小波變換的邊界處理_耿則勛

1、ACTA沁A囲CA簣CA害oJ爲(wèi)CA泅CA第25卷弟3期1996年8月Vol. 25, No. 3Aug. ,1996小波變換的邊界處理耿則勛錢曾波(鄭州測(cè)繪學(xué)院450052)BORDER PROCESSING IN WAVELET TRANSFORMGeng Zexun Qian ZcngboZhengzhou Institute of surveying & Mapping450052)Abstract Wavelet Transform (WT) is a very efficient signal processing method In WT, often one requires

2、original data Exact Reconstruction (ER) in many applications. Border-Processing has an essential effect on the ER This paper provides two general border-precessing methods in WT and proves that original data can be exactly reconstructed by using these methods The experiment results also verify above

3、 conclusionKey words Wavelet transform! Digital image precessing摘 要 小波變検是一種十分冇鐵的仕號(hào)處理方法。對(duì)仕號(hào)進(jìn)疔小波變換時(shí)在詵多應(yīng)用中人們 要求原始數(shù)攜能夠或盡可能精確恢復(fù)。邊界處理對(duì)數(shù)攥的精確恢夏有著至關(guān)重要的彭響。本文給 出小波變換中邊界處理的兩種一般方法并從理論上證明用該方法可以保證做攥的輸確恢夏聶 后的實(shí)驗(yàn)結(jié)果也遼實(shí)了這一堆論.關(guān)霞詞小波變換做字圖象處現(xiàn)1引言小波變換是近年來迅速興起的信號(hào)處理的強(qiáng)有力工具,其應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，并已取得顯 著的效果。在精度要求較高的數(shù)字?jǐn)z影測(cè)量與遙感、圖象的恢復(fù)與增強(qiáng)，圖象壓縮編碼等

4、數(shù)字 圖象處理領(lǐng)域，要求小波變換后原始數(shù)據(jù)能夠或盡可能精確恢復(fù)。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，邊界數(shù)據(jù)對(duì)原始 數(shù)據(jù)的精確恢復(fù)有著決定性的影響。如在基于小波變換的圖象恢復(fù)研究中,K經(jīng)邊界處理的恢 復(fù)結(jié)果有很大的噪聲，住隨看小波變換層數(shù)的增加，最后結(jié)果甚至不可接受。而經(jīng)過邊界處理 后最終圖象卻有很好的質(zhì)斌。而在小波變換的圖象壓縮編碼研究中，如不進(jìn)行邊界處理，既使 變換后的小波系數(shù)或小波圖象沒有任何量化噪聲，其恢復(fù)圖象也存在很大噪聲。對(duì)圖象壓縮來 說，要求原始數(shù)據(jù)盡可能精確恢復(fù)。要想達(dá)到這一目的，必須首先保證在沒有量化噪聲時(shí)原始 數(shù)據(jù)能精確恢復(fù)，然后才能實(shí)現(xiàn)存在量化噪聲時(shí)原始數(shù)據(jù)盡可能精確恢復(fù)，進(jìn)而達(dá)到一定壓縮 比下更

5、好的解壓圖象質(zhì)量。文獻(xiàn)4給岀了一種左邊界處理方法，但該方法對(duì)原始數(shù)據(jù)量要求 過嚴(yán),且沒給岀右邊界以及邊界處理之一般結(jié)果。本文給出任意尺寸離散信號(hào)小波變換中邊界 處理的兩種一般方法，用該方法可保證原始數(shù)據(jù)的精確恢復(fù)。2小波變換小波就是某個(gè)滿足一定條件的函數(shù)/經(jīng)過膨脹和平移所形成的一簇函數(shù)：本文1995年9月20日收到敝稿口期1996年1月18 F1 1994-2014 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, http:A第3期耿則勛等：小波變換的邊界處理1696(工)=|時(shí)-2# 彳(1)其

