第一章 矢量分析重點(diǎn)內(nèi)容總結(jié)

1、第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波1（1 1） 矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）zzyyxxBABABAABBAcos1zzyyxxeeeeee0 xzzyyxeeeeeeAB矢量矢量 與與 的夾角的夾角ABA B A B 0BA/ A BAB1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波2（2）矢量的矢積（叉積）矢量的矢積（叉積）sinABeBAn)()()(xyyxzzxxzyyzzyxBABAeBABAeBABAeBAzyxzyxzyxBBBAAAeeeBAsinABBABA矢量矢量 與與 的叉積的叉積AB用坐標(biāo)分量表示為用坐標(biāo)分量表示為寫成行列式形式

2、為寫成行列式形式為ABBABAABBA若若 ，則，則BA/0BA若若 ，則，則方向：右手螺旋法則方向：右手螺旋法則數(shù)值大?。簲?shù)值大小：第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波3（5 5）矢量的混合運(yùn)算）矢量的混合運(yùn)算)()()(BACACBCBACBABCACBA)()()( 標(biāo)量三重積標(biāo)量三重積 矢量三重積矢量三重積第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波41、圓柱面坐標(biāo)系、圓柱面坐標(biāo)系dddddddddddddddzzzzzelleSzelleSzelleSz,坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量zeee,坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量zeerz位置矢量位置矢量zeeelzdddd線元矢量線元矢量zVddd

3、d體積元體積元面元矢量面元矢量1.2 三種常用的正交坐標(biāo)系三種常用的正交坐標(biāo)系第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波5ddsinddd2relleSrrrddsindddrrelleSrdddddrrelleSr2、球面坐標(biāo)系、球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元, r坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量eeer,坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量rerr位置矢量位置矢量dsindddrererelr線元矢量線元矢量dddsind2rrV 體積元體積元面元矢量面元矢量第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波63、坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系、坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系

4、xeyezeeezecossin0cossin0001直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)與與圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系eezereeesin0cossincos0001圓柱坐標(biāo)圓柱坐標(biāo)與與球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系z(mì)ereeecossincossinsincos0直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)與與球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系xeyesinsinsincoscossinoz單位圓單位圓 柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系之間柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系 oxy單位圓單位圓 直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系 xeyeeezeeree第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波7sincosx

5、yeeee cossinxyeeee sinreeree 柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)微分關(guān)系柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)微分關(guān)系球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)微分關(guān)系球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)微分關(guān)系reecosee0esincosreee 4、柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的關(guān)系、柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的關(guān)系 第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波8 81）不同的位置上，圓柱和圓球坐標(biāo)軸單位矢量方向不同。2）當(dāng)矢量場(chǎng)的方向?yàn)閳A柱面的法向或切向時(shí)，用圓柱 坐標(biāo)表示不但形式簡(jiǎn)單，而且形象，更易理解。 3）當(dāng)矢量場(chǎng)的方向?yàn)閳A球面的法向或切向時(shí)，用圓球坐標(biāo)表示不但形式簡(jiǎn)單，而且形象，更易理解。小結(jié)第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與

6、電磁波9梯度的表達(dá)式梯度的表達(dá)式：zueueueuz1圓柱面坐標(biāo)系圓柱面坐標(biāo)系 ureurerueursin11球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系z(mì)ueyuexueuzyx直角面坐標(biāo)系直角面坐標(biāo)系 1、標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度（ 或或 ）graduu意義意義：描述標(biāo)量描述標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向場(chǎng)在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向概念概念： ，其中其中 取得最大值的方向取得最大值的方向|maxlueunnuel1.3 標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波10標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量場(chǎng)，它在空間某標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量場(chǎng)，它在空間某點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場(chǎng)變化最大（增大）點(diǎn)

7、的方向表示該點(diǎn)場(chǎng)變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場(chǎng)的空間變化率。場(chǎng)的空間變化率。標(biāo)量場(chǎng)在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是標(biāo)量場(chǎng)在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度在該方向上的投影。梯度的性質(zhì)梯度的性質(zhì)：梯度運(yùn)算的基本公式梯度運(yùn)算的基本公式：uufufuvvuuvvuvuuCCuC)()()()()(0標(biāo)量場(chǎng)的梯度垂直于通過該點(diǎn)的等值面（或切平面）標(biāo)量場(chǎng)的梯度垂直于通過該點(diǎn)的等值面（或切平面）第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波11例題： 證明RR)()()(zzeyyexxeRzyxRRzzyyxxezzzzyyxxeyyzzyy

