第五公設(shè)”的故事

1、第五公設(shè)”的故事在第六章平面圖形的認(rèn)識(shí)（一）的學(xué)習(xí)中，我們 學(xué)到了 很多簡(jiǎn)單的幾何知識(shí)，這些知識(shí)源自人類歷史上的光 輝巨著幾何原 本，作者為歐幾里得，是一位古希臘偉大的數(shù)學(xué)家.我們所學(xué)的 幾何通常稱為“歐幾里得幾何”或“歐 氏幾何”，就是以他的名字 來命名的.幾何原本這本書上一共有五條公設(shè)，大家都知道公 設(shè)又叫“公理”，是不需要 證明直接用的.其中最后一條公設(shè)是這 樣表述的：“若一直線與兩直線相交，且同側(cè)所交兩內(nèi)角之和小于 兩直角之和，則 兩直線延長后必相交于該側(cè)一點(diǎn).”關(guān)于這條公設(shè) 背后有著很多有趣的故事.在寫幾何原本的時(shí)候，歐幾里得總是對(duì)這最后一條 公設(shè)感到 不大滿意，為什么呢？由于它的敘

2、述不像其他四條 公設(shè)那樣簡(jiǎn)潔明 了，所以當(dāng)時(shí)就有人懷疑它不像一個(gè)公設(shè)而 更像一個(gè)定理，并由此產(chǎn) 生了從其他公設(shè)和定理推出這條公 設(shè)的想法.從此，也就是從古希臘時(shí)代開始，數(shù)學(xué)家們就沒有放棄對(duì)第五公 設(shè)消除疑問的努力：他們或?qū)で笠砸粋€(gè)比較容易接 受且更加自然的等 價(jià)公設(shè)來代替它；或試圖把它當(dāng)做一條定理由其他公設(shè)、公理推導(dǎo)出 來.在眾多的替代公設(shè)中，今天最常用的就是我們第六章學(xué)的平 面圖形的認(rèn)識(shí)（一）中一條公理：“過一點(diǎn)外有且只有一條直線 與這條直線平行.” 一般將這一結(jié)論替代公設(shè)的創(chuàng)意歸功于蘇格蘭 數(shù)學(xué)家普萊菲爾，然而問題是：所有這些替代公設(shè)并不比原來的第五 公設(shè)更好接受，更加自然.文藝復(fù)興時(shí)期對(duì)

3、希臘學(xué)術(shù)興趣的恢復(fù)使歐洲數(shù)學(xué)家重新關(guān)注起第 五公設(shè).然而，每一種“證明”要么隱含了另一個(gè)與第五公設(shè)等價(jià) 的假定，要么存在著其他形式的推理錯(cuò)誤而且，這類工作中大多數(shù) 對(duì)數(shù)學(xué)的進(jìn)展沒多大現(xiàn)實(shí)意義.因此，在18世界中葉，達(dá)朗貝爾 把第五公設(shè)的證明問題稱為“幾何原理”中的家丑.“數(shù)學(xué)王子”高斯在15歲的時(shí)候，也曾經(jīng)試圖證明過 第五公 設(shè)，并且他在證明其過程中有了新的發(fā)現(xiàn).與此同時(shí)，高斯大學(xué)時(shí) 代的同學(xué)一一W.波爾約，雖然也曾經(jīng)從事第五公 設(shè)的證明，但是沒 有突出的成就.在大學(xué)時(shí)代，老師認(rèn)為高 斯和W.波爾約將是會(huì)在數(shù) 學(xué)上有杰出成就的人，然而，最后揚(yáng)名的只有高斯一人，原因可能是W.波爾約錯(cuò)誤地把第五公

4、設(shè)當(dāng)做 了自己的研究對(duì)象，對(duì)此沒有突出的成就.然而，W.波爾約的兒子 約翰？波爾約在研究第五公設(shè)的問題時(shí)有了新的發(fā)現(xiàn).21歲的約 翰？波爾約在寫給父親的信中說：我已從烏有中創(chuàng)造了整個(gè)世 界.” 1823年，父親把兒子的成果一個(gè)關(guān)于與歐幾里得平行公設(shè) 無關(guān)的空間的絕對(duì)真實(shí)性學(xué)說附在自己幾何著作之末，并把該書寄 給高斯.然而高斯冋信說：“稱贊他就等于稱贊我自己，整篇文章 的內(nèi)容，您兒子所采取的思路和獲得的結(jié)果，與我在30至35年前 的思考不謀而合 ”回信使年輕的約翰？波爾約倍感失望，他認(rèn)為 高斯剽竊了自己的成果，于是拋棄了心愛的數(shù)學(xué)，而去研究神學(xué)了. 但是為什么高斯在30年前發(fā)現(xiàn)的成果卻一直沒有發(fā)

5、表呢？主要是因 為他感到自己的發(fā)現(xiàn)與當(dāng)時(shí)流行的康德空間哲學(xué)相抵觸，擔(dān)心世俗的 攻擊.高斯雖有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，但對(duì)于此，卻怯于與傳統(tǒng)公 開挑戰(zhàn).其實(shí)在高斯的遺稿中可以了解到：第五公設(shè)不能從其他歐 幾里得公理中推理出來，并從1813年起發(fā)展了這種平行公設(shè)在其中 不成立的新幾何，他先稱之為反歐幾里得幾何，最后改成為 非歐幾何.而非歐幾何的誕生則是數(shù)學(xué)史上的一件大事， 它開辟了幾何新領(lǐng)域.那么，在高斯對(duì)自己的發(fā)現(xiàn)秘而不宣，約翰？波爾約又去 研究 神學(xué)之后，誰最早、最系統(tǒng)地發(fā)表了自己的研究成果 呢？答案是羅巴 切夫斯基，一個(gè)最堅(jiān)定地宣傳和捍衛(wèi)了自己的新思想的偉大數(shù)學(xué)家. 他用與第五公設(shè)相反的斷言：通過 直線外一點(diǎn)，可以引不止一條而至 少是兩條直線平行于已知直線，作為替代公設(shè)，并由此出發(fā)進(jìn)行邏輯 推導(dǎo)而得出一連串新幾何學(xué)的定理，形成了一個(gè)邏輯上可能的、無矛 盾的理論，這就是高斯遺稿中所命名的非歐幾何.從第五公設(shè)的故事中可以看出數(shù)學(xué)家們對(duì)待數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性在 我們數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，也應(yīng)當(dāng)學(xué)習(xí)他們的這種懷疑一切的精神. 但是我們不能像約翰？波爾約一樣，因?yàn)閯e人 比自己先出了成果， 就認(rèn)為別人剽竊了自己的成果，最后自暴自棄，去研究神學(xué)；也不能 像高斯一樣，為了自己“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，怯于與傳統(tǒng)挑戰(zhàn).因 此，我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)候，更多的是要有對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心和勇敢嘗 試的心，要勇 于嘗試一些新東西，