彈性力學(xué)及有限單元法_邵國(guó)建_用有限元法解問(wèn)題

1、第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題第五節(jié)第五節(jié) 單元的結(jié)點(diǎn)力列陣與勁度矩陣單元的結(jié)點(diǎn)力列陣與勁度矩陣第四節(jié)第四節(jié) 單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣 第三節(jié)第三節(jié) 單元的位移模式與解答的收斂性單元的位移模式與解答的收斂性第二節(jié)第二節(jié) 有限單元法的概念有限單元法的概念第一節(jié)第一節(jié) 基本量及基本方程的矩陣表示基本量及基本方程的矩陣表示概述概述第六節(jié)第六節(jié) 荷載向結(jié)點(diǎn)移置荷載向結(jié)點(diǎn)移置 單元的結(jié)點(diǎn)荷載列陣單元的結(jié)點(diǎn)荷載列陣第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題例題例題第十一節(jié)第十一節(jié) 應(yīng)用變分原理導(dǎo)出有限單元法的基本方程應(yīng)用變分原理導(dǎo)出有限單元法的基本方程第十節(jié)第十節(jié) 計(jì)算實(shí)例計(jì)算實(shí)例第九節(jié)第九節(jié)

2、 計(jì)算成果的整理計(jì)算成果的整理第八節(jié)第八節(jié) 解題的具體步驟解題的具體步驟 單元的劃分單元的劃分第七節(jié)第七節(jié) 結(jié)構(gòu)的整體分析結(jié)點(diǎn)平衡方程組結(jié)構(gòu)的整體分析結(jié)點(diǎn)平衡方程組習(xí)題的提示與答案習(xí)題的提示與答案教學(xué)參考資料教學(xué)參考資料第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題第六章第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題用有限單元法解平面問(wèn)題1.有限元法有限元法（Finite Element Method） FEM2. FEM的特點(diǎn)的特點(diǎn) 概述概述（1 1）具有）具有通用性和靈活性通用性和靈活性。 首先將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)，然后再利用首先將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)，然后再利用分片插值技術(shù)與虛功原理或變分方法進(jìn)行求解。分片插值技

3、術(shù)與虛功原理或變分方法進(jìn)行求解。簡(jiǎn)稱(chēng)簡(jiǎn)稱(chēng)FEM，是彈性力學(xué)的一種是彈性力學(xué)的一種近似解法。近似解法。第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題簡(jiǎn)史3. FEM簡(jiǎn)史簡(jiǎn)史 （2 2）對(duì)同一類(lèi)問(wèn)題，可以編制出）對(duì)同一類(lèi)問(wèn)題，可以編制出通用程序通用程序，應(yīng)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算。應(yīng)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算。 （3 3）只要適當(dāng)加密網(wǎng)格，就可以達(dá)到工程）只要適當(dāng)加密網(wǎng)格，就可以達(dá)到工程要求的精度。要求的精度。 19431943年柯朗第一次提出了年柯朗第一次提出了FEMFEM的概念。的概念。 FEMFEM是上世紀(jì)中期才出現(xiàn)，并得到迅速發(fā)展是上世紀(jì)中期才出現(xiàn)，并得到迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用的一種數(shù)值解法。和廣泛應(yīng)用的一種數(shù)值解法。 第六章

4、 用有限單元法解平面問(wèn)題 19701970年后，年后，F(xiàn)EMFEM被引入我國(guó)，并很快地得到應(yīng)用被引入我國(guó)，并很快地得到應(yīng)用和發(fā)展。和發(fā)展。簡(jiǎn)史 19561956年，特納等人提出了年，特納等人提出了FEMFEM。 2020世紀(jì)世紀(jì)5050年代，平面問(wèn)題的年代，平面問(wèn)題的FEMFEM建立，并應(yīng)用建立，并應(yīng)用于工程問(wèn)題。于工程問(wèn)題。 19601960年提出了年提出了FEMFEM的名稱(chēng)。的名稱(chēng)。 2020世紀(jì)世紀(jì)6060年代后，年代后，F(xiàn)EMFEM應(yīng)用于各種力學(xué)問(wèn)題和應(yīng)用于各種力學(xué)問(wèn)題和非線性問(wèn)題，并得到迅速發(fā)展。非線性問(wèn)題，并得到迅速發(fā)展。第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題導(dǎo)出方法5.5.本章介紹平面問(wèn)

5、題的本章介紹平面問(wèn)題的FEMFEM4. FEMFEM的主要導(dǎo)出方法的主要導(dǎo)出方法 應(yīng)用靜力方法或變分方法導(dǎo)出。應(yīng)用靜力方法或變分方法導(dǎo)出。僅敘述按位移求解的方法。僅敘述按位移求解的方法。且一般都以平面應(yīng)力問(wèn)題來(lái)表示。且一般都以平面應(yīng)力問(wèn)題來(lái)表示。第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題6-1 基本量和基本方程的基本量和基本方程的 矩陣表示矩陣表示 本章無(wú)特別指明，均表示為本章無(wú)特別指明，均表示為平面應(yīng)力平面應(yīng)力問(wèn)題問(wèn)題的公式。的公式。 采用采用矩陣表示矩陣表示, ,可使公式統(tǒng)一、簡(jiǎn)潔，可使公式統(tǒng)一、簡(jiǎn)潔，且便于編制程序。且便于編制程序。第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題。Tyxff)(f。Tyxvyxu),

6、(, ),(d。Txyyx)(。Txyyx)(。Tjjiivuvu)(。TjyjxiyixFFFF)(F基本物理量基本物理量：。Tyxff)(f體力體力: :基本物理量位移函數(shù)位移函數(shù):應(yīng)變應(yīng)變:應(yīng)力應(yīng)力:結(jié)點(diǎn)位移列陣結(jié)點(diǎn)位移列陣:結(jié)點(diǎn)力列陣結(jié)點(diǎn)力列陣: :面力面力: :第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 物理方程物理方程:)(bD)(2100010112cED FEM中應(yīng)用的方程：中應(yīng)用的方程：)()(ayvxuyvxuT幾何方程幾何方程:應(yīng)用的方程其中其中D D為彈性矩陣，對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題是為彈性矩陣，對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題是: :第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 -結(jié)點(diǎn)虛位移結(jié)點(diǎn)虛位移; ; - -

