入賣權(quán)、賣空買權(quán)可以複製成賣空股票。7.買入無風(fēng)險(xiǎn)債券買入股票賣空買權(quán)買入賣權(quán)由 K （l r） -TS P C可知，買入股票、賣空買權(quán)及買入賣權(quán)將產(chǎn)生一個(gè)沒有風(fēng)險(xiǎn)的投資組合，或類似買入 K（l r） -T的無風(fēng)險(xiǎn)債券，到期的報(bào)酬是已知的 K ，其現(xiàn)值是 K （ lr）-T。損益SK股

11、價(jià)P-C總損益線會略高於橫軸，其間的差距即是無風(fēng)險(xiǎn)債券的收益（亦即利息）。8.賣空無風(fēng)險(xiǎn)債券賣空股票買入買權(quán)賣空賣權(quán)-T這些複製證券的損益圖形繪製原則，只要把握 4個(gè)基本交易策略的損益圖，並加以組合，即可畫出，不需要死記。其他沒有畫出損益圖的，其實(shí)都大同小異，請自行練習(xí)。Futures and Options ， Chap 8， Y.C.CHU9020108-3 不同條件下之賣權(quán)-買權(quán)等價(jià)理論美式買權(quán)會被提早履約的原因，主要是因?yàn)楣衫陌l(fā)放。因?yàn)樘嵩缏募s，拿到股票才能獲得股利（但也損失時(shí)間價(jià)值） ，因此在沒有股利的情況下，沒有理由提早履約而損失時(shí)間價(jià)值，所以美式買權(quán)和歐式買權(quán)價(jià)格是一樣的。但當(dāng)

12、沒有股利發(fā)放時(shí)，美式賣權(quán)仍可能會有提早履約的情形，尤其在股價(jià)很低時(shí)，時(shí)間價(jià)值趨近於 0，提早履約比較有利，因?yàn)榭梢蕴嵩缒玫铰募s價(jià)格 K ，賺取 K 的利息。因此美式賣權(quán)的價(jià)值會大於或等於歐式賣權(quán)，即 PaPe。於是美式買權(quán)賣權(quán)等價(jià)理論變成一個(gè)有上下區(qū)間的不等式：S K Ca PaSK （l r）-T（8.7式）範(fàn)例 8-3：假設(shè) A 公司目前股價(jià)為 110元，履約價(jià)格為 100元，無風(fēng)險(xiǎn)利率為 6，則美式買權(quán)賣權(quán)在無股利下的相對價(jià)格？ ANS ：110100 CP110100（ 10.06）-1 10 CP15.7在有股利情況下，歐式的買權(quán)賣權(quán)等價(jià)理論為：C P SD（l r）-tK（l r）

13、-T（8.8式）因?yàn)楣衫陌l(fā)放會降低股價(jià)，也就是說股利是股價(jià)的減項(xiàng)。因此在歐式的買權(quán)賣權(quán)等價(jià)理論上，只需將原公式右邊部分的股價(jià)減掉股利的折現(xiàn)即可。如果在選擇權(quán)存續(xù)期間發(fā)放一次以上的股利，那麼同樣將所有股利折現(xiàn)到現(xiàn)在，然後由目前股價(jià)扣掉此項(xiàng)即可。範(fàn)例 8-4：假設(shè) A 公司目前股價(jià)為 110元，預(yù)計(jì)半年後要發(fā)放 4塊錢的現(xiàn)金股利，假設(shè)還有一年到期，履約價(jià)格為 100元之歐式買權(quán)價(jià)值為 20元，則條件相同的歐式賣權(quán)之合理價(jià)格為多少（假設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)利率為 6） ?ANS ：CPS D（ lr）-t K （l r） -T110 4（ 1 0.06）-0.5 100（10.06） -1 11.77P20 1

14、1.778.23Futures and Options ， Chap 8， Y.C.CHU912010在有股利情況下，因?yàn)楣衫陌l(fā)放會降低買權(quán)的價(jià)格，提高賣權(quán)的價(jià)格，因此美式的買權(quán)賣權(quán)等價(jià)理論修正為：S D（ l r）-tK CaPa S K（l r）-T（8.9式）範(fàn)例 8-5：承前例，求美式買權(quán)賣權(quán)在有股利情況下的相對價(jià)格？ANS ：1104（10.06）-0.5 100Ca Pa110 100（10.06）-1所以 6.1 CaPa15.7練習(xí)：財(cái)務(wù)市場完全且與處於均衡狀態(tài)，目前甲股票單價(jià)為 10元， 6個(gè)月之無風(fēng)險(xiǎn)利率為 5%，市面上有一買權(quán)和一賣權(quán)，有相同之履約價(jià)格 K，一單位之買（

15、賣）權(quán)準(zhǔn)許持有人 6個(gè)月之後以每單位 K 元的價(jià)格向出售選擇權(quán)的人買入（賣出）1單位之甲股票，已知此買權(quán)及賣權(quán)之價(jià)格為 1.50元及 0.5元，求K?ANS：K9.28-4 賣權(quán)之敏感度分析由等價(jià)關(guān)係及對買權(quán)的偏導(dǎo)函數(shù)，我們可以求得賣權(quán)的偏導(dǎo)函數(shù)：歐式賣權(quán)的 Delta： dP N(d1) 10（ 8.10 式）dS歐式賣權(quán)的 Delta 小於 0，表示當(dāng)股價(jià)上漲時(shí)，賣權(quán)價(jià)格下跌，大小剛好等於買權(quán) Delta 減去 1。類似的概念，歐式賣權(quán)Gamma： d2P N (d1) 0（8.11 式）2STdS賣權(quán)的 Gamma和買權(quán)的 Gamma大小及符號都一樣，同樣表示當(dāng)股價(jià)上漲時(shí)， Delta

16、會上升，反之則會下降。歐式賣權(quán)的 Vega（v）或 Kappa：Futures and Options ， Chap 8， Y.C.CHU922010v dP S TN（d1）（ 8.12 式）d賣權(quán)的 Vega和買權(quán)的 Vega也是相同的，表示當(dāng)?shù)纳仙官I權(quán)及賣權(quán)的價(jià)格呈現(xiàn)相同大小、相同方向的變動。譬如當(dāng)?shù)纳仙官I權(quán)上升 1 元，則同樣條件的賣權(quán)也上升 1 元。也就是說，同樣條件的買權(quán)賣權(quán)的相對價(jià)格（ CP）不受變動的影響，這是因?yàn)楣蓛r(jià)波動度不出現(xiàn)在買權(quán)賣權(quán)等價(jià)理論中。歐式賣權(quán)的 Rho dP TKe-rTT N（d2） 10（ 8.13 式）dr賣權(quán) Rho 0，表示當(dāng)利率上升時(shí)，賣權(quán)價(jià)格下跌，和買權(quán)Rho 方向相反。歐式賣權(quán)的 Theta （）dPSN( d1)