人教版九年級數(shù)學(xué)上22.1.2二次函數(shù)y=ax2 的圖象和性質(zhì)

1、22.2 二次函數(shù)圖象和性質(zhì)二次函數(shù)圖象和性質(zhì)1、二次函數(shù)的一般形式是怎樣的？二次函數(shù)的一般形式是怎樣的？y=ax+bx+c(a,b,c是常數(shù)是常數(shù),a 0)2.2.下列下列函數(shù)中函數(shù)中,哪些是二次函數(shù)？哪些是二次函數(shù)？2xy 42312xxy12xxy2xxyxxy12觀察觀察y=y=x2,2,y=-y=-x的表達(dá)式的表達(dá)式, ,選擇適當(dāng)選擇適當(dāng)x值值, ,并計(jì)算相應(yīng)的并計(jì)算相應(yīng)的y y值值, ,完成下表：完成下表：x-3-3-2-2-1-10 01 12 2 3 3y=y=x2 29 94 41 10 04 49 9你會用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)y=y=x2,2,y=x的圖象嗎的圖象嗎? ?2xy

2、=-y=-x2 2 -9-9-4-4-1-10 0-1-1-4-4-9-92xy2xy二次函數(shù)的二次函數(shù)的圖象形如物圖象形如物體拋射時所體拋射時所經(jīng)過的路線經(jīng)過的路線,我們把它叫我們把它叫做做拋物線拋物線 議一議議一議(2)拋物線與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)嗎？如果有,交點(diǎn)坐標(biāo)是什么?(4)當(dāng)x0呢？(3)當(dāng)x取什么值時,y的值最小?最小值是什么? 你是如何知道的？觀察圖象,回答問題：(1)圖象是軸對稱圖形嗎？如果是,它的對稱軸是什么?請你找出幾對對稱點(diǎn)？2xy2xy2xy2xy 這條拋物線關(guān)于這條拋物線關(guān)于y軸對稱軸對稱,y軸就軸就 是它的對稱軸是它的對稱軸. 對稱軸與拋物對稱軸與拋物線的交叫做線的交叫做

3、拋物線的頂點(diǎn)拋物線的頂點(diǎn).點(diǎn)點(diǎn) 議一議議一議(2)拋物線與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)嗎？如果有,交點(diǎn)坐標(biāo)是什么?(4)當(dāng)x0呢？(3)當(dāng)x取什么值時,y的值最?。ㄗ畲螅?最小值（最大值）是什么? 你是如何知道的？觀察圖象,回答問題：(1)圖象是軸對稱圖形嗎？如果是,它的對稱軸是什么?請你找出幾對對稱點(diǎn)？2xy2xy2xy2xy 當(dāng)當(dāng)x0時，在對稱軸的時，在對稱軸的右側(cè)，右側(cè)，y隨著隨著x的增大而的增大而增大。增大。 當(dāng)當(dāng)x0時，在對稱軸的時，在對稱軸的右側(cè)，右側(cè)，y隨著隨著x的增大而的增大而減小。減小。 當(dāng)當(dāng)x=0時時,函數(shù)函數(shù)y的值最小的值最小,最小值是最小值是0.當(dāng)當(dāng)x=0時時,函數(shù)函數(shù)y的值最大的值最

4、大,最大最大值是值是0.2xy2xy 仔細(xì)觀察右圖，仔細(xì)觀察右圖，并完成填空。并完成填空。拋物線拋物線y=x2y=-x2頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸對稱軸位置位置開口方向開口方向增減性增減性極值極值（0，0）（0，0）y軸軸y軸軸在在x軸的上方（除頂點(diǎn)外）軸的上方（除頂點(diǎn)外）在在x軸的下方（除頂點(diǎn)外）軸的下方（除頂點(diǎn)外）向上向上向下向下當(dāng)當(dāng)x=0時，最小值為時，最小值為0。當(dāng)當(dāng)x=0時，最大值為時，最大值為0。二次函數(shù)y=ax2的圖象形如物體拋射時所經(jīng)過的路線，我們把它叫做拋物線拋物線。22xy232xy221xy2xy2xy這條拋物線關(guān)于這條拋物線關(guān)于y軸軸對稱，對稱，y軸就是它的軸就是它的對稱軸

