高等數(shù)學(xué)課件

1、高等數(shù)學(xué)81 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念一、區(qū)域一、區(qū)域二多元函數(shù)概念二多元函數(shù)概念三多元函數(shù)的極限三多元函數(shù)的極限四多元函數(shù)的連續(xù)性四多元函數(shù)的連續(xù)性鄰域、 內(nèi)點(diǎn)、開集、邊界點(diǎn)、邊界連通性、區(qū)域、閉區(qū)域n維空間、點(diǎn)的坐標(biāo)、兩點(diǎn)間的距離二元函數(shù)的定義、值域、二元函數(shù)的圖形二元函數(shù)連續(xù)性定義、 函數(shù)的間斷點(diǎn)多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、 多元初等函數(shù)高等數(shù)學(xué)一、區(qū)域一、區(qū)域 設(shè)P0(x0，y0)是xOy平面上的一個(gè)點(diǎn)，d 是某一正數(shù)與點(diǎn)P0(x0，y0)距離小于d 的點(diǎn)P(x，y)的全體，稱為點(diǎn)P0(x0，y0)的鄰域，記為U(P0，d )或U(P0)，即鄰域:U(P0，d ) P | |P P

2、0|d P0dU(P0，d )去心鄰域：P0)(0PU2020)()(yyxx(x，y)| d )(0PU高等數(shù)學(xué) 設(shè)E 是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，P是平面上的一個(gè)點(diǎn) 如果存在點(diǎn)P 的某一鄰域U(P)，使U(P)E，則稱P為E 的內(nèi)點(diǎn)，內(nèi)點(diǎn)： E 如果點(diǎn)集E 的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱E為開集開集：P邊界點(diǎn)、邊界： 如果點(diǎn)P的任一鄰域內(nèi)既有屬于E的點(diǎn)，也有不屬于E的點(diǎn)，則稱P點(diǎn)為E的邊點(diǎn)開集： E(x，y)|1x2 +y20(無界開區(qū)域)；Ox yx+y0高等數(shù)學(xué)二多元函數(shù)概念二多元函數(shù)概念 設(shè)D是平面上的一個(gè)點(diǎn)集如果對(duì)于每個(gè)點(diǎn)P(x，y)D，變量 z 按照一定法則總有確定的值和它對(duì)應(yīng)，則稱 z 是變量 x

3、，y 的二元函數(shù)(或點(diǎn)P的函數(shù))，記為z=f(x，y)(或z=f(P)二元函數(shù)的定義：其中D稱為定義域，x，y 稱為自變量，z 稱為因變量例 函數(shù)z=ln(x+y)的定義域?yàn)?(x，y)|x+y0(無界開區(qū)域)； 函數(shù)zarcsin(x2y2)的定義域?yàn)?(x，y)|x2y21(有界閉區(qū)域)Ox yx2y21高等數(shù)學(xué)值域： z|z=f (x，y)，(x，y)D二元函數(shù)的圖形： 點(diǎn)集(x，y，z)|z=f(x，y)，(x，y)D稱為二元函數(shù)zf(x，y)的圖形 二元函數(shù)的圖形是一張曲面例 z=a x+b y + c是一張平面，xyzOx0 y0M0高等數(shù)學(xué) 由方程x2y2z2a 2確定的函數(shù)z=

4、f (x，y)有兩個(gè)： 由方程x2y2z2a 2確定的函數(shù)z=f (x，y)是中心在原點(diǎn)，半徑為a的球面它的定義域?yàn)镈 =(x，y)|x2y2 a 2Oxy222yxaz，222yxaz222yxaz，222yxaz高等數(shù)學(xué)三多元函數(shù)的極限三多元函數(shù)的極限二重極限的定義： 設(shè)函數(shù)f (x，y)在開區(qū)域(或閉區(qū)域)D內(nèi)有定義，P0(x0，y0)是D的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)如果對(duì)于任意給定的正數(shù)e 總存在正數(shù)d ，使得對(duì)于適合不等式的一切點(diǎn)P(x，y)D ，都有 |f (x，y)A|0，取d ，d22)0()0(0yx|(x2y2)sin221yx0|0，x 1)，求證： zyzxxzyx2ln1xzyzy

5、zxxzyxln1xxxyxyxyylnln11x yx y 2z 解y x y1，x yln x 例 4 求222zyxr的偏導(dǎo)數(shù)xr222zyxxyr222zyxy 解rx，ry高等數(shù)學(xué) 例 5 已知理想氣體的狀態(tài)方程為 pV=RT(R 為常數(shù))，求證： 1pTTVVpVpTVpR； 證p VRT，因?yàn)閂 pRT，2VRT；pTpTTVVp2VRTpVRTT RpV，所以pRRV1RV高等數(shù)學(xué) 二元函數(shù)zf(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)的偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義幾何意義：xyzOx0 y0 zf(x，y0) zf(x0，y)M0TxTy高等數(shù)學(xué). 0, 0, 0,222222yxyxyxxy證函數(shù)在

