高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)課件

1、高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)第一章第一章 函數(shù)與極限函數(shù)與極限重點(diǎn)內(nèi)容：重點(diǎn)內(nèi)容：定理定理1 收斂的數(shù)列必定有界收斂的數(shù)列必定有界.定理定理2.)(lim)(lim)(limAxfAxfAxfxxx 且且?guī)讉€(gè)極限不存在的例子幾個(gè)極限不存在的例子lim, limarctan , limsin .xxxxexx 因因, 0lim xxe.lim xxe,2arctanlim xx.2arctanlim xx高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)定理定理3.)(lim)(lim00Axfxfxxxx Axfxx)(lim0幾個(gè)極限不存在的例子幾個(gè)極限不存在的例子100011lim, limarctan, limsinxxxxexxxy1si

2、n oyx1xey1 因因, 0lim10 xxe.lim10 xxe,21arctanlim0 xx.21arctanlim0 xx高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo),)(lim)1(0Axfxx 若若定理定理4 ( (局部保號(hào)性局部保號(hào)性) );0)(0)(,),(0 xfxfxU或或有有內(nèi)內(nèi)則則在在),0)(0)(),()2(0 xfxfxU或或內(nèi)內(nèi)有有若若在在).0(0 AA或或則則必必有有),0(0 AA或或且且高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)B例例1 2( )( )lim1,()xaf xf axa 若若則點(diǎn)則點(diǎn) )(ax （A）是是 的極大值點(diǎn)的極大值點(diǎn)（B）是是 的極小值點(diǎn)的極小值點(diǎn) （C）是是 的駐點(diǎn)，但不是極值點(diǎn)的

3、駐點(diǎn)，但不是極值點(diǎn)（D）不是不是 的駐點(diǎn)的駐點(diǎn))(xf)(xf)(xf)(xf高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)定義定義1. 極限為零的變量稱為極限為零的變量稱為無(wú)窮小無(wú)窮小. 無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系定理定理5Axfxx )(lim0.)(0時(shí)的無(wú)窮小時(shí)的無(wú)窮小是當(dāng)是當(dāng)其中其中xxx ),()(xAxf 定理定理6 無(wú)窮小與有界函數(shù)的乘積是無(wú)窮小無(wú)窮小與有界函數(shù)的乘積是無(wú)窮小. .,1arctan,1cos1sin22并并判判斷斷其其類(lèi)類(lèi)型型的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)或或求求函函數(shù)數(shù)例例 xxyxxyxxy答案答案.0為為第第一一類(lèi)類(lèi)可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) x高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)定義定義2. 絕對(duì)值無(wú)限增大的變量

4、稱為絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱為無(wú)窮大無(wú)窮大.定理定理7 在同一過(guò)程中在同一過(guò)程中,無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小;恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大. .無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)定理定理8則則設(shè)設(shè),)(lim,)(limBxgAxf 這是因?yàn)檫@是因?yàn)? 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1( BBAxgxfBAxgxfBAxgxf其中其中推論推論. 0)(lim, 0)(lim,)()(lim xfxgAxgxf則則且且若若. 00)()()(lim)(lim Axgxgxfxf高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)典型極限典型

5、極限為為非非負(fù)負(fù)整整數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)有有和和當(dāng)當(dāng)nmba, 0, 000 00101101,lim0,.mmmnnxnanmba xa xanmb xb xbnm 當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)lim ().xxxxx 例例3 求求解解limxxxxxxx 3111lim.21111xxxx 原式原式高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)例例4 試確定常數(shù)試確定常數(shù) a, 使使解解 令令,1xt 則則01 a即即. 1 a tatt33011lim0tatt 1lim30301lim30 att3. 0)1(lim33 xaxx高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)求求,2112111111nxn .limnnx 解解 即即.25lim nnx因?yàn)橐驗(yàn)?)1