8、xxexxzReyRexReRzyxzyx222222222)()()(2)(2)()()(2)(2)()()(2)(2222zzyyxxRR)()()(3RRR12)(RRR) 1 (33222)()()()()()()1()1()1(1RRzzyyxxezzeyyexxRzeRyeRxeRzyxzyx證明：證明：第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波122、矢量場(chǎng)的通量、矢量場(chǎng)的通量 dddnSSFSF eS通量的概念通量的概念：ddnSe S其中：其中：面積元矢量；面積元矢量；ne面積元的法向單位矢量；面積元的法向單位矢量；dSddnF e S穿過面積元穿過面積元 的通量；的通量；

9、 如果曲面如果曲面 S 是閉合的，則規(guī)定曲面法矢由閉合曲面內(nèi)指向是閉合的，則規(guī)定曲面法矢由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場(chǎng)對(duì)閉合曲面的通量是：外，矢量場(chǎng)對(duì)閉合曲面的通量是：ddnSSFSF eS),(zyxFSdne面積元矢量面積元矢量1.4 矢量場(chǎng)的通量與散度矢量場(chǎng)的通量與散度 第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波130通過閉合曲面有通過閉合曲面有凈的矢量線穿出凈的矢量線穿出0有凈的矢有凈的矢量線進(jìn)入量線進(jìn)入0進(jìn)入與穿出閉合曲進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等面的矢量線相等矢量場(chǎng)通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果矢量場(chǎng)通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果 閉合曲面的通量從閉合曲面的通量從宏觀上宏觀上建立了

10、矢量場(chǎng)通過閉合曲面的通建立了矢量場(chǎng)通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源的關(guān)系。量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源的關(guān)系。通量的物理意義通量的物理意義第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波143、矢量場(chǎng)的散度、矢量場(chǎng)的散度0( , , ) d( , , )limSVF x y zSF x y zV 為了定量研究場(chǎng)與源之間的關(guān)系，需建立場(chǎng)空間任意點(diǎn)（小為了定量研究場(chǎng)與源之間的關(guān)系，需建立場(chǎng)空間任意點(diǎn)（小體積元）的通量源與矢量場(chǎng)（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利體積元）的通量源與矢量場(chǎng)（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用極限方法得到這一關(guān)系：用極限方法得到這一關(guān)系：稱為矢量場(chǎng)的稱為矢量場(chǎng)的散度散度。 散

11、度是矢量通過包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元散度是矢量通過包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。體積之比的極限。F第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波15柱面坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系)(sin1)(sinsin1)(122FrFrFrrrFrzFFFFz)(球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系z(mì)FyFxFFzyx直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系散度的表達(dá)式散度的表達(dá)式：散度的有關(guān)公式散度的有關(guān)公式：GFGFfFFfFfkFkFkfCfCCCC)()(為常量)()()()為常矢量(0第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波164、散度定理（高斯定理）、散度定理（高斯定理）VSVFSFdd體積的剖分

12、體積的剖分VS1S2en2en1S 從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)在空間任意閉合曲面的從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場(chǎng)的散度的體積分，即通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場(chǎng)的散度的體積分，即 散度定理是閉合曲面積散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個(gè)變換分與體積分之間的一個(gè)變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。泛的應(yīng)用。證明證明第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波171.5 矢量場(chǎng)的環(huán)流和旋度矢量場(chǎng)的環(huán)流和旋度 矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋渦源矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋渦源 不是所有的矢量場(chǎng)都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通

13、量不是所有的矢量場(chǎng)都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場(chǎng)的力線是閉合的，它對(duì)于任何閉源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場(chǎng)的力線是閉合的，它對(duì)于任何閉合曲面的通量為零。但在場(chǎng)所定義的空間中閉合路徑的積分不為合曲面的通量為零。但在場(chǎng)所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。零。第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波18q 如果矢量場(chǎng)的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場(chǎng)為如果矢量場(chǎng)的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場(chǎng)為無(wú)無(wú)旋場(chǎng)旋場(chǎng)，又稱為，又稱為保守場(chǎng)保守場(chǎng)。q 如果矢量場(chǎng)對(duì)于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場(chǎng)為如果矢量場(chǎng)對(duì)于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場(chǎng)為有旋矢量場(chǎng)有

