二次型正定慣性指數(shù)

1、2021/3/1014.2 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形準(zhǔn)形；準(zhǔn)形；了解正交替換法求標(biāo)了解正交替換法求標(biāo). 2. 1標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形非退化的線性替換求非退化的線性替換求熟練掌握用配方法通過(guò)熟練掌握用配方法通過(guò).3.形形了解初等變換法求標(biāo)準(zhǔn)了解初等變換法求標(biāo)準(zhǔn))(自學(xué)自學(xué)一、一、 用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的平方項(xiàng)，的平方項(xiàng)，若二次型含有若二次型含有ix01配方，配方，乘積項(xiàng)集中乘積項(xiàng)集中則先把所有則先把所有, ix，再對(duì)其余變量同樣處理再對(duì)其余變量同樣處理直到都配成平方項(xiàng)直到都配成平方項(xiàng).但但若二次型不含平方項(xiàng)，若二次型不含平方項(xiàng)，02012 a換換則先作非退

2、化的線性替則先作非退化的線性替,211yyx 212yyx 33yx .再配方再配方化二次型含有平方項(xiàng)，化二次型含有平方項(xiàng)，2021/3/102一、一、 用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的平方項(xiàng)，的平方項(xiàng)，若二次型含有若二次型含有ix01配方，配方，乘積項(xiàng)集中乘積項(xiàng)集中則先把所有則先把所有, ix，再對(duì)其余變量同樣處理再對(duì)其余變量同樣處理直到都配成平方項(xiàng)直到都配成平方項(xiàng).但但若二次型不含平方項(xiàng)，若二次型不含平方項(xiàng)，02012 a換換則先作非退化的線性替則先作非退化的線性替,211yyx 212yyx 33yx .再配方再配方化二次型含有平方項(xiàng)，化二次型含有平方項(xiàng)，2021/3/

3、103.62252323121232221化化為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形xxxxxxxxx ),( 321xxxf將將32232232121652)(2xxxxxxxx )44()(3223222321xxxxxxx 2322321)2()(xxxxx 令令3211xxxy 3222xxy 33xy 2221321),(yyxxxf 3211yyyx 3222yyx 33yx C 所用的變換矩陣為所用的變換矩陣為 1002101112021/3/104),.,(21nxxxfAXXT 實(shí)對(duì)稱矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣A A1200rddd12(,.,)nyyy nrryyyyy121 2222211.rrydydy

4、dfTC AC經(jīng)過(guò)非退化線性替換經(jīng)過(guò)非退化線性替換 二次型二次型 f f 化為化為: :CYX 存在可逆矩陣存在可逆矩陣C C, ,使得使得 1200rdddTC AC 配方法配方法2021/3/105二、二、 用正交替換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形用正交替換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形),.,(21nxxxfAXXT 實(shí)對(duì)稱矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣A A存在存在正交矩陣正交矩陣Q,Q,使得使得 n 21存在存在正交矩陣正交矩陣Q,Q,使得使得 n 21 Q QT TAQ=AQ=A A的所有特征值的所有特征值實(shí)對(duì)稱矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣A A1Q AQB合同合同經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)正交替換正交替換 QYX f2222211.nnyyy 標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)

5、形二次型化為：二次型化為：2021/3/106例例1 1 用正交替換化二次型用正交替換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形, ,解解 二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為A AE 特征值：特征值：11: 310: 再將再將 單位化單位化, ,得得222123121323255448fxxxx xx xx x將將 1 1, , 2 2正交化得正交化得255224422255 24224212,10 3122 并寫(xiě)出所作的線性替換并寫(xiě)出所作的線性替換. .2(1) (10) 123, 1231,10 1121022151 4145 25451512150 x 3232313x 1對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于10對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于2

6、x23 543 553 1對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于13 23 2201 是正交矩陣是正交矩陣132Qxxx12021/3/107512150 x 3232313x23 55243 53x 1對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于10對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于11110Q AQ是正交矩陣是正交矩陣132Qxxx經(jīng)過(guò)非退化的線性替換經(jīng)過(guò)非退化的線性替換 321xxx 321yyy二次型化為二次型化為23222110yyyf 即即2354355132323325150QYX AQQT 2021/3/108,30位位化化把把特特征征向向量量正正交交化化、單單為實(shí)對(duì)稱矩陣；為實(shí)對(duì)稱矩陣；寫(xiě)出二次型矩陣寫(xiě)出二次型矩陣AA,10特征向量；特征向量；的全部特征