6、該點(diǎn)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性： 對(duì)于多元函數(shù)來說，即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)都存在，也不能保 例如不連續(xù) f(x，y) 在點(diǎn)(0，0)有， f x(0，0)0 ，f y(0，0)0 但函數(shù)在點(diǎn)(0，0)點(diǎn)并高等數(shù)學(xué)二二 高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù) 按照對(duì)變量求導(dǎo)次序的為同有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)： 設(shè)函數(shù)zf(x，y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)xzf x(x，y)，yzf y(x，y).，那么在D 內(nèi)fx(x，y)、fy(x，y)都是x，y 的函數(shù) 如果這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在， 則稱它們是函數(shù)zf(x，y)的二偏導(dǎo)數(shù)22xzxzxyxzxzy2xyzyzx222yzyzyf y y (x，y) f x x (x

7、，y) ，f x y (x，y)，f y x (x，y) ，高等數(shù)學(xué) 二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)yxzxzy2f x y (x，y)，xyzyzx2f y x (x，y) ，其中稱為混合偏導(dǎo)數(shù)同樣可得三階、四階以及n 階偏導(dǎo)數(shù) 類似在可定義二元以上函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)高等數(shù)學(xué)22yz及33xz 例 6 設(shè) zx3 y23x y3x y 1，求 22xz、xyz2、yxz2、xzyz22xzxyz26x2 y9y21； 解 3x2 y23y3y ，2x3 y9x y2x ；6x y2 ，yxz222yz33xz6y2 6x2 y9y21，2x318x y；高等數(shù)學(xué)則在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混

8、合偏導(dǎo)數(shù)必相等xyz2yxz2 定理 如果函數(shù)zf(x，y)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù) 及在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，高等數(shù)學(xué)22lnyxz22xz22yz 例 7 驗(yàn)證函數(shù)22lnyxz滿足方程22xz22yz021 ln(x2y2)， 證因?yàn)樗詘zyz22222)(2)(yxxxyx22222)(2)(yxyyyx22yxx，222yx ，22222)(yxxy，22222)(yxyx，22xz22yz22222)(yxxy22222)(yxyx=0高等數(shù)學(xué)其中 222zyxr22xu22yu22zu 例8 證明函數(shù) 滿足方程 0 ，ru1xu21rxrrx 證 21r3rx，22xu31r43rxxr3

9、1r43rxrx31r523rx，同理 22yu31r523ry，22zu31r523rz(31r523rx)(31r523ry)(31r523rz)因此 22xu22yu22zu33r5222)(3rzyx523rr33r=0高等數(shù)學(xué)8 83 3全微分及其應(yīng)用全微分及其應(yīng)用一、全微分的定義一、全微分的定義二二* 、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用偏增量與偏微分、全增量全微分的定義、可微與連續(xù)可微的必要條件、可微的充分條件疊加原理高等數(shù)學(xué)一、全微分的定義一、全微分的定義偏增量與偏微分： f (xx，y)f(x，y)f x(x，y)x函數(shù)對(duì)x的偏增量函數(shù)對(duì)x的偏微分； f (x

10、，yy)f(x，y)f y(x，y)y 函數(shù)對(duì)y的偏增量函數(shù)對(duì)y的偏微分； z f (xx，yy)f(x，y)稱為函數(shù)在點(diǎn)P對(duì)于自變量增量x、 y的全增量 全增量：高等數(shù)學(xué)則稱函數(shù)zf(x，y)在點(diǎn)(x，y)可微分，而稱AxBy為函數(shù) zf(x，y)在點(diǎn)(x，y)的全微分，記作dx ，即 dz AxBy全微分的定義： 如果函數(shù)zf(x，y)在點(diǎn)(x，y)的全增量 z f (xx，yy)f(x，y) 可表示為 zAxByo(r)，其中A、B不依賴于x、y 而僅與x 、y 有關(guān)， 22)()(yxr， 如果函數(shù)在區(qū)域D 內(nèi)各點(diǎn)處都可微分，那么稱這函數(shù)在D 內(nèi)可微分高等數(shù)學(xué) 可微必連續(xù)，但偏導(dǎo)數(shù)存在

11、不一定連續(xù)可微與連續(xù)：高等數(shù)學(xué)且函數(shù)zf(x，y)在點(diǎn)(x，y)的全微分為定理1(必要條件): 如果函數(shù)zf(x，y)在點(diǎn)(x，y)可微分，則該函數(shù)在點(diǎn)(x，y)的xzyz偏導(dǎo)數(shù) 、 必定存在，xzyz dz x y 個(gè)鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)P (xx，yy)，有zAxByo(r)特別當(dāng)y0時(shí)有 f (xx，y)f(x，y) Ax o(|x|) 證 設(shè)函數(shù)zf(x，y)在點(diǎn)P(x，y)可微分于是，對(duì)于點(diǎn)P的某xz上式兩邊各除以x，再令x 0而取極限，就得 =A同理 =Byz所以xzyz dz x y 高等數(shù)學(xué)且函數(shù)zf(x，y)在點(diǎn)(x，y)的全微分為定理1(必要條件): 如果函數(shù)zf(x，y)在點(diǎn)

