金屬互連焊球的電遷移試驗設(shè)計研究與靈敏度分析_有限元分析-論文網(wǎng)

1、金屬互連焊球的電遷移試驗設(shè)計研究與靈敏度分析_有限元分析-論文網(wǎng)論文摘要：綜合考慮多種電遷移驅(qū)動機(jī)制, 基于ANSYS軟件和FORTRAN程序提出電遷移失效算法, 導(dǎo)出了電遷移靈敏度分析方程, 并建立相應(yīng)的數(shù)值算法. 在此基礎(chǔ)上考慮設(shè)計變量為激活能、初始自擴(kuò)散系數(shù)和材料力學(xué)性能參數(shù)等對金屬互連焊球進(jìn)行電遷移靈敏度分析, 同時基于三維有限元分析的全因子試驗設(shè)計法對CSP封裝結(jié)構(gòu)的電遷移壽命進(jìn)行仿真預(yù)測.論文關(guān)鍵詞：電遷移,靈敏度,試驗設(shè)計,互連焊球,有限元分析0引言電遷移（EM）是導(dǎo)電金屬材料在通過較高的電流密度時,金屬原子沿著電子運動方向進(jìn)行遷移的擴(kuò)散現(xiàn)象,它是引起集成電路（IC）失效的一種重

2、要機(jī)制.特別是隨著微電子技術(shù)的迅猛發(fā)展,電子器件焊點尺寸及其間距日趨減小,電流密度急劇增加,電遷移現(xiàn)象更易發(fā)生,所引起的可靠性問題就更加嚴(yán)重.電遷移失效問題并非一個孤立的現(xiàn)象,在電遷移過程中往往同時伴隨著熱遷移、應(yīng)力遷移和化學(xué)遷移等過程.高電流密度產(chǎn)生的焦耳熱將形成溫度梯度,這種梯度是熱遷移的驅(qū)動力;電遷移形成的空穴將誘致互連結(jié)構(gòu)內(nèi)部產(chǎn)生應(yīng)力,伴隨著機(jī)械載荷和熱載荷引起的應(yīng)力,這些應(yīng)力疊加起來將形成應(yīng)力梯度驅(qū)使原子進(jìn)行遷移.另外,由于遷移導(dǎo)致金屬結(jié)構(gòu)內(nèi)部原子密度不均勻,這種原子密度梯度引起了化學(xué)遷移.因此,金屬互連結(jié)構(gòu)的電遷移失效問題實際上是在多種遷移機(jī)制耦合作用的共同結(jié)果.靈敏度分析是一種評

3、價因設(shè)計變量或參數(shù)的改變而引起結(jié)構(gòu)響應(yīng)特性變化率的方法,廣泛地用于結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計.靈敏度分析對于結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計和可靠性分析至關(guān)重要.對于電遷移靈敏度問題，影響因素主要有幾何尺寸、材料參數(shù)和邊界條件等,通過試驗設(shè)計研究和靈敏度分析,可充分了解不同因素對電遷移特性的影響程度,對于提高焊球抵抗電遷移的能力具有非常重要的意義.因此,本文在前期研究的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步研究金屬互連焊球電遷移的試驗設(shè)計仿真和靈敏度分析,為微電子芯片的設(shè)計、制造和封裝工藝的參數(shù)優(yōu)化提供依據(jù).1電遷移模擬算法電遷移是擴(kuò)散控制的質(zhì)量輸運過程,原子密度的演化方程是典型的質(zhì)量守恒方程,表達(dá)如下:(1)式中,c=C/C為正則化的原子密度,

4、C為真實的原子密度,C為無應(yīng)力狀態(tài)（平衡狀態(tài)）下初始原子密度;t是時間;是正則化的總原子通量.總原子通量可表示為:(2)其中,(3)式中,k為Boltzmann常數(shù);e為電子電荷;為有效電荷數(shù);T為絕對溫度;為電阻率,a金屬材料的溫度系數(shù),為初始溫度T所對應(yīng)的電阻率;為電流密度矢量;為傳輸熱;W為原子體積;為靜水壓力,s、s、s為三個主應(yīng)力;為金屬原子的有效擴(kuò)散速率,為激活能,D為初始自擴(kuò)散系數(shù).通常,在邊界G上,電遷移演化方程的邊界條件和初始條件分別可表示為:(4a)(4b)基于伽遼金方法,對式(1)進(jìn)行求解:(5)將式(2)和式(4a)代入,可得：(6)式中,取權(quán)函數(shù),其中是單元的形函數(shù).