7、對(duì)應(yīng)的虛應(yīng)變。對(duì)應(yīng)的虛應(yīng)變。ATTdxdytF*)( )(*應(yīng)用的方程圖6-1yxoij*,iiyvF*,iixuF*,jjyvF*,jjxuF虛功方程虛功方程:其中其中: : 在在FEMFEM中，用結(jié)點(diǎn)的平衡方程代替平衡中，用結(jié)點(diǎn)的平衡方程代替平衡微分方程，后者不再列出。微分方程，后者不再列出。第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 3.3.整體分析。整體分析。 6-2 6-2 有限單元法的概念有限單元法的概念 FEMFEM的概念，可以簡(jiǎn)述為：的概念，可以簡(jiǎn)述為：采用有限自由度采用有限自由度的離散單元組合體模型去描述實(shí)際具有無(wú)限自由的離散單元組合體模型去描述實(shí)際具有無(wú)限自由度的考察體，是一種在力學(xué)模

8、型上進(jìn)行近似的數(shù)度的考察體，是一種在力學(xué)模型上進(jìn)行近似的數(shù)值計(jì)算方法。值計(jì)算方法。 其理論基礎(chǔ)是分片插值技術(shù)與變分原理。其理論基礎(chǔ)是分片插值技術(shù)與變分原理。 FEM的概念1.1.將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)；將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)； 2.2.單元分析；單元分析；FEMFEM的分析過(guò)程：的分析過(guò)程：第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題(a) 桁架(b) 深梁（連續(xù)體） 結(jié)構(gòu)力學(xué)研究的對(duì)象結(jié)構(gòu)力學(xué)研究的對(duì)象是是離散化結(jié)構(gòu)離散化結(jié)構(gòu)。如桁架，。如桁架，各單元（桿件）之間除結(jié)點(diǎn)鉸結(jié)外，沒(méi)有其他聯(lián)各單元（桿件）之間除結(jié)點(diǎn)鉸結(jié)外，沒(méi)有其他聯(lián)系（圖（系（圖（a a）。）。彈力研究的對(duì)象彈力研究的對(duì)象，是，是連續(xù)體連

9、續(xù)體（圖（圖（b b）) )。結(jié)構(gòu)離散化1. 結(jié)構(gòu)離散化結(jié)構(gòu)離散化將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)（圖（圖（c c）：）：即將連續(xù)體劃分為有限多個(gè)、有限大小的單元，即將連續(xù)體劃分為有限多個(gè)、有限大小的單元，并使這些單元僅在一些結(jié)點(diǎn)處用絞連結(jié)起來(lái)，構(gòu)并使這些單元僅在一些結(jié)點(diǎn)處用絞連結(jié)起來(lái)，構(gòu)成所謂成所謂離散化結(jié)構(gòu)離散化結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)離散化(c) 深梁（離散化結(jié)構(gòu)）第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 圖（圖（c c）與圖）與圖( ( a a）相比，兩者都是離散）相比，兩者都是離散化結(jié)構(gòu)；區(qū)別是，桁架的單元是桿件

10、，而化結(jié)構(gòu)；區(qū)別是，桁架的單元是桿件，而圖（圖（c c）的單元是三角形塊體（注意：三角）的單元是三角形塊體（注意：三角形單元內(nèi)部仍是連續(xù)體）。形單元內(nèi)部仍是連續(xù)體）。結(jié)構(gòu)離散化例如例如：將深梁劃分為許多三角形單元，這將深梁劃分為許多三角形單元，這些單元僅在角點(diǎn)用些單元僅在角點(diǎn)用鉸鉸連接起來(lái)。連接起來(lái)。第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題2.2.單元分析單元分析 求解方法 每個(gè)三角形單元仍然假定為連續(xù)的、均勻的、每個(gè)三角形單元仍然假定為連續(xù)的、均勻的、各向同性的完全彈性體。因單元內(nèi)各向同性的完全彈性體。因單元內(nèi)部仍是連續(xù)體，部仍是連續(xù)體，應(yīng)按彈性力學(xué)方法進(jìn)行分析。應(yīng)按彈性力學(xué)方法進(jìn)行分析。 取各結(jié)點(diǎn)位

11、移取各結(jié)點(diǎn)位移 為基本未為基本未知量知量。然后對(duì)每個(gè)單元。然后對(duì)每個(gè)單元, ,分別求出各物理量分別求出各物理量, ,并均并均用用 來(lái)表示。來(lái)表示。), 2 , 1()(ivuTiii), 2 , 1(ii第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題（1）應(yīng)用插值公式應(yīng)用插值公式, 由單元結(jié)點(diǎn)位移由單元結(jié)點(diǎn)位移 ，求單元的位移函數(shù)，求單元的位移函數(shù)Tmjie)(。Tyxvyxu),(),(d求解方法這個(gè)插值公式稱(chēng)為單元的這個(gè)插值公式稱(chēng)為單元的位移模式位移模式，為：，為：。ed 單元分析的主要內(nèi)容：?jiǎn)卧治龅闹饕獌?nèi)容：第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題（4 4）應(yīng)用虛功方程，由單元的應(yīng)力）應(yīng)用虛功方程，由單元的應(yīng)力

