張曉桐：VAR模型與協(xié)整

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2、pt.tj .cn1. VAR （向量自回歸）模型定義2. VAR模型的特點(diǎn)3. VAR模型穩(wěn)定的條件4. VAR模型的分解5. VAR模型滯后期的選擇6. 脈沖響應(yīng)函數(shù)和方差分解7. 格蘭杰（Granger）非因果性檢驗(yàn)8. VAR模型與協(xié)整9. VAR模型中協(xié)整向量的估計(jì)與檢驗(yàn)案例分析則,Yt = c + II + Ut(1.3)則,Yt = c + II + Ut(1.3)1980年Sims提出向量自回歸模型(vector autoregressive model)o這種模型釆用多方程聯(lián)立的形式，它不以經(jīng)濟(jì)理論 為基礎(chǔ)。在模型的每一個(gè)方程中，內(nèi)生變量對(duì)模型的全部?jī)?nèi) 生變量的滯后項(xiàng)進(jìn)行回歸

3、，從而估計(jì)全部?jī)?nèi)生變量的動(dòng)態(tài)關(guān) 系。1. VAR (向量自回歸)模型定義 以兩個(gè)變量畑畑滯后1期的VAR模型為例,f+ 11.1+ 龍 121 丿2上1 + S丁2“ = C2 + 21.1 J1,M + 22.1+ 2t其中w”心 HD (0, a2), Cov(wlh u2t) = 0。寫成矩陣形式是,含有N個(gè)變量滯后氐期的VAR模型表示如下:Yt = c + II Fi.i + III 耳2 + + H Yk + 如9Ut HD (0, 0其中，Yt = (yi,tyi.t nw.j乃12 Jn2.j乃22J馮二MM兀NLj兀N2jA 兀N.jA兀 2N.jA兀 NN.j不同方程對(duì)應(yīng)的隨

4、機(jī)誤差項(xiàng)之間可能存在相關(guān)。因VAR模型中每個(gè)方程的右側(cè)只含有內(nèi)生變量的滯后項(xiàng)，他們與是 漸近不相關(guān)的，所以可以用OLS法依次估計(jì)每一個(gè)方程，得到的參數(shù)估計(jì) 量都具有一致性。則,Yt = c + II + Ut(1.3)2VAR模型的特點(diǎn)(1) 不以嚴(yán)格的經(jīng)濟(jì)理論為依據(jù)。(2) VAR模型的解釋變量中不包括任何當(dāng)期變量。(3) VAR模型對(duì)參數(shù)不施加零約束。(4) VAR模型有相當(dāng)多的參數(shù)需要估計(jì)。(5) VAR模型預(yù)測(cè)方便、準(zhǔn)確(附圖)。(6) 可做格蘭杰檢驗(yàn)、脈沖響應(yīng)分析、方差分析。(7)西姆斯(Sims)認(rèn)為VAR模型中的全部變量都是內(nèi)生變量。近年來也有學(xué)者認(rèn)為具有單向因果關(guān)系的變量，也可

5、以作為外生變量加入VAR模型。圖1油價(jià)與靜態(tài)擬合值圖2油價(jià)與靜態(tài)擬合值3. VAR模型穩(wěn)定的條件對(duì)于 VAR(l),Yt = c+ I7iYbl + ut模型穩(wěn)定的條件是特征方程1771-271=0的根都在單位圓以內(nèi)，或相反的特 征方程U-L77il= 0的根都要在單位圓以外。對(duì)于k的VAR仏)模型可以通過矩陣變換改寫成分塊矩陣的VAR(l)模型形式。Yt = C +AYtl + Ut模型穩(wěn)定的條件是特征方程IA-2II =0的根都在單位圓以內(nèi)，或其相反的特征方程II-LAI=0的全部根都在單位以外。附：矩陣變換。給出階VAR模型，Yt = c + Hi 乙1 + 丫卜2 + + H 丫1去

