小學(xué)數(shù)學(xué)圖形計(jì)算例題大匯總

1、-作者xxxx-日期xxxx小學(xué)數(shù)學(xué)圖形計(jì)算例題大匯總【精品文檔】第一講 不規(guī)則圖形面積的計(jì)算（一）我們曾經(jīng)學(xué)過的三角形、長方形、正方形、平行四邊形、梯形、菱形、圓和扇形等圖形，一般稱為基本圖形或規(guī)則圖形.我們的面積及周長都有相應(yīng)的公式直接計(jì)算.如下表：實(shí)際問題中，有些圖形不是以基本圖形的形狀出現(xiàn)，而是由一些基本圖形組合、拼湊成的，它們的面積及周長無法應(yīng)用公式直接計(jì)算.一般我們稱這樣的圖形為不規(guī)則圖形。那么，不規(guī)則圖形的面積及周長怎樣去計(jì)算呢？我們可以針對這些圖形通過實(shí)施割補(bǔ)、剪拼等方法將它們轉(zhuǎn)化為基本圖形的和、差關(guān)系，問題就能解決了。例1 如右圖，甲、乙兩圖形都是正方形，它們的邊長分別是10

2、厘米和12厘米.求陰影部分的面積。解：陰影部分的面積等于甲、乙兩個正方形面積之和減去三個“空白”三角形（ABG、BDE、EFG）的面積之和。又因?yàn)镾甲+S乙=1212+1010=244，所以陰影部分面積=244-（50+132+12）=50（平方厘米）。例2 如右圖，正方形ABCD的邊長為6厘米，ABE、ADF與四邊形AECF的面積彼此相等，求三角形AEF的面積.解：因?yàn)锳BE、ADF與四邊形AECF的面積彼此相等，所以四邊形AECF的面積與ABE、ADF的面積都等于正方形ABCD在ABE中，因?yàn)锳B=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，ECF的面積為222=2。所以SAEF=

3、S四邊形AECF-SECF=12-2=10（平方厘米）。例3 兩塊等腰直角三角形的三角板，直角邊分別是10厘米和6厘米。如右圖那樣重合.求重合部分（陰影部分）的面積。解：在等腰直角三角形ABC中AB=10EF=BF=AB-AF=10-6=4，陰影部分面積=SABG-SBEF=25-8=17（平方厘米）。例4 如右圖，A為CDE的DE邊上中點(diǎn)，BC=CD，若ABD及ACE的面積.ADF、ABF和ABC等底、等高，所以它們的面積相等，都等于5平方厘米.所以ACD的面積等于15平方厘米，ABD的面積等于10平方厘米。又由于ACE與ACD等底、等高，所以ACE的面積是15平方厘米。例5 如下頁右上圖，

4、在正方形ABCD中，三角形ABE的面積是8平方厘解：過E作BC的垂線交AD于F。在矩形ABEF中AE是對角線，所以SABE=SAEF=8.在矩形CDFE中DE是對角線，所以SECD=SEDF。例6 如右圖，已知：SABC=1，解：連結(jié)DF。AE=ED，SAEF=SDEF；SABE=SBED， 例7 如下頁右上圖，正方形ABCD的邊長是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的長DG為5厘米，求它的寬DE等于多少厘米？解：連結(jié)AG，自A作AH垂直于DG于H，在ADG中，AD=4，DC=4（AD上的高）.SAGD=442=8，又DG=5，SAGD=AHDG2，AH=825=3.2（厘米），DE=3.2（

5、厘米）。例8 如右圖，梯形ABCD的面積是45平方米，高6米，AED的面積是5平方米，BC=10米，求陰影部分面積.解：梯形面積=（上底+下底）高2即45=（AD+BC）62，45=（AD+10）62，AD=4526-10=5米。ADE的高是2米。EBC的高等于梯形的高減去ADE的高，即6-2=4米，例9 如右圖，四邊形ABCD和DEFG都是平行四邊形，證明它們的面積相等.證明：連結(jié)CE， ABCD的面積等于CDE面積的2倍，而 DEFG的面積也是CDE面積的2倍。 ABCD的面積與 DEFG的面積相等。習(xí)題一一、填空題（求下列各圖中陰影部分的面積）：二、解答題：1.如右圖，ABCD為長方形，