5、假設(shè),經(jīng)過單元的離散化,可以得到方程(6)的矩陣形式:(7)引入a族差分格式:,0a1(8)式中,是時間步長.由式(7)和式(8),可得(9)式中,.(15)由給定的電流密度、溫度T、溫度梯度?T和靜水應(yīng)力梯度,式(1)描述了原子密度的演化過程.為了獲得連續(xù)的原子密度重分布,假設(shè)從一個平衡狀態(tài)達(dá)到一個新的平衡狀態(tài)過程中,電流、溫度和應(yīng)力是迅速進(jìn)行重分布的,相對而言原子的遷移是緩慢的.為此,一旦得到了電流、溫度和應(yīng)力分布,我們就可以基于穩(wěn)態(tài)解求解原子密度的演化過程.具體地,我們通過ANSYS電熱結(jié)構(gòu)耦合分析獲得模型的電流密度分布、溫度分布和應(yīng)力分布,并基于FORTRAN編寫的原子密度重分布算法獲

6、得不同時刻的原子密度,詳盡的算法和分析流程可參見我們以往的論文6-8.2電遷移靈敏度分析電遷移靈敏度分析主要是研究由設(shè)計變量引起的原子密度響應(yīng)的變化率,可簡單表示為,設(shè)計變量可取電遷移分析的物理學(xué)材料參數(shù)、金屬材料電、熱和機(jī)械性能參數(shù)以及幾何結(jié)構(gòu)尺寸和形狀參數(shù)等.假設(shè)用上標(biāo)“”表示對設(shè)計變量求微分,則;.式(6)對設(shè)計變量求微分,可得:(10)方程(10)寫成矩陣形式,可以表示為:(11)其中,為剛度矩陣;.鑒于原子密度靈敏度的時間相關(guān)性,采用族近似加權(quán)平均法獲取原子密度靈敏度.(12)式中，是時間步長.當(dāng),式(12)可簡化為,顯然這是前差分格式（顯式算法）;當(dāng),式(12)簡化為,這是后差分格

7、式（隱式算法）;本文取(隱式算法),稱為Crank-Nicolson方法，其算法是穩(wěn)定的且具有O(Dt)精度.對于隱式算法(),計算不依賴于時間步長,結(jié)果是穩(wěn)定的;對于顯式算法()則不然,只有當(dāng)，式中為的最大特征值，算法才是穩(wěn)定的.由方程(11)和(12)可得:(13)其中,;和可由原子密度重分布方程得到,而初始原子密度靈敏度,因此由方程(13)可得到每個時間步的原子密度靈敏度.進(jìn)一步,特殊情況下，矩陣可以簡化為：(14)對于無通量邊界條件（,即在封閉域內(nèi)原子沒有輸入和輸出）,則有.當(dāng)設(shè)計變量為材料的力學(xué)性能參數(shù)時,式(13)可以進(jìn)一步簡化為:(15)可以發(fā)現(xiàn),基于力學(xué)性能參數(shù)的靈敏度方程退化

8、為原子密度重分布方程.將初始原子密度靈敏度代入方程(15),易得,即無通量邊界條件下任意時刻原子密度對力學(xué)性能參數(shù)的靈敏度為0.這表明,金屬互連結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能參數(shù)的變化對無通量邊界條件下的電遷移沒有影響.為了驗證上述電遷移靈敏度分析算法的正確性,以長為l、受恒定電流作用的金屬導(dǎo)線為例,并且正則化原子通量僅考慮電子風(fēng)力和原子密度梯度兩種驅(qū)動力,則電遷移演化方程中可簡化為:(16)其中,x為電場的坐標(biāo)值.考慮封閉的邊界條件,(17)其中,t為時間.為計算方便,引入無量綱參數(shù)和,其中,具有的單位,為電遷移的特征長度,即“Blech長度”;為正則化時間,則電遷移演化方程(16)在陰極處的解析解為:(1