6、(1211 nnn)1(2 nn,122 nn所以所以 12242323222211nnxn121211 n),(25 n例例5 設(shè)設(shè)高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)例例6,12lim31bxaxxx 已已知知解解1lim(1)0,xx31lim(2)0,xxxa, 3 a3123lim1xxxbx . 5 求常數(shù)求常數(shù) a, b.123lim21 xx高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo));, 3 , 2 , 1()1( nzxynnn,lim,lim)2(azaynnnn 準(zhǔn)則準(zhǔn)則I 如果數(shù)列如果數(shù)列 及及 滿足下列條件滿足下列條件:,nnyxnz.limaxnn 那么數(shù)列那么數(shù)列 的極限存在的極限存在, 且且nx兩個(gè)極限準(zhǔn)則兩個(gè)極

7、限準(zhǔn)則準(zhǔn)則準(zhǔn)則II 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限.高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)例例7 求求解解nnnnnnnn 22limsinlim 又又, 由由夾逼定理夾逼定理.sin2sin1sinlim222 nnnnn ,1sinsinsin2122 nnknnnnnk nn11lim .sin2sin1sinlim222 nnnnn1lim1sinlim22 nnnnnn ,11lim2 nn高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo), 0lim. 1高高階階的的無(wú)無(wú)窮窮小小是是比比則則稱稱如如果果 定義定義3. 0, 且且窮窮小小是是同同一一過(guò)過(guò)程程中中的的兩兩個(gè)個(gè)無(wú)無(wú)設(shè)設(shè);),0(lim. 2是是同同階階的的無(wú)無(wú)窮窮小小與與則

8、則稱稱如如果果 CC是是與與則則稱稱如如果果特特殊殊地地， , 1lim .),0, 0(lim. 3無(wú)無(wú)窮窮小小階階的的的的是是則則稱稱如如果果kkCCk );( o ; ;等等價(jià)價(jià)無(wú)無(wú)窮窮小小記作記作記作記作高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)常用等價(jià)無(wú)窮小常用等價(jià)無(wú)窮小:,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,sinxx,tanxx,arctanxx,)1ln(xx ,1xex ,21cos12xx ,arcsinxx.ln1axax 定理定理9 ( (等價(jià)無(wú)窮小替換定理等價(jià)無(wú)窮小替換定理) ), 設(shè)設(shè)),(lim 或或且且A lim則則 ).(lim 或或A 高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)0 x,cos1)(xA ,tansin)(xxB ,sin

9、)(xC.)(2xD其它三個(gè)更高階的無(wú)窮小其它三個(gè)更高階的無(wú)窮小 【 】例例8 當(dāng)當(dāng)B時(shí)時(shí)，下面四個(gè)函數(shù)哪一個(gè)是比，下面四個(gè)函數(shù)哪一個(gè)是比)1(costantansin xxxx,212132xxx 解解高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)也可能是連續(xù)點(diǎn)也可能是連續(xù)點(diǎn), 需要判定需要判定.初等函數(shù)無(wú)定義的孤立點(diǎn)是初等函數(shù)無(wú)定義的孤立點(diǎn)是間斷點(diǎn)間斷點(diǎn).分段函數(shù)的分段點(diǎn)分段函數(shù)的分段點(diǎn)可能是間斷點(diǎn)可能是間斷點(diǎn),求函數(shù)的間斷點(diǎn)的方法求函數(shù)的間斷點(diǎn)的方法間斷點(diǎn)的分類(lèi)間斷點(diǎn)的分類(lèi).)(),0()0(,)(0000的跳躍間斷點(diǎn)的跳躍間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)但但存在存在右極限都右極限都處左處左在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果xfxxfxfx

10、xf 1. 跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)2. 可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類(lèi)間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類(lèi)間斷點(diǎn).)(,)(),()(lim,)(00000的的可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)義義處處無(wú)無(wú)定定在在點(diǎn)點(diǎn)或或但但處處的的極極限限存存在在在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果xfxxxfxfAxfxxfxx 3. 第二類(lèi)間斷點(diǎn)第二類(lèi)間斷點(diǎn)00( ),( ).f xxxf x如如果果在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的左左、右右極極限限至至少少有有一一個(gè)個(gè)不不存存 在在 則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)的的第第二二類(lèi)類(lèi)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)0,( ).xf x如如果果左左、右右極極限限中中有有一

