2019_2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.3數(shù)學(xué)歸納法課件新人教A版選修2_2

1、第一章推理與證明2.3數(shù)學(xué)歸納法預(yù)習(xí)案自主學(xué)習(xí)研讀二思考丄嘗試II學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題2 .能用數(shù)學(xué)歸納法證明新Ml提爆7數(shù)學(xué)歸納法般地，證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行: 題成立；(1)(歸納奠基)證明當(dāng)取第一個(gè)值 “0 SoGN*) 時(shí)命(2)(歸納遞推)假設(shè)n=k (EM, 2N )時(shí)命題成立, 證明當(dāng)時(shí)命題也成立.只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從加開(kāi)始的所有正整 數(shù)n都成立.上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法381數(shù)學(xué)歸納法是一種直接證明的方法，一般地，與正整數(shù)有關(guān)的恒等式、不等式、數(shù)的整除、數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和等問(wèn)題都 可以用數(shù)學(xué)歸納法證明但

2、并不是所有與正整數(shù)有關(guān)的問(wèn)題都能 用數(shù)學(xué)歸納法解決.2.第一個(gè)值如是命題成立的第一個(gè)正整數(shù)，并不是所有的第一個(gè)值創(chuàng)都是1.3步驟（2）是數(shù)學(xué)歸納法證明命題的關(guān)鍵.歸納假設(shè)“當(dāng)n=kCknOf時(shí)命題成立”起著已知的作用，證明“當(dāng)n=E+1時(shí)命題也成立”的過(guò)程中，必須用到歸納假設(shè)，再根據(jù) 有關(guān)的定理、定義、公式、性質(zhì)等推證出當(dāng)n=k+l時(shí)命題也 成立.而不能直接將=吃+1代入歸納假設(shè)，此時(shí)n=k-1時(shí)命 題成立也是假設(shè)，命題并沒(méi)有得證.自截嘗試r判斷正誤(正確的打“V”，錯(cuò)誤的打“X”)(1) 與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明只能用數(shù)學(xué)歸納法. ( )(2) 數(shù)學(xué)歸納法的第一步o的初始值一定為1.(

3、)(3) 數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可.() 答案：X (2) X 7用數(shù)學(xué)歸納法證明“凸邊形的內(nèi)角和等于(w-2)兀”時(shí),歸納奠基中如的取值應(yīng)為(A.lB.2C.3D.4解析：選C根據(jù)凸邊形至少有3條邊，知鼻3,故巾的取 值應(yīng)為3用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1 + 2 + 3 + 5 + 3)=（兀+3）（+4）2(nN*)時(shí)，第一步驗(yàn)證 =1時(shí)，左邊應(yīng)A.1C.1+2+3答案:D取的項(xiàng)是()B.1+2D.1+2+3+411 1用數(shù)學(xué)歸納法證明1+空+呂卜2_5 （“WN*且”1）第一步要證明的不等式是,從n=k到n=k-l時(shí)，左端增加了項(xiàng).解析：當(dāng) n=2 時(shí)，1+-氐+1丿 (*)法一：（分析法

4、）下面證（*）式述，即謀+謀+占 屛0,只需證（3氐+2） （3氐+3） + （3氐+1） （3農(nóng)+3） + （3&+1） （3A:+2） -3 （3氐+1） （3農(nóng)+2） M0,只需證（9A+15A:+6） + （9A:2+12A:+3） + （9A:2+9A:+2）（27心+27氐+6） M0,只需證+5M0,顯然成立.所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.（11 ） 5 5法二：（放縮法）（*）式px茁牙用J+&=&所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.由（1） （2）可知，原不等式對(duì)一切n2, n eN：i：均成立關(guān)鍵點(diǎn)二突破口，又完整表達(dá)了證明過(guò)程用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問(wèn)題的四個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)鍵驗(yàn)