7、值和對(duì)應(yīng)的的全部特征值和對(duì)應(yīng)的求出求出A02重重根根對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量每個(gè)特征向量每個(gè)特征向量，并將它們構(gòu)成正交矩陣并將它們構(gòu)成正交矩陣 Q,40 AQQT準(zhǔn)準(zhǔn)形形的的步步驟驟：正正交交替替換換法法求求二二次次型型標(biāo)標(biāo)1.QYX 得到可逆線性替換得到可逆線性替換YYfT 及標(biāo)準(zhǔn)形及標(biāo)準(zhǔn)形2222211nnyyy 實(shí)對(duì)稱矩陣合同實(shí)對(duì)稱矩陣合同2.秩秩有有相相同同的的正正慣慣性性指指數(shù)數(shù)與與2021/3/109例例1 1 考慮二次型考慮二次型221212(,)4f xxxx12(,)x x12xxAXXT 122xRx有有22124xx12xox0稱此二次型是稱此二次型是正定二次型正定二

8、次型. .相應(yīng)的矩陣相應(yīng)的矩陣1004A為為正定矩陣正定矩陣. .12(,)f xx010044 . 4Def設(shè)實(shí)二次型設(shè)實(shí)二次型如果對(duì)任何如果對(duì)任何0 AXXTAXXxfT )(則稱二次型則稱二次型 A A稱為稱為正定矩陣正定矩陣. .是是正定二次型正定二次型. .有有例例1 1 二次型二次型12(,.,)nf xxx22212.nxxx對(duì)任何對(duì)任何 ),.,(21nxxxf有有22212.nxxx為為正定正定二次型二次型0X = (x1 , x2 , , xn )T o，二次型二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) = x12 + x22 + + xr2 ( r n)2021/3

9、/10104.3 二次型和對(duì)稱矩陣的有定性二次型和對(duì)稱矩陣的有定性矩矩陣陣、次次型型，正正定定矩矩陣陣、負(fù)負(fù)定定正正定定、負(fù)負(fù)定定、半半正正定定二二.判判別別二二次次型型的的正正定定性性熟熟練練掌掌握握利利用用多多種種途途徑徑基基本本知知識(shí)識(shí)點(diǎn)點(diǎn)：01重點(diǎn)：重點(diǎn)：02.定定性性的的判判別別定定理理半半正正定定矩矩陣陣，二二次次型型有有的的等等價(jià)價(jià)條條件件；熟熟練練掌掌握握判判斷斷正正定定矩矩陣陣一、正定二次型和正定矩陣一、正定二次型和正定矩陣二次型二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) = x12 + x22 + + xr2 ( r n)對(duì)對(duì)x = ( 0 , , 0 , f (x1

10、 , x2 , xn ) = 0 .xr+1 , , xn )T o，有，有故二次型故二次型 ),.,(21nxxxf22221.rxxx 不是正定二次型不是正定二次型.例例1 1 二次型二次型12(,.,)nf xxx22212.nxxx為為正定正定二次型二次型對(duì)任何對(duì)任何 ),.,(21nxxxf有有22212.nxxx0X = (x1 , x2 , , xn )T o，2021/3/1011|A|A|大于零大于零如何判斷一個(gè)矩陣或二次型是否正定呢如何判斷一個(gè)矩陣或二次型是否正定呢? ? 以下給出幾個(gè)矩陣為正定矩陣的充分必要條件以下給出幾個(gè)矩陣為正定矩陣的充分必要條件. . 須是對(duì)稱陣須是

11、對(duì)稱陣強(qiáng)調(diào)：正定矩陣首先必強(qiáng)調(diào)：正定矩陣首先必2222211nnTydydydfAXXfn 的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形：元元二二次次型型準(zhǔn)則準(zhǔn)則1 1正正定定f120,0,.,0nddd準(zhǔn)則準(zhǔn)則2 2 f 的正慣性指數(shù)為的正慣性指數(shù)為n nf 正定正定)7 . 4(Th準(zhǔn)則準(zhǔn)則3 3 A A的特征值都大于零的特征值都大于零 對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣A A為正定矩陣為正定矩陣)8 . 4(Th2021/3/1012 nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaA.321333323122322211131211111aA 222112112aaaaA 3332312322211312113aaaaaaaaaA