14、旋矢量場(chǎng)，能夠激發(fā)有旋矢量場(chǎng)的源稱為，能夠激發(fā)有旋矢量場(chǎng)的源稱為旋渦源旋渦源。電流是。電流是磁場(chǎng)的旋渦源。磁場(chǎng)的旋渦源。ClzyxFd),(環(huán)流的概念環(huán)流的概念 矢量場(chǎng)對(duì)于閉合曲線矢量場(chǎng)對(duì)于閉合曲線C 的環(huán)流定義為該矢量對(duì)閉合曲線的環(huán)流定義為該矢量對(duì)閉合曲線C 的線積分，即的線積分，即第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波19 過點(diǎn)過點(diǎn)M 作一微小曲面作一微小曲面 S，它的邊界曲線記為，它的邊界曲線記為C，曲面的法線，曲面的法線方向方向n與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng)與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng) S0時(shí)，極限時(shí)，極限01rotlimdCnSFFlS稱為矢量場(chǎng)在點(diǎn)稱為矢量場(chǎng)在點(diǎn)M 處沿方

15、向處沿方向n的的環(huán)流面密度環(huán)流面密度。 矢量場(chǎng)的環(huán)流給出了矢量場(chǎng)與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源的矢量場(chǎng)的環(huán)流給出了矢量場(chǎng)與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源的宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點(diǎn)矢量場(chǎng)與旋渦源的關(guān)系，引入矢宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點(diǎn)矢量場(chǎng)與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場(chǎng)的旋度。量場(chǎng)的旋度。 SCMFn特點(diǎn)特點(diǎn)：其值與點(diǎn)：其值與點(diǎn)M 處的方向處的方向n有關(guān)。有關(guān)。2、矢量場(chǎng)的旋度、矢量場(chǎng)的旋度（ ） F （1）環(huán)流面密度）環(huán)流面密度第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波20概念概念：矢量場(chǎng)在矢量場(chǎng)在M點(diǎn)處的旋度為一矢量，其數(shù)值為點(diǎn)處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M點(diǎn)的環(huán)流面點(diǎn)的環(huán)流面 密度最大值，其方向?yàn)?/p>

16、取得環(huán)量密度最大值時(shí)面積元的法密度最大值，其方向?yàn)槿〉铆h(huán)量密度最大值時(shí)面積元的法 線方向，即線方向，即nMaxrotnFeF物理意義物理意義：旋渦源密度矢量。旋渦源密度矢量。（2）矢量場(chǎng)的旋度）矢量場(chǎng)的旋度第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波21zyxzyxxyzzxyyzxFFFzyxeeeyFxFexFzFezFyFeF旋度的計(jì)算公式旋度的計(jì)算公式: :zzFFFzeeeF1FrrFFrerererFrrsinsinsin12直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系圓柱面坐標(biāo)系圓柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波22旋度的有關(guān)公式旋度的有關(guān)公式：0()()()(

17、)()0()0CCffCfFfFfFFGFGFGGFFGFu 矢量場(chǎng)的旋度矢量場(chǎng)的旋度的散度恒為零的散度恒為零標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度的旋度恒為零的旋度恒為零第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波23SCSFlFdd3、Stokes定理定理 Stokes定理是閉合曲線積定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個(gè)變換分與曲面積分之間的一個(gè)變換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。泛的應(yīng)用。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小相等結(jié)果抵消相等結(jié)果抵消 從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)沿任意閉合曲線的環(huán)從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場(chǎng)的

18、旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即流等于矢量場(chǎng)的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即證明證明第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波244、散度和旋度的區(qū)別、散度和旋度的區(qū)別 0,0FF0.0FF0,0FF0,0FF第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波251、矢量場(chǎng)的源、矢量場(chǎng)的源散度源散度源：是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)在包圍源的封閉面上的通量是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)在包圍源的封閉面上的通量 等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和，等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和， 源在一給定點(diǎn)的（體）密度等于（或正比于）矢量源在一給定點(diǎn)的（體）密度等于（或正比于）矢量 場(chǎng)在該點(diǎn)的散度；場(chǎng)在該點(diǎn)的散度； 旋度源旋度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面是矢量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回 路的環(huán)量，在給定點(diǎn)上，這種源的（面）密度等于路的環(huán)量，在給定點(diǎn)上，這種源的（面）密度等于 （或正比于）矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的旋度。（或正比于）矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的旋度。1.6 無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng)無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng)第1章 矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波262、矢量場(chǎng)按源的分類、矢量場(chǎng)按源的分類（1）無(wú)旋場(chǎng)）無(wú)旋場(chǎng)0dClF性質(zhì)性質(zhì)：，線積分與路徑無(wú)關(guān)，是保守場(chǎng)。線積