matlab極值與優(yōu)化

1、函數(shù)的極值與優(yōu)化2MATLAB在優(yōu)化中的應(yīng)用在優(yōu)化中的應(yīng)用 在研究與解決具體問(wèn)題中，經(jīng)常遇到有關(guān)優(yōu)化問(wèn)在研究與解決具體問(wèn)題中，經(jīng)常遇到有關(guān)優(yōu)化問(wèn)題，它起源于工業(yè)生產(chǎn)組織管理的題，它起源于工業(yè)生產(chǎn)組織管理的決策問(wèn)題決策問(wèn)題。本節(jié)的。本節(jié)的目的是學(xué)會(huì)用目的是學(xué)會(huì)用MATLAB軟件求解一些優(yōu)化問(wèn)題，包軟件求解一些優(yōu)化問(wèn)題，包括求解括求解線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃問(wèn)題。問(wèn)題。 1、線性規(guī)劃求解、線性規(guī)劃求解多變量線性函數(shù)多變量線性函數(shù)在變量滿足在變量滿足線性約束線性約束條件下的條件下的最優(yōu)最優(yōu)值值。隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，出現(xiàn)了如單純形法等有效。隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，出現(xiàn)了如單純形法等有效算法，它

2、在工農(nóng)業(yè)、軍事、交通運(yùn)輸、決策管理與算法，它在工農(nóng)業(yè)、軍事、交通運(yùn)輸、決策管理與規(guī)劃等領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用。規(guī)劃等領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用。3某廠每日某廠每日8小時(shí)的產(chǎn)量不低于小時(shí)的產(chǎn)量不低于1800件。為了進(jìn)行質(zhì)量控制，計(jì)件。為了進(jìn)行質(zhì)量控制，計(jì)劃聘請(qǐng)兩種不同水平的檢驗(yàn)員。一級(jí)檢驗(yàn)員的標(biāo)準(zhǔn)為：速度劃聘請(qǐng)兩種不同水平的檢驗(yàn)員。一級(jí)檢驗(yàn)員的標(biāo)準(zhǔn)為：速度25件件/小時(shí)，正確率小時(shí)，正確率98%，計(jì)時(shí)工資，計(jì)時(shí)工資4元元/小時(shí)；二級(jí)檢驗(yàn)員的小時(shí)；二級(jí)檢驗(yàn)員的標(biāo)準(zhǔn)為：速度標(biāo)準(zhǔn)為：速度15件件/小時(shí)，正確率小時(shí)，正確率95%，計(jì)時(shí)工資，計(jì)時(shí)工資3元元/小時(shí)。小時(shí)。檢驗(yàn)員每錯(cuò)檢一次，工廠要損失檢驗(yàn)員每錯(cuò)檢一次，工

3、廠要損失2元。為使總費(fèi)用最省，該工元。為使總費(fèi)用最省，該工廠應(yīng)聘一級(jí)、二級(jí)檢驗(yàn)員各幾名？廠應(yīng)聘一級(jí)、二級(jí)檢驗(yàn)員各幾名？12128 48 33224xxxx 解解 設(shè)需要一級(jí)和二級(jí)檢驗(yàn)員的人數(shù)分別為設(shè)需要一級(jí)和二級(jí)檢驗(yàn)員的人數(shù)分別為x1x1、x2x2人人, , 則應(yīng)付則應(yīng)付檢驗(yàn)員的工資檢驗(yàn)員的工資為：為：因因檢驗(yàn)員錯(cuò)檢而造成的損失檢驗(yàn)員錯(cuò)檢而造成的損失為：為：1212(8 25 2%8 15 5%) 2812xxxx 121212min(3224)(812)4036zxxxxxx故故目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)為：為：例例14約束條件為：約束條件為：線性規(guī)劃模型：線性規(guī)劃模型：121212min403653

4、45. .0,0zxxxxs txx 12128 258 1518000,0 xxxx 5一般線性規(guī)劃問(wèn)題的數(shù)學(xué)表達(dá)式：一般線性規(guī)劃問(wèn)題的數(shù)學(xué)表達(dá)式： max(min) f =nnxcxcxc2211s.t .11212111),(bxaxaxann22222121),(bxaxaxann mnmnmmbxaxaxa),(2211 0,21nxxx.用矩陣向量符號(hào)表示：用矩陣向量符號(hào)表示： max(min)f=cX.( , )stAXb 0X 6MATLAB優(yōu)化工具箱解線性規(guī)劃優(yōu)化工具箱解線性規(guī)劃1. 模型：模型： min z=cTX s.t AXb 命令：命令：x=linprog(c,A,b