6、中aHO為尺度參數(shù)“為位置參數(shù)。小波變換或小波分解的基本思想就是將任一平方可積 函數(shù)或能最有限信號(hào)表示成小波系數(shù)的疊加。對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波分解的有效途徑是利用多分辨率分析(Multiresolution Analysis, MA)f,在MA的框契下，一維離散信號(hào)的小波分解的快速M(fèi)allat算法如下：該C=(C)Br(2為整數(shù)集合)為原始離散信號(hào)，則其一級(jí)小波分解后的低頻分量C* = (CQ心與高頻分量 g 出治分別為CI =鄧皿2 z,(2)出=為知-M： r對(duì)C1繼續(xù)上述過程，可得到Cd 一般地，對(duì)任意正整數(shù)N,有：C=才兀24一” CL心丿= 1,2,”(3)將C。分解為dd於和C的過程稱為對(duì)

7、信號(hào)的有限小波分解。對(duì)該分解還有如下的重 建過程，Cf1 =為 hjCl + 為 gjd：(4)在分解算法(3和合成算法中，系數(shù)九込由M4之尺度函數(shù)久r)確定，九=J%r)曲r n)dx,滿足下述條件：1。刖=1wWHO(5)2 工九九+2* = 0其余系數(shù)則滿足如下關(guān)系：g=(l)*%_，g, = g】-(6)文獻(xiàn)2中提供了不同長(zhǎng)度的系數(shù)(札幾對(duì)上述過程(3)(4)用濾波器的觀點(diǎn)可以證明可表示 成下圖所示：4 2表示兩個(gè)樣本取一個(gè) f 2表示兩個(gè)樣本之間補(bǔ)一個(gè)牢圖1信號(hào)的小波分解與合成用可分離濾波器，上述一維 信號(hào)的分解與合成易推廣到二維 圖象信號(hào)的情形。設(shè)原始數(shù)字圖 象為X,濾波器H=(h

8、J.i，G = (&)，用卅(、厶)表示如下操 作：先將X之每一行用卜、作濾 波，并作二比一抽樣，再將所得結(jié) 果之每一列用作濾波并作二比一抽樣,則一層及二層小波變換可表示為圖2所示。圖2中 XUHSGH)表示圖象之每一行用H作濾波并作二比抽樣，再將所得結(jié)果之每 一列用G作濾波并二匕一抽樣，余類推。(6)X(G.H)X(G.G)（a）K始圖象（b） 層小波分解后之圖象（C二層小波分解右之圖篆圖2 -層及二層小波變換分解圖3邊界處理在上述小波分解與合成算法中都是假定數(shù)據(jù)是雙向無限的。但在實(shí)際應(yīng)用中數(shù)據(jù)一定是 有限的，因而必須對(duì)邊界進(jìn)行處理才能保證原始數(shù)據(jù)的精確恢復(fù)。在實(shí)驗(yàn)中筆者發(fā)現(xiàn),對(duì)任意 M個(gè)樣

9、本的離散信號(hào)數(shù)據(jù)，只要左邊界第一個(gè)數(shù)據(jù)及右邊界最后兩個(gè)數(shù)據(jù)完全恢復(fù)，則由小 波濾波器之特性，全部數(shù)據(jù)即可精確恢復(fù)。下面的討論都是假定信號(hào)是一維的但結(jié)果對(duì)二維 信號(hào)仍然成立。需要指出的是當(dāng)原始離散信號(hào)數(shù)據(jù)為偶數(shù)時(shí),其低頻與高頻分解系數(shù)各占一半。而當(dāng)原 始數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，為了保證小波分解不增加數(shù)據(jù)量這一特點(diǎn),低頻系數(shù)與高頻系數(shù)相差一 個(gè)值，即一個(gè)為蘿，另一個(gè)為蘿+1（幻指不超過z之最大整數(shù)）。當(dāng)原始信號(hào)樣本個(gè)數(shù)為 奇數(shù)（M=2協(xié)+1）,本文采取低頻分解系數(shù)加+ 1個(gè)，而高頻分解系數(shù)加個(gè)。3-1四系數(shù)情形設(shè)低通分解濾波器系數(shù)為h,h,h2，h3,則高通分解濾波器系數(shù)為g一2，g，gc，gz因此在