5、。對稱軸。 這條拋物線關(guān)于這條拋物線關(guān)于y軸軸對稱，對稱，y軸就是它的軸就是它的對稱軸。對稱軸。 這條拋物線關(guān)于這條拋物線關(guān)于y軸軸對稱，對稱，y軸就是它的軸就是它的對稱軸。對稱軸。 對稱軸與拋物線的交點(diǎn)對稱軸與拋物線的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)。對稱軸與拋物線的交點(diǎn)對稱軸與拋物線的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)。對稱軸與對稱軸與拋物線拋物線的交點(diǎn)的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)。(1)(1)二次函數(shù)二次函數(shù)y=2x，y=-2y=-2x2 2的圖象是什的圖象是什么形狀？么形狀？ 做一做做一做(2)(2)先想一想，然后在同一坐標(biāo)系作出先想一想，然后在同一坐標(biāo)系作出y=2x，

6、y=-2x的圖象的圖象在學(xué)中做在做中學(xué)22xy 232xy1.拋物線拋物線y=ax2的頂點(diǎn)是原點(diǎn)的頂點(diǎn)是原點(diǎn),對稱軸是對稱軸是y軸軸. 2.當(dāng)當(dāng)a0時，拋物線時，拋物線y=ax2在在x軸的上方軸的上方(除頂點(diǎn)外除頂點(diǎn)外),它的開口向上它的開口向上,并且向上無限伸展；并且向上無限伸展； 當(dāng)當(dāng)a0時時,在對稱軸的左側(cè)在對稱軸的左側(cè),y隨著隨著x的增大而減??；在的增大而減??；在對稱軸右側(cè)對稱軸右側(cè),y隨著隨著x的增大而增大的增大而增大.當(dāng)當(dāng)x=0時函數(shù)時函數(shù)y的值最小的值最小. 當(dāng)當(dāng)a0時，在對稱軸的左側(cè)時，在對稱軸的左側(cè),y隨著隨著x的增大而增大；在的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)對稱軸的右側(cè),y隨著

7、隨著x增大而減小增大而減小,當(dāng)當(dāng)x=0時時,函數(shù)函數(shù)y的值最大的值最大.二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì)2axy2axy 做一做做一做(1)拋物線拋物線y=2x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ,對稱軸是對稱軸是 , 在對稱軸在對稱軸 側(cè)側(cè),y隨著隨著x的增大而增大；在對稱軸的增大而增大；在對稱軸 側(cè)側(cè), y隨著隨著x的增大而減小的增大而減小,當(dāng)當(dāng)x= 時時,函數(shù)函數(shù)y的值最小的值最小,最小最小 值是值是 ,拋物線拋物線y=2x2在在x軸的軸的 方方(除頂點(diǎn)外除頂點(diǎn)外).(2)拋物線拋物線 在在x軸的軸的 方方(除頂點(diǎn)外除頂點(diǎn)外),在對稱在對稱軸的左側(cè)軸的左側(cè),y隨著隨著x的的 ；在對稱軸的右側(cè)；在對稱軸的

8、右側(cè),y隨著隨著x的的 ,當(dāng)當(dāng)x=0時時,函數(shù)函數(shù)y的值最大的值最大,最大值是最大值是 ,當(dāng)當(dāng)x 0時時,y0.232xyx x -3-3 -2 -2 -1 -10 01 12 23 3y y解解:(1) :(1) 列表列表9 94 41 10 01 14 49 9(2) (2) 描點(diǎn)描點(diǎn)(3) (3) 連線連線1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5y=x2 2畫最簡單的二次函數(shù)畫最簡單的二次函數(shù) y = x2 的圖象的圖象 你還記得描點(diǎn)你還記得描點(diǎn)法的一般步驟法的一般步驟? ?列表時應(yīng)列表時應(yīng)注意注意什么問題？什么問題？ 列表列表描點(diǎn)描點(diǎn)連線連線描點(diǎn)時應(yīng)以哪些數(shù)描