12、(x，y)可微分，則該函數(shù)在點(diǎn)(x，y)的xzyz偏導(dǎo)數(shù) 、 必定存在，xzyz dz x y 偏導(dǎo)數(shù)存在是可微分的必要條件，但不是充分條件 則函數(shù)在該點(diǎn)可微分定理2(充分條件):xzyz 如果函數(shù)zf(x，y)的偏導(dǎo)數(shù) 、 在點(diǎn)(x，y)連續(xù)， 定理1和定理2的結(jié)論可推廣到三元及三元以上函數(shù)高等數(shù)學(xué) 疊加原理也適用于二元以上的函數(shù)，例如函數(shù)uf (x，y，z) 的全微分為疊加原理： 若令xdx ，ydy，則xzyzdz dx dy 二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理xuyuzudu dx dy dz 高等數(shù)學(xué)二二* 、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用、全微分在

13、近似計(jì)算中的應(yīng)用 當(dāng)二元函數(shù)zf (x，y) 在點(diǎn)P (x，y) 的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)f x (x，y) ， f y (x，y) 連續(xù)，并且|x|，|y|都較小時(shí)，有近似等式z dz f x (x，y)x f y (x，y)y ，即 f (xx，yy) f(x，y) f x (x，y)x f y (x，y)y 我們可以利用上述近似等式對(duì)二元函數(shù)作近似計(jì)算高等數(shù)學(xué) 例4 有一圓柱體，受壓后發(fā)生形變，它的半徑由20cm增大到2005cm，高度由100cu減少到99cm求此圓柱體體積變化的近似值 解 設(shè)圓柱體的半徑、高和體積依次為r、h和V，則有V r 2h 已知r20，h100，r005，h1根據(jù)近似公式

14、，有 VVrr Vhh 2rhrr 2h 220100005202(1)200 (cm3)即此圓柱體在受壓后體積約減少了200 cm3高等數(shù)學(xué) 解 設(shè)函數(shù)f (x，y)x y 顯然，要計(jì)算的值就是函數(shù)在x104，y202時(shí)的函數(shù)值f(104，202) 取x1，y2，x004，y002由于 f (xx，yy) f(x，y) f x (x，y)x f y (x，y)y x y y x y1x x yln x y ，所以(104)202 12 212100412ln 1002108 例5 計(jì)算(104)202的近似值高等數(shù)學(xué)84 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元

15、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則全微分形式不變性練習(xí)連鎖規(guī)則、連鎖規(guī)則的進(jìn)一步推廣高等數(shù)學(xué)引引例例 設(shè) zarcsin(xy)，而 x3t，y4t 3，求dtdz解 zarcsin(3t4t 3)，23)43(11tt (343t2)2)(11yx 32)(11yx 43t22)(11yx dtdx2)(11yx dtdyxzdtdxyzdtdy注意 zarcsin(3t4t 3)，dtdz23)43(11tt (343t2)43t2)2)(11yx (343t2)一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：設(shè) yf(u)，u(x)，則dxdydudydxdu多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)如何求？高等數(shù)學(xué) 定理 如果函數(shù)u(t)及vy(t

16、)都在點(diǎn)t 可導(dǎo)， 函數(shù)zf(x，y)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 則復(fù)合函數(shù)zf(t), y(t)在點(diǎn)可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算：dtdzuzdtduvz 設(shè)zf (u，v，w)，u(t)，vy(t)，ww(t)，則zf(t)，y(t)，w(t)對(duì)t 的導(dǎo)數(shù)為：連鎖規(guī)則的推廣：dtdzuzdtduvzdtdvwzdtdvdtdw連鎖規(guī)則：（ 稱為全導(dǎo)數(shù)）dtdz高等數(shù)學(xué) 設(shè)zf(u，v)，而u(x，y)，vy(x，y)，則復(fù)合函數(shù) zf (x，y)，y(x，y)的偏導(dǎo)數(shù)為：uzvzxzxuyzyu連鎖規(guī)則的進(jìn)一步推廣：uzvzxv，yv高等數(shù)學(xué)yzyuuzvzyv例1 設(shè)ze usin v

17、，ux y，vxy ，求 和 xzyz解xzuzvzxuxveu sin vy eu cos v 1 exy y sin (xy) cos (xy)，e usin vxe ucos v1ex yx sin(xy)cos(xy)高等數(shù)學(xué)討論：1設(shè)zf(u，v，w )，u(x，y)，vy(x，y)，ww(x，y)，則wzuzvzxzxuxvxw，yzyuuzvzyvwzyw?xz?yz2設(shè)zf (u，x，y)，且u(x，y)，則?xz?yzufxuxzxf，yuyzufyf答：答：高等數(shù)學(xué)222zyxexuyu例2 設(shè)uf (x，y，z) ，而zx2 sin y求 和 xfzfxz解xu2x222

18、zyxe2z222zyxe2x(12x2 sin 2y) yxyxe2422sin2x sin yyfzfyz2y222zyxe2z222zyxe x2 cos yyuyxyxe2422sin2(yx 4sin y cos y) 高等數(shù)學(xué)dtdz例3 設(shè)zu vsin t ，而ue t，vcos t求全導(dǎo)數(shù) dtdzuzdtduvzdtdvtz e t(cos t sin t) cos t 解v e tu sin t cos te tcos t e tsin t cos t高等數(shù)學(xué)例4 設(shè)wf (xyz，x y z)，f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，xwzxw2求 及 xwufxuvfxv解令uxyz