5、) 2. 模型：模型： min z=cTX s.t AXb Aeq X=beq 命令：命令：x=linprog(c,A,b,Aeq,beq)如果沒(méi)有不等式：如果沒(méi)有不等式：AXb不存在，則令不存在，則令A(yù)=,b=.7 命令：命令：x=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)如果沒(méi)有等式約束如果沒(méi)有等式約束存在，存在， 則令則令A(yù)eq=,beq=.4. 命令：命令：x=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,x0)也用于求模型也用于求模型3，其中，其中x0表示初始值。表示初始值。5. 命令：命令：x,fval=linprog()返回最優(yōu)解及處的目標(biāo)函數(shù)值返

6、回最優(yōu)解及處的目標(biāo)函數(shù)值fval. 3. 模型：模型： min z=cTX s.t AXb Aeq X=beq vlb x vub 8解解 編寫(xiě)編寫(xiě)M文件文件xxgh1.m如下：如下：c =-0.4;-0.28;-0.32;-0.72;-0.64;-0.6;A=0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03; 0.02 0 0 0.05 0 0;0 0.02 0 0 0.05 0; 0 0 0.03 0 0 0.08;b=850;700;100;900;Aeq=; beq=; vlb=0;0;0;0;0;0; vub=;x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vl

7、b,vub)9例例 用用MATLAB求解例求解例1：編寫(xiě)編寫(xiě)M文件文件xxgh2.m如下：如下：c = 40;36;A = -5 -3;b = -45;Aeq = ; beq = ;vlb = 0;0; vub = ; x,fval = linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)121212min40365345. .0,0zxxxxs txx 10結(jié)果為：結(jié)果為：x = 9.0000 0.0000fval =360即只需聘用即只需聘用9個(gè)一級(jí)檢驗(yàn)員。個(gè)一級(jí)檢驗(yàn)員。 注：本問(wèn)題應(yīng)還有一個(gè)約束條件：注：本問(wèn)題應(yīng)還有一個(gè)約束條件：x1、x2取整數(shù)取整數(shù)。故它是。故它是一個(gè)一個(gè)整數(shù)

8、線性規(guī)劃問(wèn)題整數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題。這里把它當(dāng)成一個(gè)線性規(guī)劃來(lái)解，。這里把它當(dāng)成一個(gè)線性規(guī)劃來(lái)解，求得其最優(yōu)解剛好是整數(shù)：求得其最優(yōu)解剛好是整數(shù)：x1=9，x2=0，故它就是該整數(shù)，故它就是該整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解。規(guī)劃的最優(yōu)解。若用線性規(guī)劃解法求得的最優(yōu)解不是整數(shù)，若用線性規(guī)劃解法求得的最優(yōu)解不是整數(shù)，將其取整后不一定是相應(yīng)整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解將其取整后不一定是相應(yīng)整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解，這樣的整數(shù)，這樣的整數(shù)規(guī)劃應(yīng)用專門(mén)的方法求解。規(guī)劃應(yīng)用專門(mén)的方法求解。Matlab中，求一元函數(shù)極值的函數(shù)為中，求一元函數(shù)極值的函數(shù)為 fminbnd l此函數(shù)最簡(jiǎn)輸入格式為：此函數(shù)最簡(jiǎn)輸入格式為：x=fminbnd(f,a,b

9、)含義為：含義為：求函數(shù)求函數(shù)f在區(qū)間在區(qū)間a,b上的極小值點(diǎn)上的極小值點(diǎn)(自變量值自變量值).2. 非線性優(yōu)化問(wèn)題的求法非線性優(yōu)化問(wèn)題的求法n 非線性一元函數(shù)極值的求法非線性一元函數(shù)極值的求法l常用格式如下：常用格式如下：(1)x= fminbnd(fun,x1,x2)(2)x= fminbnd(fun,x1,x2,options)(3)x,fval= fminbnd(.)(4)x,fval,exitflag= fminbnd(.)n 非線性優(yōu)化問(wèn)題指的是目標(biāo)函數(shù)或者約束函非線性優(yōu)化問(wèn)題指的是目標(biāo)函數(shù)或者約束函數(shù)中至少有一個(gè)非線性函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題數(shù)中至少有一個(gè)非線性函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題非線性函數(shù)極值