11、一個(gè)個(gè)為為無(wú)無(wú)窮窮大大 則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)的的無(wú)無(wú)窮窮間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)1. 鉛直漸近線鉛直漸近線 (垂直于垂直于x 軸的漸近線軸的漸近線) )(lim)(lim00 xfxfxxxx或或如如果果曲線的漸近線曲線的漸近線 .)(0的的一一條條鉛鉛直直漸漸近近線線就就是是直直線線那那么么xfyxx 2. 水平漸近線水平漸近線 (平行于平行于x 軸的漸近線軸的漸近線)()(lim)(lim為為常常數(shù)數(shù)或或如如果果bbxfbxfxx .)(的的一一條條水水平平漸漸近近線線就就是是那那么么直直線線xfyby 高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo).,11sin)1sin(1212. 911并并判判斷斷類(lèi)類(lèi)型型的的間

12、間斷斷點(diǎn)點(diǎn)求求例例 xxyxx1sin1lim1sin1lim0)1(2020 yyxxx，處處，在在，處，處，在在31lim1)2(1 yxx解解.10是間斷點(diǎn)是間斷點(diǎn)， xx;00為為第第一一類(lèi)類(lèi)跳跳躍躍型型間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)所所以以但但不不相相等等，處處的的左左右右極極限限都都存存在在，因因在在 xx.1是是可可去去型型間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)所所以以 x高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)例例10 求函數(shù)求函數(shù) 的間斷點(diǎn)并判斷其類(lèi)型的間斷點(diǎn)并判斷其類(lèi)型. 11)(1 xxexf0,1xx 為為間間斷斷點(diǎn)點(diǎn). .11lim)(lim100 xxxxexf )(lim01xfx 又又1 11lim101 xxxe11lim)(li

13、m10101 xxxxexf0 .0為為第第二二類(lèi)類(lèi)無(wú)無(wú)窮窮間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)所所以以， x.1為為第第一一類(lèi)類(lèi)跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)所所以以， x解解高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)例例11 求出曲線求出曲線 xyln1 的水平與鉛直漸近線的水平與鉛直漸近線. . 解解, 0ln1limlim xyxx是是曲曲線線0 y的一條水平漸近線的一條水平漸近線. .,ln1limlim11 xyxx而而 的鉛直漸近線的鉛直漸近線. . 是是曲曲線線1 x, 0ln1limlim00 xyxx高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)例例12 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 解解 ,1lim)(212 nnnxxxxf求出求出 的解析表達(dá)式的解析表達(dá)式. )(xf 1,1,1

14、, 01lim)(212xxxxxxxxxfnnn重要結(jié)果重要結(jié)果0,1,1lim1,1,1nnqqqqq 不不存存在在高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)例例13 求求.1coslim2nnn 解解 先考慮先考慮.1coslim2xxx 因?yàn)橐驗(yàn)?211coslnlim1coslnlimxxxxxx 20)ln(coslim1tttxt tttt2cossinlim0 ,21 所以所以,1coslim212 exxx故故.11coslim2ennn 高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo).1sin53lim23xxxx 解解 原式原式例例14 計(jì)算計(jì)算23153limxxxx . 353lim xxx高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)例例15 計(jì)算計(jì)算.11co

15、s1sin1cos1sinlnlim xxxxx解解 原式原式令令 ,1ux 則則 1cossincossinlnlim0 uuuuu1ln21limcossin1 tttuut.211lim211 tt高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)例例16 若若解解1 , 512sin)(1lnlim0 xxexxf.)(lim20 xxfx求求, 512sin)(1lnlim0 xxexxf),(52sin)(1lnxxxxf ，故故12sin)()(5( xxexxf ，12sin)()(5( xxexxf ，2)(5(212sin)(xexxxfxx .10)(5(lim212sinlim)(lim02)(5(020

