值有十分密切的聯(lián)系；故以下以二元函數(shù)為例用多元函

1、1值有十分密切的聯(lián)系；故以下以二元函數(shù)為例用多元函多元函數(shù)極值問題有兩種基本類型(以二元函數(shù)為例)8.8 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值在現(xiàn)代經(jīng)濟管理中，有許多最優(yōu)化問題屬于多元函數(shù)的極值和最值問題.同一元函數(shù)類似，其最值也與其極數(shù)微分法先來討論多元函數(shù)的極值，再討論多元函數(shù)的最值.類型：討論z=(x,y)的極值無條件極值類型：討論z=(x,y)在約束條件(x,y)=0下的極值條件極值2一一.無條件極值無條件極值若對于其相應去心鄰域內(nèi)的所有點(x,y)，恒有00(,)xy函數(shù)的極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.00( , )(,) f x yf xy00( , )(,) )f x yf xy或00 (,

2、)( , )f xyf x y則稱為函數(shù)的極大值().或極小值使函數(shù)取得極值的點統(tǒng)稱為極值點.注注1 與一元函數(shù)類似，函數(shù)的極值概念是“局部”概念：定義定義10 設函數(shù)z=(x,y)在點的某個鄰域內(nèi)有定義,與函數(shù)極值比較大小的，只是極值點鄰近各點的函數(shù)值.3定理定理8 (極值存在的必要條件) 若函數(shù)(x,y)在點00(,)xy0000(,)0, (,)0.xyfxyfxy一定有同一極值，故00(,)xy0yy0( ,) zf x y0 x00(,)0;xfxy00 (,)0.yfxy同理可證0000(,)0(,)0 xyfxyfxy和00(,)xy稱為函數(shù)(x,y)的駐點.處有極值,且在該點的

3、偏導數(shù)存在,則必有證 因二元函數(shù)(x,y)在點處有極值，故固定時有一元函數(shù)在點處也定義定義11 能使同時成立的點4(因z(0,0)=1,而 z(0,y)1, z(x,0)0,故(1,2)非極值.則在點(3,0)處有A=12,B=0,C=6,從而0,故(3,0)非極值.則在點(3,2)處有A=12,B=0,C=6,從而0,且A0、y0)130,0 xySS 令得222()2()xyVSyxVSxy xy而S(x,y)僅有一個駐點,故當3xyzVS有最小值,從而所用材料最省.22VyxVxy3xyzV 由題知使材料最省,只須表面積最小.時,14例32 某廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸,乙產(chǎn)品y噸時,總成本為22

4、2010710035810000(),Cxyxyxy元當甲、乙產(chǎn)量各為多少噸時,總成本C最低?4071000 2073580 xyCxyCyx 解 令6,20.xy 由題知最低成本總是存在的.而C(x,y)僅有一個駐點,故(6,20)就是函數(shù)C的最小值點.即當生產(chǎn)甲產(chǎn)品6噸,乙產(chǎn)品20噸時,總成本C達到最小值.15三三. .條件極值條件極值 前面研究的極值問題,除了自變量須在定義域內(nèi)取值外,無其它限制條件;但在實際中遇到的大多極值問題,除了自變量須在定義域內(nèi)取值外,我們常將前者稱為無條件極值,后者稱為條件極值.還對各自變量有一定的約束條件.在約束條件(x,y)=0下,討論函數(shù)z=(x,y)的極

5、值.條件極值的典型形式是:其解法有兩種:代入法和拉格朗曰乘數(shù)法.16設z=(x,y)在D上具有連續(xù)偏導數(shù),又若(x,y)在D上也( , )0,yx y( , )( , )xyx ydydxx y 若能從(x,y)=0中解出y=(x),則可將其代入z=(x,y)1.代入法:將條件極值轉(zhuǎn)化為無條件極值.確定了一個可微函數(shù)y=(x),且其導數(shù)為具有連續(xù)偏導數(shù),且則由定理6知方程(x,y)=0中得,z=(x,(x);從而原問題變成了討論一元函數(shù)的無條件極值問題.17例33 求函數(shù) 的自變量適合條件229()zxy229(),zxy代入中 有22292)542zxxxx（顯然z是x的一元函數(shù)，則1221

6、(542) (44 )02dzxxxdx令，得駐點x=1,對應的y=1.故點(x,y)= (1,1)為原函數(shù)滿足約束條件下的極大值點,(x,y)=x+y2=0 2,yx解 由約束條件得此一元函數(shù)只有一個極大值.故 z=(1,1)= 為極大值.7的極大值.182.拉格朗曰乘數(shù)法:要想從(x,y)=0中解出y=(x),很但由一元函數(shù)z=(x,(x)極值存在的必要條件，得( , )( , )0 xydyfx yfx ydx( , )( , )( , )0( , )yxxyfx yfx yx yx y( , ) ,( , )yyfx yx y 令則有方程組( , )( , )0( , )( , )0