19、，vxyz ，則wf (u，v)ufvfyz ，xw或 f1yz f2zxw2z)(ufvfyz)(vfyzuzu)(ufvzv)(ufvfyuzu yz)(vfvzv yz)(vf22uf22vfx y2 z vuf2xyvfyuvf2 yz22vfx y2 z ，22ufvuf2y(xz)vf yzxw2或 f11y(xz) f12 yf2 xy2z f22高等數(shù)學(xué)設(shè)zf(u，v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有全微分全微分形式不變性：uzvzdz du dv 如果zf(u，v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而u(x，y)，vy(x，y)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則xzyzdz dx dyuzxuvzxv( )dxuzyu

20、vzyv( )dy ( dx dy)uzxuyuvzxvyv ( dx dy)uzvz du dv高等數(shù)學(xué) 例6 設(shè)ze usin v，ux y，vxy，利用全微分形式不變性求全微分( ye usin v e ucos v)dxuzvzdz du dv解 e usin vdu e usin v(y dxx dy )e xy y sin(xy)cos(xy)dx e xy x sin(xy)cos(xy)dy e ucos v dv e ucos v(dxdy)(xe usin v e ucos v )dy高等數(shù)學(xué)練習(xí)1設(shè) zvu，而 ux y ，v 22yx，求xz，yz2設(shè) zf(x2y2，

21、x2y2，2x y )，求 dz 3求 u(xy，x2 y)的二階偏導(dǎo)數(shù)4設(shè) zf(u，v)，而 u2xy，vx2 y2 ，求xz，yz yxz2高等數(shù)學(xué)85 隱函數(shù)有求導(dǎo)法則隱函數(shù)有求導(dǎo)法則一、一個(gè)方程的情形一、一個(gè)方程的情形二、方程組的情形二、方程組的情形隱函數(shù)存在定理1隱函數(shù)存在定理2高等數(shù)學(xué)一一個(gè)方程的情形一一個(gè)方程的情形 設(shè)函數(shù)F (x，y)在點(diǎn)P(x0，y0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，F(xiàn) (x0，y0)0，F(xiàn)y (x0，y0)0，則方程F (x，y)0，在點(diǎn)(x0，y0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù) yf(x)，它滿足條件y0f(x0)，并有隱函數(shù)存在定

22、理1dxdyyxFF高等數(shù)學(xué) 例1 驗(yàn)證方程x2y210在點(diǎn)(0，1)有某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)單值且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x0時(shí)y1的隱函數(shù)yf(x)，并求這函數(shù)的一階與二階導(dǎo)數(shù)在x0的值某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)單值且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x0時(shí)y1的隱函數(shù)yf(x) 解設(shè)F (x，y)x2y21， 則Fx 2x，F(xiàn)y 2y，F(xiàn)(0，1)0， Fy (0，1)20 因此由定理1可知，方程x2y210在點(diǎn)(0，1)有dxdyyxFFdxdy0 x0；yx，22dxyd2yyxy2)(yyxxy322yxy 0 x122dxyd31y，高等數(shù)學(xué)xzyz 設(shè)函數(shù)F (x，y，z)在點(diǎn)P(x0，y0，z0)的某一鄰

23、域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且F(x0，y0，z0)0，F(xiàn)z(x0，y0，z0)0 ，則方程程F (x，y，z)0在點(diǎn)(x0，y0，z0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)zf (x，y)，它滿足條件 z0f(x0，y0)，并有隱函數(shù)存在定理2zxFF，zyFF高等數(shù)學(xué)xzzxFF 解 設(shè)F (x，y，z) x2y2z24z，則Fx2x，F(xiàn)y2z4，22xz例2 設(shè)x2y2z24z0，求 22xz2)2()2(zxzxx2)2()2()2(zzxxxzx2，322)2()2(zxx高等數(shù)學(xué)二方程組的情形二方程組的情形二元函數(shù)：uu (x，y)，vv (x，y)，則偏導(dǎo)數(shù) ，x

24、uxvyuyv偏導(dǎo)數(shù) ，0),(0),(vuyxGvuyxF 設(shè)方程組確定一對(duì)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的00 xvGxuGGxvFxuFFvuxvux確定， 由方程組00yvGyuGGyvFyuFFvuyvuy確定由方程組高等數(shù)學(xué)xuxvyuyv例3 設(shè)xuyv0，yuxv1，求 ， ， 和 解 兩個(gè)方程兩邊分別對(duì)x 求偏導(dǎo)，得關(guān)于 和 的方程組xuxv. 0, 0 xvxvxuyxvyxuxuxuxv解得22yxyvxu，22yxxvyu兩個(gè)方程兩邊分別對(duì)y 求偏導(dǎo)，得關(guān)于 和 的方程組yuyv. 0, 0yvxyuyuyvyvyuxyuyv解得22yxyuxv，22yxyvxu高等數(shù)學(xué)86 微分法在

25、幾何中的應(yīng)用微分法在幾何中的應(yīng)用一一 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面二曲面的切平面與法線二曲面的切平面與法線曲線的切向量、法平面曲面的切平面、曲面的法線、曲面的法向量高等數(shù)學(xué)一一 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面 設(shè)空間曲線的參數(shù)方程為x(t)，yy(t)，zw(t)這里假定(t)， y(t)，w(t)都可導(dǎo)考慮當(dāng)M M ，即t 0時(shí)zzzyyyxxx000 ，tzzztyyytxxx000 ，xyzOMM 其方程為 過曲線上tt0和tt0t對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M 和M，作曲線的割線M M ，高等數(shù)學(xué)一一 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面 設(shè)空間曲線的參數(shù)方程為x(t