6、AB=10厘米，BC=6厘米，E、F分別為AB、AD中點(diǎn)，且FG=2GE.求陰影部分面積。2.如右圖，正方形ABCD與正方形DEFG的邊長分別為12厘米和6厘米.求四邊形CMGN（陰影部分）的面積.3.如右圖，正方形ABCD的邊長為5厘米，CEF的面積比ADF的面積大5平方厘米.求CE的長。4.如右圖，已知CF=2DF，DE=EA，三角形BCF的面積為2，四邊形BEDF的面積為4.求三角形ABE的面積.5.如右圖，直角梯形ABCD的上底BC=10厘米，下底AD=14厘米，高CD5厘米.又三角形ABF、三角形BCE和四邊形BEDF的面積相等。求三角形DEF的面積.6.如右圖，四個一樣大的長方形和

7、一個小的正方形拼成一個大正方形，其中大、小正方形的面積分別是64平方米和9平方米.求長方形的長、寬各是多少？7.如右圖，有一三角形紙片沿虛線折疊得到右下圖，它的面積與原三角形面積之比為2：3，已知陰影部分的面積為5平方厘米.求原三角形面積.8.如右圖，ABCD的邊長BC=10，直角三角形BCE的直角邊EC長8，已知陰影部分的面積比EFG的面積大10.求CF的長.習(xí)題一解答一、填空題：二、解答題：3CE=7厘米可求出BE=12所以CE=BE-5=7厘米43提示：加輔助線BDCE=4，DE=CD-CE=5-4=1。同理AF=8，DF=AD-AF=14-8=6，6如右圖，大正方形邊長等于長方形的長與

8、寬的和.中間小正方形的邊長等于長方形的長與寬的差.而大、小正方形的邊長分別是8米和3米，所以長方形的寬為（8-3）2=2.5（米），長方形的長為8-2.5=5.5（米）.715平方厘米解：如右圖，設(shè)折疊后重合部分的面積為x平方厘米，x=5所以原三角形的面積為25+5=15平方厘米陰影部分面積是：10x-40SGEF由題意：SGEF10=陰影部分面積，10x-40=10，x5（厘米）.第五講 同余的概念和性質(zhì)你會解答下面的問題嗎？問題1：今天是星期日，再過15天就是“六一”兒童節(jié)了，問“六一”兒童節(jié)是星期幾？這個問題并不難答.因?yàn)?，一個星期有7天，而157=21，即1572+1，所以“六一”兒童

9、節(jié)是星期一。問題2：1993年的元旦是星期五，1994年的元旦是星期幾？這個問題也難不倒我們.因?yàn)椋?993年有365天，而365=752+1，所以1994年的元旦應(yīng)該是星期六?！巴唷钡母拍?如問題1、2中的15與365除以7后，余數(shù)都是1，那么我們就說15與365對于模7同余。同余定義：若兩個整數(shù)a、b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a、b對于模m同余，用式子表示為：ab（modm）. （*）上式可讀作：a同余于b，模m。同余式（*）意味著（我們假設(shè)ab）：a-b=mk，k是整數(shù)，即m（a-b）.例如：15365（mod7），因?yàn)?65-15=350=750。5620（mod9），因?yàn)?6