7、xxyyfx yx yfx yx y而極值點(x,y)還必須滿足(x,y)=0,則方程組不容易！19上述確定條件極值問題的可能極值點的方法稱為拉00 (,).xy的解就是我們所要求的可能極值點( , )( , )0( , )( , )0( , )0 xxyyfx yx yfx yx yx y格朗曰乘數(shù)法.注注5 方程組實際上就是函數(shù)F(x,y)=(x,y)+(x,y)對x,y的一階偏導數(shù)等于零和約束條件(x,y)=0構成的方程組；故用拉格朗曰乘數(shù)法求條件極值時，可按下述步驟進行：(1).構造拉格朗曰函數(shù)： F(x,y)=(x,y)+(x,y)；(2).求解方程組，得可能極值點；(3).判斷.2

8、0實際問題中可根據(jù)問題本身的具體意義來判斷是否為極值點，并能得出是最大值點還是最小值點.例34 求周長為a而面積最大的長方形.解 設長方形的長、寬分別為x、y,則其面積為S=xy.令函數(shù)F(x,y)=xy+(2x+2y-a) 則由方程組( , )20( , )20220 xyF x yyF x yxxya.4axy因問題本身有最大值且駐點唯一,故(,)4 4a a4a問題變?yōu)樵诩s束條件 2x+2y=a 下求函數(shù)S=xy的最大值.故周長為a而面積最大的長方形是邊長等于是最大值點.的正方形.212235 44, 2360 .xyxy例在橢圓上求一點 使其到直線的距離最短解 設所求點為(x,y),到

9、直線2x+3y6=0的距離為d,則2223644 0.13xyd xy且約束條件為2 0, ().d dd但與同時在一點取得最大 小 值則可令222(236)( , ) (44)13xyF x yxy從而有方程組224(236)2 0136(236)8 013440 xyxxyyxy228855.3355xxyy ，8 383( , )(,)5 555111,.1313dd而因問題本身有最小值，故 為所求點.83(,)55例36 某商品的生產(chǎn)函數(shù)為 其中Q為產(chǎn)品產(chǎn)量, L為勞動投入,K為資本投入;又知資本投入價格為4,勞動力投入價格為3,產(chǎn)品銷售價格為p=2.求: (1). 該產(chǎn)品利潤最大時的

10、投入和產(chǎn)出水平以及最大利潤; (2).若投入總額限定在60個單位范圍內(nèi),求此時取最大利潤時的投入及最大利潤.11326,QK L解 由題意知：成本函數(shù)為C(K,L)=4K+3L，收益函數(shù)為R(K,L)=Qp=2Q，則2311321243K LKLG(K,L)= R(K,L)C(K,L)=(1).此問題屬于無條件極值.21321132440630KLGKLGK L 由8,(8,16),16KL得從而有唯一駐點則最大利潤為max(8,16)16.G利潤函數(shù)為(2).此問題屬于條件極值.其約束條件為C(K,L)=4K+3L=60則可令函數(shù)F(x,y)=G(K,L)+(4K+3L60)11321243

11、 (4360)K LKLKL24則由方程組213211324440633043600KLK LKL 6,(6,12),12KL得從而有唯一駐點max(6,12)15.53.G同學們課后可用用拉格朗曰乘數(shù)法去求解例31.注注6 類似地，可建立求三元函數(shù)u=(x,y,z)在約束條件(約束條件 的個數(shù)應少于自變量的個數(shù))g(x,y,z)=0，h(x,y,z)=0下的極值的拉格朗曰乘數(shù)法.25例37 欲造一無蓋的長方體容器，已知底部造價為 側(cè)面 造價為 現(xiàn)想用36元造一容積為最大的容器，求它的尺寸.23,m元21,m元解 設長方體的長、寬、高分別為x、y、z,設容積為V,則V=xyz(x0,y0,z0

12、),且約束條件為3xy+2(yz+xz)=36.因xyz與lnx+lny+lnz同時在一點取得最大(小)值，則令函數(shù) F(x,y,z)=lnx+lny+lnz+( 3xy+2yz+2xz36)則由方程組1 (32 )01 (32 )01 (22 )0322360yzxxzyxyzxyxzyz263,(2,2,3).232236xyzyxyxzyz得從而有唯一駐點因問題本身有最大值，故(2,2,3)為最大值點.故長方體的長、寬、高分別為2、2、3時， 長方體的容積最大.例38 求 w=lnx+lny+3lnz 在球面 上的極大值(x0,y0,z0),并利用此結(jié)論證明當a0,b0,c0時，2222

13、5xyzR3527() .5abcabc恒有272222 ( , , )lnln3ln (5)F x y zxyzxyzR解 令則由方程組222212 012 032 050 xxy yzzxyzR,( , , 3 ).3xyRR RRzR得從而有唯一駐點因問題本身有極大值,則35maxln( 3 ) )ln(3 3)wR RRR522232lnln3lnlnln3 3 () .5xyzwxyzxyz33 2222 311 lnln()ln() ;22xyzxyzx yz而則285222222 321ln()ln3 3 () .25xyzx yz222, ax bycz當令則532ln2ln3 3 ()