26、)，yy(t)，zw(t)這里假定(t)， y(t)，w(t)都可導(dǎo)xyzOMM 過曲線上tt0和tt0t對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M 和M，作曲線的割線M M ，考慮當(dāng)M M ，即t 0時(shí)zzzyyyxxx000 ，tzzztyyytxxx000 ，其方程為高等數(shù)學(xué)一一 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面 設(shè)空間曲線的參數(shù)方程為x(t)，yy(t)，zw(t)這里假定(t)， y(t)，w(t)都可導(dǎo)xyzOMM 過曲線上tt0和tt0t對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M 和M，作曲線的割線M M ，考慮當(dāng)M M ，即t 0時(shí)zzzyyyxxx000 ，tzzztyyytxxx000 ，其方程為高等數(shù)學(xué)一一 空間曲線的切線

27、與法平面空間曲線的切線與法平面 設(shè)空間曲線的參數(shù)方程為x(t)，yy(t)，zw(t)這里假定(t)， y(t)，w(t)都可導(dǎo)xyzOMM 過曲線上tt0和tt0t對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M 和M，作曲線的割線M M ，考慮當(dāng)M M ，即t 0時(shí)zzzyyyxxx000 ，tzzztyyytxxx000 ，其方程為高等數(shù)學(xué)一一 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面 設(shè)空間曲線的參數(shù)方程為x(t)，yy(t)，zw(t)這里假定(t)， y(t)，w(t)都可導(dǎo)xyzOM)()()(000000tzztyytxxwy 得曲線在點(diǎn)M 處的切線方程為 過曲線上tt0和tt0t對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M 和M，作曲線的割線

28、M M ，考慮當(dāng)M M ，即t 0時(shí)zzzyyyxxx000 ，tzzztyyytxxx000 ，其方程為高等數(shù)學(xué)就是曲線在點(diǎn)M處的一個(gè)切向量曲線的切向量： 切線的方向向量稱為曲線的切向量向量 通過點(diǎn)M而與切線垂直的平面稱為曲線在點(diǎn)M 處的法平面，法平面：xyzOM法平面方程為 (t0)(xx0)y (t0)(yy0)w (t0)(zz0)0T(t0)，y (t0)，w (t0)T高等數(shù)學(xué) 解 因?yàn)閤t1，yt2t，zt3t 2 ，而點(diǎn)(1，1，1)所對(duì)應(yīng)的參數(shù) t1， 所以 例1 求曲線xt，yt 2，zt 3在點(diǎn)(1，1，1)處的切線及法平面方程于是，切線方程為法平面方程為(x1)2(y1

29、)3(z1)0，即x2y3z6312111zyxT1，2，3高等數(shù)學(xué) 提示: 曲線的參數(shù)方程為： xx，y(x)，zy(x) 切向量為討論： 1若曲線的方程為y(x)，zy(x)問其切線和法平面方程是什么形式?1，(x0)，y(x0) 2若曲線的方程為F (x，y，z)0，G (x，y，z)0問其切線和法平面方程又是什么形式? 提示: 兩個(gè)方程確定了兩個(gè)隱函數(shù)：y(x)，zy(x)，切向量為dxdydxdz1， ， TT高等數(shù)學(xué) 例2 求曲線x2y2z26，xyz0在點(diǎn)(1，2，1)處的切線及法平面方程 解 為求切向量將所給方程的兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得. 01, 0222dxdzdxdydxdzz

30、dxdyyxdxdydxdzdxdy) 1 , 2, 1 ( dxdz) 1 , 2, 1 ( 解得zyxz，zyyx10，所求切線方程為法平面方程為 (x1)0(y2)(z1)0，即xz0110211zyxTdxdydxdz1， ， ，從而 1，0，1T高等數(shù)學(xué)二曲面的切平面與法線二曲面的切平面與法線 設(shè)曲面 ：F(x，y，z)0， M(x0，y0，z0)是 上的一點(diǎn) 考慮F (t)，y(t)，w(t) =0兩邊在 tt0的全導(dǎo)數(shù)：Fx(x0，y0，z0)(t0)Fy(x0，y0，z0)y (t0)Fz(x0，y0，z0)w (t0)0可見向量xyzOM在 上，通過點(diǎn)M 任意引一條曲線，其參

31、數(shù)方程式為 x(t)，yy(t)，zw(t)；x0(t0)，y0y(t0)，z0w(t0) nTnTnFx(x0，y0，z0)，F(xiàn)y(x0，y0，z0)，F(xiàn)z(x0，y0，z0)，T與曲線的切向量 (t0)，y (t0)，w (t0)垂直高等數(shù)學(xué)二曲面的切平面與法線二曲面的切平面與法線 設(shè)曲面 ：F(x，y，z)0， M(x0，y0，z0)是 上的一點(diǎn) 考慮F (x，y，z)=0兩邊在 tt0的全導(dǎo)數(shù)：Fx(x0，y0，z0)(t0)Fy(x0，y0，z0)y (t0)Fz(x0，y0，z0)w (t0)0可見向量xyzOM在 上，通過點(diǎn)M 任意引一條曲線，其參數(shù)方程式為 x(t)，yy(t)