9、點(diǎn)時應(yīng)以哪些數(shù)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)？值作為點(diǎn)的坐標(biāo)？連線時應(yīng)注意連線時應(yīng)注意什么問題？什么問題？ 二次函數(shù)二次函數(shù) y = x2的圖象是一條曲線，它的形狀類似于投籃球時球在空中的圖象是一條曲線，它的形狀類似于投籃球時球在空中所經(jīng)過的路線，只是這條曲線開口向上，這條曲線叫做所經(jīng)過的路線，只是這條曲線開口向上，這條曲線叫做拋物線拋物線 y = x2 ，二次函數(shù)二次函數(shù)y = x 2 的圖象是軸對稱圖形，的圖象是軸對稱圖形，一般地，二次函數(shù)一般地，二次函數(shù) y = ax2 + bx + c（a0）的圖象叫做的圖象叫做拋物線拋物線y = ax2 + bx + c1 2 3 4 5x12345678910yo

10、-1-2-3-4-5拋物線拋物線 與它的對稱軸的交點(diǎn)與它的對稱軸的交點(diǎn)（0 0，0 0）叫做拋物線）叫做拋物線 的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)它是拋物線它是拋物線 的的最低點(diǎn)最低點(diǎn)2xy2xy 2xy 實(shí)際上實(shí)際上, , 二次函數(shù)的圖象都是二次函數(shù)的圖象都是拋物線拋物線，對稱軸是對稱軸是y y軸軸2xy 這條拋物線是軸對稱這條拋物線是軸對稱圖形嗎？如果是，圖形嗎？如果是，對稱軸是什么？對稱軸是什么？拋物線與對稱軸拋物線與對稱軸有交點(diǎn)嗎？有交點(diǎn)嗎？x x -4-4-3-3-2 -2 -1 -10 01 1 2 23 34 4y= xy= x2 2例例1. 1.在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y

11、= = x2 2和和y=2=2x2 2的圖象的圖象解解: (1) : (1) 列表列表(2) (2) 描點(diǎn)描點(diǎn)(3) (3) 連線連線1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-51 12 28 82 2 0.50.5 0 00.50.5 2 24.54.58 84.54.51 12 22yx212yx22yxxy=2xy=2x2 28-2-1.5-1-0.500.511.524.520.500.524.581 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5 函數(shù)函數(shù)y= = x2 2, ,y=2=2x2 2的圖的圖象象與函數(shù)與函數(shù)y=x2 2( (圖中虛線

12、圖形圖中虛線圖形) )的圖的圖象象相比相比, ,有什么共同點(diǎn)有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)和不同點(diǎn)? ?1 12 2共同點(diǎn)共同點(diǎn): :不同點(diǎn)不同點(diǎn): :開口都向上開口都向上; ;頂點(diǎn)是原點(diǎn)而且是拋物線頂點(diǎn)是原點(diǎn)而且是拋物線的最低點(diǎn)，對稱軸是的最低點(diǎn)，對稱軸是 y y 軸軸開口大小不同開口大小不同; ;2yx212yx22yx| |a| |越大，越大，在對稱軸的左側(cè)，在對稱軸的左側(cè)，y y隨著隨著x x的的增大增大而而減小。減小。在對稱軸的右側(cè)，在對稱軸的右側(cè)，y y隨著隨著x x的的增大增大而而增大增大。拋物線的開口越小拋物線的開口越小。探究探究 畫出函數(shù)畫出函數(shù) 的圖象的圖象2222,21,xyxyx

13、yx1y解解: (1) : (1) 列表列表(2) (2) 描點(diǎn)描點(diǎn)(3) (3) 連線連線x x-2-2-1.5-1.5-1 -1 -0.5-0.50 00.50.51 11.51.52 2y=y=x x2 2y=y=x x2 2y=y=2x2x2 21 12 2-2.25-0.25-0.25-2.25-2-2-.-.-.-.- -. .- -. .- -. .-.-4. 5-4. 5-1-2-30123-1-2-3-4-52xy221xy 22 xy x1y-1-2-30123-1-2-3-4-5 函數(shù)函數(shù)y= x2 2, ,y=2 2x2 2的圖象與函數(shù)的圖象與函數(shù)y=x2 2( (圖中

