《極大線性無(wú)關(guān)組》ppt課件

1、第第3.43.4節(jié)節(jié) 向量組的極大向量組的極大 線性無(wú)關(guān)組線性無(wú)關(guān)組主要內(nèi)容主要內(nèi)容:一等價(jià)向量組一等價(jià)向量組二向量組的極大線性無(wú)關(guān)組二向量組的極大線性無(wú)關(guān)組三三 向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系一、等價(jià)向量組一、等價(jià)向量組定義定義1：假設(shè)向量組：假設(shè)向量組 中的每一個(gè)向量中的每一個(gè)向量 12:,mA (1,2, )iit 都可以由向量組都可以由向量組12:,sB 線性表示，那么就稱向量組線性表示，那么就稱向量組A可以由向量組可以由向量組B線性表示。線性表示。假設(shè)同時(shí)向量組假設(shè)同時(shí)向量組B 也可以由向量組也可以由向量組A線性表示，就稱線性表示，就稱向量組向量組A與向量組與向量組

2、B等價(jià)。等價(jià)。 1, 2 , 12211mikkksisiii 2, 2 , 12211silllmimiii 即即自反性：一個(gè)向量組與其本身等價(jià)；自反性：一個(gè)向量組與其本身等價(jià)；對(duì)稱性：假設(shè)向量組對(duì)稱性：假設(shè)向量組 與與 等價(jià)，那么等價(jià)，那么 和和 等價(jià)；等價(jià)；AB.等等價(jià)價(jià)與與等等價(jià)價(jià)，則則與與等等價(jià)價(jià)，與與CACBBA傳送性：傳送性：AB 等價(jià)向量組的根本性質(zhì)定理：定理： 設(shè)設(shè)12,s 與與 是兩個(gè)向量組，假設(shè)是兩個(gè)向量組，假設(shè)12,t (2)st 那么向量組那么向量組 必線性相關(guān)。必線性相關(guān)。12,s 推論推論1： 假設(shè)向量組假設(shè)向量組 可以由向量組可以由向量組12,t 線性表示，并且

3、線性表示，并且12,s st 12,s 線性無(wú)關(guān)，那么線性無(wú)關(guān)，那么推論推論2：兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的等價(jià)的向量組，必包含一樣個(gè)數(shù)的向量。：兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的等價(jià)的向量組，必包含一樣個(gè)數(shù)的向量。12,s (1) 向量組向量組12,t 線性表示；線性表示；可以由向量組可以由向量組二、向量組的極大線性無(wú)關(guān)組二、向量組的極大線性無(wú)關(guān)組定義定義2:注注:1只含零向量的向量組沒(méi)有極大無(wú)關(guān)組只含零向量的向量組沒(méi)有極大無(wú)關(guān)組.簡(jiǎn)稱極大無(wú)關(guān)組。簡(jiǎn)稱極大無(wú)關(guān)組。對(duì)向量組對(duì)向量組A，假設(shè)在，假設(shè)在A中有中有r個(gè)向量個(gè)向量12,r 滿足：滿足：2恣意恣意r1個(gè)向量都線性相關(guān)。假設(shè)有的話個(gè)向量都線性相關(guān)。假設(shè)有的話012:,rA

4、 線性無(wú)關(guān)。線性無(wú)關(guān)。1那么稱部分組那么稱部分組 為向量組為向量組 的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。0AA2一個(gè)線性無(wú)關(guān)向量組的極大無(wú)關(guān)組就是其本身一個(gè)線性無(wú)關(guān)向量組的極大無(wú)關(guān)組就是其本身.3一個(gè)向量組的任一向量都能由它的極大無(wú)關(guān)組線性一個(gè)向量組的任一向量都能由它的極大無(wú)關(guān)組線性 表示表示.例如：在向量組例如：在向量組 中，中， 123242121,354141 12, 首先首先線性無(wú)關(guān)，線性無(wú)關(guān)， 又又123, 線性相關(guān)，線性相關(guān)，所以所以12, 組成的部分組是極大無(wú)關(guān)組。組成的部分組是極大無(wú)關(guān)組。還可以驗(yàn)證還可以驗(yàn)證23, 也是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。也是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。注：一個(gè)向量組