16、xxxxexxxfxxxxx . 0)(lim0 xx 其其中中高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)解解2 xxxfexxfxxx2sin)(lim12sin)(1lnlim00 .10)(lim20 xxfx例例16 若若, 512sin)(1lnlim0 xxexxf求求.)(lim20 xxfx2002)(lim2sin)(limxxfxxxfxx , 5)(lim2120 xxfx高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo).132lim2 xxxx解解 132lim2 xxxx, 111321lim2 xxxx132lim2 xxxx所以原極限不存在所以原極限不存在. , 111321lim2 xxxx例例17 求求高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)定理定理9

17、 初等函數(shù)在其初等函數(shù)在其定義區(qū)間定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.初等函數(shù)求極限的方法初等函數(shù)求極限的方法代入法代入法.)(),()(lim000定定義義區(qū)區(qū)間間 xxfxfxx定理定理10 ( (零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理) ) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a, b上連續(xù)，且上連續(xù)，且)(xf)(af與與 異號(hào)異號(hào)( (即即 ) ),0)()( bfaf)(bf那么那么在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間 (a, b)內(nèi)至少有函數(shù)內(nèi)至少有函數(shù) 的一個(gè)零點(diǎn)的一個(gè)零點(diǎn),)(xf. 0)( f即至少有一點(diǎn)即至少有一點(diǎn) 使使),(ba 高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)定理定理1

18、1 閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù), 必取得介于最大必取得介于最大值值M 與最小值與最小值m 之間的任何值之間的任何值., 21 aaxxxf 3)(3則函數(shù)則函數(shù)例例18 設(shè)常數(shù)設(shè)常數(shù) a 滿足滿足在區(qū)間在區(qū)間0, 1上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是( )(A) 0(B) 1 (C) 2(D) 3B 高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)第第二二章章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分.)()(lim)(0000hxfhxfxfh ;)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx ;)()(lim)(0000 xxfxxfxfx 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)定義的幾種常用形式定義的幾種常用形式重點(diǎn)內(nèi)容：重點(diǎn)內(nèi)容：高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)2. 右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù)單側(cè)

19、導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)1. 左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù) ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 處可導(dǎo)處可導(dǎo)在在0)(xxf;,)()(00且且相相等等都都存存在在和和右右導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)左左導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)xfxf 高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)oxy)(xfy T0 xM處處的的切切線線的的斜斜率率在在點(diǎn)點(diǎn)表表示示曲曲線線)(,()()(000 xfxMxfyxf 切線方程為切線方程為法線方程為法線方程為).)(000 xxxfyy )0)().()(10000 xfxxxfyy.tan)(0為為傾傾角角即即 x

20、f處處在在點(diǎn)點(diǎn)曲曲線線)(,()(00 xfxMxfy 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo))( .0 xfA)( .0 xfB （D）0例例1 設(shè)設(shè) 在點(diǎn)在點(diǎn) 可導(dǎo)可導(dǎo), 則則0 x hhxfhxfh)3()2(lim000【 】)(xf)( 5.0 xfC)1(,1,321,)(232 fxxxxxf則則例例A.不存在不存在 B. 3 C. 2 D. 1定理定理1 可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù).AC高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)可可導(dǎo)導(dǎo)的的在在可可導(dǎo)導(dǎo)是是在在例例00)()(3xxfxxfA. 充分條件充分條件 B. 必要條件必要條件C. 充分必要條件充分必要條件 D.無(wú)因果關(guān)系無(wú)因果關(guān)系