10、-20=3694。900（mod10），因?yàn)?0-090=109。由例我們得到啟發(fā)，a可被m整除，可用同余式表示為：a0（modm）。例如，表示a是一個偶數(shù)，可以寫a0（mod 2）表示b是一個奇數(shù)，可以寫b1（mod 2）補(bǔ)充定義：若m（a-b），就說a、b對模m不同余，用式子表示是：ab（modm）我們書寫同余式的方式，使我們想起等式，而事實(shí)上，同余式與等式在其性質(zhì)上相似.同余式有如下一些性質(zhì)（其中a、b、c、d是整數(shù)，而m是自然數(shù)）。性質(zhì)1：aa（mod m），（反身性）這個性質(zhì)很顯然.因?yàn)閍-a=0=m0。性質(zhì)2：若ab（mod m），那么ba（mod m），（對稱性）。性質(zhì)3：若ab

11、（mod m），bc（mod m），那么ac（mod m），（傳遞性）。性質(zhì)4：若ab（mod m），cd（mod m），那么acbd（mod m），（可加減性）。性質(zhì)5：若ab（mod m），cd（mod m），那么acbd（mod m）（可乘性）。性質(zhì)6：若ab（mod m），那么anbn（mod m），（其中n為自然數(shù)）。性質(zhì)7：若acbc（mod m），（c，m）=1，那么ab（mod m），（記號（c，m）表示c與m的最大公約數(shù)）。注意同余式性質(zhì)7的條件（c，m）1，否則像普通等式一樣，兩邊約去，就是錯的。例如610（mod 4），而35（mod 4），因?yàn)椋?，4）1。請你自己舉些

12、例子驗(yàn)證上面的性質(zhì)。同余是研究自然數(shù)的性質(zhì)的基本概念，是可除性的符號語言。例1 判定288和214對于模37是否同余，74與20呢？解：288-214=74=372。288214（mod37）。74-20=54，而3754，7420（mod37）。例2 求乘積4188141616除以13所得的余數(shù)。分析 “大數(shù)化小”，減少計(jì)算量。解：4182（mod13），8148（mod13），16164（mod13）， 根據(jù)同余的性質(zhì)5可得：41881416162846412（mod13）。答：乘積4188141616除以13余數(shù)是12。例3 求14389除以7的余數(shù)。分析 同余的性質(zhì)能使“大數(shù)化小”，凡

13、求大數(shù)的余數(shù)問題首先考慮用同余的性質(zhì)化大為小.這道題先把底數(shù)在同余意義下變小，然后從低次冪入手，重復(fù)平方，找找有什么規(guī)律。解法1：1433（mod7）14389389（mod 7）8964+16+8+1而322（mod 7），344（mod7），38162（mod 7），3164（mod 7），332162（mod 7），3644（mod 7）。38936431638344235（mod 7），143895（mod 7）。答：14389除以7的余數(shù)是5。解法2：證得14389389（mod 7）后，363234241（mod 7），384（36）141（mod 7）。3893843431435

14、（mod 7）。143895（mod 7）。例4 四盞燈如圖所示組成舞臺彩燈，且每30秒鐘燈的顏色改變一次，第一次上下兩燈互換顏色，第二次左右兩燈互換顏色，第三次又上下兩燈互換顏色，這樣一直進(jìn)行下去.請問開燈1小時四盞燈的顏色如何排列？分析 與解答經(jīng)觀察試驗(yàn)我們可以發(fā)現(xiàn)，每經(jīng)過4次互換，四盞燈的顏色排列重復(fù)一次，而1小時=60分鐘=12030秒，所以這道題實(shí)質(zhì)是求120除以4的余數(shù)，因?yàn)?200（mod 4），所以開燈1小時四盞燈的顏色排列剛好同一開始一樣。十位，上的數(shù)碼，再設(shè)M=a0a1an，求證：NM（mod 9）。分析 首先把整數(shù)N改寫成關(guān)于10的冪的形式，然后利用101（mod 9）。