6、+ 如 再配上如下等式，%2 =耳2 耳*+1 =耳如把以上k個(gè)等式寫成分塊矩陣形式,Y, 1c0“20+MMYmNKxl0NKM1n2A巧-1nkI0A000iA00AA0AA00AI0Yt-2M+叮00MNKxNKYt-k JNKxl0NKxl其中每一個(gè)元素都表示一個(gè)向量或矩陣。上式可寫為Yt = C + AYtl + Ut附：VAR模型的特征根VAR Stability Condition CheckRoots of Characteristic PolynomialEndogenous variables: LNGP LNCP LNIP Exogenous variables: CLa

7、g spec帀cation 1 3Date: 06/06/05 Time: 06:21RootModulus1.0154971.015497Q.466948-0.673264i0.8193440.466948 +0.67326410.8193440.8057360.S05736-0.220604-0,488752i0.536232-0.220604 + 0.488752i0.5362320.4401940.440194Q.158844-0.229352i0.2789870.158844 +0.229352i0.278987V7aming: At least one root outside t

8、he unit circle.VAR does not satisfy the stability cordiliorLInverse Roots of AR Characteristic Polynomial1.51.00.50.0-0.5-1.0-1.5-1.5-1.0-0.50.00.51.01.54- VAR模型的分解以VAR模型Yt = c + IIYtA + ut為例，用遞推的方法最終可把片分解為三部分:1!；=(/+7J + 7J2+. + 皿門)c + 必 To + 2 n： gz=0r-1= (/-77)-1 + + Yt. + uh ut iid（o, q*）的內(nèi)生變量都含

9、有單位根，那么可以用這些變量的一階差分序列建立一個(gè)平穩(wěn)的VAR模型。AYt = n /耳1 +AYbl + . +A* AYt.k + “盧（新）然而，當(dāng)這些變量存在協(xié)整關(guān)系時(shí)，釆用差分的方法構(gòu)造VAR模型雖然是平穩(wěn)的，但不是最好的選擇。向量誤差修正模型（VEC）的表達(dá)式是AYt= （271 +口2 +口-1）匕“（ZJ+必+N）厶耳廠（ZJ+N）/T7.2 Ilk Yt-+叫 令 2 = - X n d - 1，2, .,*-1,27= Zli -1=/7. -7 = Z7； + ZJ + . +（1則上式寫為AYt= UYt.i + rAYt.i + IiAYfi + + ut根據(jù)Gran

10、ger定理，向量誤差修正模型（VEC）的表達(dá)式是AL） ay,=-aP Yt.i + d（L） ut其AL)是多項(xiàng)式矩陣4(Q分離出因子(10后降低一階的多項(xiàng)式矩陣，億)是由滯后算子表 示的多項(xiàng)式矩陣。V祕(mì)有如下三種可能。1. 當(dāng)X的分量不存在協(xié)整關(guān)系，刀的特征根為零，27=0。2. 若r(mk (77) = AT (滿秩)，保證27丫從平穩(wěn)的唯一一種可能是匕1(0)。3. 當(dāng)KI(1),若保證口卩祕(mì)平穩(wěn)，只有一種可能，即X的分量存在協(xié)整關(guān)系。例1:L如_AiLX./-L _a21L%LLPinLLLLL_aNLL嘰Nxr_AiLPrN _rxNNM77耳1 =知（011兒一 1 + 01“,

11、/一1） + 1 +如（0八兒_1 + 0小丿一 JL務(wù) 1（011比/-1 + + 01“丁砒一1） + 1 + &川（0門兒/_1 + + 0爪砒-1） Xi例2：設(shè)三個(gè)變量的VAR(l)的誤差修正模型如下(含兩個(gè)協(xié)整關(guān)系),-1/21/81/41/4-5/83/8-1/81*17-1wl/2/-1+u2tyj-i_w3/_0-1/4代數(shù)形式是 廠 = (1/2) |ji,r-i (1/8) J2 611 + (1/4) V2,m (1/4) 3 m + ir yi,t- (1/8) ri,M - (1/8)yi- (5/8) v2,m - (1/4)m + “2r=(1/4) vi,m