9、8)因此,正則化原子密度關(guān)于激活能E和初始自擴(kuò)散系數(shù)D的靈敏度分別為:(19)(20) 電子流方向 進(jìn)一步,以截面為7mm7mm的Al線為例（如圖1所示）,利用ANSYS有限元軟件分析該模型在恒定電流密度為和溫度400K下,基于本文的原子密度重分布算法得到陰極處的正則化原子密度隨時間的變化情況. 圖1Al線模型的網(wǎng)格（共350個單元,p=2）Fig.1MeshofAlwiremodel(350elements,p=2)圖2為無通量邊界時不同長度導(dǎo)體在陰極邊界上（x=0）的正則化原子密度隨時間的變化情況,圖中的虛線為根據(jù)式(18)取前100項所得的解析解.從圖2可以看出,在陰極邊界上的解析解和本

10、文的電遷移算法求得的原子密度吻合的很好,充分證明了該算法的正確性.圖2不同長度導(dǎo)體在陰極的正則化原子密度變化Fig.2Normalizedatomicdensityatcathodewiththedifferentlengthsofconductors以下考慮網(wǎng)格對本文算法的影響.以p=2為例,將Al線模型劃分成不同密度的網(wǎng)格,得到不同網(wǎng)格密度情況下陰極邊界處的正則化飽和原子密度值,如表1所示.可以看出,本文算法并不依賴網(wǎng)格的劃分.另外,表2為單元總數(shù)為350時不同時間增量下陰極邊界處的正則化飽和原子密度,從表2可以看出,本文算法基本不依賴時間增量,即該算法是穩(wěn)定的.表1不同網(wǎng)格密度下陰極的正

11、則化飽和原子密度（p=2）Table1Normalizedsaturationatomicdensityatcathodewithdifferentmeshdensities(p=2) 單元總數(shù) 無邊界通量變化的正則化飽和原子密度 誤差（%） 解析解 本文算法解 176 2.3230 2.3110 -0.0865% 350 2.3118 -0.0519% 882 2.3123 -0.0303% 2700 2.3127 -0.0130% 表2不同時間增量時陰極處的正則化飽和原子密度（p=2）Table2Normalizedsaturationatomicdensityatcathodewithd

12、ifferenttimeincrement(p=2) p=2 無邊界通量變化的正則化飽和原子密度 時間增量: Dt 0.001 0.01 10 100 單元數(shù)目: 350 2.3118 2.3118 2.3118 2.3118 圖3原子密度關(guān)于激活能E的靈敏度比較（p=2）Fig.3SensitivityofthenormalizedatomicdensitywithrespecttoE(p=2)圖4原子密度關(guān)于初始自擴(kuò)散系數(shù)D的靈敏度比較（p=2）Fig.4SensitivityofthenormalizedatomicdensitywithrespecttoDunder(p=2)圖3和圖4

13、分別為p=2時陰極處原子密度關(guān)于激活能E和初始自擴(kuò)散系數(shù)D的靈敏度比較,其中實線為基于式(19)和式(20)所得的解析解,空心方框為根據(jù)本文提出的原子密度重分布算法求得的解.從圖3和圖4可以看出,式(19)和式(20)的解析解和本文提出的原子密度重分布算法的數(shù)值解吻合良好.這說明本文推導(dǎo)的靈敏度方程和數(shù)值算法的正確性和可靠性.不難發(fā)現(xiàn),原子密度關(guān)于激活能和初始自擴(kuò)散系數(shù)的靈敏度的最大值所對應(yīng)的時間是一致的,等于原子密度剛出現(xiàn)飽和值時所對應(yīng)的時間.3CSP封裝結(jié)構(gòu)的電遷移試驗設(shè)計研究試驗設(shè)計是通過一系列試驗及分析方法,有目的地改變系統(tǒng)的輸入來觀察輸出的變化情況,從而呈現(xiàn)設(shè)計參數(shù)之間的相互關(guān)系,確