15、又 11（mod 9），101（mod 9），1021（mod 9），10n1（mod 9），上面這些同余式兩邊分別同乘以a0、a1、a2、an，再相加得：a0a110+a2102+an10na0a1a2an（mod 9），即 NM（mod 9）.這道例題證明了十進(jìn)制數(shù)的一個特有的性質(zhì)：任何一個整數(shù)模9同余于它的各數(shù)位上數(shù)字之和。以后我們求一個整數(shù)被9除的余數(shù)，只要先計(jì)算這個整數(shù)各數(shù)位上數(shù)字之和，再求這個和被9除的余數(shù)即可。例如，求1827496被9除的余數(shù)，只要先求（1+827496），再求和被9除的余數(shù)。再觀察一下上面求和式.我們可以發(fā)現(xiàn)，和不一定要求出.因?yàn)楹褪街?8，2+7，9被9除都

16、余0，求余數(shù)時可不予考慮.這樣只需求46被9除的余數(shù).因此，1827496被9除余數(shù)是1。有人時常利用十進(jìn)制數(shù)的這個特性檢驗(yàn)幾個數(shù)相加、相減、相乘的結(jié)果對不對，這種檢查方法叫：棄九法。棄九法最經(jīng)常地是用于乘法.我們來看一個例子。用棄九法檢驗(yàn)乘式5483911749888511是否正確？因?yàn)?54835483112（mod 9），911791170（mod 9），所以 54839117200（mod 9）。但是 498885114+98+8+85+1+18（mod9），所以 5483911749888511，即乘積不正確。要注意的是棄九法只能知道原題錯誤或有可能正確，但不能保證一定正確。例如，9

17、87598+7+52（mod 9），487348734（mod 9），324756893+2+4+75+6+8+98（mod 9），這時，987548732432475689（mod 9）。但觀察個位數(shù)字立刻可以判定9875487332475689.因?yàn)槟┪粩?shù)字5和3相乘不可能等于9。棄九法也可以用來檢驗(yàn)除法和乘方的結(jié)果。例6 用棄九法檢驗(yàn)下面的計(jì)算是否正確：2337245873123544。解：把除式轉(zhuǎn)化為：3544731223372458。 354435447（mod 9），731273124（mod 9）， 35447312741（mod 9），但 2337245823387（mod 9

18、）。而 17（mod 9） 3544731223372458，即 2337245873123544。例7 求自然數(shù)210031014102的個位數(shù)字。分析 求自然數(shù)的個位數(shù)字即是求這個自然數(shù)除以10的余數(shù)問題。解：210024256256（mod 10），3101342531125313（mod 10），4102（22）10042666（mod 10）， 2100310141026365（mod 10），即自然數(shù)210031014102的個位數(shù)字是5.習(xí)題五1.驗(yàn)證對于任意整數(shù)a、b，式子ab（mod1）成立，并說出它的含義。2.已知自然數(shù)a、b、c，其中c3，a除以c余1，b除以c余2，則a

19、b除以c余多少？六月一日是星期二，這一年的十月一日是星期幾？555555553333被7除的余數(shù)。5.所有自然數(shù)如下圖排列.問300位于哪個字母下面？6.數(shù)，被13除余多少？（提示：先試除，可知13|111111，而19931（mod 6）。7.用棄九法檢驗(yàn)下面運(yùn)算是否正確：845372=315340；1234567891=838114385；11441926132899739459。100的個位數(shù)字.習(xí)題五解答1.例：1|a-b，23（mod 1），715（mod 1），式子ab（mod 1）的含義是：任意整數(shù)a、b對模1同余.整數(shù)是模1的同余類。2.解：a1（mod c），b2（mod c

20、），ab2（mod c）即ab除以c余2。十月一日是星期五。4.解： 33331（mod 7）， 333355551（mod 7）。又 55554（mod 7）， 5555333343333（mod 7）。而 431（mod 7）， 43333（43)11111（mod 7）， 33335555+555533331+12（mod 7），即 3333555555553333被7除余2。5.解： 3006（mod 7）。 300與6在同一列，在D下面。6.答：余1。7.不正確；不正確；不正確。8.1.第四講 最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)本講重點(diǎn)解決與最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)有關(guān)的另一類問題有關(guān)兩個自然數(shù).