12、 ， 求出求出單元的結(jié)點(diǎn)力單元的結(jié)點(diǎn)力，表示為，表示為（3 3）應(yīng)用物理方程，由單元的應(yīng)變）應(yīng)用物理方程，由單元的應(yīng)變 ， 求出求出單元的應(yīng)力單元的應(yīng)力，表示為，表示為（2 2）應(yīng)用幾何方程，由單元的位移函數(shù)）應(yīng)用幾何方程，由單元的位移函數(shù)d d， 求出求出單元的應(yīng)變單元的應(yīng)變，表示為，表示為。eS。eB求解方法。emjiekFFFF(第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題單元對(duì)結(jié)點(diǎn)的單元對(duì)結(jié)點(diǎn)的作用力，與作用力，與 數(shù)數(shù)值相同值相同, ,方向相反，方向相反，作用于結(jié)點(diǎn)。作用于結(jié)點(diǎn)。 -結(jié)點(diǎn)對(duì)單元的作用力，作用結(jié)點(diǎn)對(duì)單元的作用力，作用 于單元，稱(chēng)為結(jié)點(diǎn)力，以正標(biāo)向?yàn)檎?。于單元，稱(chēng)為結(jié)點(diǎn)力，以正標(biāo)向?yàn)檎?/p>

13、。TiyixFF(iFTiyixFF(iF求解方法iFimjxyoiixFiyFjxFjyFmxFmyFiyFixFivmvjviumuju第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題（5 5）將每一單元中的各種外荷載，按虛功）將每一單元中的各種外荷載，按虛功 等效原則移置到結(jié)點(diǎn)上，化為等效原則移置到結(jié)點(diǎn)上，化為結(jié)點(diǎn)荷結(jié)點(diǎn)荷 載載，表示為，表示為 .(eLmLjLieLFFFF求解方法第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 為已知值為已知值, , 是用結(jié)點(diǎn)位移表示的值。是用結(jié)點(diǎn)位移表示的值。通過(guò)求解聯(lián)立方程，得出各結(jié)點(diǎn)位移值，從而求通過(guò)求解聯(lián)立方程，得出各結(jié)點(diǎn)位移值，從而求出各單元的應(yīng)變和應(yīng)力。出各單元的應(yīng)變和應(yīng)力

14、。 各單位移置到各單位移置到i i 結(jié)點(diǎn)上的結(jié)點(diǎn)荷載結(jié)點(diǎn)上的結(jié)點(diǎn)荷載 其中其中 表示對(duì)圍繞表示對(duì)圍繞i i 結(jié)點(diǎn)的單元求和；結(jié)點(diǎn)的單元求和；iF求解方法LiF3.3.整體分析整體分析,iF,FLi),2, 1(,ieLieiFFe各單元對(duì)各單元對(duì)i i 結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)力結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)力作用于結(jié)點(diǎn)作用于結(jié)點(diǎn)i i上的力有：上的力有：第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題求解方法 3.3.整體分析整體分析 2.2.對(duì)單元進(jìn)行分析對(duì)單元進(jìn)行分析 1.1.將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)歸納起來(lái)，歸納起來(lái)，F(xiàn)EMFEM分析的主要步驟分析的主要步驟：（1 1）單元的位移模式）單元的位移模式（2 2）單元

15、的應(yīng)變列陣）單元的應(yīng)變列陣（4 4）單元的結(jié)點(diǎn)力列陣）單元的結(jié)點(diǎn)力列陣（5 5）單元的等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣）單元的等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣建立結(jié)點(diǎn)平衡方程組，求解各結(jié)點(diǎn)的位移。建立結(jié)點(diǎn)平衡方程組，求解各結(jié)點(diǎn)的位移。（3 3）單元的應(yīng)力列陣）單元的應(yīng)力列陣第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題思考題 1.1.桁架的單元為桿件，而平面體的單元為三角形桁架的單元為桿件，而平面體的單元為三角形塊體，在三角形內(nèi)仍是作為連續(xù)體來(lái)分析的。塊體，在三角形內(nèi)仍是作為連續(xù)體來(lái)分析的。前者可用結(jié)構(gòu)力學(xué)方法求解，后者只能用彈性前者可用結(jié)構(gòu)力學(xué)方法求解，后者只能用彈性力學(xué)方法求解，為什么？力學(xué)方法求解，為什么？2. 2. 在平面問(wèn)題中，是

16、否也可以考慮其它的單在平面問(wèn)題中，是否也可以考慮其它的單 元形狀，如四邊形單元？元形狀，如四邊形單元？第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題應(yīng)用插值公式，可由應(yīng)用插值公式，可由 求出位移求出位移 。 首先必須解決：首先必須解決：由由單元的結(jié)點(diǎn)位移單元的結(jié)點(diǎn)位移來(lái)求出單元的位移函數(shù)來(lái)求出單元的位移函數(shù) FEMFEM是取結(jié)點(diǎn)位移是取結(jié)點(diǎn)位移 為基本未知數(shù)的。問(wèn)為基本未知數(shù)的。問(wèn)題是如何求應(yīng)變、應(yīng)力。題是如何求應(yīng)變、應(yīng)力。 這個(gè)插值公式表示了單元中位移的分布形式，這個(gè)插值公式表示了單元中位移的分布形式，因此稱(chēng)為因此稱(chēng)為位移模式位移模式。Tmjie (i。Tyxvyxu),(),(de6-3 單元的位移模式與

17、單元的位移模式與 解答的收斂性解答的收斂性 位移模式d第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 插值公式（插值公式（a a）在結(jié)點(diǎn)）在結(jié)點(diǎn) 應(yīng)等于結(jié)應(yīng)等于結(jié)點(diǎn)位移值點(diǎn)位移值 。由此可求出。由此可求出 泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，低次冪項(xiàng)是最重要的。所泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，低次冪項(xiàng)是最重要的。所以以三角形單元的位移模式三角形單元的位移模式，可取為：，可取為：。yxvyxu654321,),(,mjiyxii),(,mjivuii。61三角形單元（a a）第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題將式（將式（a a）按未知數(shù)）按未知數(shù) 歸納為歸納為: : 其中其中 包含包含 。及,iiiivuyx,iivu。mmjjiimmjjii