10、計(jì)算高頻分量時(shí)需將原始數(shù)據(jù)co=（c?,c;,cj）向左外推兩個(gè)值C纖,Cl?。首先討論=2m為偶數(shù)的情況此時(shí)分解與合成過程見圖3。由圖3可以看岀,左邊界恢復(fù)值&為(7)C$=（局 + 卅 + 居）C? + A2CL. + （九居 +注意到條件（5）有 網(wǎng)=1,及力血+兒辰=0,式為IU = Q + h2c 一 九ci?-爪8 一 彼G A3q（8）門 由式（8）可看岀,如在合成時(shí)夕睢C% = 0,分解時(shí)C% = 0 則在分解時(shí)只鄭灘CL 2為4=?；?（9）即可使即文獻(xiàn)的結(jié)果。ii）如果在分解時(shí)外推值全置零，即2 = 0,則式（8）變?yōu)? = G + a2C 1 一 A,q 一 加Cf（10

11、）可以證明:飆=也+皿,故若取外推值8 =診=與嚴(yán)（11）代入（10）即有cs=c?.此種方案亦能使CJ精確恢復(fù)且計(jì)算量校？）少。(a)分解(b)合成.I：劃線者為外推值圖3no右邊界處理。由圖3可以看書僅之計(jì)算用到外推值，故只要保證該二 值精確恢復(fù)即可。由圖3有：汕=jc* 2+斤c“+7碼+丟馬=C 2+加馬+雖勺一乩& G_2=CJ仏 一屁 G2+屁 C1.2 注意到CR=Mh2+/hCV)，故只要令：dU =t2 h L將(14)代入(12).(13)便可得_ = ZhC_2 -1(12)(13)(14)Cj =CS = Cj下面考慮原始數(shù)據(jù)為M=2m + 1時(shí)的情形。此時(shí)我們采取的策

12、略是低頻系數(shù)刃+1個(gè)，高 頻系數(shù)加個(gè)。其分解與合成圖與圖3略有不同(見圖4),主要差別在右端。由圖4可以看岀，其左邊界與圖3完全一樣，故左邊界處理公式與前述相同。因此主要考 慮右邊界，下同。由圖4可以看出：= W + A.CL + 0必 + 卻=C, + 尼盅7 居+ 加一+ A2a_2 一 A.CVJ 15)厲 2= J 一 居必一尙僞t 一 A2a_2 + A.a.,)(16)由(15).(16).只要外推(17) 1994-2014 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. httpM

13、第3期耿則勛等：小波變換的邊界處理# 1994-2014 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. httpM第3期耿則勛等：小波變換的邊界處理#即可?？梢宰C明: 1994-2014 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. httpM第3期秋則勛等：小波變換的邊界處理# 1994-2014 China Academic Journal Electronic Publishing Hous

14、e. All rights reserved. http:ZA第3期秋則勛等：小波變換的邊界處理1710(6)圖4 (a)分解.(b)合成下劃線者為外推值居8 =(18)人3CS/-3-1 =故可得此時(shí)之外推公式為/學(xué)+1 =殆C垮 嗚=牛C垮卜I +3.2六系數(shù)的情形設(shè)此時(shí)低通分解濾波器系數(shù)為味尼山2血,氐,氐,則高通分解濾波器系數(shù)為g_.,g_3, g-2，gT，o，Q。首先考慮M=2m為偶數(shù)，由于其分解與合成之計(jì)算過程與圖3類似，故略去, 此時(shí)有：C?= A_3CL2 + g + 鬲必 + g.d + g.d=2.Q 4-兒CL? + A2A4C$ hrjh4C- hhQLs +(hh

15、+ hMCL2 一 (砧2 + h2CL - (h2h3 + A4A5)C? 一扎hQ 其中A2.J=局+卅+居+居。O 如果取外推值 Co-t=C.3 = OC,_2=CLl = O,則(20)變?yōu)镚 =a 一 h2_h2c + 皿2 + A3q + 札c? + A5qj 一Mg + MX + hg + a5c?(19)(20)(21)此時(shí)只要外推(22) 1994-2014 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:ZA第3期耿則助等：小波變換的邊界處理173汕=仏+居馬一鈉

16、乩=Cj f 馬一 才其中可以證明:(28)(29)(30)(31)(32)即有&=以。)如果取外值e4=ci3=ci2-a1=o,則(20)變?yōu)镃? = CS + 九C!_2 hQ 一 A5C? + h2C 一 hzCi 一 A3C? 一 htci 一 g (23) 先取2 =館山=兒以+心皓代入(23)得：(24)G = c? + a2cl, 一 A2q 一 居cf 一 兒 居C；再取(?3=瞥出+倍爲(wèi)一欝ci?，代入(24)即可得a=cs,左邊界得以精確恢復(fù)。此時(shí)之外 推岀式為C? = 0t 4 M 11* =曲(25)CL.=摯 + 4 一 許o心“0厲)右邊界處理，右邊界恢復(fù)時(shí)需將高