21、D.023,43423垂垂直直使使其其與與的的切切線線求求曲曲線線例例 yxxxy. 3,31023 所所求求切切線線斜斜率率為為的的斜斜率率為為yx解解 . 053)1(3)2( yxxy，即即所所求求切切線線方方程程為為. 213632 yxxxy，解解得得令令高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)例例5 設(shè)設(shè)函數(shù)函數(shù) . 1,1,12)(2xbaxxxxf解解 1)1()(lim)1(1xfxffx,1)(可導(dǎo)可導(dǎo)在在因因 xxf.1)(連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn) xxf),(lim)(lim11xfxfxx . 1 ba11lim1 xbaxxa .,1的的值值確確定定常常數(shù)數(shù)處處的的可可導(dǎo)導(dǎo)在在bax 高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)),

22、1()1( ff由由1112lim1)1()(lim)1(211 xxxfxffxx, 1)1)(1(1lim221 xxxx, 1 a可可得得. 2 b高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)1,06( )0.10,0 xxxf xxex 例例 研研究究在在處處的的可可導(dǎo)導(dǎo)性性xxxexfxff100110)0()(lim)0(lim ),0()0( ff.)0(不不存存在在f xexxfxffxxx1001lim0)0()(lim)0( 011lim10 xxe解解, 1 高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)定理定理2且其導(dǎo)數(shù)為且其導(dǎo)數(shù)為可導(dǎo)可導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn)在在則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)而而可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù),)(,)()(

23、,)(xxfyxuufyxxu 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則).()(xufdxdy 推廣推廣),(),(),(xvvuufy 設(shè)設(shè)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù))(xfy .dxdvdvdududydxdy 高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo).)()(的的情情形形數(shù)數(shù)多多個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)相相乘乘和和冪冪指指函函xvxu對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用范圍適用范圍:,)()(間間的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系與與確確定定若若參參數(shù)數(shù)方方程程xytytx 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)則則,dtdxdtdydxdy .22dtdxdxdydtddxyd 高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)例例7解解21yx 1(2,0).

24、yx 求求過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)與與曲曲線線相相切切的的直直線線方方程程0201x xKyx 故故所所求求切切線線斜斜率率為為0011(,)yM xxx 設(shè)設(shè)所所求求切切線線與與曲曲線線切切于于點(diǎn)點(diǎn)001(2,0)(,)M xx而而過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)與與也也可可寫(xiě)寫(xiě)出出切切線線斜斜率率: :00001012(2)xKxxx 高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)200011(2)xxx 由由01,x 解解得得：1(1)yx 故故，所所求求切切線線方方程程為為：20.xy 即即：切點(diǎn)為切點(diǎn)為).1 , 1(例例8 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 由參數(shù)方程由參數(shù)方程 tytxcos12)(xyy 所確定所確定, 求求;,)1(22dxyddxdy.lim,lim

25、)2(2211dxyddxdyxx 高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)解解 (1)dtdxdtdydxdy ,2sintt dtdxdxdydtddxyd 22ttt2sin21 ;4cossin3tttt dxdyx 1lim)2(221limdxydx ,212sinlim0 ttt304cossinlimttttt .12112sinlim20 tttt高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo),112x 例例9 設(shè)設(shè)解解).0(,),1ln(2yyxxy 求求 11221122xxxxy2212211xxxy ,)1(232xx . 0)0( y高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)).1(),(10yxfyyxxy 求求確確定定了了函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)例例，得，得上式

26、兩端按隱函數(shù)求導(dǎo)上式兩端按隱函數(shù)求導(dǎo)，時(shí)，由原方程得時(shí)，由原方程得當(dāng)當(dāng)11 yx解解. 1)1(11 yyx代代入入上上式式，得得及及將將,lnln,yxxy 得得方方程程兩兩端端取取對(duì)對(duì)數(shù)數(shù),ln1lnyyxyxyxy 高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)例例11.21ln2的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xxy解解),2ln()1ln(212 xxy21211212 xxxy.2112 xxx例例12.)(sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)nxfy 解解)(sinnxfy .cos1 nnnxx例例13解解.),ln(12 xxdyexy求求設(shè)設(shè),2122dxexxedxydyxx .1211dxeedyx 高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)羅