10、的求法非線性函數(shù)極值的求法l函數(shù)函數(shù)fminbnd的算法要求目標(biāo)函數(shù)必須是連續(xù)函的算法要求目標(biāo)函數(shù)必須是連續(xù)函數(shù)，并可能只給出局部最優(yōu)解。數(shù)，并可能只給出局部最優(yōu)解。l對(duì)于對(duì)于極大值問(wèn)題極大值問(wèn)題，需，需轉(zhuǎn)化為極小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為極小值問(wèn)題來(lái)處理。來(lái)處理。 ( -f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上取極小值的點(diǎn)就是上取極小值的點(diǎn)就是f(x)在在a,b上取極大值的點(diǎn)）上取極大值的點(diǎn)） 運(yùn)行結(jié)果：運(yùn)行結(jié)果： xmin = 3.9270 ymin = -0.0279 xmax = 0.7854 y = -0.6448 ymax = -y 解解 在在matlab命令窗口中輸入：命令窗口中輸入： f=2*exp(-

11、x)*sin(x); ezplot(f,0,8);%作圖語(yǔ)句作圖語(yǔ)句 xmin,ymin=fminbnd(f,0,8) f1=-2*exp(-x)*sin(x); xmax,y=fminbnd(f1,0,8)非線性函數(shù)極值的求法非線性函數(shù)極值的求法 多元函數(shù)的無(wú)約束極小值問(wèn)題，在多元函數(shù)的無(wú)約束極小值問(wèn)題，在Matlab中有中有2個(gè)經(jīng)常使用的函數(shù)：個(gè)經(jīng)常使用的函數(shù)： 1、fminsearch 2、fminunc 注意注意： （1）在使用這兩個(gè)函數(shù)時(shí)，必須首先用）在使用這兩個(gè)函數(shù)時(shí)，必須首先用M文件文件的形式存儲(chǔ)待求最值的函數(shù)，該函數(shù)需以向量函數(shù)的形式存儲(chǔ)待求最值的函數(shù)，該函數(shù)需以向量函數(shù)的形式

12、表達(dá)；的形式表達(dá)； （ 2）極大值問(wèn)題需轉(zhuǎn)化為極小值問(wèn)題。）極大值問(wèn)題需轉(zhuǎn)化為極小值問(wèn)題。n多元函數(shù)極值的求法多元函數(shù)極值的求法非線性函數(shù)極值的求法非線性函數(shù)極值的求法u使用格式：使用格式：x,fval,exitflag,output=fminsearch(f,x0)u輸入?yún)?shù)：輸入?yún)?shù)：f: 目標(biāo)函數(shù)；目標(biāo)函數(shù)；x0: 初始點(diǎn)初始點(diǎn)(向量向量).u輸出參數(shù)：輸出參數(shù)：x: 最優(yōu)解；最優(yōu)解；fval: 最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的函數(shù)值；最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的函數(shù)值；exitflag: 函數(shù)退出優(yōu)化運(yùn)算的原因：函數(shù)退出優(yōu)化運(yùn)算的原因：1,收斂于最優(yōu)解；收斂于最優(yōu)解；0,迭迭代次數(shù)超過(guò)優(yōu)化屬性設(shè)置；代次數(shù)超過(guò)優(yōu)化屬性設(shè)置

13、；-1,迭代算法被迭代算法被output函數(shù)終止；函數(shù)終止；output:有關(guān)優(yōu)化的屬性信息，如優(yōu)化迭代次數(shù)和優(yōu)化算法有關(guān)優(yōu)化的屬性信息，如優(yōu)化迭代次數(shù)和優(yōu)化算法等等.例：例：fminsearch(f,1,2) 含義為：從點(diǎn)含義為：從點(diǎn)1,2開(kāi)始開(kāi)始 搜尋函數(shù)搜尋函數(shù)f 的最小值。的最小值。 n fminsearch 非線性規(guī)劃的單純型法搜索最值非線性規(guī)劃的單純型法搜索最值非線性無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題非線性無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題例：求函數(shù)例：求函數(shù) 在在x=1,y=2附近的最附近的最小值點(diǎn)。小值點(diǎn)。解決步驟：解決步驟：1、建立、建立M文件，保存函數(shù)文件，保存函數(shù)f； M文件內(nèi)容為：文件內(nèi)容為： functio

