4.2提取公因式法

1、請把請把1212、1515因數(shù)分解：因數(shù)分解：12= 212= 2 2 23 3；15= 315= 3 5 51212、1515這這兩數(shù)有公兩數(shù)有公因數(shù)嗎？因數(shù)嗎？ 如圖，由一個邊長為如圖，由一個邊長為a的小正方形與的小正方形與 一個長、寬一個長、寬分別為分別為a、b b的小長方形拼接成一個大長方形的小長方形拼接成一個大長方形ABCDABCD。 a ab b aA A ab bB BD DC Ca 請用兩種不同的方法表示長方形請用兩種不同的方法表示長方形ABCDABCD面積面積, ,寫出一個等式。寫出一個等式。a2 2 + + aba( (a + b) )= =提取公因式法提取公因式法有什么有

2、什么特點特點?公因式公因式: :多項式中多項式中每一項每一項都含有都含有的的相同因式相同因式。mambmc()mambmcm abc解解: :公因式公因式多項式多項式中中每一項每一項都含有的都含有的相同的因相同的因式式, ,稱稱之為之為公因式公因式提取公因式法提取公因式法這個多項式各項有相同的因式么？這個多項式各項有相同的因式么？應(yīng)提取的公因式為應(yīng)提取的公因式為:_:_多項式多項式 有公因式嗎？有公因式嗎？是什么？是什么？2336ax yx yz 233ax ya x x y 362 3x yzx x x y z 23x y 如果一個多項式的如果一個多項式的各項各項含有含有公因式公因式，那，那

3、么就可以把這個公因式么就可以把這個公因式提取提取出來進行因式分解，出來進行因式分解，這種分解因式的方法叫做這種分解因式的方法叫做提取公因式法提取公因式法。定義：定義：2336ax yx yz 23x y=( )2axz提取公因式后，多項式提取公因式后，多項式余下余下的各項的各項不再含有公因式不再含有公因式 ！ 如何確定應(yīng)提取的公因式？如何確定應(yīng)提取的公因式？2.2.字母字母: :取多項式取多項式各項各項中都含有的中都含有的相同相同字母。字母。1.1.系數(shù)系數(shù): :取多項式取多項式各項系數(shù)各項系數(shù)的的最大公因數(shù)最大公因數(shù)。方法方法: :如何確定如何確定應(yīng)提取的公因式應(yīng)提取的公因式？提取公因式后，

4、多項式余下的各項提取公因式后，多項式余下的各項不再含有公因式不再含有公因式 ！ 3.3.指數(shù)指數(shù): :取取相同字母的相同字母的最最低次冪低次冪。公因式公因式mn 3 3ab 5 5x2 2 y5 5abc a多項式中的公因式可以是單項式，也可以是多項式中的公因式可以是單項式，也可以是多項式多項式。（x-y) )=ab=ab(6ac(6ac3 3-7b)-7b)(3) 6a(3) 6a2 2bcbc3 3-7ab-7ab2 2=2x=2x2 2(1) 2x(1) 2x3 3 +6x +6x2 2解：解：(2)3pq(2)3pq3 3+15p+15p3 3q q(3)6a(3)6a2 2bcbc3

5、 3-7ab-7ab2 2(1)2x(1)2x3 3 +6x+6x2 2例例1 1 、把下列各式分解因式、把下列各式分解因式(2) 3pq(2) 3pq3 3+15p+15p3 3q q = 3pq= 3pq(q(q2 2+5p+5p2 2) )用用公因式去除這個多項式公因式去除這個多項式，所得的商作為另一個因式，所得的商作為另一個因式(x+3)(x+3)（2x2x3 3 +6x +6x2 2）(2x2x2 2) )例例2 2、 用提取公因式法分解因式：用提取公因式法分解因式：（1 1）-4x-4x2 2+8ax+2x+8ax+2x（2 2）-3ab+6abx-9aby-3ab+6abx-9a

6、by= = - -2x(2x-4a-1)2x(2x-4a-1)= = - -3ab(1-2x+3y)3ab(1-2x+3y)當首項當首項的系數(shù)為的系數(shù)為負負時，通常應(yīng)提取時，通常應(yīng)提取負因數(shù)負因數(shù)，此時剩，此時剩下的各項都要下的各項都要改變符號改變符號（1 1）-4x-4x2 2+8ax+2x+8ax+2x（2 2）-3ab+6abx-9aby-3ab+6abx-9aby解：你能概括出提取公因式法的一般步驟嗎？你能概括出提取公因式法的一般步驟嗎？ 1 1. .確定確定應(yīng)提取的公因式應(yīng)提取的公因式；2 2. .用用公因式去除這個多項式公因式去除這個多項式，所得的商作為另一個因式，所得的商作為另一

7、個因式3 3. .把多項式寫成這兩個因式的積的形式。把多項式寫成這兩個因式的積的形式。(1).(1).當當首項系數(shù)為負首項系數(shù)為負時時, ,通常應(yīng)提取負因數(shù)通常應(yīng)提取負因數(shù), ,在提取在提取“”號時號時, ,余下的各項都變號。余下的各項都變號。(2).(2).提取公因式要徹底提取公因式要徹底; ;注意易犯的錯誤注意易犯的錯誤: :提取不盡提取不盡疏忽變號疏忽變號只提取部分公因式只提取部分公因式, ,整個式子未成乘積形式。整個式子未成乘積形式。漏項漏項（1）21x2 y +7xy把下列各式分解因式把下列各式分解因式: : （3）4a2b+10ab-2ab2 （2） 2ax2+ay （4）-3x2