14、定最優(yōu)化的設(shè)計方案.為了研究CSP封裝結(jié)構(gòu)在電流“擁集”下的后端設(shè)計規(guī)則,本文采用基于三維有限元分析的全因子試驗設(shè)計法,在電流為1.7A下進(jìn)行電遷移壽命（TimetoFailure,TTF）的仿真預(yù)測.CSP模型包括芯片、凸點下金屬化層（UBM）、鋁引線、銅引線以及焊球.其中,UBM共三層,分別為Al、Ni(V)和Cu層.該模型共有36個焊球,間距為500mm,焊球材料為無鉛焊料（95SnAg4.5Cu0.5）.為了更加準(zhǔn)確得研究電遷移的過程,本例將采用ANSYS的子模型技術(shù),在子模型中對易發(fā)生電遷移的三個焊球建立詳細(xì)的焊球結(jié)構(gòu).相關(guān)結(jié)構(gòu)如圖5所示,詳細(xì)的材料參數(shù)可參考文獻(xiàn)6.本文選取4個參數(shù)

15、進(jìn)行試驗設(shè)計,包括:UBM傾角（如圖6所示）、UBM直徑、UBM厚度和焊球的形狀,詳細(xì)參數(shù)如表3所示.（a）整體結(jié)構(gòu)（b）局部結(jié)構(gòu)(a)wholestructure（b）localstructure（c）子模型結(jié)構(gòu)（d）焊球詳細(xì)結(jié)構(gòu)(c)sub-model（d）detailedsolderbump圖5CSP封裝結(jié)構(gòu)圖Fig.5CSPpackagestructure基于原子密度重分布算法及有限元實施方案,結(jié)合表3的全因子試驗設(shè)計參數(shù),對不同參數(shù)組合情況下的電遷移壽命進(jìn)行了仿真預(yù)測.在半導(dǎo)體工業(yè)中,通常采用電阻增加了原有值的15作為金屬互連結(jié)構(gòu)的電遷移失效依據(jù),本文也采用此依據(jù)作為失效判斷的標(biāo)準(zhǔn).

16、圖6UBM傾角示意圖Fig.6SchematicdiagramofUBMrimangle表3全因子試驗的設(shè)計參數(shù)Table3DesignparametersofDOE 設(shè)計參數(shù) 參數(shù)值 UBM傾角 0o、15o、30o、45o、60o、75o、90o UBM直徑 0.09mm、0.11mm、0.125mm UBM厚度 0.00106mm、0.00212mm、0.00424mm 焊球的形狀 球體、圓柱體、立方體、雙球體 圖7和圖8分別為不同UBM傾角的電遷移失效時間曲線圖和部分UBM傾角的電遷移空洞失效仿真圖.從中不難發(fā)現(xiàn),當(dāng)UBM傾角為75o時,焊球有較高的電遷移失效壽命;在與UBM接觸的地方

17、,垂直性凸臺結(jié)構(gòu)（如UBM0o傾角和90o傾角）具有較差的抗電遷移能力;0oo時,隨著傾斜角度的增大,電遷移壽命也不斷增大.圖7不同UBM傾角的電遷移失效時間曲線圖Fig.7TTFwithdifferentUBMrimangles圖8部分UBM傾角的空洞失效仿真圖Fig.8VoidswithsomedifferentUBMrimangles圖9為不同UBM直徑的電遷移失效時間曲線圖,可以發(fā)現(xiàn),隨著UBM直徑的增大,電遷移失效壽命也不斷增加.圖9不同UBM直徑的電遷移失效時間曲線圖Fig.9TTFwithdifferentUBMradius圖10為不同UBM厚度的電遷移失效時間曲線圖,可以發(fā)現(xiàn),

18、隨著UBM厚度的增加,電遷移失效壽命也不斷增加.圖10不同UBM厚度的電遷移失效時間曲線圖Fig.10TTFwithdifferentUBMthicknesses為了考察焊球形狀對電遷移壽命的影響,本文分別采用了球體、圓柱體、立方體和雙球體四種不同形狀的焊球.在保證焊球高度一致的情況下,保持焊球體積相同.表4不同焊球形狀的電遷移壽命比較Table4TTFwithdifferentshapesofsolderball 形狀 TTF(小時) 雙球 945.3 球體 1947.2 圓柱體 20458.6 立方體 15941.7 (a)球體（Spheroid）(b)圓柱體（Cylinder）(c)立方