14、藍(lán)線圖形圖中藍(lán)線圖形) )的圖象相比的圖象相比, ,有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)? ?1 12 2共同點(diǎn)共同點(diǎn): : 開口都向下開口都向下; ;不同點(diǎn)不同點(diǎn): :頂點(diǎn)是原點(diǎn)而且是拋物線頂點(diǎn)是原點(diǎn)而且是拋物線的最高點(diǎn)，對稱軸是的最高點(diǎn)，對稱軸是 y y 軸軸開口大小不同開口大小不同; ;|a|a| 越大，越大，221xy 2xy22 xy 在對稱軸的左側(cè)，在對稱軸的左側(cè)，y y隨著隨著x x的的增大增大而而增大增大。在對稱軸的右側(cè)，在對稱軸的右側(cè)，y y隨著隨著x x的的增大增大而減小而減小。拋物線的開口越小拋物線的開口越小對比拋物線，對比拋物線，y=x2和和y=x2.它它們關(guān)于們關(guān)

15、于x軸對稱嗎？軸對稱嗎？一般地，拋物線一般地，拋物線y=ax2和和y=ax2呢？呢？在同一坐標(biāo)系內(nèi)在同一坐標(biāo)系內(nèi),拋物線拋物線 與與拋物線拋物線 是關(guān)于是關(guān)于x軸對稱的軸對稱的.2axy 2axy 2xy2xy22xy232xy1 1、根據(jù)左邊已畫好的函數(shù)圖象填空、根據(jù)左邊已畫好的函數(shù)圖象填空：（1）拋物線）拋物線y=2x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ,對稱軸是對稱軸是 ，在，在 側(cè)，側(cè)，y隨著隨著x的增大而增大；在的增大而增大；在 側(cè)，側(cè)，y隨著隨著x的增大而減小，當(dāng)?shù)脑龃蠖鴾p小，當(dāng)x= 時，時，函數(shù)函數(shù)y的值最小，最小值是的值最小，最小值是 ,拋物拋物線線y=2x2在在x軸的軸的 方（除頂點(diǎn)

16、外）。方（除頂點(diǎn)外）。（2）拋物線）拋物線 在在x軸的軸的 方（除頂點(diǎn)外），在對稱軸的方（除頂點(diǎn)外），在對稱軸的左側(cè)，左側(cè)，y隨著隨著x的的 ；在對稱軸的右側(cè)，；在對稱軸的右側(cè)，y隨著隨著x的的 ，當(dāng)，當(dāng)x=0時，函數(shù)時，函數(shù)y的值最大，最大值是的值最大，最大值是 ，當(dāng)當(dāng)x 0時，時，y0a0圖圖象象開口方向開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸對稱軸增增減減性性極值極值xyOyxO向上向上向下向下(0 ,0)(0 ,0)y軸y軸當(dāng)當(dāng)x0時，時，y隨著隨著x的增大而減小。的增大而減小。當(dāng)當(dāng)x0 x0時，時，y y隨著隨著x x的增大而的增大而增大增大。當(dāng)當(dāng)x0時，時，y隨著隨著x的增大而減小。的增大而減小。拋物線的開口就越小拋物線的開口就越小. |a|越小越小, 拋物線的開口就越大拋物線的開口就越大.1、二次函數(shù)y=ax2的圖象是什么？的圖象是什么？2、二次函數(shù)y=ax2的圖象有何性質(zhì)？的圖象有何性質(zhì)？3、拋物線y=ax2 與與y=- -ax2有何關(guān)系？有何關(guān)系？小結(jié)歸納歸納二次函數(shù)二次函數(shù) 的圖象及性質(zhì)：的圖象及性質(zhì)：2axy 1.圖象是一條拋物線，對稱軸是圖象是一條拋物線，對稱軸是y軸，軸，頂點(diǎn)是原點(diǎn)。頂點(diǎn)是原點(diǎn)。歸納歸納二次函數(shù)二次函數(shù) 的圖象及性質(zhì)：的圖象及性質(zhì)：2axy 2.當(dāng)當(dāng)a0時，開口向上，頂點(diǎn)是最低點(diǎn)，時，開口向上，頂點(diǎn)是最低點(diǎn)，a值越大，拋物線開口越小