5、的極大無(wú)關(guān)組普通不是獨(dú)一的。注：一個(gè)向量組的極大無(wú)關(guān)組普通不是獨(dú)一的。)3(213 極大無(wú)關(guān)組的一個(gè)根本性質(zhì)：極大無(wú)關(guān)組的一個(gè)根本性質(zhì)：恣意一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組都與向量組本身等價(jià)。恣意一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組都與向量組本身等價(jià)。又，向量組的極大無(wú)關(guān)組不獨(dú)一，而每一個(gè)極大無(wú)關(guān)組都又，向量組的極大無(wú)關(guān)組不獨(dú)一，而每一個(gè)極大無(wú)關(guān)組都與向量組等價(jià)，所以：與向量組等價(jià)，所以：向量組的恣意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組都是等價(jià)的。向量組的恣意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組都是等價(jià)的。由等價(jià)的線性無(wú)關(guān)的向量組必包含一樣個(gè)數(shù)的向量，可得由等價(jià)的線性無(wú)關(guān)的向量組必包含一樣個(gè)數(shù)的向量，可得一個(gè)向量組的恣意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià)，一個(gè)向量組的恣意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)

6、組等價(jià)，且所含向量的個(gè)數(shù)一樣。且所含向量的個(gè)數(shù)一樣。定理：定理：三、向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系三、向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系定義定義3：向量組的極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)：向量組的極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù) 稱為這個(gè)向量組的秩稱為這個(gè)向量組的秩, 記作記作例如：例如： 向量組向量組 的的123242121,354141 秩為秩為2。12(,)sr 向量組的秩向量組的秩4等價(jià)的向量組必有一樣的秩。等價(jià)的向量組必有一樣的秩。關(guān)于向量組的秩的結(jié)論：關(guān)于向量組的秩的結(jié)論：1零向量組的秩為零向量組的秩為0。2向量組向量組12,s 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)12(,)srs 向量組向量組12,s 線性相關(guān)線性相關(guān)12(,)

7、srs 3假設(shè)向量組假設(shè)向量組可以由向量組可以由向量組12,t 線性表示，那么線性表示，那么12,s 1212(,)(,)strr 注：兩個(gè)有一樣的秩的向量組不一定等價(jià)。注：兩個(gè)有一樣的秩的向量組不一定等價(jià)。 兩個(gè)向量組有一樣的秩，并且其中一個(gè)可以被另一個(gè)兩個(gè)向量組有一樣的秩，并且其中一個(gè)可以被另一個(gè) 線性表示，那么這兩個(gè)向量組等價(jià)。線性表示，那么這兩個(gè)向量組等價(jià)。2. 矩陣的秩矩陣的秩2.1. 行秩、列秩、矩陣的秩行秩、列秩、矩陣的秩把矩陣的每一行看成一個(gè)向量，那么矩陣可被以為由這些行向量組成，把矩陣的每一行看成一個(gè)向量，那么矩陣可被以為由這些行向量組成，把矩陣的每一列看成一個(gè)向量，那么矩陣

8、可被以為由這些列向量組成。把矩陣的每一列看成一個(gè)向量，那么矩陣可被以為由這些列向量組成。定義定義4：矩陣的行向量的秩，就稱為矩陣的行秩：矩陣的行向量的秩，就稱為矩陣的行秩; 矩陣的列向量的秩，就稱為矩陣的列秩。矩陣的列向量的秩，就稱為矩陣的列秩。例如：矩陣?yán)纾壕仃?131021400050000A 的行向量組是的行向量組是1234(1 ,1 , 3 ,1 )( 0 , 2 ,1 , 4 )( 0 , 0 , 0 , 5 )( 0 , 0 , 0 , 0 ) 可以證明，可以證明，123, 是是A的行向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，的行向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，由于，由由于，由1122330kkk即即12

9、311212123 (1,1,3,1)(0,2, 1,4)(0,0,0,5)(,2,3,45)(0,0,0,0)kkkk kkkk kkk 可知可知1230,kkk即即123, 線性無(wú)關(guān)；線性無(wú)關(guān)；而而4 為零向量，包含零向量的向量組線性相關(guān)，為零向量，包含零向量的向量組線性相關(guān)，1234, 線性相關(guān)。線性相關(guān)。所以向量組所以向量組1234, 的秩為的秩為3，所以矩陣所以矩陣A的行秩為的行秩為3。矩陣矩陣A的列向量組是的列向量組是123411310214,00050000 可以驗(yàn)證可以驗(yàn)證124, 線性無(wú)關(guān)，線性無(wú)關(guān)，而而312471022 所以向量組所以向量組1234, 的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組是的