18、vNvNvNvuNuNuNu,三角形單元61或用矩陣表示為或用矩陣表示為: :（b b）第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題N 稱(chēng)為形（態(tài)）函數(shù)矩陣。稱(chēng)為形（態(tài)）函數(shù)矩陣。eNdmmjjiimjimjivuvuvuNNNNNNvu000000三角形單元（c c）第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 A A為三角形為三角形 的面積（圖示坐標(biāo)系中，的面積（圖示坐標(biāo)系中， 按逆時(shí)針編號(hào)），有：按逆時(shí)針編號(hào)），有：其中其中: :),(,2)(mjiAycxbaNiiii),(11,11,mjixxcyybyxyxamiimiimmjjiijmmji,。mmjjiiyxyxyxA1112三角形單元第六章 用有限單元

19、法解平面問(wèn)題 三結(jié)點(diǎn)三角形單元的位移模式，略去了三結(jié)點(diǎn)三角形單元的位移模式，略去了2 2次以次以上的項(xiàng)，因而其上的項(xiàng)，因而其誤差量級(jí)是誤差量級(jí)是 且其中只包含且其中只包含了了 的的1 1次項(xiàng)，所以在單元中次項(xiàng)，所以在單元中 的分布如圖的分布如圖（a a）所示，）所示， 的分布如圖（的分布如圖（b b）、（）、（c c）所示。）所示。 jimjjmmii);(2xo yx,iNvu和三角形單元(a)(b)(c)ivmvjviumuju1第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 所以當(dāng)單元趨于很小時(shí)，即所以當(dāng)單元趨于很小時(shí)，即 時(shí)，為了使時(shí)，為了使FEMFEM之解逼近于真解。則為了之解逼近于真解。則為了保保

20、證證FEMFEM收斂性收斂性, ,位移模式應(yīng)滿(mǎn)足下列條件：位移模式應(yīng)滿(mǎn)足下列條件： FEMFEM中以后的一系列工作，都是以位移中以后的一系列工作，都是以位移模式為基礎(chǔ)的。模式為基礎(chǔ)的。 0,yx收斂性條件第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 因?yàn)楫?dāng)單元因?yàn)楫?dāng)單元 時(shí)，單元中的位移和時(shí)，單元中的位移和應(yīng)變都趨近于基本量應(yīng)變都趨近于基本量剛體位移和常量剛體位移和常量位移。位移。（1 1）位移模式必須能反映單元的剛體位移。）位移模式必須能反映單元的剛體位移。 0收斂性條件（2 2）位移模式必須能反映單元的常量應(yīng)變。）位移模式必須能反映單元的常量應(yīng)變。第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題。xxyvyyxu22,2

21、2353564353521,00 xvvyuu收斂性條件可見(jiàn)剛體位移項(xiàng)在式（可見(jiàn)剛體位移項(xiàng)在式（a a）中均已反映。）中均已反映。與剛體位移相比，與剛體位移相比，將式（將式（a a）寫(xiě)成）寫(xiě)成第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題（3 3）位移模式應(yīng)盡可能反映位移的連續(xù)性。位移模式應(yīng)盡可能反映位移的連續(xù)性。 即應(yīng)盡可能反映原連續(xù)體的位移連續(xù)即應(yīng)盡可能反映原連續(xù)體的位移連續(xù)性。在三角形單元內(nèi)部，位移為連續(xù)；在兩性。在三角形單元內(nèi)部，位移為連續(xù)；在兩單元邊界單元邊界ijij 上，上， 之間均為線性變化，之間均為線性變化，也為連續(xù)。也為連續(xù)。對(duì)式（對(duì)式（a a）求應(yīng)變，得：）求應(yīng)變，得：,5362xyyxj

22、i 和收斂性條件可見(jiàn)常量應(yīng)變也已反映。可見(jiàn)常量應(yīng)變也已反映。第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 （1）和（）和（2）是必要條件，而）是必要條件，而加上（加上（3）就為充分條件。）就為充分條件。收斂性條件 為了保證為了保證FEM的收斂性：的收斂性：第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題思考題1.1.應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)公式來(lái)選取位移模式，為什么必應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)公式來(lái)選取位移模式，為什么必須從低次項(xiàng)開(kāi)始選??？須從低次項(xiàng)開(kāi)始選??？2.2.試考慮：將結(jié)構(gòu)力學(xué)解法引入到求解連續(xù)體的試考慮：將結(jié)構(gòu)力學(xué)解法引入到求解連續(xù)體的問(wèn)題時(shí)，位移模式的建立是一個(gè)關(guān)鍵性工作，問(wèn)題時(shí)，位移模式的建立是一個(gè)關(guān)鍵性工作，它使得單元它使得單元( (

23、連續(xù)體連續(xù)體) )內(nèi)部的分析工作都有可能內(nèi)部的分析工作都有可能進(jìn)行了。進(jìn)行了。 第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題6-4 6-4 單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣 。mmjjiimmjjiivNvNvNvuNuNuNu,),(2/ )(mjiAycxbaNiiii。位移函數(shù)其中， 單元中的位移函數(shù)單元中的位移函數(shù)用位移模式表示為第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題應(yīng)用應(yīng)用幾何方程幾何方程，求出，求出單元的應(yīng)變列陣：?jiǎn)卧膽?yīng)變列陣：()00010002TiiijmjijmjiijjmmmmuvvuxyxyuvbbbucccvAcbcbcbuveB 。）（a應(yīng)變第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題

24、)(),(bmjiBBBB )(),(0021cmjibccbAiiii。iB)(,deeSDB D應(yīng)變S稱(chēng)為應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣，寫(xiě)成分塊形式為再應(yīng)用物理方程，求出單元的應(yīng)力列陣：B 稱(chēng)為應(yīng)變矩陣應(yīng)變矩陣，用分塊矩陣表示，第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 對(duì)于線性位移模式，求導(dǎo)后得到的應(yīng)變和應(yīng)對(duì)于線性位移模式，求導(dǎo)后得到的應(yīng)變和應(yīng)力，均成為常量，因此，稱(chēng)為力，均成為常量，因此，稱(chēng)為常應(yīng)變（應(yīng)力）單常應(yīng)變（應(yīng)力）單元元。應(yīng)變和應(yīng)力的誤差量級(jí)是。應(yīng)變和應(yīng)力的誤差量級(jí)是 其精度比位其精度比位移低一階，且相鄰單元的應(yīng)力是跳躍式的。移低一階，且相鄰單元的應(yīng)力是跳躍式的。)(),(emjiSSSS )