8、y+12xy2-27xya(2(2x2 2+ +y) )2 2ab(2(2a+5-+5-b) )-3-3xy( (x-4-4y+9)+9)7 7xy（3 3x+1+1）-5abc( (b-c) )-2x2 2( (x-3) )( (x-y) )( (x2 2- -xy- -y) )3(3(m-2) )( (2a- -1) )（1 1）2 2x2 2 + 3+ 3x3 3 + + x = = x(2(2x +3 +3x2 2) )（2 2）3 3a2 2c - 6 - 6a3 3c = 3 = 3a2 2( (c - 2 - 2ac) )（3 3）-2-2s3 3 + 4+ 4s2 2 - 6-

9、 6s = - = - s(2(2s2 2 + 4+ 4s - 6) - 6)（4 4）-4-4a2 2b + 6 + 6ab2 2 -8-8a= -2= -2ab( (2a- -3b)-8)-8a下列的分解因式對嗎？如不對，請指出下列的分解因式對嗎？如不對，請指出原因原因（課內(nèi)（課內(nèi)3 3）應(yīng)為應(yīng)為: : 原式原式= =x(2(2x +3 +3x2 2+1+1) )應(yīng)為應(yīng)為: : 原式原式=-=-2 2s( (s2 2-2-2s+3)+3)應(yīng)為應(yīng)為: : 原式原式= = - -2a (2(2ab-3-3b2 2+4)+4)應(yīng)為應(yīng)為: : 原式原式=3=3a2 2c(1 -2(1 -2a) )

10、（5 5）(2(2a- -b) )2 2 +2 +2ab = (2 = (2ab) )2 2 +( ) +( )（6 6）a( (s + + t ) )st = = a( (s + +t )( ) )( )完成下列填空：完成下列填空：（1 1）1 -1 -x =+( ); =+( );（2 2）- -x+1= -( )+1= -( )（3 3）x- -y =+( ); =+( ); （4 4）- -x- -y= -( )= -( )你能概括出你能概括出添括號法則添括號法則嗎？嗎？1-1-xx-1-1x- -yx+ +y括號前面是括號前面是“+ +”號，括到括號里的各項都號，括到括號里的各項都不

11、變號不變號；括號前面是括號前面是“- -”號，括到括號里的各項都號，括到括號里的各項都變號變號。2 2a- -bs+ +t回顧去括號法則，回顧去括號法則，添括號法則添括號法則括號前面是括號前面是“+ +”號，去掉括號和號，去掉括號和“+ +”，括號里的，括號里的各項都各項都不變號不變號；括號前面是括號前面是“- -”號，號，去掉括號和去掉括號和“- -”，括號里的，括號里的各項都各項都變號變號。注意：注意：提取公因式時，有時需要將因式經(jīng)過符號變換、提取公因式時，有時需要將因式經(jīng)過符號變換、字母位置重新排列或添括號后，才能看出公因式。字母位置重新排列或添括號后，才能看出公因式。= (a-b)(2

12、a-2b= (a-b)(2a-2b- -1)1)= (a-b)2(a-b)= (a-b)2(a-b)- -11= 2(a-b)= 2(a-b)2 2- -(a(a- -b)b)2(a-b)2(a-b)2 2 a + b a + b解解: :例例3 3、把、把2(a-b)2(a-b)2 2 -a+b -a+b 分解因式分解因式把下列各式分解因式把下列各式分解因式: :(1) a(x-y) x + y (1) a(x-y) x + y (x-y)(a-1)(x-y)(a-1)(3)(a+2)(3)(a+2)2 2 2a(a+2) 2a(a+2)(2+a)(2-a)(2+a)(2-a)或或-(a+2

13、)(a-2)-(a+2)(a-2)（2 2） 7(x3)x(3x)7(x3)x(3x)(x3)(7+x)(x3)(7+x)1 1、確定公因式的方法：、確定公因式的方法：2 2、提取公因式法分解因式、提取公因式法分解因式3 3、添括號法則、添括號法則括號前面是括號前面是“+ +”號，括到括號里的各項都號，括到括號里的各項都不變號不變號；括號前面是括號前面是“- -”號，括到括號里的各項號，括到括號里的各項都變號都變號。(1)(1) 公因式的公因式的系數(shù)系數(shù)是是多項式多項式各項系數(shù)各項系數(shù)的的最大公因數(shù)最大公因數(shù)。(2)(2) 字母字母取取多項式多項式各項各項中中相同相同字母的字母的最低次冪最低次

14、冪。(1) (1) 確定確定應(yīng)提取的公因式應(yīng)提取的公因式；(2) (2) 用原用原多項式多項式除以除以這個這個公因式。公因式。1 1、分解因式計算、分解因式計算: :（-2-2）101101+ +（-2-2）1001002 2、利用簡便方法計算：、利用簡便方法計算： 22223.145+533.145+533.145+31.453.145+31.452.52.5 4 4、若多項式、若多項式(a+b)xy+(a+b)x(a+b)xy+(a+b)x要分解因式要分解因式, ,則則要提的公因式是要提的公因式是 . .(a+b)x3、若多項式-6ab+18abx+24aby的一個因式是-6ab，那么另一個因式是 . . ( (1-3x-4y) )5、6. 已知已知1xx2x3=0. 求求xx2x3x4x2000的值的值.解：原式解：原式x(1xx2x3) x5(1xx2x3) x1997(1xx2x3) (1xx2x3)(xx5x9 x1997) 07 1+a+a(1+a)+a(