32、，zw(t)；x0(t0)，y0y(t0)，z0w(t0) nTnTnFx(x0，y0，z0)，F(xiàn)y(x0，y0，z0)，F(xiàn)z(x0，y0，z0)，T與曲線的切向量 (t0)，y (t0)，w (t0)垂直高等數(shù)學(xué)二曲面的切平面與法線二曲面的切平面與法線 設(shè)曲面 ：F(x，y，z)0， M(x0，y0，z0)是 上的一點(diǎn) 考慮F (x，y，z)=0兩邊在 tt0的全導(dǎo)數(shù)：Fx(x0，y0，z0)(t0)Fy(x0，y0，z0)y (t0)Fz(x0，y0，z0)w (t0)0可見向量xyzOM在 上，通過點(diǎn)M 任意引一條曲線，其參數(shù)方程式為 x(t)，yy(t)，zw(t)；x0(t0)，y0

33、y(t0)，z0w(t0) nnTnFx(x0，y0，z0)，F(xiàn)y(x0，y0，z0)，F(xiàn)z(x0，y0，z0)，T與曲線的切向量 (t0)，y (t0)，w (t0)垂直T高等數(shù)學(xué) 曲面上通過點(diǎn)M的一切曲線在點(diǎn)M的切線都在同一個(gè)平面上這個(gè)平面稱為曲面在點(diǎn)M 的切平面這切平面的方程式是Fx(x0，y0，z0)(xx0)Fy(x0，y0，z0)(yy0)Fz(x0，y0，z0)(zz0)0 通過點(diǎn)M (x0，y0，z0)而垂直于切平面的直線稱為曲面在該點(diǎn)的法線法線方程為曲面的切平面：曲面的法線： 垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量在點(diǎn)M處的法向量為曲面的法向量：),(),(),(00000

34、0000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyxn Fx(x0，y0，z0)，F(xiàn)y(x0，y0，z0)，F(xiàn)z(x0，y0，z0) 高等數(shù)學(xué) 例3 求球面x2y2z214在點(diǎn)(1，2，3)處的切平面方程及法線方程 解 F (x，y，z) x2y2z214，所求切平面方程為(x1)2(y2)3(z3)0，即x2y3z140法向量法線方程為332211zyxn2x，2y ，2z，|(1，2，3)2，4，6=21，2，3n高等數(shù)學(xué) 若曲面方程為zf (x，y) ，問曲面的切平面及法線方程式是什么形式?討論：提示：此時(shí)F (x，y，z)f (x，y)z fx(x0，y0)，fy(x0，y0)，1

35、n高等數(shù)學(xué) 解 f (x，y) x2y21， 例4 求旋轉(zhuǎn)拋物面zx2y21在點(diǎn)(2，1，4)處的切平面方程及法線方程所以在點(diǎn)(2，1，4)處的切平面方程為4(x2)2(y1)(z4)0，即4x2yz60法線方程為142142zyxnfx，fy，12x，2y，1，|(2，1，4)4，2，1n高等數(shù)學(xué) 87 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)二、梯度二、梯度方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、三元函數(shù)的方向?qū)?shù)梯度與方向?qū)?shù)、梯度的模、方向?qū)?shù)的最大值等高線、梯度與等高線的關(guān)系三元函數(shù)的梯度、等量面數(shù)量場(chǎng)與向量場(chǎng)、勢(shì)與勢(shì)場(chǎng)高等數(shù)學(xué)一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù) 設(shè)函數(shù)zf (x，y)在點(diǎn)P (x

36、，y)的某一鄰域U(P)內(nèi)有定義自點(diǎn)P引射線 l 設(shè) x 軸正向到射線 l 的轉(zhuǎn)角為 ，并設(shè)P (xx，yy) 為 l 上的另一點(diǎn)且P U(P)若此極限存在， 則稱此極限為函數(shù) f (x，y)在點(diǎn)P 沿方向 l 的方向?qū)?shù)，lf記作 ，即22)()(yx其中r OxyPlPxyrr),(),(lim0yxfyyxxf考慮，lfrr),(),(lim0yxfyyxxf，r 高等數(shù)學(xué)lf 定理 如果函數(shù)zf (x，y)在點(diǎn)P (x，y)是可微分的，那么函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向l 的方向?qū)?shù)都存在，且有方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：xfyf = cos sin ，其中為x 軸到方向l 的轉(zhuǎn)角)(royyfxx

37、f 簡(jiǎn)要證明： f(xx，yy)f(x，y)r),(),(yxfyyxxfrrrr)(oyyfxxf高等數(shù)學(xué)lf 定理 如果函數(shù)zf (x，y)在點(diǎn)P (x，y)是可微分的，那么函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向l 的方向?qū)?shù)都存在，且有方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：xfyf = cos sin ，其中為x 軸到方向l 的轉(zhuǎn)角)(royyfxxf 簡(jiǎn)要證明： f(xx，yy)f(x，y)r),(),(yxfyyxxfrr)(sincosoyfxflfrr),(),(lim0yxfyyxxfsincosyfxf高等數(shù)學(xué)討論函數(shù) zf (x，y)在點(diǎn)P 沿x 軸正向和負(fù)向， 沿 y 軸正向和負(fù)向的方向?qū)?shù)如何?討論：