27、爾定理羅爾定理:)(滿足滿足若函數(shù)若函數(shù)xf(1) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間a, b上連續(xù)上連續(xù);(2) 在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo);(3),()(bfaf ,),( 內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)則則在在開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間ba使得使得. 0)( f第三章第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用利用羅爾定理的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)利用羅爾定理的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù).重點(diǎn)內(nèi)容：重點(diǎn)內(nèi)容：高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo).)(4)()1 , 0(0)1()2 , 2()(1 fffxf ，使使得得求求證證存存在在，內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)例例上上滿滿足足羅羅爾爾定定理理?xiàng)l條件件在在故故可可導(dǎo)導(dǎo)在在連連續(xù)續(xù)，在在

28、，及及，因因1, 0)(.)1, 0(1, 0)(0)1(0)0(xFxFFF ，而而)()(4)(43xfxxfxxF .)(4)(0)()(443 ffff ，即即即即),()(4xfxxF 令令證證, 0)()1 , 0( F，使，使高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理)().)()()(baabfafbf :)(滿滿足足若若函函數(shù)數(shù)xf(1) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間a, b上連續(xù)上連續(xù);(2) 在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo);,),( 內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)則則在在開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間ba使得使得高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)； 1)(f，)1 , 0(, . 1)()( ff例例2 已知函數(shù)

29、已知函數(shù) 在在0,1上連續(xù)，在上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),且且分析分析 第一部分用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理；第一部分用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理；)(xf，1)1(0)0( ff證明：證明：(1) 存在存在 使得使得使得使得),1 , 0( (2) 存在兩個(gè)不同的點(diǎn)存在兩個(gè)不同的點(diǎn)第二部分為雙介值問(wèn)題，需兩次使用第二部分為雙介值問(wèn)題，需兩次使用拉格朗日中值拉格朗日中值定理定理.高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)證證 (1),1)()(xxfxF ),1 , 0( 令令且且 F(0)= -10,于是由于是由介值定理介值定理知，知，, 0)( F 使得使得.1)( f即即 則則 F(x) 在在0,1上連續(xù)，上連

30、續(xù)，(2) 在在 和和 上對(duì)上對(duì) 分別應(yīng)用分別應(yīng)用拉格朗日中值拉格朗日中值定理定理，, 0 1 , )(xf),1 ,(), 0( 存在兩個(gè)不同的點(diǎn)存在兩個(gè)不同的點(diǎn),0)0()()( fff,1)()1()( fff. 1111)(1)()()( ffff使得使得于是于是 高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo), 1, 0)2(lim0 bbaxexx解解1, 1)1(lim220 xbxaxexx.21, 221, 122lim0 aaaexx,122lim0 xbaxexx.)1(0,322是是等等價(jià)價(jià)無(wú)無(wú)窮窮小小與與時(shí)時(shí)，的的值值，使使當(dāng)當(dāng)求求例例xbxaxexbax 洛必達(dá)法則求極限洛必達(dá)法則求極限高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)

31、.)1(0,322是是等等價(jià)價(jià)無(wú)無(wú)窮窮小小與與時(shí)時(shí)，的的值值，使使當(dāng)當(dāng)求求例例xbxaxexbax ),()1(21)1(222xoxbxabxaxex ,)1(22是是等等價(jià)價(jià)無(wú)無(wú)窮窮小小與與因因xbxaxex . 1,2101, 121 baba，即，即所以所以解解2，有，有由由)(2122xoxxex 高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)例例4解解220231lim.(1)xxxxxeexee 求求20021231limlimxxxxxeexex 原原式式0()02043lim2xxxeex 2087lim.22xxxee 高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo))1()(1)( 2xexxfx 設(shè)設(shè)1)2(1)( 2 xexxf ( )0,1)f x 在在內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)減減少少(0,1)0,)0()( xfxf 0,1)( )xf x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，單單調(diào)調(diào)減減少少0(0)(0,1) fxfx時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)即即 (1) 式成立式成立.證證 04)( 2xxexf).10( ,112 x