12、(1/8)yim + (3/8) b2,ri (1/4)+ ut9. VAR模型中協(xié)整向量的估計(jì)與檢驗(yàn)檢驗(yàn)協(xié)整關(guān)系的零假設(shè)是Ho： rk(77) r 或 口=叩統(tǒng)計(jì)量是二 2 (logU P )r LogL( P )w)N= -TZ (l-)L 20，N1z=r+lM統(tǒng)計(jì)量在零假設(shè)OvfvN或“存在Nf個(gè)單位根”成立條件下不 服從%$分布。Johansen證明厶R統(tǒng)計(jì)量漸近服從如下分布。tr其中/r ( )表示跡，W(i)是N十維的Wiener過程。上述統(tǒng)計(jì)量也稱作跡統(tǒng)計(jì)量。右單端檢驗(yàn)。上述 M檢驗(yàn)，Ho： rk(77)34.91r = rk(77) 19.96r = rk(27) 34.91

13、 (臨界值)接著檢驗(yàn)尸=lo3LR = -100 工】g(l一人)=-100 Iog(05)+ Iog(0.96)i=2=100 (06930.04) = 7330 19.96 (臨界值)接著檢驗(yàn)r = 2oLR = -100 Ln （1-鬲）=-100 log（0.96）= -100 （-0.04） = 4.082 9.24 （臨界值）因?yàn)槭R界值），則應(yīng)繼續(xù)進(jìn)行下面的檢驗(yàn)。 蟲1。意即在VAR模型中存在1個(gè)協(xié)整向量（含有N1個(gè)單位根）。如果r 1不能被拒絕（LR 臨界值），檢驗(yàn)到此終止。如果r 1被拒絕,則應(yīng)進(jìn)一步作如下檢驗(yàn)。（3）rA-lo意即在VAR模型中存在N-1個(gè)協(xié)整向量（含有1個(gè)

14、單位 根）。如果/ 7V-1不能被拒絕（LR臨界值），檢驗(yàn)到此終止。如果尸5 -1被拒絕，說明r=No在檢驗(yàn)過程中，比如r 嚴(yán)1已經(jīng)被拒絕，但尸 嚴(yán)不能被拒絕，則結(jié) 論是VAR模型中存在嚴(yán)個(gè)協(xié)整向量。（4）協(xié)整檢驗(yàn)過程中的每一步檢驗(yàn)都屬于右單端檢驗(yàn)。案例分析:英國(guó)購(gòu)買力平價(jià)和利率平價(jià)的協(xié)整性分析,Johansen-Juselius （1992） o祥見Journal of Econometrics （計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)雜志）第53卷，211-244頁(yè)。1購(gòu)買力平價(jià)和利率平價(jià)同種商品在不同國(guó)家應(yīng)該保持相同價(jià)格。否則就會(huì)存在套利問題。但是 當(dāng)匯率可以自由浮動(dòng)時(shí)，套利問題就會(huì)消除。用幾表示國(guó)內(nèi)商品價(jià)格，卅

15、表示國(guó)外同類商品價(jià)格，耳表示購(gòu)買力平價(jià)，則有即一個(gè)單位的外國(guó)貨幣相當(dāng)于多少本國(guó)貨幣。對(duì)數(shù)形式是LnEt =二 Ln LnP產(chǎn)3個(gè)變量的長(zhǎng)期均衡關(guān)系是Ln Pi - LnP吉 LnEt = ut其中掩表示非均衡誤差，是一個(gè)均值為零，平穩(wěn)的隨機(jī)過程。在均衡點(diǎn)處tif=o 下面考慮與商品有關(guān)的資本市場(chǎng)條件。生產(chǎn)商品必然與金融資產(chǎn)相聯(lián)系。而金融資產(chǎn)可以用金融債券度量。國(guó)內(nèi)外對(duì)這些債券的利息率是不一 樣的。分別用Rt, Rt*表示。資本市場(chǎng)的套利行為對(duì)匯率形成壓力。制定匯 率必須使國(guó)內(nèi)外利率差與t+1期、t期之間匯率差相等，即保證&* = E(E+i) Ei = ult其中E表示名義匯率(貨幣的購(gòu)買力平