38、 根據(jù)公式lfxfyf = cos sin 提示： 沿x 軸正向時(shí)， cos 1， sin 0， 沿x 軸負(fù)向時(shí)，cos 1， sin 0，xf；lfxfyf = cos sin xflfxfyf = cos sin ，高等數(shù)學(xué) 例1 求函數(shù)zx e 2y在點(diǎn)P (1，0)沿從點(diǎn)P (1，0)到點(diǎn)Q(2，1)的方向的方向?qū)?shù)因此 x 軸到方向因?yàn)閘 的轉(zhuǎn)角為 4 xzyz e 2y，2x e 2y故所求方向?qū)?shù)為在點(diǎn)(1，0)處， 1， 2xzyzlz4 1cos( )2sin( )4 22 xyO-112PQPQ 解 這里方向 l 即向量 1，1的方向，高等數(shù)學(xué)x軸到射線l 的轉(zhuǎn)角為 ，rx

39、 軸到 的轉(zhuǎn)角為q ，2 討論：q 和 q 時(shí)的方向?qū)?shù)xr22yxxrxyr22yxyry 解 因?yàn)閟in q cos q ，lr所以cos q cos sin q sin cos(q)Oxyl 例2 設(shè)由原點(diǎn)到點(diǎn)(x，y)的向徑為 ，rlr22yx r其中r| | (r 0)求 ，q r(x, y)高等數(shù)學(xué)222)()()(zyx其中r ，xr cos a ，yr cos b ， 對(duì)于三元函數(shù)uf (x，y，z) ，定義它在空間一點(diǎn)P (x，y，z)著方向(設(shè)方向的方向角為a 、b 、g )的方向?qū)?shù)如下lfrr),(),(lim0zyxfzzyyxxf，zr cos g 如果函數(shù)在所考慮

40、的點(diǎn)處可微分， 有xfyfzf= cos a sin b cos g lf三元函數(shù)的方向?qū)?shù)：高等數(shù)學(xué)二、梯度二、梯度 設(shè)函數(shù)zf (x，y)在平面區(qū)域D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于任一點(diǎn)P (x，y) D 及任一方向l ，有稱為函數(shù)f (x，y) 在點(diǎn)P 的梯度，記作grad f (x，y)，即grad f (x，y) lfxfyf cos sin xfyf ， cos ，sin ，其中向量xfiyfjxfiyfj高等數(shù)學(xué)梯度與方向?qū)?shù)：lfxfyf cos sin xfyf ， cos ，sin 設(shè) cos sin 是與 l 方向同方向的單位向量，則eij grad f (x，y) ee

41、yxf),(| grad f (x，y)| cos ( grad ) 高等數(shù)學(xué) 函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，而它的模為方向?qū)?shù)的最大值討論： 已知方向?qū)?shù)為lf的最大值是什么？結(jié)論：梯度的模：| grad f (x，y)|22yfxflfxfyf cos sin eyxf),(| grad f (x，y)| cos ( grad ) 高等數(shù)學(xué)czyxfz),( 曲面z f (x，y)上的曲線等高線：在xOy面上的投影曲線f (x，y)c稱為函數(shù)zf (x，y)的等高線高等數(shù)學(xué)xyyxffffdxdy)(11梯度與等高線的關(guān)系： 等高線 f (x，y)c

42、上任一點(diǎn)P (x，y)處的法線的斜率為yxOgrad f (x，y) fy fxgrad f (x, y)法線的方向向量是什么？PyxO f (x，y)c f (x，y)c1(c1c)所以梯度 + 為等高線上點(diǎn)P 處的法向量xfiyfj高等數(shù)學(xué) 函數(shù)zf (x，y)在點(diǎn)P (x，y)的梯度的方向與過點(diǎn)P的等高線 f (x，y)c在這點(diǎn)的法線的一個(gè)方向相同，且從數(shù)值較低的等高線指向數(shù)值較高的等高線， 而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù)這個(gè)法線方向就是方向?qū)?shù)取得最大值的方向xyyxffffdxdy)(11梯度與等高線的關(guān)系： 等高線 f (x，y)c上任一點(diǎn)P (x，y)處的法線的斜率為

43、所以梯度 + 為等高線上點(diǎn)P 處的法向量xfiyfj高等數(shù)學(xué)三元函數(shù)的梯度： 設(shè)函數(shù)uf (x，y，z)在空間區(qū)域G 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，對(duì)于每一點(diǎn)P (x，y，z) G ，函數(shù) uf (x，y，z)在該點(diǎn)的梯度grad f (x，y，z) 定義為：結(jié)論結(jié)論：三元函數(shù)的梯度是這樣一個(gè)向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，而它的模為方向?qū)?shù)的最大值z(mì)fkgrad f (x，y，z) + + xfiyfj高等數(shù)學(xué)等量面： 曲面 f (x，y，z)c為函數(shù)uf (x，y，z)的等量面 函數(shù)uf (x，y，z)在點(diǎn)P(x，y，z)的梯度的方向與過點(diǎn)P 的等量面 f (x，y，z)c在這點(diǎn)的法線