17、頻分量向右外推兩個(gè)值哼,d騎,此時(shí)右邊界兩 個(gè)恢復(fù)值分別為2 2Cm-2= 馬_3 + Q_2 + 冠0再7 + X 喫 + 加 +1二 2 _ _ 2 _ 2 (26) = jC居居必4 + 人3九6_3 + (砧3 + hqhjCh + hzdu + 居馬“Cw-2 =+ 屁居 CJf_4 hg/lQi 3 + (人 2人3 + hjjc 紜-2 人屛 九 +1 (27)其中4s = l 居一備紜4 = 1 一於一味取外推值:居 C-2 九 C%_|分別代入(26)(27)有:一刼-怙-令熾 故只要取=即可。當(dāng)M=2 + l為奇數(shù)時(shí)仿四系數(shù)之證明過程,可得右邊界外推公式如下：絳+2 =牛C

18、審令小=等+筍c% _岸畑臨=令嗨” +等C；滬+軌 曲糾一卡S細(xì)3.3 一般結(jié)果首先當(dāng)原始數(shù)據(jù)為偶數(shù)對(duì)八系數(shù)小波濾器有如下結(jié)果。z)左邊界方法1CL, = C?.2 =0(33)Cl3=泊6=知+刊-汕，H)左邊界方法2(34) 1994-2014 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:/?wwwcnlciMt第3期耿則助等：小波變換的邊界處理# 1994-2014 China Academic Journal Electronic Publishing House. All

19、 rights reserved. http:/?wwwcnlciMt第3期耿則助等：小波變換的邊界處理#詢)右邊界外推公式(35)些+，=_恰馬“ _ XCT- _普d屛公式(33).(34).(35)已具有明顯的規(guī)律性。由此不難導(dǎo)岀21長(zhǎng)度濾波器、原始數(shù)據(jù)個(gè)數(shù) 為偶數(shù)時(shí)邊界處理之一般公式如下。/)左邊界方法1CL, =6 =(36)h(2八 2;* I)”)左邊界方法2C4=-P?C：_2=2 uCL)=CL(/-n 0.C2 =3 =(37) 1994-2014 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights

20、reserved. http:/?wwwcnlciMt#測(cè) 繪 學(xué) 報(bào)25卷iii)右邊界公式 1994-2014 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:Avldnet#測(cè) 繪 學(xué) 報(bào)25卷當(dāng)原始離散信號(hào)樣本個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，亦不難推岀一般結(jié)果。由于篇幅所限，略去。4結(jié)束語本文推導(dǎo)了離散小波變換中邊界處理的兩種一般方法，并從理論上證明了該方法可以保 證原始數(shù)據(jù)的精確恢復(fù)。其中方法1之特點(diǎn)是分解過程中外推值全為零，方法2之特點(diǎn)為合成 過程中外推值全為零。此外,由于篇幅所限，一般公式(

21、36)、(37)、(38)之詳細(xì)證明另文討論。表1實(shí)驗(yàn)結(jié)果小波變換及逆變換層 數(shù)(levels)峰值信噪比(PSNR,單位,dB)文獻(xiàn)0Z邊界處理方法本文邊界處理方法 1994-2014 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:Avldnet#測(cè) 繪 學(xué) 報(bào)25卷 1994-2014 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http:Avldnet#測(cè) 繪 學(xué) 報(bào)25卷(MSE = O)(MSE=O)(MSE=O)一層WT及1WT 二層WT及IWT 三層WT及IWT注測(cè)試圖象girh257X257X8bitst2蜂值信噪比(Peak Sgnal-to-Noise-Ratio)定義： dqmd i a 12 5 J X 2 5 5PSNR = lOXlgio MS ,MSE = n#(夠一N分別為圖象之高和寬，才，為恢復(fù)圖象之象素值.3。實(shí)驗(yàn)中所用的小波淳波器索數(shù)：AO.