21、它們的最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)之間的相互關(guān)系的問題。定理1 兩個自然數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，所得的商互質(zhì).即如果（a，b）=d，那么（ad，bd）1。證明：設(shè)ad=a1，bd=b1，那么aa1d，b=b1d。假設(shè)（a1，b1）1，可設(shè)（a1，b1）m（m1），于是有a1=a2m，b1b2m.（a2，b2是整數(shù)）所以a=a1da2md，bb1db2md。那么md是a、b的公約數(shù)。又m1，mdd。這就與d是a、b的最大公約數(shù)相矛盾.因此，（a1，b1）1的假設(shè)是不正確的.所以只能是（a1，b1）=1，也就是（ad，bd）1。定理2 兩個數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積.（證明略

22、）定理3 兩個數(shù)的公約數(shù)一定是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù).（證明略）下面我們就應(yīng)用這些知識來解決一些具體的問題。例1 甲數(shù)是36，甲、乙兩數(shù)的最大公約數(shù)是4，最小公倍數(shù)是288，求乙數(shù).解法1：由甲數(shù)乙數(shù)=甲、乙兩數(shù)的最大公約數(shù)兩數(shù)的最小公倍數(shù)，可得36乙數(shù)=4288，乙數(shù)=428836，解出 乙數(shù)=32。答：乙數(shù)是32。解法2：因?yàn)榧住⒁覂蓴?shù)的最大公約數(shù)為4，則甲數(shù)=49，設(shè)乙數(shù)=4b1，且（b1，9）=1。因?yàn)榧?、乙兩?shù)的最小公倍數(shù)是288，則 28849b1， b128836，解出 b18。所以，乙數(shù)=48=32。答：乙數(shù)是32。例2 已知兩數(shù)的最大公約數(shù)是21，最小公倍數(shù)是126，求這

23、兩個數(shù)的和是多少？解：要求這兩個數(shù)的和，我們可先求出這兩個數(shù)各是多少.設(shè)這兩個數(shù)為a、b，ab。因?yàn)檫@兩個數(shù)的最大公約數(shù)是21，故設(shè)a=21a1，b21b1，且（a1，b1）1。因?yàn)檫@兩個數(shù)的最小公倍數(shù)是126，所以 126=21a1b1，于是 a1b1=6，因此，這兩個數(shù)的和為21126=147，或4263=105。答：這兩個數(shù)的和為147或105。例3 已知兩個自然數(shù)的和是50，它們的最大公約數(shù)是5，求這兩個自然數(shù)。解：設(shè)這兩個自然數(shù)分別為a與b，ab.因?yàn)檫@兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)是5，故設(shè)a=5a1，b=5b1，且（a1，b1）=1，a1b1。因?yàn)?ab=50， 所以有5a1+5b1=5

24、0，a1+b1=10。滿足（a1，b1）=1，a1b1的解有：答：這兩個數(shù)為5與45或15與35。例4 已知兩個自然數(shù)的積為240，最小公倍數(shù)為60，求這兩個數(shù)。解：設(shè)這兩個數(shù)為a與b，ab，且設(shè)（a，b）d，ada1，bdb1，其中（a1，b1）1。因?yàn)閮蓚€自然數(shù)的積=兩數(shù)的最大公約數(shù)兩數(shù)的最小公倍數(shù)，所以 240=d60，解出 d4，所以 a=4a1，b=4b1.因?yàn)閍與b的最小公倍數(shù)為60，所以 4a1b160，于是有 a1b115。答：這兩個數(shù)為4與60或12與20。例5 已知兩個自然數(shù)的和為54，它們的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差為114，求這兩個自然數(shù)。解：設(shè)這兩個自然數(shù)分別為a與b