14、n f2=fun2(x) f2=-(x(1)+x(2)+(x(1)2+x(2)2+1); 2、調(diào)用、調(diào)用fminsearch函數(shù)求最值函數(shù)求最值. 在命令窗口中，輸入：在命令窗口中，輸入： x0=1,2; x,fval=fminsearch(fun2,x0) 3、輸出結(jié)果為：、輸出結(jié)果為： x = 0.5000 0.5000 fval =0.5000非線性無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題非線性無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題22()(1)fxyxy u 此函數(shù)與此函數(shù)與fminsearch不同的地方在于使用的搜索方法，不同的地方在于使用的搜索方法，它使用它使用牛頓法（擬牛頓）牛頓法（擬牛頓）搜索最值，在搜索最值，在效率上有所提高

15、效率上有所提高；u 使用格式與使用格式與fminsearch類似：類似： x,fval= fminunc(f,x0) 其中其中f為待求極值的向量函數(shù)，為待求極值的向量函數(shù)，x0為搜索過(guò)程開(kāi)始時(shí)自為搜索過(guò)程開(kāi)始時(shí)自變量的初始值。變量的初始值。例例：fminunc(f,1,2)含義為：從點(diǎn)含義為：從點(diǎn)1,2開(kāi)始開(kāi)始搜尋函搜尋函數(shù)數(shù)f的極小值。的極小值。 n fminunc非線性無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題非線性無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題n 例例 求解二元函數(shù)求解二元函數(shù) 的最小值的最小值.n 輸入目標(biāo)函數(shù)的程序代碼：輸入目標(biāo)函數(shù)的程序代碼： function f=optfun(x) f=3*x(1)2+2*x(1)*x(2

16、)+x(2)2;將上述代碼保存為將上述代碼保存為 optfun.m 文件。文件。n x,fval=fminunc(optfun,x0)或或 x1,fval1=fminsearch(optfun,x0)221122( )32f xxx xx非線性無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題非線性無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題n Matlab默認(rèn)的二次規(guī)劃默認(rèn)的二次規(guī)劃n 用用MATLAB軟件求解軟件求解,其輸入格式如下其輸入格式如下:x,fval=quadprog(H,c,A,b);x,fval=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq);x,fval=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,LB,UB); x,fval=

17、quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0); 1min( ),2. .,.TTf xx Hxc xs t A xbAeq xbeqlbxub 二次規(guī)劃問(wèn)題二次規(guī)劃問(wèn)題20例例 寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式：寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式：1212 1 12.1 2200 xstxxx 2212121122121212min(,)2622.2220,0f xxxxxx xxs txxxxxx 212121624222),(21minxxxxxxzT二次規(guī)劃問(wèn)題二次規(guī)劃問(wèn)題21H=2 -2; -2 4; c=-2 ;-6;A=1 1; -1 2;b=2;2;Aeq=;beq=; VLB=0;0;VUB=;

18、x,z=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB) 運(yùn)算結(jié)果為：運(yùn)算結(jié)果為：x = 0.8000 1.2000z = -7.2000 輸入命令：輸入命令：二次規(guī)劃問(wèn)題二次規(guī)劃問(wèn)題n求解約束非線性優(yōu)化問(wèn)題求解約束非線性優(yōu)化問(wèn)題n Matlab 求解約束非線性優(yōu)化問(wèn)題求解約束非線性優(yōu)化問(wèn)題 fminconn 常用調(diào)用格式如下：常用調(diào)用格式如下：nx,fval = fmincon(fun,x0,A,b,Ae,be,lb,ub,nonlcon)min( ),. .( )0,( )0,.f xs t c xce xA xbAe xbelbxub 約束非線性優(yōu)化問(wèn)題約束非線性優(yōu)化問(wèn)