25、(),(2121)1 (22fmjibccbcbAEiiiiii。iiDBS),( xo 應(yīng)力第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題思考題1.1.如果在位移模式中取到泰勒級(jí)數(shù)中的二如果在位移模式中取到泰勒級(jí)數(shù)中的二次冪項(xiàng)，略去次冪項(xiàng)，略去 高階小量，試考慮位移、高階小量，試考慮位移、應(yīng)變和應(yīng)力的誤差量級(jí)。應(yīng)變和應(yīng)力的誤差量級(jí)。3x第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題6-5 6-5 單元的結(jié)點(diǎn)力列陣與勁度矩陣單元的結(jié)點(diǎn)力列陣與勁度矩陣 現(xiàn)在來(lái)考現(xiàn)在來(lái)考慮其中一個(gè)單慮其中一個(gè)單元：元：模型oyxjmiiixFiyFjxFjyFmxFmyFiyFixF)( 在在FEMFEM中，首先將中，首先將連續(xù)體變換為離散化連

26、續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)的模型。結(jié)構(gòu)的模型。第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題（2 2）單元與周?chē)膯卧谶吔缟弦褯](méi)有聯(lián)）單元與周?chē)膯卧谶吔缟弦褯](méi)有聯(lián) 系，只在結(jié)點(diǎn)系，只在結(jié)點(diǎn) 互相聯(lián)系?；ハ嗦?lián)系。mji,（1 1）將作用于）將作用于單元上的各種外荷載單元上的各種外荷載，按靜，按靜 力等效原則移置到結(jié)點(diǎn)上去，力等效原則移置到結(jié)點(diǎn)上去，化為等化為等 效結(jié)點(diǎn)荷載。效結(jié)點(diǎn)荷載。故單元內(nèi)已沒(méi)有外荷載。故單元內(nèi)已沒(méi)有外荷載。第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題假想將單元與結(jié)點(diǎn)假想將單元與結(jié)點(diǎn)i i 切開(kāi)，則：切開(kāi)，則： ),(,)(mjiFFTiyixiF),(,)(mjiFFTiyixiF其數(shù)值與其數(shù)值與 相同

27、，而方向相反。相同，而方向相反。iF結(jié)點(diǎn)力以沿正坐標(biāo)向?yàn)檎Ｒ匝卣鴺?biāo)向?yàn)檎?。?duì)單元而言，這是作對(duì)單元而言，這是作 用于單元上的用于單元上的“外力外力”。 結(jié)點(diǎn)作用于單元上的力結(jié)點(diǎn)作用于單元上的力，稱(chēng)為結(jié)點(diǎn)力結(jié)點(diǎn)力，單元作用于結(jié)點(diǎn)的力，單元作用于結(jié)點(diǎn)的力，為：為：第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題;)(TmjieFFFF ijm。Txyyx)( 按虛功方程，在虛位移上，外力的虛外力的虛功等于應(yīng)力的虛功功等于應(yīng)力的虛功。結(jié)點(diǎn)力而其內(nèi)部有應(yīng)力作用， 考察已與結(jié)點(diǎn)切開(kāi)后的單元 ，則此單元上作用有外力結(jié)點(diǎn)力 ，應(yīng)用虛功方程，求單元的結(jié)點(diǎn)力：第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 假設(shè)發(fā)生一組假設(shè)發(fā)生一組結(jié)點(diǎn)虛位移

28、結(jié)點(diǎn)虛位移 則單元內(nèi)則單元內(nèi)任一點(diǎn)（任一點(diǎn)（x x, ,y y）的虛位移為）的虛位移為 單元單元內(nèi)內(nèi)任一點(diǎn)（任一點(diǎn)（x x, ,y y）的虛應(yīng)變?yōu)椋┑奶搼?yīng)變?yōu)?代入代入虛虛功方程：在單元中，功方程：在單元中，外力（結(jié)點(diǎn)力外力（結(jié)點(diǎn)力 ）在虛）在虛位移（結(jié)點(diǎn)虛位移位移（結(jié)點(diǎn)虛位移 ）上的虛功，等于應(yīng)）上的虛功，等于應(yīng)力力 在虛應(yīng)變?cè)谔搼?yīng)變 上的虛功，上的虛功，即：即： ,)(e*,)(e*Nd ,)(e*B eF)()(*e)(*虛功方程。ATTedxdytF*e*)()(）（a第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題其中其中 與與 無(wú)關(guān)，故式無(wú)關(guān)，故式(a) (a) 成為成為式式( (b b) )是是由

29、應(yīng)力求結(jié)點(diǎn)力的一般公式由應(yīng)力求結(jié)點(diǎn)力的一般公式。 因?yàn)橐驗(yàn)?是獨(dú)立的任意的虛位移，虛是獨(dú)立的任意的虛位移，虛功方程對(duì)任意的功方程對(duì)任意的 均應(yīng)滿(mǎn)足，可得出均應(yīng)滿(mǎn)足，可得出,)()()(TTeTeTBB*e)(*yx, )()(。ATeTedxdytBFT*e*TAdxdyteFB .e)(*e)(*代入代入 (b)第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題式（式（c c）是）是由結(jié)點(diǎn)位移求結(jié)點(diǎn)力的一般公式，由結(jié)點(diǎn)位移求結(jié)點(diǎn)力的一般公式， 稱(chēng)為單元的勁度矩陣稱(chēng)為單元的勁度矩陣K。元素)66( 其中：其中：再將應(yīng)力公式代入上式，得再將應(yīng)力公式代入上式，得單元?jiǎng)哦染仃嚕╟）eeATetdxdykDBBFtdxd