25、，ab，（a，b）d，ada1，bdb1，其中（a1，b1）1。因?yàn)閍+b54，所以da1+db1=54。于是有d（a1b1）54，因此，d是54的約數(shù)。又因?yàn)檫@兩個數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差為114，所以da1b1-d=114，于是有d（a1b1-1）=114，因此，d是114的約數(shù)。故d為54與114的公約數(shù)。由于（54，114）6，6的約數(shù)有：1、2、3、6，根據(jù)定理3，d可能取1、2、3、6這四個值。如果d1，由d（a1+b1）54，有a1b1=54；又由d（a1b1-1）114，有a1b1=115。115=1115=523，但是1115=11654，523=2854，所以d1.如

26、果d2，由d（a1b1）54，有a1+b1=27；又由d（a1b1-1）=114，有a1b1=58。58158229，但是1585927，2+293127，所以d2。如果d=3，由d（a1b1）=54，有a1+b118；又由d（a1b1-1）=114，有a1b1=39。39139313，但是1394018，3131618，所以d3。如果d=6，由d（a1b1）=54，有a1b1=9；又由d（a1b1-1）=114，有a1b1=20。20表示成兩個互質(zhì)數(shù)的乘積有兩種形式：20=12045，雖然120=219，但是有459，所以取d6是合適的，并有a1=4，b15。a6424，b6530。答：這兩

27、個數(shù)為24和30。例6 已知兩個自然數(shù)的差為4，它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的積為252，求這兩個自然數(shù)。解：設(shè)這兩個自然數(shù)分別為a與b，且ab，ada1，b=db1，（a1，b1）1。因?yàn)閍-b=4，所以da1-db1=4，于是有d（a1-b1）=4，因此d為4的約數(shù)。因?yàn)檫@兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的積為252，所以dda1b1252，于是有d2a1b1=（23）27，因此d為23的約數(shù)。故d為4與23的公約數(shù)。由于（4，23）2，2的約數(shù)有1和2兩個，所以d可能取1、2這兩個值。如果d=1，由d（a1-b1）=4，有a1-b1=4；又由d2a1b1=252，有a1b1=252。2

28、52表示成兩個互質(zhì)數(shù)的乘積有4種形式：252=1252=463=736928，但是252-12514，63-4594，36-7=294，28-9194，所以d1。如果d=2，由d（a1-b1）=4，有a1-b1=2；又由d2a1b1252，有a1b1=63。63表示為兩個互質(zhì)數(shù)的乘積有兩種形式：63163=79，但63-1622，而9-72，且（9，7）=1，所以d=2，并且a19，b17。因此a=2918，b2714。答：這兩個數(shù)為18和14。在例2例5的解答中之所以可以在假設(shè)中排除a=b這種情形（在各例中都只假設(shè)了ab），分別是由于：例2和例5，若ab，則（a，b）a，ba，與條件（a，b

29、）a，b矛盾；例3，若a=b，則ab=（a，b）=5，因此ab1050，與條件矛盾；例4，ab=240不是平方數(shù)。從例題的解答中可以看出，在處理涉及兩數(shù)的最大公約數(shù)或者最小公倍數(shù)的很多問題中，經(jīng)常用到的基本關(guān)系是：若兩數(shù)為a、b，那么a=a1d，bb1d，其中d=（a，b），（a1，b1）1，因此a，bda1b1，有時為了確定起見，可設(shè)ab.對于很多情形，可以排除a=b的情形（如上述所示），而只假設(shè)ab.習(xí)題四1.已知某數(shù)與24的最大公約數(shù)為4，最小公倍數(shù)為168，求此數(shù)。2.已知兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)為4，最小公倍數(shù)為120，求這兩個數(shù)。3.已知兩個自然數(shù)的和為165，它們的最大公約數(shù)為15