19、題nx,fval = fmincon(fun,x0,A,b,Ae,be,lb,ub,nonlcon)n輸入?yún)?shù)：輸入?yún)?shù)：ufun 表示優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，表示優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，x0 表示優(yōu)化的初始值表示優(yōu)化的初始值uA,b 表示滿足線性關(guān)系式表示滿足線性關(guān)系式 的系數(shù)矩陣和右端項(xiàng)的系數(shù)矩陣和右端項(xiàng)uAe,be 表示線性等式約束表示線性等式約束 的系數(shù)矩陣和右端項(xiàng)的系數(shù)矩陣和右端項(xiàng)ulb,ub 表示取值范圍表示取值范圍 的上限和下限的上限和下限unonlcon 表示需要參數(shù)滿足的非線性關(guān)系式表示需要參數(shù)滿足的非線性關(guān)系式 和和 Axb Ae xbelbxub ( )0c x ( )0ce x 24例例

20、1221212212121212min( )(42421)0.1.50100 xf xexxx xxxxstx xxxx x1) 先建立先建立 M 文件文件 fun3.m, 定義目標(biāo)函數(shù)定義目標(biāo)函數(shù): function f=fun3(x); f=exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1); 2) 再建立再建立 M 文件文件 myc.m 定義非線性約束：定義非線性約束： function c,ceq=myc(x) c= 1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10; ceq=;253) 主程序主程序youh.m為為

21、: x0=-1;1; A=;b=; Aeq=1 1;beq=0; vlb=;vub=; x,fval=fmincon(fun3,x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,myc)3. 運(yùn)算結(jié)果為：運(yùn)算結(jié)果為： x = -1.2247 1.2247 fval = 1.8951上機(jī)作業(yè)上機(jī)作業(yè)n1.求解如下問(wèn)題求解如下問(wèn)題 n2.求函數(shù)求函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間-10,10內(nèi)的極大極內(nèi)的極大極小值點(diǎn)小值點(diǎn). n3.求函數(shù)求函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間-10,10內(nèi)的極小值內(nèi)的極小值點(diǎn)，并通過(guò)該函數(shù)的圖象體會(huì)局部極小值的含義點(diǎn)，并通過(guò)該函數(shù)的圖象體會(huì)局部極小值的含義.12121212min( )612. .37

22、34,0f xxxs txxxxxx 2( )32f xxx 2( )sin( )f xxx n4.求解求解n5.求解二次規(guī)劃問(wèn)題求解二次規(guī)劃問(wèn)題上機(jī)作業(yè)上機(jī)作業(yè)12212122min( )(42421)xf xxxx xxe 22121212121212121min( )262. .2,22,23,0,0.f xxxx xxxs t xxxxxxxx n6.求解求解初始點(diǎn)為初始點(diǎn)為10,10,10上機(jī)實(shí)驗(yàn)上機(jī)實(shí)驗(yàn)123123min( ). . 02372f xx x xs txxx 選學(xué)內(nèi)容選學(xué)內(nèi)容 例：供應(yīng)與選址例：供應(yīng)與選址某公司有某公司有6 6個(gè)建筑工地，位置坐標(biāo)為個(gè)建筑工地，位置坐標(biāo)

23、為(a(ai i, b, bi i) () (單位：公單位：公里里),),水泥日用量水泥日用量d di i ( (單位：噸）單位：噸）ia1.258.750.55.7537.25b1.250.754.7556.57.75d3547611假設(shè)：假設(shè)：料場(chǎng)和工地之間有直線道路料場(chǎng)和工地之間有直線道路2 , 1, 6,.,1, 02 , 1,6,.,1,. .)()(min612121612/122jicjecidctsbyaxcijjijiiijjjiijijij線性規(guī)劃模型線性規(guī)劃模型決策變量：決策變量：ci j 12維維(料場(chǎng)料場(chǎng)j到到工地工地i運(yùn)量）運(yùn)量）例：供應(yīng)與選址例：供應(yīng)與選址用例中數(shù)用例中數(shù)據(jù)計(jì)算，據(jù)計(jì)算，xuanzhi.m最優(yōu)解為最優(yōu)解為i1234561ic（料料場(chǎng)場(chǎng) A）3507012ic（料料場(chǎng)場(chǎng) B）0040610總噸公里數(shù)為總噸公里數(shù)為136.22622 1/2112161min()() . .,1,.,6,1,2,1,.,6,1,20ijjijijiijijijjiijcxaybs tcdicejcij線性規(guī)劃模型線性規(guī)劃模型決策變量：