19、體（Cube）(d)雙球體（Doubleball）圖11不同形狀焊球的電流密度分布圖Fig.11Currentdensitydistributionswithdifferentshapesofsolderball圖11為不同形狀焊球的電流密度分布圖,表4為不同形狀焊球的電遷移壽命比較.由表4并結(jié)合圖11可知,形狀對電遷移壽命有較大的影響,其中圓柱體形狀焊球具有最強的抗電遷移能力.雖然近期有學(xué)者提出采用雙球模型可提高功率循環(huán)下的壽命,但從電遷移分析的角度來看,雙球模型并非最優(yōu)結(jié)構(gòu).4CSP互連焊球的電遷移靈敏度分析以下研究CSP互連焊球的正則化原子密度關(guān)于激活能E和初始自擴(kuò)散系數(shù)D的靈敏度.圖1

20、2為4個不同時刻正則化原子密度關(guān)于激活能E的靈敏度的分布云圖,其最大值（正值）出現(xiàn)在焊球與UBM接觸位置（電子流進(jìn)的位置,即焊球?qū)⒊霈F(xiàn)電遷移空洞的位置）.這表明,隨著激活能E的不斷增加,該區(qū)域的正則化原子密度呈現(xiàn)不斷增加的趨勢;圖13為4個不同時刻正則化原子密度關(guān)于初始自擴(kuò)散系數(shù)D的靈敏度的分布云圖.可以發(fā)現(xiàn),焊球與UBM接觸位置的靈敏度為負(fù)值,這表明,隨著初始自擴(kuò)散系數(shù)D的不斷增加,該區(qū)域的正則化原子密度不斷減小.圖14為正則化原子密度對E和D的靈敏度隨時間的變化趨勢.在焊球與UBM接觸位置,正則化原子密度關(guān)于激活能E的靈敏度隨時間首先減少而后快速增加,而正則化原子密度關(guān)于初始自擴(kuò)散系數(shù)D的

21、靈敏度則相反.從靈敏度的數(shù)值上可以發(fā)現(xiàn),正則化原子密度對激活能相當(dāng)敏感,因此在選擇無鉛焊料時,應(yīng)盡可能選擇激活能較大的材料來抵抗電遷移的發(fā)生.(a)1s(b)100s(c)1000s(d)1.57E+6s（失效時間,TTF）圖12正則化原子密度關(guān)于激活能E的靈敏度Fig.12SensitivityofthenormalizedatomicdensitywithrespecttoE(a)1s(b)100s(c)1000s(d)1.57E+6s（失效時間,TTF）圖13正則化原子密度關(guān)于初始自擴(kuò)散系數(shù)D的靈敏度Fig.13Sensitivityofthenormalizedatomicdensit

22、ywithrespecttoD(a)節(jié)點位置和坐標(biāo)(a)Nodallocationandcoordinates (b)正則化原子密度對E的靈敏度隨時間的變化(b)SensitivitiesofnormalizedatomicdensitywithrespecttoEwiththetime (c)正則化原子密度對D的靈敏度隨時間的變化(c)SensitivitiesofnormalizedatomicdensitywithrespecttoDwiththetime圖14正則化原子密度對E和D的靈敏度隨時間的變化Fig.14Sensitivitiesofnormalizedatomicdensit

23、ywithrespecttoEandDwiththetime5結(jié)論本文綜合考慮電遷移失效的各種影響因素,針對CSP封裝結(jié)構(gòu)的無鉛焊球進(jìn)行了試驗設(shè)計仿真與靈敏度分析.結(jié)果表明,在條件允許下,可以選擇UBM直徑和厚度較大的圓柱體焊球的封裝結(jié)構(gòu)抵抗電遷移的發(fā)生;焊球的電遷移對激活能非常敏感,其次是初始自擴(kuò)散系數(shù),而材料力學(xué)性能參數(shù)對電遷移影響最小.參考文獻(xiàn)1 Tu K N. Recent advances on electromigration in every-large-scale-integration of interconnects J. Journal of Applied Physic

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