30、，求這兩個數(shù)。4.已知兩個自然數(shù)的差為48，它們的最小公倍數(shù)為60，求這兩個數(shù)。5.已知兩個自然數(shù)的差為30，它們的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差為450，求這兩個自然數(shù)。6.已知兩個自然數(shù)的平方和為900，它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積為432，求這兩個自然數(shù).習(xí)題四解答1.此數(shù)為28。2.這兩個數(shù)為4與120，或8與60，或12與40，或20與24。3.所求的兩個數(shù)為15與150，或30與135，或45與120，或60與105，或75與90。4.所求的兩個數(shù)為60與12。5.所求的兩個數(shù)為41與11，或65與35。6.解：設(shè)所求的兩個自然數(shù)為a、b，且ab，a=da1，b=db1，（a1，

31、b1）1，a1b1。由所給的條件得到兩式相除得由于 （12，25）1， 因此 a1=3，b14。得 d6。所以a=18，b=24。經(jīng)檢驗(yàn)，18、24為所求。答：這兩個自然數(shù)為18與24.第八講 時鐘問題時鐘問題是研究鐘面上時針和分針關(guān)系的問題.鐘面的一周分為60格.也存在著不少的學(xué)問.這里列出一個基本公式：在初始時刻需追趕的格數(shù)格數(shù)。例1 現(xiàn)在是3點(diǎn)，什么時候時針與分針第一次重合？分析 3點(diǎn)時分針指12，時針指3.分針在時針后5315（個）格.例2 在10點(diǎn)與11點(diǎn)之間，鐘面上時針和分針在什么時刻垂直？分析 分兩種情況進(jìn)行討論。在順時針方向上分針與時針成270角：在順時針方向上當(dāng)分針與時針成2

32、70時，分針落后時針60（270360）=45（個）格，而在10點(diǎn)整時分針落后時針510=50（個）格.因此，在這段時間內(nèi)，分針要比時針多走50-45=5（個）格，而每分鐘分針在順時針方向上分針與時針成90角：在順時針方向上當(dāng)分針與時針成90角時，分針落后時針60（90360）=15（個）格，而在10點(diǎn)整時分針落后時針510=50（個）格，因此在這段時間內(nèi)，分針要比時針多走50-15=35（個）格，所以到達(dá)這一時解：在順時針方向上當(dāng)分針與時針成270角時：在順時針方向上當(dāng)分針與時針成90角時：例3 在9點(diǎn)與10點(diǎn)之間的什么時刻，分針與時針在一條直線上？分析 分兩種情況進(jìn)行討論。分針與時針的夾角

33、為180角：當(dāng)分針與時針的夾角為180角時，分針落后時針60（180360）=30（個）格，而在9點(diǎn)整時，分針落后時針59=45（個）格.因此，在這段時間內(nèi)分針要比時針多走45-30=15（個）格，而每分鐘分針比時針多走（分鐘）。分針與時針的夾角為0，即分針與時針重合：9點(diǎn)整時，分針落后時針59=45（個）格，而當(dāng)分針與時針重合時，分針要比時針多走45個格，因此到達(dá)這一時刻所用的時間為：45(1-解：當(dāng)分針與時針的夾角為180角時：當(dāng)分針與時針的夾角為0即分針與時針重合時：例4 小明在7點(diǎn)與8點(diǎn)之間解了一道題，開始時分針與時針正好成一條直線，解完題時兩針正好重合，小明解題的起始時間？小明解題共

34、用了多少時間？分析 要求小明解題共用了多少時間，必須先求出小明解題開始時是什么時刻，解完題時是什么時刻。小明開始解題時的時刻：因?yàn)樾∶鏖_始解題時，分針與時針正好成一條直線，也就是分針與時針的夾角為180，此時分針落后時針60（180360）=30（個）格，而7點(diǎn)整時分針落后時針5735（個）格，因此在這段時間內(nèi)分針要比時小明解題結(jié)束時的時刻：因?yàn)樾∶鹘忸}結(jié)束時，兩針正好重合，那么從7點(diǎn)整到這一時刻分針要這樣小明解題所用的時間就可以求出來了。解：先求小明開始解題的時刻：再求小明結(jié)束解題的時刻：最后求小明解題所用的時間：例5 一只鐘的時針與分針均指在4與6之間，且鐘面上的“5”字恰好在時針與分針的