30、yATDBBk（d）第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題對(duì)于三角形單元，對(duì)于三角形單元，B B 矩陣內(nèi)均為常數(shù)，矩陣內(nèi)均為常數(shù)， 有有,tADBBkT）（e 代入代入 B B，D D，得出，得出 k k 如書(shū)中（如書(shū)中（6-376-37）及）及（6-386-38）所示。）所示。第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題（1 1） 是是6 66 6的方陣，的方陣， 中每一個(gè)元素都表示中每一個(gè)元素都表示 單元各結(jié)點(diǎn)沿坐標(biāo)方向發(fā)生單位位移時(shí)所單元各結(jié)點(diǎn)沿坐標(biāo)方向發(fā)生單位位移時(shí)所 引起的結(jié)點(diǎn)力。引起的結(jié)點(diǎn)力。（2 2）由反力互等定理，）由反力互等定理， 所以所以 是對(duì)稱(chēng)是對(duì)稱(chēng) 矩陣，以對(duì)角線為對(duì)稱(chēng)軸。矩陣，以對(duì)角線為對(duì)

31、稱(chēng)軸。k,srrsTkkkk單元?jiǎng)哦染仃噯卧獎(jiǎng)哦染仃噆 k的性質(zhì)的性質(zhì)：（3 3）當(dāng)單元作剛體平移時(shí)，如）當(dāng)單元作剛體平移時(shí)，如 三角形內(nèi)不產(chǎn)生應(yīng)力和應(yīng)變，結(jié)點(diǎn)力也為三角形內(nèi)不產(chǎn)生應(yīng)力和應(yīng)變，結(jié)點(diǎn)力也為0 0。1,ijmuuu第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題（4 4）由（）由（3 3）可導(dǎo)出行列式）可導(dǎo)出行列式 。（5 5） 的元素與的元素與 單元的形狀和方位等單元的形狀和方位等 有關(guān)，但與單元的大小和剛體的平動(dòng)以及作有關(guān)，但與單元的大小和剛體的平動(dòng)以及作 度轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)關(guān)。度轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)關(guān)。即有：即有： 中每一行（或列）的元素之和為零（其中每一行（或列）的元素之和為零（其中第中第1 1、3 3、5 5元素

32、之和或元素之和或2 2、4 4、6 6元素之和也為元素之和也為0 0）。）。,tE0knkk第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 （書(shū)中P.117頁(yè)），以直角三角形單元為例，計(jì)算了應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣S和單元?jiǎng)哦染仃?。 從例題中可以看出，將單元邊界上的應(yīng)力向結(jié)點(diǎn)移置，化為作用于結(jié)點(diǎn)上的力，正好就是結(jié)點(diǎn)力。在FEM中，單元邊界之間的聯(lián)系和相互作用力，都向結(jié)點(diǎn)簡(jiǎn)化，歸結(jié)成為結(jié)點(diǎn)的鉸結(jié)和結(jié)點(diǎn)力。 思考題例題k試求出書(shū)中例題的位移模式。第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題。TLmyLmxLjyLjxLiyLixTeFFFFFF)()(LmLjLiLFFFF6 66 6荷載向結(jié)點(diǎn)移置荷載向結(jié)點(diǎn)移置 單元的結(jié)點(diǎn)荷載列陣單元

33、的結(jié)點(diǎn)荷載列陣 在FEM中，須將作用于單元中的外荷載向結(jié)點(diǎn)移置，化為等效結(jié)點(diǎn)荷載等效結(jié)點(diǎn)荷載，第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題（2）變形體靜力等效原則變形體靜力等效原則在任意的虛位移上，使原荷載與移置荷載的虛功相等。 1 1、等效原則等效原則（1）剛體靜力等效原則剛體靜力等效原則使原荷載與移置荷載的主矢量以及對(duì)同一點(diǎn)的主矩也相同。移置原則 剛體靜力等效原則只從運(yùn)動(dòng)效應(yīng)來(lái)考慮，得出移置荷載不是唯一的解；變形體的靜力等效原則考慮了變形效應(yīng)，在一定的位移模式下，其結(jié)果是唯一的，且也滿(mǎn)足了前者條件的。 所以在FEM中，采用變形體的靜力等效原則。第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 假設(shè)發(fā)生一組結(jié)點(diǎn)虛位移 ，則

34、點(diǎn)的虛位移為 。使移置荷載的虛功等于原荷載的虛功： 2 2、集中力的移置公式集中力的移置公式 原荷載 作用于單元中任一點(diǎn) 為單位厚度上的作用力；移置荷載 作用于結(jié)點(diǎn) ,)(TPyPxffPf,)(TLmLjLieLFFFF。mji,e)(*Nd。ttTeTeTePT*P*L*fNfdF)()()(e)(*),(yx集中力第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題3、單元邊界單元邊界 上面力上面力 的移置公式的移置公式 應(yīng)用式 ，將 代之為 并在邊界 上積分，得: 對(duì)于任意的虛位移 ，虛功方程都必須滿(mǎn)足，得：。tePTLfNFSftPf,dstfs。SedstfNFTL)(a)(be)(*)(a面力第六章

35、用有限單元法解平面問(wèn)題 應(yīng)用式 ，將 代之為 并對(duì)單元域A 積分，得 。AedxdytfNFTL,dxdytf)(c)(atPf4 4、單元內(nèi)體力、單元內(nèi)體力 的移置公式的移置公式 f體力 當(dāng)位移模式為線性函數(shù)時(shí)，由虛功方程得出的移置荷載，與按剛體靜力等效原則得出的結(jié)點(diǎn)荷載相同。第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題思考題1. 試導(dǎo)出書(shū)中例題的荷載移置公式。 第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 在單元分析中，從單元的結(jié)點(diǎn)位移求位移分布求應(yīng)變求應(yīng)力求結(jié)點(diǎn)力，為單元的內(nèi)力分析；外荷載移置到結(jié)點(diǎn)荷載，為單元的外力分析。 6 67 7結(jié)構(gòu)的整體分析結(jié)構(gòu)的整體分析 結(jié)點(diǎn)平衡方程組結(jié)點(diǎn)平衡方程組 iFLiF 假設(shè)將結(jié)