5、證第1個(gè)“的取值時(shí)，要注意不一定為1,；點(diǎn) :若條件為nk9則nQ=M;證明不等式的第二步中，從“以到n=k+l的推導(dǎo) 過(guò)程中，一定要應(yīng)用歸納假設(shè)，不應(yīng)用歸納假設(shè) :的證明不是數(shù)學(xué)歸納法，因?yàn)槿鄙佟皻w納遞推、一一 一一一 _ 一一 一 _ 一 一應(yīng)用歸納假設(shè)后，若證明方法不明確，可采用分： 析法證明n=k+l時(shí)也成立，這樣既易于找到證明的:證明n=M 成立時(shí)，應(yīng)加強(qiáng)目標(biāo)意識(shí)，即要證明： 的不等式是什么，目標(biāo)明確了，要根據(jù)不等號(hào)的1 方向適當(dāng)放縮，但不可“放得過(guò)大”或“縮得過(guò)小”:一一一 一一 一一 一一 _ 一一 _ 一一 一 一 _ 一一 a昨迦練用數(shù)學(xué)歸納法證明:纟+*+*+V1+ (“M

6、2,)證明：（1）當(dāng)n=2時(shí),1 1 1 1左式=嚴(yán)=亍 右式=1_3=因?yàn)樗圆坏仁匠闪?（2）假設(shè) n=k 22,氐EN*）時(shí), 不等式成立，即+*+ 占 vi-則當(dāng)w=+l時(shí),嚴(yán) + 多 + 旱+ +疋+ (氐+1)2 由 n=k 至lj n=k+1是本題難點(diǎn)）（11 分）（12 分）所以ft=k+1時(shí)，等式也成立， 根據(jù)可知，對(duì)WGN*等式均成立.規(guī)范與警示(1)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，可按口訣“遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，突出形式明依據(jù)，總結(jié)定論莫忘掉”來(lái)檢査要點(diǎn).(2)在數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用中，要明確當(dāng)=R+1時(shí)，等式兩邊的式子與n=k時(shí)等式兩邊的式子的聯(lián)系，增加的項(xiàng)為(一1) *(氐+1

7、) $這樣才可正確求解.并當(dāng)堂檢測(cè),1 一個(gè)關(guān)于自然數(shù)的命題，如果證得當(dāng)=1時(shí)命題成立，并 在假設(shè)當(dāng)n=k且kE）時(shí)命題成立的基礎(chǔ)上，證明了 當(dāng)n=k+2時(shí)命題成立，那么綜合上述，對(duì)于（）A. 切正整數(shù)命題成立B. 切正奇數(shù)命題成立C一切正偶數(shù)命題成立D.以上都不對(duì)解析：選B.本題證明了當(dāng)n = lf 3, 5, 7,時(shí)，命題成立， 即命題對(duì)一切正奇數(shù)成立A, C, D不正確.1 1 1 112.用數(shù)學(xué)歸納法證明“昇昇2亦*時(shí)，由氐到上+1,不等式左邊的變化是（）A增加12 舗+1)一項(xiàng)1 1B.增加2&+1和+2兩項(xiàng)1 1C.增加2&+1和+2兩項(xiàng)同時(shí)減少占一項(xiàng)D.以上結(jié)論都不正確解析：選

8、C當(dāng)n=k時(shí)，左邊=QPJ+廠(chǎng)巨禹zp 當(dāng)兀=k+1 時(shí)，左邊=“+*+ +（疋+1） + （k_l）（氐+1） +疋+ （疋+1） + （疋+1） 9故不等式左邊的變化是增加屛1和畀2兩項(xiàng)，同時(shí)減少占一項(xiàng).3.求證：1+；十;+刁呂；(“WN ) 證明：當(dāng)n = l時(shí)，左邊=1,右邊=,所以不等式成立.假設(shè)當(dāng)n=kkEN*)時(shí)不等式成立，即1+?+舟+土則當(dāng)n=k+l時(shí)，1+扌+扌 土i+尹土再+尹 H滬寺=寧所以當(dāng)n=k+l時(shí)，不等式成立.由可知1+舟+#空（EN*）成立. 課堂知識(shí)小結(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)證明不等式）歸納一猜想一證明深化拓展 數(shù)學(xué)歸納法證題的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)驗(yàn)證是基礎(chǔ)找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)，有些問(wèn)題中驗(yàn)證的初始值不一定是1(2)遞推是關(guān)鍵數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)在于遞推，所以從“k”到+1”的過(guò)程中, 要正確分析式子項(xiàng)數(shù)的變化關(guān)鍵是弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律,弄 清由n=k到n=k+l時(shí)，等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)、增加怎樣 的項(xiàng).(3)利用假