35、正中央，問這時是什么時刻？分析 由于現(xiàn)在可以是4點(diǎn)多，也可以是5點(diǎn)多，所以分兩種情況進(jìn)行討論：先設(shè)此時是4點(diǎn)多：“5在時針與分針的正中央”再設(shè)此時是5點(diǎn)多：“5在時針與分針的正中央”，分針走的格數(shù)多于20格少于25格，時針走的格數(shù)不足5格，由于5到分針的格數(shù)等于5到時針的格數(shù)，所以時針與分針在這段時間內(nèi)共走25格.因此，從5點(diǎn)整到上頁圖（b）鐘面上解：如果此時是4點(diǎn)多，則從4點(diǎn)整到上頁圖（a）鐘面上這種狀態(tài)如果此時是5點(diǎn)多，則從5點(diǎn)整到上頁圖（b）鐘面上這種狀態(tài)共用：例6 一只舊鐘的分鐘和時針每65分鐘（標(biāo)準(zhǔn)時間的65分鐘）重合一次.問這只舊鐘一天（標(biāo)準(zhǔn)時間24小時）慢或快幾分鐘？分鐘重合一次

36、，顯然舊鐘快.本題的難點(diǎn)在于從舊鐘兩針的重合所耗用的65標(biāo)準(zhǔn)分鐘推算出舊鐘時針或分針的旋轉(zhuǎn)速度（每標(biāo)準(zhǔn)分鐘旋轉(zhuǎn)多少格），進(jìn)而推算出舊鐘的針24標(biāo)準(zhǔn)小時旋轉(zhuǎn)多少格，它與標(biāo)準(zhǔn)鐘的針用24標(biāo)準(zhǔn)小時所走的格數(shù)的差就是舊鐘鐘面上顯示的比標(biāo)準(zhǔn)鐘快的時間讀數(shù)。 單位表示：舊鐘分針?biāo)俣葹閤（格/標(biāo)準(zhǔn)分）.舊鐘分針走60格時針走5格，耗用65標(biāo)準(zhǔn)分鐘，而且兩次重合之間分針趕超了時針標(biāo)準(zhǔn)時間一天有6024=1440標(biāo)準(zhǔn)分，一天內(nèi)舊鐘分針走的格數(shù)為：標(biāo)準(zhǔn)分鐘數(shù).并非標(biāo)準(zhǔn)的分鐘數(shù)。解：設(shè)這只舊鐘的分針用標(biāo)準(zhǔn)時間1分鐘走x格，則舊鐘的時針?biāo)俣葹楦鶕?jù)舊鐘的時針與分針每重合一次耗用65標(biāo)準(zhǔn)分鐘，列方程得：60標(biāo)準(zhǔn)時間一天有6024標(biāo)準(zhǔn)分，標(biāo)準(zhǔn)時間一天內(nèi)舊鐘分針走的格數(shù)為：這只舊鐘的分針標(biāo)準(zhǔn)時間一天所走的格數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)鐘分針一天走的格數(shù)差為： 習(xí)題八1.在6點(diǎn)和7點(diǎn)之間，兩針什么時刻重合？2.現(xiàn)在是2點(diǎn)15分，再過幾分鐘，時針和分針第一次重合？3.2點(diǎn)鐘以后，什么時刻分針與時針第一次成直角？4.在7點(diǎn)與8點(diǎn)之間（包含7點(diǎn)與8點(diǎn)）的什么時刻，兩針之間的夾角為120？5.在10點(diǎn)與11點(diǎn)之間，兩針在什么時刻成一條直線？6.一舊鐘鐘面上的兩針每66分鐘重合一次，這只舊鐘在標(biāo)準(zhǔn)時間的一天中快或慢幾分鐘？7.李叔叔下午要