12、 AAn .Def稱為矩陣稱為矩陣A A的的順序主子式順序主子式. .準(zhǔn)則準(zhǔn)則4 4 對(duì)稱陣對(duì)稱陣A A為正定矩陣為正定矩陣A A的順序主子式都大于零的順序主子式都大于零. .)9 . 4(Th例例1 1 判別下列矩陣或二次型是否正定判別下列矩陣或二次型是否正定 3111)1 A011 A21113A A A正定正定202021/3/1013例例1 1 判別下列矩陣或二次型是否正定判別下列矩陣或二次型是否正定32312123222132124252),()2xxxxxxxxxxxxf 解解 二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為：二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為：A021 A22111A 5121112123 A該二次型正定該

13、二次型正定 3111)1 A011 A21113A A A正定正定2021511221110305242210 2021/3/1014例例2 2 取何值時(shí)取何值時(shí), ,下面的二次型正定下面的二次型正定222123123121323(,)2246f xxxxxxx xx xx x 解解 二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為：二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為：011 A21112A 311212323A 1125 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，二次型正定時(shí)，二次型正定. .A12 1133220011014 5 1114 222123112132233(,)22444f x xxxx xx xxx xx Ex2: : 取何值時(shí)取何值時(shí), ,下面的二

14、次型正定下面的二次型正定21 323121232221321866294),(:1xxxxxxxxxxxxfEx 2021/3/1015,)(,101020101 32AkEBA 矩矩陣陣設(shè)設(shè)例例正正定定？為為何何值值時(shí)時(shí)則則實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)Bk解解 AE 101020101 22)1()2( 1111 1)1)(2(2 2)2( 的特征值：的特征值：A. 2, 0321 的的特特征征值值：B,2k,)2(2 k.)2(2 k, AAT 又又TAkE)( TTAkE AkE BBT 是實(shí)對(duì)稱矩陣，是實(shí)對(duì)稱矩陣，故故B正正定定于于是是B的的特特征征值值全全為為正正，等等價(jià)價(jià)于于B時(shí)，時(shí)，且且所以當(dāng)所以當(dāng)

15、20 kkB B正定正定. .2021/3/1016是正定矩陣是正定矩陣BA,. 1都是正定矩陣；都是正定矩陣；mAAkkAA,),0(,110 ;20也是正定矩陣也是正定矩陣BA 是是正正定定矩矩陣陣；和和AAAATT03正正定定實(shí)實(shí)二二次次型型AXXxxxfTn ),( 2.21,nRX ，有，有oX 0 AXXT nA的正慣性指數(shù)為的正慣性指數(shù)為個(gè)個(gè)特特征征值值全全大大于于零零的的nA個(gè)順序主子式全大于零個(gè)順序主子式全大于零的的nAEA合同于合同于QQAQT ,使使得得存存在在可可逆逆矩矩陣陣2021/3/1017三、二次型的有定性三、二次型的有定性也不是也不是 負(fù)定的負(fù)定的. .有有

16、二次型二次型 是是正正定的定的AXXT,nRX oX 0 AXXT 有有 二次型二次型 是是負(fù)負(fù)定的定的AXXT,nRX oX 0 AXXT 有有 二次型二次型 是是半正半正定的定的AXXT,nRX 0 AXXT oX 且且有有使使 0 AXXT 有有 二次型二次型 是是半負(fù)半負(fù)定的定的AXXT,nRX 0 AXXT oX 且且有有使使 0 AXXT 例例 二次型二次型221212(,)4f xxxx(0,1)f40 12(,)f xx不是不是 正定的正定的; ;(1,0)f 10( (半半) )12(,)f xx( (半半) )12(,)f xx此時(shí)此時(shí)稱為稱為不定的不定的. .2021/3/10181.二次型的負(fù)定性二次型的負(fù)定性 矩陣矩陣A A負(fù)定負(fù)定矩陣矩陣 正定正定. .()A XAXT)(AXXT 負(fù)負(fù)定定實(shí)實(shí)二二次次型型AXXxxxfTn ),( 21nA的負(fù)慣