10、一個(gè)極大無(wú)關(guān)組是124, 所以向量組所以向量組1234, 的秩是的秩是3，所以矩陣所以矩陣A的列秩是的列秩是3。定理：矩陣的行秩矩陣的列秩定理：矩陣的行秩矩陣的列秩定義定義5：矩陣的行秩矩陣的列秩，統(tǒng)稱為矩陣的秩。：矩陣的行秩矩陣的列秩，統(tǒng)稱為矩陣的秩。記為記為r(A),或或rankA，或秩，或秩A。推論：矩陣的初等變換不改動(dòng)矩陣的秩。推論：矩陣的初等變換不改動(dòng)矩陣的秩。解：看行秩解：看行秩 11112131415,aaaaa 2222324250,aaaa 33334350,0,aaa 450,0,0,0,0 例例1 1：求上三角矩陣的秩：求上三角矩陣的秩 11121314152223242

11、5333435001,2,3000000000000iiaaaaaaaaaAaiaaa 2.2 矩陣秩的求法矩陣秩的求法.看看123, 的線性相關(guān)性：的線性相關(guān)性： 1111213,aaa 令令 222230,aa 3330,0,a 1212330, 線性無(wú)關(guān)，線性無(wú)關(guān)，維數(shù)添加后得到的維數(shù)添加后得到的依然線性無(wú)關(guān)，依然線性無(wú)關(guān)，123, 1234, 而而1235, 與與都線性相關(guān)，都線性相關(guān)，所以矩陣的秩行向量組的秩所以矩陣的秩行向量組的秩3非零行的行數(shù)非零行的行數(shù)結(jié)論：行階梯形矩陣的秩非零行的行數(shù)結(jié)論：行階梯形矩陣的秩非零行的行數(shù)求矩陣秩的方法：求矩陣秩的方法： 把矩陣用初等行變換變成行階

12、梯形矩陣，那么行階梯把矩陣用初等行變換變成行階梯形矩陣，那么行階梯形形 矩陣中非零行的行數(shù)就是原來(lái)矩陣的秩。矩陣中非零行的行數(shù)就是原來(lái)矩陣的秩。例例2:2:32050323612015316414A 求求A的秩。的秩。 41461351021632305023 A 05023351021632341461 41461351021632305023 A 05023351021134041461 1281216011791201134041461 41461351021632305023 A 84000840001134041461 00000840001134041461 由階梯形矩陣有三個(gè)非零

13、行可知由階梯形矩陣有三個(gè)非零行可知. 3)( AR求向量組的秩、極大無(wú)關(guān)組的步驟求向量組的秩、極大無(wú)關(guān)組的步驟. .1向量組向量組12,s 作列向量構(gòu)成矩陣作列向量構(gòu)成矩陣A。2AB 初等行變換初等行變換行最簡(jiǎn)形矩陣行最簡(jiǎn)形矩陣r(A)=B的非零行的行數(shù)的非零行的行數(shù)3求出求出B的列向量組的極大無(wú)關(guān)組的列向量組的極大無(wú)關(guān)組4A中與中與B的列向量組的極大無(wú)關(guān)組相對(duì)應(yīng)部分的列向量組的列向量組的極大無(wú)關(guān)組相對(duì)應(yīng)部分的列向量組 即為即為A的極大無(wú)關(guān)組。的極大無(wú)關(guān)組。例例3：向量組：向量組12345( 7, 2,1, 11) ,(1, 1,5,8)(3,1, 1,4) ,(5,3, 7,0) ,( 4,

14、 2,1, 11)TTTTT 求向量組的秩和求向量組的秩和一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。解：解：7135421132151711184011A 1517121132713541184011 1517109111003644430637770 151710911100000300000B ( )3r A又由于又由于B的的1，2，5列是列是B的列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組的列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組所以，所以，125, 是是12345, 的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。思索：能否還有其他的極大無(wú)關(guān)組？思索：能否還有其他的極大無(wú)關(guān)組？135, 145, 與與例例4：求向量組：求向量組1234(2,4,2),(1,1,0),(2,3,1