36、點(diǎn)i與周?chē)膯卧虚_(kāi)，則圍繞i結(jié)點(diǎn)的每個(gè)單元對(duì)i 結(jié)點(diǎn)有結(jié)點(diǎn)力( ）的作用,也有外荷載移置的結(jié)點(diǎn)荷載（ ）的作用。下面考慮整體分析整體分析。第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題對(duì)某一個(gè)單元 ，其中 是對(duì)圍繞i 結(jié)點(diǎn)的單元求和。 i 結(jié)點(diǎn)的平衡條件結(jié)點(diǎn)的平衡條件為 結(jié)點(diǎn)平衡條件),2, 1(,nieLieiFFeijm,mjinninikF)(a第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 是單元結(jié)點(diǎn)的局部編號(hào)； 是整體結(jié)點(diǎn)的整體編號(hào)。 代入式 ，可表示為 ),2, 1()(,nieLiemjinnin。Fkmji,ni, 2 , 1)(a)(b)(b將式 按整體結(jié)點(diǎn)編號(hào)排列，得整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡方程組。 第六章 用有

37、限單元法解平面問(wèn)題 考慮結(jié)構(gòu)的約束條件后，從式考慮結(jié)構(gòu)的約束條件后，從式 求出求出 ，就可以求出各單元的位移和應(yīng)力。，就可以求出各單元的位移和應(yīng)力。 整體結(jié)點(diǎn)位移列陣，整體結(jié)點(diǎn)位移列陣， 整體結(jié)點(diǎn)荷載列陣，整體結(jié)點(diǎn)荷載列陣， 整體勁度矩陣。整體勁度矩陣。 ,LFK Tn21)(TLnLLL)(21FFFFK)(c)(c結(jié)點(diǎn)平衡方程組第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題例2例1列出圖示結(jié)構(gòu)i 結(jié)點(diǎn)的平衡條件。（見(jiàn)書(shū)中P.121）psjmi第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題有限單元法的具體計(jì)算步驟：有限單元法的具體計(jì)算步驟： 6 68 8解題的具體步驟解題的具體步驟 單元的劃分單元的劃分 1、劃分單元網(wǎng)格，

38、對(duì)單元和結(jié)點(diǎn)編號(hào)。 2、選定直角坐標(biāo)系，按程序要求填寫(xiě)和輸入有關(guān)信息。單元內(nèi)的ijm的局部編號(hào)應(yīng)按書(shū)中規(guī)定的右手規(guī)則編號(hào)。否則會(huì)使三角形的面積出現(xiàn)負(fù)號(hào)等問(wèn)題。第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 3、使用已編好的程序進(jìn)行上機(jī)計(jì)算。事先須將有限單元法的公式，計(jì)算方法和步驟都編入程序。4、對(duì)成果進(jìn)行整理、分析。 對(duì)第1和第4步的工作，也盡可能讓計(jì)算機(jī)執(zhí)行，以減少人工的工作量。如自動(dòng)劃分網(wǎng)格，整理成果等。第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 關(guān)于單元的劃分，注意幾點(diǎn)：?jiǎn)卧膭澐?，注意幾點(diǎn)：（8）結(jié)構(gòu)具有凹槽或孔洞等應(yīng)力集中處等。（1）單元大小問(wèn)題；（2）單元在不同部位的合理布置問(wèn)題；（3）三角形三個(gè)內(nèi)角最好較接

39、近；（4）利用對(duì)稱(chēng)性和反對(duì)稱(chēng)性；（5）厚度突變之處和材料不同之處；（6）載荷作用（集中力或突變分布載荷）處；（7）水利閘壩工程問(wèn)題；第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 在有限單元法中，位移的精度較高，其誤差量級(jí)是，即與單元尺度的二次冪成正比。應(yīng)力的誤差量級(jí)是，即與單元的大小成正比。 6 69 9計(jì)算成果的整理計(jì)算成果的整理 )(2xo )( xo 第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 三結(jié)點(diǎn)三角形單元的應(yīng)力的成果，不但應(yīng)力的精度較低，而且還產(chǎn)生了所謂應(yīng)應(yīng)力的波動(dòng)性力的波動(dòng)性。 對(duì)于結(jié)點(diǎn)位移的成果，可以直接采用。第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 應(yīng)力的波動(dòng)性在三結(jié)點(diǎn)三角形單元中較為顯應(yīng)力的波動(dòng)性在三結(jié)點(diǎn)三角

40、形單元中較為顯著。著。 由于計(jì)算出的應(yīng)力的精度較低。假由于計(jì)算出的應(yīng)力的精度較低。假設(shè)設(shè)單元的應(yīng)力成果為單元的應(yīng)力成果為 ，其中，其中 為真解，為真解， 為誤差。則由于在結(jié)點(diǎn)都列出了平衡方程并令為誤差。則由于在結(jié)點(diǎn)都列出了平衡方程并令其滿(mǎn)足，從而使相鄰的其滿(mǎn)足，從而使相鄰的單元的應(yīng)力趨近于單元的應(yīng)力趨近于 。這就產(chǎn)生了應(yīng)力的波動(dòng)性。這就產(chǎn)生了應(yīng)力的波動(dòng)性。 原因是，第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 為了提高應(yīng)力的精度，解決應(yīng)力波動(dòng)性問(wèn)題，可以采用兩種應(yīng)力成果的整理方法： 一般地講，兩相鄰單元平均法的精度較好，因?yàn)樗婕暗膮^(qū)域范圍較小。 （1）兩相鄰單元平均法。 （2）繞結(jié)點(diǎn)平均法。第六章 用有限