16、價(jià))。E(t) (Em)表示t期對(duì)t+1期匯 率的期望?！?是非均衡誤差，是一個(gè)平穩(wěn)的隨機(jī)過程。保持E，相等稱 為利率平價(jià)。2.協(xié)整關(guān)系的預(yù)分析如果用Yt = LnPt LnP巻 LnEt Rt R產(chǎn)丫表示變量列向量，希望能存在兩個(gè)協(xié)整關(guān)系。屈=(1 -1 -1 0 0)1 = (0 0 0 1-I)101表示購(gòu)買力平價(jià)協(xié)整向量，後表示利率平價(jià)協(xié)整向量。3.估計(jì)協(xié)整向量個(gè)數(shù)用B表示英國(guó)商品綜合批發(fā)價(jià)格指數(shù)。P盧表示進(jìn)口商品綜合批發(fā)價(jià)格指數(shù)。耳表示英國(guó)實(shí)際匯率。&表示三個(gè)月的金融債券利率。表示三個(gè) 月的歐元利率。樣本數(shù)據(jù)范圍是1972:l-1987:2o通過對(duì)數(shù)據(jù)走勢(shì)的分析，認(rèn)為批發(fā)價(jià)格指數(shù)序列

17、中存在線性趨勢(shì)。所以 在VAR模型中應(yīng)該有一個(gè)非約束常數(shù)項(xiàng)(既進(jìn)入?yún)f(xié)整空間，也進(jìn)入數(shù)據(jù) 空間）。2階VAR模型估計(jì)結(jié)果顯示殘差序列的峰度值很高（高峰厚尾特征）， 為非正態(tài)分布。殘差序列的方差很大主要是由于世界石油價(jià)格的變化造成 的。用石油價(jià)格調(diào)整批發(fā)價(jià)格指數(shù)，再次估計(jì)2階VAR模型。VAR模型 殘差序列的診斷檢驗(yàn)結(jié)果見表lo表1VAR模型殘差的診斷檢驗(yàn)內(nèi)生變量標(biāo)準(zhǔn)差偏度峰度3 JB統(tǒng)計(jì)量序列相關(guān)檢驗(yàn)， 厶 M（20）1LnPt0.0070.291.274.84(5.99)6.09(5.99)9.59(31.41)3LnEt0.0300.300.170.95(5.99)13.54(31.41)4

18、Rt0.0110.580.253.55(5.99)9.11(5.99)16.41(l0.40780.75 68.52r20.28549.42 47.21r 30.25429.26 29.68r40.10211.67 15.14r 50.0835.19 3.764.協(xié)整向量估計(jì)結(jié)果的分析與解釋非約束的5個(gè)協(xié)整參數(shù)向量和5個(gè)調(diào)整參數(shù)向量見表3。0和偽的順序(從左至右)與特征根的大小順序相對(duì)應(yīng)。根據(jù)上面的協(xié)整向量個(gè)數(shù)檢驗(yàn)結(jié)果(r = 2),說明01和色是協(xié)整向量，e和色是調(diào)整向量。內(nèi)生- 變量協(xié)整參數(shù)向量p的估計(jì)AZ?405LnPt1.000.030.361.001.00LnPt *-0.910.03-0.46-2.40-1.45LnEt-0.93-0.100.411.12-0.48Rt-3.381.001.00-0.412.28R,-1.89-0.93-1.032.980.76方程-ai調(diào)整參數(shù)向量a的估計(jì)a