44、的一個(gè)方向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面， 而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù)高等數(shù)學(xué)221yx 例3 求grad 221yx 解 這里 f(x，y) xfyf因?yàn)?22)(2yxx，222)(2yxy，222)(2yxxi221yx 所以 grad222)(2yxyj 例4 設(shè)f (x，y，z)x2y2z2 ， 求grad f (1，1，2) 解 grad f fx，fy，fz 2x，2y，2z，于是 grad f (1，1，2)2，2，4高等數(shù)學(xué) 如果與點(diǎn)M相對(duì)應(yīng)的是一個(gè)向量 (M)，則稱在這空間區(qū)域GF 如果對(duì)于空間區(qū)域G內(nèi)的任一點(diǎn)M，都有一個(gè)確定的數(shù)量 f(M)

45、，則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個(gè)數(shù)量場(chǎng)(例如溫度場(chǎng)、密度場(chǎng)等)一個(gè)數(shù)量場(chǎng)可用一個(gè)數(shù)量函數(shù)f(M)來確定數(shù)量場(chǎng)與向量場(chǎng)：內(nèi)確定了一個(gè)向量場(chǎng)(例如力場(chǎng)、速度場(chǎng)等)一個(gè)向量場(chǎng)可用一個(gè)向量函數(shù) (M)來確定，而F其中P(M)，Q(M)，R(M)是點(diǎn)M的數(shù)量函數(shù)ijk(M)P(M) Q(M) R(M) ，F(xiàn)高等數(shù)學(xué) 利用場(chǎng)的概念，我們可以說向量函數(shù)grad f(M)確定了一個(gè)向量場(chǎng)梯度場(chǎng)，它是由數(shù)量場(chǎng)f(M)產(chǎn)生的通常稱函數(shù)f(M)為這個(gè)向量場(chǎng)的勢(shì)，而這個(gè)向量場(chǎng)又稱為勢(shì)場(chǎng)必須注意，任意一個(gè)向量場(chǎng)不一定是勢(shì)場(chǎng)，因?yàn)樗灰欢ㄊ悄硞€(gè)數(shù)量函數(shù)的梯度場(chǎng)勢(shì)與勢(shì)場(chǎng)：高等數(shù)學(xué)88 多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及

46、其求法一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值二、條件極值二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法極值的定義、取得極值的必要條件取得極值的充分條件、極值的求法最大值和最小值問題條件極值、拉格朗日乘數(shù)法高等數(shù)學(xué)一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值 設(shè)函數(shù)zf (x，y)在點(diǎn)(x0，y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異開(x0，y0)的點(diǎn)(x，y)：如果都適合不等式f (x，y)f(x0，y0)，則稱函數(shù)在點(diǎn)(x0，y0)有極小值f(x0，y0) 極大值、極小值統(tǒng)稱為極值使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)極值的定義：高等數(shù)學(xué) 例1 函數(shù)z

47、3x24y2在點(diǎn)(0，0)處有極小值xyOz高等數(shù)學(xué)xyzO 例 2 函數(shù) z22yx 在點(diǎn)(0，0)處有極大值高等數(shù)學(xué) 例3 函數(shù)zxy 在點(diǎn)(0，0)處既不取得極大值也不取得極小值因?yàn)樵邳c(diǎn)(0，0)處的函數(shù)值為零，而在點(diǎn)(0，0)的任一鄰域內(nèi)，總有使函數(shù)值為正的點(diǎn)，也有使函數(shù)值為負(fù)的點(diǎn)高等數(shù)學(xué) 二元函數(shù)的極值概念，可推廣到n元函數(shù)設(shè)n元函數(shù)uf(P)在點(diǎn)P 0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于該鄰域內(nèi)異于P 0的任何點(diǎn)P都適合不等式f(P)f(P 0)則稱函數(shù)f(P)在點(diǎn)P0有極大值(極小值)f(P0)高等數(shù)學(xué) 定理1 設(shè)函數(shù)zf (x，y)在點(diǎn)(x0，y0)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)(x0，y0)處有

48、極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：fx(x0，y0)0，fy(x0，y0)0取得極值的必要條件： 類似地可推得，如果三元函數(shù)uf (x，y，z)在點(diǎn)(x0，y0，z0)具有偏導(dǎo)數(shù)，則它在點(diǎn)(x0，y0，z0)具有極值的必要條件為fx(x0，y0，z0)0，fy(x0，y0，z0)0，fz(x0，y0，z0)0 凡是能使fx(x，y)0，fy(x，y)0同時(shí)成立的點(diǎn)(x0，y0)稱為函數(shù)zf (x，y)的駐點(diǎn)高等數(shù)學(xué)討論： 駐點(diǎn)與極值點(diǎn)的關(guān)系怎樣？答： 具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)但函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)高等數(shù)學(xué) 定理2 設(shè)函數(shù)zf (x，y)在點(diǎn)(x0，y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又fx(x0，y0)0，fy(x0，y0)0，令fxx(x0，y0)A，fxy(x0，y0)B，fyy(x0，y0)C，則f (x，y)在(x0，y0)處