41、單元法解平面問(wèn)題 在受面力邊界線附近，求得的應(yīng)力誤差較大?？刹捎孟蛲獠逯档姆椒ǎɡ龗佄锞€插值）來(lái)解決。 第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 為了提高應(yīng)力的精度，可以采用兩種方法。 是加密網(wǎng)格，減少單元的尺寸，以提高應(yīng)力的精度。 是可以采用較多結(jié)點(diǎn)的單元，并使 位移模式中包含一些高冪次的項(xiàng)，從而提 高位移和應(yīng)力的精度。二一第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 書(shū)中應(yīng)用三結(jié)點(diǎn)三角形單元，計(jì)算了下列例題：6 61010計(jì)算實(shí)例計(jì)算實(shí)例 1. 楔形體受自重及齊頂水壓力。 2. 簡(jiǎn)支梁受均布荷載。 3. 圓孔附近的應(yīng)力集中。 第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 在整理應(yīng)力成果時(shí)，讀者應(yīng)注意，應(yīng)用三角形單元時(shí)，（1）采

42、用兩單元平均法和繞結(jié)點(diǎn)平均法的 應(yīng)力成果比較接近，但前者的精度略 好于后者。（2）邊界面的應(yīng)力，宜采用向外插值的方 法求出。第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 在FEMFEM中，將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)之后，有兩種導(dǎo)出FEM公式的主要方法： 6 61111應(yīng)用變分原理導(dǎo)出應(yīng)用變分原理導(dǎo)出 有限單元法基本方程有限單元法基本方程 第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題（2）建立單元的位移模式，求出單元中的 位移分布，;eB ）（b;eS ）（ci;eNd）（a1.按靜力方法導(dǎo)出按靜力方法導(dǎo)出FEMFEM公式公式（1）取結(jié)點(diǎn)位移為基本未知數(shù)；（3）由幾何方程求出單元的應(yīng)變，（4）由物理方程求出單元的應(yīng)力，按結(jié)構(gòu)

43、力學(xué)方法導(dǎo)出FEM公式第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題;AsedxdytdsttfNfNfNFTTPeL）（ e。LFk ）（f;eekF）（deLF（5）由虛功方程求出單元的結(jié)點(diǎn)力，（6）由虛功方程求出單元的結(jié)點(diǎn)荷載 ，（7）建立結(jié)點(diǎn)平衡方程組，按結(jié)構(gòu)力學(xué)方法導(dǎo)出FEM公式第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題（1）變分原理中的極小勢(shì)能原理是。minVUEP）（g)( ).(,21hdxdytdsttVdxdytUATsTTAfdfdfdPT2. 按變分方法導(dǎo)出按變分方法導(dǎo)出FEMFEM公式公式 保留上述（1）-（4）步驟，然后應(yīng)用極小勢(shì)能原理導(dǎo)出FEM基本方程。按變分法導(dǎo)出FEM公式對(duì)于平面問(wèn)題，第

44、六章 用有限單元法解平面問(wèn)題對(duì)于連續(xù)體,變分的宗量是位移函數(shù) 變分方程 可表示為總勢(shì)能 對(duì) 的導(dǎo)數(shù)等于0，即PEvu,., vu）（g, 0uEP。0vEP）（i第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題變分宗量由 變換成（2）將經(jīng)典變分原理應(yīng)用到離散化結(jié)構(gòu)，則)., 2 , 1(nii,eePPEE,eeUU。eeVV）（jvu,總勢(shì)能、形變勢(shì)能和外力勢(shì)能，可以用單元的勢(shì)能之和來(lái)表示第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題其中 為三角形單元的面積。應(yīng)用前面記號(hào),)()(21)(2121 eAeTTeeAeTeeAeeeeedxdytdxdytdxdytUUDBBDB TeA。eeTeUk )(21）（k內(nèi)力勢(shì)能為

45、第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題其中 為三角形單元的受面力邊界。引用前面記號(hào), )()()(eATSPTPTTeeATSPTPTeeeedxdytdsttdxdytdsttVVfdfdfNfdfdfds。eeLTeVF )(）（leeLTeTePVUE)()(21Fk）（m外力勢(shì)能為 總勢(shì)能為第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題故總勢(shì)能極小值條件 變換為（3）對(duì)于離散化結(jié)構(gòu)，泛函數(shù) 的宗量變 換為 PE)(i)( ),2,1(0nniEiP。.)(,2)(ccaababaaaTT), 2 , 1(nii則式(n) 成為引用矩陣運(yùn)算公式，第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題)( ), 2 , 1(0)(oni

46、EieTeP。,001,)(ieeLmLjLimjieeLeePEFFFFFFFk 其中第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 代入式(o) ，得出與結(jié)構(gòu)力學(xué)方法導(dǎo)出的相同方程，)( ), 2 , 1(pnieLiei。FF 從物理意義上講，將連續(xù)體的經(jīng)典變分原 理(g) 或 (i) 應(yīng)用到離散化結(jié)構(gòu)，成為式(p) 。第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 比較物理意義： 凡是與微分方程對(duì)應(yīng)的變分原理存在的任何問(wèn)題，均可應(yīng)用變分法導(dǎo)出FEM。式(p)表示總勢(shì)能在所有結(jié)點(diǎn)處的極值條件。式(g)表示總勢(shì)能的整體極值條件;第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題例題1例題2例題3例題4例題第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 例題

47、1 平面問(wèn)題中采用的四結(jié)點(diǎn)矩陣單元，如圖所示。該單元的結(jié)點(diǎn)位移列陣是 ,)(Tpmjie第六章例題Pimjoyxabba第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題iPbaojmx圖6-10采用的位移模式是其中的系數(shù) ,由四個(gè)結(jié)點(diǎn)處的位移值,應(yīng)等于結(jié)點(diǎn)位移值 的條件求出。xyyxyxvxyyxyxu87654321),(,),(81),(pmjiiab第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 讀者試檢查其收斂性條件是否滿(mǎn)足？并估計(jì)位移和應(yīng)力的誤差量級(jí)。第六章例題第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 例題2 平面問(wèn)題中采用的六結(jié)點(diǎn)三角形單 元，如圖所示。 該單元的結(jié)點(diǎn)位移列陣為 其位移模式取為 ,)(321Tmjie ,),(26524321yxyxyxyxu第六章例題yxom213ij圖6-11第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 可以相似地表示。然后由六